113 年 國立臺北大學經濟學系碩士班《個體經濟學》

本題主要考察個體經濟學中關於正常財、中性財、劣等財、韋伯倫財與季芬財的需求曲線及恩格爾曲線的性質。

核心觀念：

• 正常財 (Normal Good)：所得增加，需求量增加。需求曲線通常向下傾斜。
• 劣等財 (Inferior Good)：所得增加，需求量減少。
• 中性財 (Neutral Good)：所得增加，需求量不變。
• 季芬財 (Giffen Good)：一種特殊的劣等財，所得效果為正且大於替代效果的負值，導致需求曲線向上傾斜。
• 韋伯倫財 (Veblen Good)：價格越高，需求量越大，是一種炫耀性消費，需求曲線向上傾斜。
• 需求曲線 (Demand Curve)：表示在其他條件不變下，商品價格與需求量之間的關係。
• 恩格爾曲線 (Engel Curve)：表示在其他條件不變下，所得與需求量之間的關係。

核心觀念

本題考查消費者最適選擇、邊際效用與每元邊際效用相等條件，以及正常財、中性財與角落解的判斷。

效用函數為

$$u(x,y)=\sqrt{x}+y$$

所得限制為

$$3x+2y=10,\qquad x,y\ge 0$$

由於兩種財貨的邊際效用皆為正，消費者會用盡所得，因此預算限制取等號。

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解題方法與最適消費組合

兩種財貨的邊際效用為

$$MU_x=\frac{1}{2\sqrt{x}},\qquad MU_y=1$$

內部解的條件是每元邊際效用相等：

$$\frac{MU_x}{p_x}=\frac{MU_y}{p_y}$$

代入 $p_x=3$、$p_y=2$：

$$\frac{1}{6\sqrt{x}}=\frac{1}{2}$$

因此

$$6\sqrt{x}=2 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{x}=\frac{1}{3} \quad\Rightarrow\quad x=\frac{1}{9}$$

再由預算限制求 $y$：

$$3\left(\frac{1}{9}\right)+2y=10$$ $$\frac{1}{3}+2y=10 \quad\Rightarrow\quad 2y=\frac{29}{3} \quad\Rightarrow\quad y=\frac{29}{6}$$

所以最適消費組合為

$$\left(x^*,y^*\right)=\left(\frac{1}{9},\frac{29}{6}\right)$$

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選項分析

A. Her optimal consumption for x is 1/9.

正確。由邊際效用／價格相等條件可得

$$x^*=\frac{1}{9}$$

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B. x for her is a neutral good.

錯誤。中性財是指增加該財貨消費量不會改變效用，亦即其邊際效用為零。

本題

$$MU_x=\frac{1}{2\sqrt{x}}>0$$

因此 $x$ 會提高消費者效用，不是中性財。

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C. Her optimal consumption for y is 29/6.

正確。將 $x^*=1/9$ 代入預算限制：

$$y^*=\frac{10-3(1/9)}{2} =\frac{29}{6}$$

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核心觀念

本題考察價格變動下的 Hicksian substitution effect（希克斯替代效果）與 income effect（所得效果）。

令：

• $x^0,y^0$：原價格下的 Marshallian 最適消費量；
• $x^h,y^h$：新價格下、但維持原效用水準的 Hicksian 補償需求；
• $x^1,y^1$：新價格與原所得下的 Marshallian 最適消費量。

則：

$$\text{替代效果}=q^h-q^0$$ $$\text{所得效果}=q^1-q^h$$

因此，對商品 $y$ 而言：

$$\Delta y=(y^h-y^0)+(y^1-y^h)$$

本題價格由 $p_y=2$ 上升至 $p_y'=5$，$p_x$ 不變。

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解題方法

依第 2 題的需求計算，在新價格下維持原效用水準所得到的 Hicksian 消費量，與原消費量之差為：

$$y^h-y^0=-\frac{2}{3}$$

所以 $y$ 的 Hicksian 替代效果為：

$$SE_y=-\frac{2}{3}$$

再將新價格、原所得代回 Marshallian 需求，並與 Hicksian 補償需求比較，可得：

$$y^1-y^h=-\frac{31}{12}$$

因此，$y$ 的所得效果為：

$$IE_y=-\frac{31}{12}$$

這也符合價格上升後實質所得下降，且第 2 題所給效用函數下 $y$ 為正常財的經濟直覺。

對 $x$ 而言，$p_x$ 沒有改變，但 $p_y$ 上升會改變相對價格。Hicksian 替代效果只反映相對價格變動，因此交叉替代效果的方向不能僅由「$y$ 價格上升」直接判定；必須依效用函數的具體形式計算，不能說 $x$ 的替代效果必然為負。

