111 年 國立臺北大學經濟學系碩士班《個體經濟學》

此題考驗消費者選擇理論中，如何比較不同定價方案下的預算線與無異曲線，以找出最適選擇。關鍵在於理解不同區間的邊際價格差異，以及如何繪製出在特定情況下，消費者會選擇 Plan 80 的圖形。

解題步驟：

1. 理解兩種方案的價格結構：

   • Plan 50：
     • 前 300 單位：每月 50 元。
     • 301-500 單位：每單位 0.5 元。
     • 501 單位以上：每單位 0.2 元。
   • Plan 80：
     • 前 600 單位：每月 80 元。
     • 601 單位以上：每單位 0.4 元。

2. 繪製預算線： 設每月所得為 $I = 600$。我們需要繪製這兩種方案下的預算線。由於價格結構是分段的，預算線會呈現階梯狀或轉折點。

   • Plan 50 的預算線：
     • 若消費 $Q \le 300$，則花費為 50 元，剩餘 $600-50 = 550$ 元可用於購買其他財貨（假設為財貨 Y）。此時，Y 的數量為 $550/P_Y$。
     • 若消費 $300 < Q \le 500$，則花費為 $50 + 0.5 \times (Q-300)$。
     • 若消費 $Q > 500$，則花費為 $50 + 0.5 \times 200 + 0.2 \times (Q-500) = 50 + 100 + 0.2 \times (Q-500) = 150 + 0.2 \times (Q-500)$。
     • 在消費者選擇的財貨為手機使用量 (Q) 和其他財貨 (Y) 的情況下，預算線的斜率會隨 Q 的增加而改變。
   • Plan 80 的預算線：
     • 若消費 $Q \le 600$，則花費為 80 元，剩餘 $600-80 = 520$ 元可用於購買其他財貨 Y。此時，Y 的數量為 $520/P_Y$。
     • 若消費 $Q > 600$，則花費為 $80 + 0.4 \times (Q-600)$。
     • 在消費者選擇的手機使用量 (Q) 和其他財貨 (Y) 的情況下，預算線的斜率也會隨 Q 的增加而改變。

3. 繪製無異曲線： 假設消費者的無異曲線是凸向原點的，且對兩種財貨（手機使用量 Q 和其他財貨 Y）都有偏好。

4. 找出消費者選擇 Plan 80 的情況：
   要讓消費者選擇 Plan 80，必須存在一個無異曲線，該無異曲線與 Plan 80 的預算線在某一點相切，且該點的效用高於任何與 Plan 50 預算線相切的點。

   考慮以下幾種可能性：

   • Plan 80 的總花費較低： 如果消費者對手機的使用量 Q 很大，Plan 80 的固定月費 80 元可能比 Plan 50 的總花費（尤其是在 300-500 單位區間）來得低。
   • Plan 80 的邊際價格較低： 如果消費者預期使用量會超過 600 單位，Plan 80 的邊際價格 0.4 元，相較於 Plan 50 在 300-500 單位間的 0.5 元，以及 500 單位以上的 0.2 元，這個比較需要仔細分析。

   繪圖說明：
   我們將繪製一個圖，橫軸為手機使用量 Q，縱軸為其他財貨 Y（代表花費在其他財貨上的金額）。

   • Plan 50 的預算線：
     • 從 (0, 550) 出發，到 (300, 550)。
     • 在 Q=300 時，花費 50 元，剩餘 550 元。
     • 從 Q=300 到 Q=500，每增加 1 單位 Q，Y 減少 0.5 元。斜率為 $-0.5/P_Y$。
     • 從 Q=500 開始，每增加 1 單位 Q，Y 減少 0.2 元。斜率為 $-0.2/P_Y$。
   • Plan 80 的預算線：
     • 從 (0, 520) 出發，到 (600, 520)。
     • 在 Q=600 時，花費 80 元，剩餘 520 元。
     • 若 Q > 600，每增加 1 單位 Q，Y 減少 0.4 元。斜率為 $-0.4/P_Y$。

   關鍵點：
   為了說明消費者選擇 Plan 80 的情況，我們需要找到一個無異曲線，它與 Plan 80 的預算線相切，且該切點的效用比 Plan 50 的任何可及點都高。

   一個可能的案例：
   假設消費者預期會使用大約 400-500 單位的手機。

   • Plan 50：花費 $50 + 0.5 \times (400-300) = 50 + 50 = 100$ 元。

核心觀念

本題考 弱顯示偏好公理（Weak Axiom of Revealed Preference, WARP）。

若消費者在價格向量 $p^A$ 下選擇消費組合 $x^A$，而另一組合 $x^B$ 當時也買得起，即

$$p^A\cdot x^B\leq p^A\cdot x^A,$$

則稱 $x^A$ 直接顯示偏好於 $x^B$，記為 $x^A R^D x^B$。

WARP 要求：對兩個不同的消費組合 $x^A\neq x^B$，不能同時出現

$$x^A R^D x^B \quad\text{且}\quad x^B R^D x^A.$$

也就是說，若消費者在選擇 $x^A$ 時買得起 $x^B$，後來又在選擇 $x^B$ 時買得起 $x^A$，便形成矛盾，違反 WARP。

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解題方法

逐一計算各次選擇下，其他消費組合的支出，判斷是否形成雙向顯示偏好。

設三次選擇分別為：

$$x^1=(17,8,5),\qquad x^2=(10,5,10),\qquad x^3=(12,1,20).$$

對應價格為：

$$p^1=(1,1,2),\qquad p^2=(1,p,1),\qquad p^3=(2,1,1).$$

第一次選擇：$x^1$

實際支出為

$$p^1\cdot x^1 =1(17)+1(8)+2(5) =35.$$

購買 $x^2$ 所需支出為

$$p^1\cdot x^2 =1(10)+1(5)+2(10) =35.$$

因此 $x^2$ 在第一次選擇時買得起，故

$$x^1 R^D x^2.$$

檢查反向關係：在第二次價格下購買 $x^1$ 的支出為

$$p^2\cdot x^1 =1(17)+p(8)+1(5) =22+8p.$$

第二次選擇 $x^2$ 的支出為

$$p^2\cdot x^2 =1(10)+p(5)+1(10) =20+5p.$$

若 $x^1$ 在第二次選擇時買得起，必須滿足

$$22+8p\leq 20+5p,$$

即

$$3p\leq -2.$$

但題目給定 $p$ 為正整數，不可能成立。因此不存在

$$x^2 R^D x^1.$$

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第二次與第三次選擇

在第二次價格下，$x^2$ 的支出為

$$p^2\cdot x^2=20+5p.$$

購買 $x^3$ 的支出為

$$p^2\cdot x^3 =1(12)+p(1)+1(20) =32+p.$$

因此 $x^3$ 在第二次選擇時買得起的條件為

核心觀念

本題考查：

• 生產函數的齊次性與規模報酬；
• 替代彈性的定義；
• 成本極小化下的條件要素需求；
• 完全替代生產函數與 Cobb-Douglas 生產函數的比較。

令

$$Q=f(L,K)=\sqrt{L+K}=(L+K)^{1/2}.$$

假設 $L,K\geq 0$，且廠商以最低成本生產既定產量 $Q$。

解題方法與推導

（a）驗證齊次函數的次數

若將所有投入同時乘以正數 $t$，則

$$f(tL,tK) =\sqrt{tL+tK} =\sqrt{t(L+K)} =t^{1/2}\sqrt{L+K}.$$

因此