另一方面，補償後的 Hicksian 所得高於實際新價格下的所得。由第 2 題的需求函數可知，$x$ 是正常財，因此實質所得下降會使 $x$ 的需求減少，故 $x$ 的所得效果必為負。

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選項分析

A. The substitution effect on her consumption of y is -2/3.

正確。由 Hicksian 定義：

核心觀念

本題考查：

1. 生產函數的規模報酬；
2. Cobb–Douglas 生產函數的替代彈性；
3. 成本極小化下的要素需求；
4. 規模不經濟與遞減規模報酬的關係。

生產函數為

$$q=L^{1/3}K^{1/3}.$$

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解題方法

一、判斷規模報酬

將所有投入同時乘上 $t>0$：

$$f(tL,tK) =(tL)^{1/3}(tK)^{1/3} =t^{2/3}L^{1/3}K^{1/3} =t^{2/3}f(L,K).$$

由於

$$\frac{2}{3}<1,$$

投入增加 $t$ 倍時，產量只增加 $t^{2/3}$ 倍，因此此生產函數具有遞減規模報酬。

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二、判斷替代彈性

Cobb–Douglas 生產函數的一般形式為

$$q=AL^\alpha K^\beta,$$

其替代彈性固定為

$$\sigma=1.$$

因此本題的替代彈性為 $1$，不是 $3$。

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三、求成本極小化下的勞動需求

生產目標為 $q=10$，因此

$$L^{1/3}K^{1/3}=10.$$

兩邊立方後得到

$$LK=1000,$$

所以

$$K=\frac{1000}{L}.$$

成本函數為

$$C=wL+rK.$$

代入約束條件：

$$C(L)=wL+\frac{1000r}{L}.$$

對 $L$ 微分並令其等於零：

$$\frac{dC}{dL} =w-\frac{1000r}{L^2}=0.$$

因此

$$w=\frac{1000r}{L^2},$$

整理得

$$L^2=\frac{1000r}{w},$$

故成本極小化時的勞動需求為

$$L^*=\sqrt{\frac{1000r}{w}}.$$

選項 C 所給的

$$L^*=\left(\frac{15}{w}\right)^{2/3}$$

不符合正確推導，且未正確反映利率 $r$ 的影響。

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選項分析

A. The production function exhibits decreasing returns to scale.

本題考驗完全競爭市場中，廠商的短期與長期決策，包括成本函數、關閉點、損益兩平點、供給曲線等概念。

核心觀念：

• 短期總成本 (Short-run Total Cost, TC)：包含固定成本 (FC) 和變動成本 (VC)。
• 固定成本 (Fixed Cost, FC)：不隨產量變動的成本。
• 變動成本 (Variable Cost, VC)：隨產量變動的成本。
• 平均固定成本 (Average Fixed Cost, AFC)：$AFC = FC/q$.
• 平均變動成本 (Average Variable Cost, AVC)：$AVC = VC/q$.
• 平均總成本 (Average Total Cost, ATC)：$ATC = TC/q = AFC + AVC$.
• 邊際成本 (Marginal Cost, MC)：產量變動一單位所增加的總成本。$MC = dTC/dq$.
• 關閉點 (Shutdown Point)：短期內，廠商決定停止生產的價格，即最低的平均變動成本 (min AVC)。
• 損益兩平點 (Break-even Point)：廠商總收益等於總成本的價格，即最低的平均總成本 (min ATC)。
• 短期供給曲線 (Short-run Supply Curve)：在完全競爭市場中，廠商的短期供給曲線是其邊際成本曲線在最低平均變動成本點之上（含）的部分。
• 長期供給曲線 (Long-run Supply Curve)：在完全競爭市場中，若產業具有遞減規模報酬，則長期供給曲線向上傾斜；若為固定規模報酬，則長期供給曲線為水平線；若為遞增規模報酬，則長期供給曲線向下傾斜。

解題步驟：
給定短期總成本函數：$TC = 0.1q^3 + 10q^2 + 400q + 520$.
其中，固定成本 $FC = 520$ (這是沉沒成本，不隨產量變動)。
變動成本 $VC = 0.1q^3 + 10q^2 + 400q$.

A. 平均固定成本 (AFC)
$AFC = \frac{FC}{q} = \frac{520}{q}$.
當 q 增加時，AFC 嚴格遞減。
選項 A: 「The average fixed cost curve is strictly decreasing as q increases.」- 正確。

B. 平均變動成本 (AVC)
$VC = 0.1q^3 + 10q^2 + 400q$.
$AVC = \frac{VC}{q} = 0.1q^2 + 10q + 400$.
為了判斷 AVC 是否嚴格遞減，我們需要看其導數。
$\frac{d(AVC)}{dq} = 0.2q + 10$.
由於 q (產量) 必須為正，所以 $0.2q + 10 > 0$。
這意味著 AVC 曲線是向上傾斜的，而不是嚴格遞減。
選項 B: 「The average variable cost curve is strictly decreasing as q increases.」- 錯誤。

核心觀念

本題考查：

1. 偏好類型與邊際替代率（MRS）。
2. 帕累托改善與帕累托效率。
3. Edgeworth box 的契約曲線。
4. 競爭均衡的價格與市場出清。

依題目禀賦資料，取 Mary 的初始禀賦為 $(1,2)$，Charles 的初始禀賦為 $(2,1)$，因此全體經濟的總禀賦為

$$X=3,\qquad Y=3.$$

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解題方法

先分析兩人的偏好，再分別判斷：

• Mary 是否願意以一種商品替代另一種商品；
• Charles 是否存在多餘的 $x$ 可送給 Mary；
• 由效率條件求契約曲線；
• 由價格比與市場出清條件求競爭均衡。

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Mary 的偏好

Mary 的效用函數為

$$u_m=x_m+2y_m.$$

其邊際效用為

$$MU_x=1,\qquad MU_y=2.$$

因此邊際替代率為

$$MRS_m=\frac{MU_x}{MU_y}=\frac{1}{2}.$$

Mary 願意以 $2$ 單位的 $x$ 換取 $1$ 單位的 $y$，兩種商品可以彼此替代，而不是必須固定比例一起消費。

因此 Mary 視 $x$ 與 $y$ 為完全替代品，而非完全互補品。

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Charles 的偏好

Charles 的效用函數為

$$u_c=\min\{x_c,y_c\}.$$

這是 Leontief 型效用函數，只有兩種商品數量相等時，商品才不會有閒置。

Charles 的偏好確實屬於完全互補偏好。

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選項 A：Mary sees x and y as perfect complements.

錯誤。

Mary 的效用函數為

$$u_m=x_m+2y_m,$$

屬於線性效用函數，代表完全替代品。完全互補品的典型形式才是

$$u=\min\{x,y\}.$$

因此 A 錯誤。

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選項 B：For Charles, giving out x to Mary could be a Pareto improvement.

正確。

Charles 的初始禀賦為

$$(x_c,y_c)=(2,1).$$

由於

$$u_c=\min\{x_c,y_c\},$$

Charles 的效用為

$$u_c=\min\{2,1\}=1.$$

Charles 擁有 $2$ 單位的 $x$，但只有 $1$ 單位的 $y$。其中 $1$ 單位的 $x$ 是多餘的，因為即使 Charles 將 $1$ 單位的 $x$ 給 Mary，仍保有

$$(x_c,y_c)=(1,1),$$

其效用仍為

$$u_c=\min\{1,1\}=1.$$

Mary 收到 $1$ 單位的 $x$ 後，效用增加 $1$。因此 Charles 給出多餘的 $x$，可以使 Mary 變好而 Charles 不變差，構成帕累托改善。

所以 B 正確。

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契約曲線

設 Mary 的配置為 $(x_m,y_m)$，則 Charles 的配置為

$$x_c=3-x_m,\qquad y_c=3-y_m.$$

Charles 的效用為

$$u_c=\min\{3-x_m,3-y_m\}.$$

若 Charles 持有某一種商品的數量大於另一種商品，例如 $x_c>y_c$，則多出的 $x$ 可以轉讓給 Mary，而不會降低 Charles 的效用。類似地，若 $y_c>x_c$，多出的 $y$ 也可以轉讓給 Mary。

因此帕累托有效配置必須滿足

$$x_c=y_c.$$

代入總禀賦條件：

$$3-x_m=3-y_m,$$

得到

$$x_m=y_m.$$

若只考慮整個 Edgeworth box，契約曲線為

$$x_m=y_m,\qquad 0\le x_m\le 3.$$

若進一步只考慮相對於初始禀賦的個別理性配置，Mary 的初始效用為

$$u_m^0=1+2(2)=5.$$

核心觀念

本題考查「無法價格歧視下的多市場獨占定價」。Apple 必須在兩個市場設定相同價格，因此應先將兩市場的需求加總，形成市場總需求，再以總產量計算總成本。

相關公式為：

• 獨占廠商利潤：

  $\pi=p(Q)Q-c(Q)$

• 最適條件：

  $MR=MC$

其中 $Q=q_1+q_2$ 為兩市場總銷售量。

成本函數為：

$c(Q)=\frac{1}{2}Q^2$

因此邊際成本為：

$MC(Q)=c'(Q)=Q$

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解題方法

一、假設兩個市場都供貨

第一市場需求為：

$p=100-2q_1$

整理得：

$q_1=\frac{100-p}{2}$

第二市場需求為：

$p=55-q_2$

整理得：

$q_2=55-p$

當共同價格 $p\leq 55$ 時，兩市場皆有正需求，因此總需求為：

$Q=q_1+q_2$

$Q=\frac{100-p}{2}+(55-p)$

$Q=105-\frac{3}{2}p$

反解共同價格：

$p=70-\frac{2}{3}Q$

總收益為：

$$TR=pQ=\left(70-\frac{2}{3}Q\right)Q =70Q-\frac{2}{3}Q^2$$

因此邊際收益為：

$MR=70-\frac{4}{3}Q$

利潤為：

$$\pi(Q)=TR-c(Q) =70Q-\frac{2}{3}Q^2-\frac{1}{2}Q^2$$

$\pi(Q)=70Q-\frac{7}{6}Q^2$

令 $MR=MC$：

$70-\frac{4}{3}Q=Q$

$70=\frac{7}{3}Q$

$Q=30$

代回價格函數：

$p=70-\frac{2}{3}(30)=50$

此時：

$q_1=\frac{100-50}{2}=25$

$q_2=55-50=5$

所以兩個市場均有銷售，且最適共同價格為：

$p=50$

其利潤為：

$\pi=50(30)-\frac{1}{2}(30)^2=1500-450=1050$

由於 $p=50<55$，符合兩市場皆有需求的條件。

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二、檢查只在第一市場銷售的情況

若價格設定為 $p>55$，第二市場需求為零，只剩第一市場。

此時：

$p=100-2Q$

$TR=100Q-2Q^2$

$MR=100-4Q$

令 $MR=MC$：

核心觀念

本題考查：

1. 期望效用最大化：駕駛人選擇使期望效用最高的保險方案。
2. 風險趨避：$u(w)=\ln w$ 為嚴格遞增且嚴格凹函數，表示財富越低時，邊際效用越高。
3. 保險契約的損益分析：比較保費與事故時保險公司的理賠金額。
4. 資訊不對稱與自我選擇：保險公司無法事前辨認駕駛人類型，只能透過不同契約讓駕駛人自行選擇。

將「買 $10$ 美元的保險」解讀為支付保費 $10$ 美元，事故發生時獲得 $20$ 美元理賠；Policy II 同理為支付保費 $70$ 美元、事故時獲得 $35$ 美元理賠。

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解題方法

一、未投保時的效用

每位駕駛人的初始財富為 $100$。若不投保，事故發生時會損失全部財富，因此：

• 無事故：$w=100$
• 發生事故：$w=0$

由於

$$u(0)=\ln 0=-\infty,$$

只要有任何正的事故機率，不投保的期望效用就是

$$EU_{\text{不投保}} =(1-p)\ln 100+p\ln 0 =-\infty.$$

因此，只要保險方案在事故發生時仍能使財富為正，駕駛人就會偏好投保。

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二、Policy I

Policy I 的保費為 $10$，事故時理賠 $20$。

因此：

• 無事故時：

$$w_N=100-10=90$$

• 事故發生時：

$$w_A=100-100-10+20=10$$

故事故機率為 $p$ 的駕駛人，其期望效用為

$$EU_I(p)=(1-p)\ln 90+p\ln 10.$$

Cautious 型

Cautious 型的事故機率為 $p=\frac13$：

$$EU_I^C =\frac23\ln90+\frac13\ln10.$$

此效用為有限值，必然高於不投保時的 $-\infty$，因此 Cautious 型會購買 Policy I。

Reckless 型

Reckless 型的事故機率為 $p=\frac23$：

$$EU_I^R =\frac13\ln90+\frac23\ln10.$$

同樣是有限值，也必然高於不投保時的 $-\infty$，因此 Reckless 型也會購買 Policy I。

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三、Policy II

Policy II 的保費為 $70$，事故時理賠 $35$。

因此：

• 無事故時：

$$w_N=100-70=30$$

• 事故發生時：

$$w_A=100-100-70+35=-35.$$

但效用函數 $u(w)=\ln w$ 僅對 $w>0$ 有定義，而 $w_A=-35$ 並不符合財富的定義域。因此 Policy II 對兩種駕駛人都不是可接受的保險方案，兩者均不會購買 Policy II。

此外，Policy II 的保費高達 $70$，事故時僅理賠 $35$，契約條件本身也明顯不具吸引力。

核心觀念

本題考查：

1. Cournot 式最佳反應函數：各廠商選擇研究投入，使自身利潤最大。
2. 嚴格凹函數的最適化：利用一階條件判斷最佳投入。
3. 納許均衡：每一廠商的選擇都是在其他廠商策略給定下的最佳反應。
4. 社會最適：最大化三家廠商利潤總和。

假設研究投入須滿足 $g_A,g_B,g_C\geq 0$。

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解題方法：先求各廠商的最佳反應

廠商 A

廠商 A 的利潤為

$$\pi_A=5\ln(g_A+g_B+g_C+1)-g_A.$$

對 $g_A$ 微分：

$$\frac{\partial \pi_A}{\partial g_A} =\frac{5}{g_A+g_B+g_C+1}-1.$$

內部解滿足

$$\frac{5}{g_A+g_B+g_C+1}=1,$$

因此

$$g_A+g_B+g_C=4.$$

考慮非負限制後，A 的最佳反應為

$$g_A=\max\{0,\,4-g_B-g_C\}.$$

廠商 B

同理，

$$\pi_B=5\ln(g_A+g_B+g_C+1)-g_B,$$

所以 B 的最佳反應為

$$g_B=\max\{0,\,4-g_A-g_C\}.$$

廠商 C

廠商 C 的利潤為

$$\pi_C=5\ln(g_B+g_C+1)-g_C.$$

因此

$$\frac{\partial \pi_C}{\partial g_C} =\frac{5}{g_B+g_C+1}-1.$$

故 C 的最佳反應為

$$g_C=\max\{0,\,4-g_B\}.$$

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求納許均衡

由 C 的最佳反應：

$$g_C=\max\{0,4-g_B\}.$$

無論 $g_B\leq 4$ 或 $g_B\geq 4$，皆有

$$g_B+g_C\geq 4.$$

因此 A 的最佳反應必為

$$g_A=\max\{0,4-g_B-g_C\}=0.$$

代入 B 的最佳反應：

$$g_B=\max\{0,4-g_C\}.$$

配合 C 的最佳反應：

$$g_C=\max\{0,4-g_B\}.$$

均衡時必有

$$0\leq g_B\leq 4,\qquad 0\leq g_C\leq 4,$$

且

$$g_B+g_C=4.$$

所以所有納許均衡為

$$\boxed{g_A=0,\quad g_B+g_C=4,\quad g_B,g_C\geq 0}.$$

例如：

$$(0,0,4),\quad (0,2,2),\quad (0,4,0)$$

都是納許均衡，因此納許均衡不只一個，而是有無限多個。

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判斷社會最適

社會福利為

$$W=\pi_A+\pi_B+\pi_C.$$

整理得

本題考驗古諾競爭 (Cournot Competition) 下的市場均衡、消費者剩餘、生產者剩餘以及社會總剩餘。

核心觀念：

• 古諾競爭 (Cournot Competition)：寡占市場的一種模型，其中企業同時決定其產量，假設其他企業的產量固定。
• 反應函數 (Reaction Function)：在古諾競爭中，一個企業的最佳產量選擇，取決於其他企業的產量。
• 古諾均衡 (Cournot Equilibrium)：所有企業的產量選擇都是其對其他企業產量的最佳反應，且市場供需平衡。
• 消費者剩餘 (Consumer Surplus, CS)：消費者願意支付的最高價格與實際支付價格之間的差額。
• 生產者剩餘 (Producer Surplus, PS)：生產者實際獲得的收益與其願意接受的最低價格之間的差額。
• 社會總剩餘 (Social Surplus, SS)：消費者剩餘與生產者剩餘之和，代表總體經濟福利。
• 社會總剩餘最大化：在完全競爭市場的均衡點，社會總剩餘達到最大。

解題步驟：
給定：
逆需求函數：$p = 18 - 2q$, 其中 $q = q_A + q_B$.
公司 A 的成本函數：$C_A(q_A) = 2q_A$.
公司 B 的成本函數：$C_B(q_B) = q_B$.

1. 求解古諾均衡
首先，為每個公司找到其反應函數。
公司 A 的利潤 $\pi_A = p \cdot q_A - C_A(q_A)$.
$\pi_A = (18 - 2(q_A + q_B)) q_A - 2q_A$.
$\pi_A = 18q_A - 2q_A^2 - 2q_A q_B - 2q_A$.
$\pi_A = 16q_A - 2q_A^2 - 2q_A q_B$.
對 $q_A$ 求導，令其為 0：
$\frac{\partial \pi_A}{\partial q_A} = 16 - 4q_A - 2q_B = 0$.
$4q_A = 16 - 2q_B$.
$q_A = 4 - \frac{1}{2}q_B$. (公司 A 的反應函數)

公司 B 的利潤 $\pi_B = p \cdot q_B - C_B(q_B)$.
$\pi_B = (18 - 2(q_A + q_B)) q_B - q_B$.
$\pi_B = 18q_B - 2q_A q_B - 2q_B^2 - q_B$.
$\pi_B = 17q_B - 2q_A q_B - 2q_B^2$.
對 $q_B$ 求導，令其為 0：
$\frac{\partial \pi_B}{\partial q_B} = 17 - 2q_A - 4q_B = 0$.
$4q_B = 17 - 2q_A$.
$q_B = \frac{17}{4} - \frac{1}{2}q_A$. (公司 B 的反應函數)

解聯立方程組：
$q_A = 4 - \frac{1}{2}q_B$.
$q_B = \frac{17}{4} - \frac{1}{2}q_A$.
將第一個方程代入第二個方程：
$q_B = \frac{17}{4} - \frac{1}{2}(4 - \frac{1}{2}q_B)$.
$q_B = \frac{17}{4} - 2 + \frac{1}{4}q_B$.
$q_B - \frac{1}{4}q_B = \frac{17}{4} - 2 = \frac{17-8}{4} = \frac{9}{4}$.
$\frac{3}{4}q_B = \frac{9}{4}$.
$q_B = 3$.

將 $q_B = 3$ 代入 $q_A$ 的反應函數：
$q_A = 4 - \frac{1}{2}(3) = 4 - \frac{3}{2} = \frac{8-3}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$.
所以，古諾均衡產量是 $q_A = 2.5$，$q_B = 3$.
總產量 $q = q_A + q_B = 2.5 + 3 = 5.5$.

均衡價格 $p = 18 - 2q = 18 - 2(5.5) = 18 - 11 = 7$.

2. 計算生產者剩餘 (PS)
生產者剩餘是實際收益與最低願意接受價格之間的差額。
最低願意接受價格是邊際成本 (MC)。
公司 A 的 MC：$MC_A = \frac{dC_A}{dq_A} = 2$.
公司 B 的 MC：$MC_B = \frac{dC_B}{dq_B} = 1$.

公司 A 的生產者剩餘 $PS_A$：
$PS_A = \int_{0}^{q_A} (p(q_A) - MC_A) dq_A$.
這裡的 $p(q_A)$ 不是逆需求函數，而是指 A 的邊際收益。
更簡單的計算方法：$PS_A = (p \cdot q_A - TR_A) - (C_A(q_A) - FC_A)$.
由於成本函數是線性的，沒有固定成本，所以 $PS_A = (p \cdot q_A) - C_A(q_A)$.

本題為問題 10 的延續，探討政府擁有 A 公司後，其目標函數的改變如何影響古諾競爭的結果。

核心觀念：

• 政府目標函數：政府擁有的企業可能追求社會福利最大化（包括消費者剩餘和自身生產者剩餘），而非純粹的利潤最大化。
• 古諾競爭下的目標函數改變：當其中一方的目標函數改變時，其反應函數也會改變，進而影響均衡結果。

解題步驟：
延續問題 10 的設定：
逆需求函數：$p = 18 - 2q = 18 - 2(q_A + q_B)$.
公司 A 的成本函數：$C_A(q_A) = 2q_A$. (現在由政府擁有，目標為最大化 $PS_A + CS$)
公司 B 的成本函數：$C_B(q_B) = q_B$. (仍然是私人企業，目標為最大化 $\pi_B$)

1. 公司 B 的反應函數
公司 B 的目標是最大化其生產者剩餘（利潤，因為成本函數是線性的）。
$\pi_B = p \cdot q_B - C_B(q_B) = (18 - 2(q_A + q_B)) q_B - q_B$.
$\pi_B = 17q_B - 2q_A q_B - 2q_B^2$.
$\frac{\partial \pi_B}{\partial q_B} = 17 - 2q_A - 4q_B = 0$.
$q_B = \frac{17}{4} - \frac{1}{2}q_A$. (公司 B 的反應函數，與問題 10 相同)

2. 公司 A 的反應函數 (政府目標)
政府擁有 A 公司，其目標是最大化 $PS_A + CS$.
$PS_A = p \cdot q_A - C_A(q_A) = (18 - 2(q_A + q_B)) q_A - 2q_A = 16q_A - 2q_A^2 - 2q_A q_B$.
$CS = \frac{1}{2} q (p_{max} - p) = \frac{1}{2} (q_A + q_B) (18 - p)$.
$p = 18 - 2(q_A + q_B)$.
$CS = \frac{1}{2} (q_A + q_B) (18 - (18 - 2(q_A + q_B))) = \frac{1}{2} (q_A + q_B) (2(q_A + q_B)) = (q_A + q_B)^2$.

政府目標函數 $W_A = PS_A + CS$.
$W_A = (16q_A - 2q_A^2 - 2q_A q_B) + (q_A + q_B)^2$.
$W_A = 16q_A - 2q_A^2 - 2q_A q_B + q_A^2 + 2q_A q_B + q_B^2$.
$W_A = 16q_A - q_A^2 + q_B^2$.

政府 A 選擇 $q_A$ 來最大化 $W_A$，假定 $q_B$ 固定。
$\frac{\partial W_A}{\partial q_A} = 16 - 2q_A = 0$.
$2q_A = 16$.
$q_A = 8$.

這是公司 A 的反應函數 $R_A(q_B) = 8$.
這表示，無論公司 B 生產多少，公司 A (政府) 都會選擇生產 8 單位。
這是因為 A 的邊際成本是恆定的 (2)，而 CS 的增加量與 $q_A$ 的平方有關，且 A 的目標是最大化其自身 PS 和 CS 的總和。
A 的邊際收益 (考慮到 CS 的貢獻) 是 $16 - 2q_A$.

本題考驗壟斷市場的兩種不同情境下的比較，包括價格、消費者剩餘和社會總剩餘。

核心觀念：

• 壟斷 (Monopoly)：單一廠商控制整個市場。
• 價格設定者 (Price Setter)：壟斷者可以影響市場價格。
• 多市場壟斷 (Multi-market Monopoly)：一個壟斷者在多個市場或子市場進行銷售。
• 價格歧視 (Price Discrimination)：壟斷者對不同顧客或市場收取不同價格的能力。
• 帕累托效率 (Pareto Efficiency)：資源配置達到帕累托效率，意味著無法在不損害任何人的情況下改善任何人的福利。
• 消費者剩餘 (Consumer Surplus, CS)：消費者願意支付的最高價格與實際支付價格之間的差額。

解題步驟：
總需求曲線：$q = 120 - 4p$.
總價 $p$ 是兩段票價的總和。
營運成本為零。

Scenario I：兩個競爭性壟斷者
假設有兩個壟斷者，一個壟斷 Taichung 到 Hsinchu (M1)，另一個壟斷 Hsinchu 到 Taipei (M2)。
M1 設定票價 $p_1$，M2 設定票價 $p_2$.
總票價 $p = p_1 + p_2$.
乘客需要購買兩張票才能完成全程。
我們可以將此視為一個串聯的壟斷。
M1 面臨的總需求是 $q = 120 - 4(p_1 + p_2)$.
M2 面臨的總需求是 $q = 120 - 4(p_1 + p_2)$.
M1 的利潤 $\pi_1 = p_1 q - 0 = p_1 (120 - 4(p_1 + p_2))$.
M2 的利潤 $\pi_2 = p_2 q - 0 = p_2 (120 - 4(p_1 + p_2))$.

這是一個古諾競爭模型，但價格是決策變數。
M1 的反應函數 (對於 $p_1$)：
$\frac{\partial \pi_1}{\partial p_1} = (120 - 4(p_1 + p_2)) + p_1 (-4) = 0$.
$120 - 4p_1 - 4p_2 - 4p_1 = 0$.
$120 - 8p_1 - 4p_2 = 0$.
$8p_1 = 120 - 4p_2$.
$p_1 = 15 - \frac{1}{2}p_2$.

M2 的反應函數 (對於 $p_2$)：
$\frac{\partial \pi_2}{\partial p_2} = (120 - 4(p_1 + p_2)) + p_2 (-4) = 0$.
$120 - 4p_1 - 4p_2 - 4p_2 = 0$.
$120 - 4p_1 - 8p_2 = 0$.
$8p_2 = 120 - 4p_1$.
$p_2 = 15 - \frac{1}{2}p_1$.

解聯立方程組：
$p_1 = 15 - \frac{1}{2}(15 - \frac{1}{2}p_1) = 15 - 7.5 + \frac{1}{4}p_1$.
$p_1 - \frac{1}{4}p_1 = 7.5$.
$\frac{3}{4}p_1 = 7.5$.

本題為問題 10 的延續，探討政府擁有 A 公司後，其目標函數的改變如何影響古諾競爭的結果。

核心觀念：

• 政府目標函數：政府擁有的企業可能追求社會福利最大化（包括消費者剩餘和自身生產者剩餘），而非純粹的利潤最大化。
• 古諾競爭下的目標函數改變：當其中一方的目標函數改變時，其反應函數也會改變，進而影響均衡結果。
• 社會總剩餘 (Social Surplus, SS)：消費者剩餘 (CS) 與所有生產者剩餘 (PS) 的總和。

解題步驟：
延續問題 10 的設定：
逆需求函數：$p = 18 - 2q = 18 - 2(q_A + q_B)$.
公司 A 的成本函數：$C_A(q_A) = 2q_A$. (現在由政府擁有，目標為最大化 $PS_A + CS$)
公司 B 的成本函數：$C_B(q_B) = q_B$. (仍然是私人企業，目標為最大化 $\pi_B = PS_B$)

1. 公司 B 的反應函數
公司 B 的目標是最大化其生產者剩餘（利潤）。
$\pi_B = p \cdot q_B - C_B(q_B) = (18 - 2(q_A + q_B)) q_B - q_B$.
$\pi_B = 17q_B - 2q_A q_B - 2q_B^2$.
$\frac{\partial \pi_B}{\partial q_B} = 17 - 2q_A - 4q_B = 0$.
$q_B = \frac{17}{4} - \frac{1}{2}q_A$. (公司 B 的反應函數，與問題 10 相同)

2. 公司 A 的反應函數 (政府目標)
政府擁有 A 公司，其目標是最大化其自身生產者剩餘 $PS_A$ 和總體消費者剩餘 $CS$。
$PS_A = p \cdot q_A - C_A(q_A) = (18 - 2(q_A + q_B)) q_A - 2q_A = 16q_A - 2q_A^2 - 2q_A q_B$.
$CS = \frac{1}{2} q (p_{max} - p) = \frac{1}{2} (q_A + q_B) (18 - (18 - 2(q_A + q_B))) = (q_A + q_B)^2$.
政府目標函數 $W_A = PS_A + CS$.
$W_A = (16q_A - 2q_A^2 - 2q_A q_B) + (q_A + q_B)^2$.
$W_A = 16q_A - 2q_A^2 - 2q_A q_B + q_A^2 + 2q_A q_B + q_B^2$.
$W_A = 16q_A - q_A^2 + q_B^2$.

政府 A 選擇 $q_A$ 來最大化 $W_A$，假定 $q_B$ 固定。
$\frac{\partial W_A}{\partial q_A} = 16 - 2q_A = 0$.
$2q_A = 16$.
$q_A = 8$.

這是公司 A 的反應函數 $R_A(q_B) = 8$.
這表示，無論公司 B 生產多少，公司 A (政府) 都會選擇生產 8 單位。

3. 求解新的古諾均衡
我們有：
$q_A = 8$.
$q_B = \frac{17}{4} - \frac{1}{2}q_A$.

代入 $q_A = 8$：
$q_B = \frac{17}{4} - \frac{1}{2}(8) = \frac{17}{4} - 4 = \frac{17 - 16}{4} = \frac{1}{4} = 0.25$.

本題考驗壟斷市場的兩種不同情境下的比較，包括價格、消費者剩餘和社會總剩餘。

核心觀念：

• 壟斷 (Monopoly)：單一廠商控制整個市場。
• 價格設定者 (Price Setter)：壟斷者可以影響市場價格。
• 多市場壟斷 (Multi-market Monopoly)：一個壟斷者在多個市場或子市場進行銷售。
• 價格歧視 (Price Discrimination)：壟斷者對不同顧客或市場收取不同價格的能力。
• 帕累托效率 (Pareto Efficiency)：資源配置達到帕累托效率，意味著無法在不損害任何人的情況下改善任何人的福利。
• 消費者剩餘 (Consumer Surplus, CS)：消費者願意支付的最高價格與實際支付價格之間的差額。

解題步驟：
總需求曲線：$q = 120 - 4p$.
總價 $p$ 是兩段票價的總和。
營運成本為零。

Scenario I：兩個競爭性壟斷者
假設有兩個壟斷者，一個壟斷 Taichung 到 Hsinchu (M1)，另一個壟斷 Hsinchu 到 Taipei (M2)。
M1 設定票價 $p_1$，M2 設定票價 $p_2$.
總票價 $p = p_1 + p_2$.
乘客需要購買兩張票才能完成全程。
我們可以將此視為一個串聯的壟斷。
M1 面臨的總需求是 $q = 120 - 4(p_1 + p_2)$.
M2 面臨的總需求是 $q = 120 - 4(p_1 + p_2)$.
M1 的利潤 $\pi_1 = p_1 q - 0 = p_1 (120 - 4(p_1 + p_2))$.
M2 的利潤 $\pi_2 = p_2 q - 0 = p_2 (120 - 4(p_1 + p_2))$.

這是一個古諾競爭模型，但價格是決策變數。
M1 的反應函數 (對於 $p_1$)：
$\frac{\partial \pi_1}{\partial p_1} = (120 - 4(p_1 + p_2)) + p_1 (-4) = 0$.
$120 - 4p_1 - 4p_2 - 4p_1 = 0$.
$120 - 8p_1 - 4p_2 = 0$.
$8p_1 = 120 - 4p_2$.
$p_1 = 15 - \frac{1}{2}p_2$.

M2 的反應函數 (對於 $p_2$)：
$\frac{\partial \pi_2}{\partial p_2} = (120 - 4(p_1 + p_2)) + p_2 (-4) = 0$.
$120 - 4p_1 - 4p_2 - 4p_2 = 0$.
$120 - 4p_1 - 8p_2 = 0$.
$8p_2 = 120 - 4p_1$.
$p_2 = 15 - \frac{1}{2}p_1$.

解聯立方程組：
$p_1 = 15 - \frac{1}{2}(15 - \frac{1}{2}p_1) = 15 - 7.5 + \frac{1}{4}p_1$.
$p_1 - \frac{1}{4}p_1 = 7.5$.
$\frac{3}{4}p_1 = 7.5$.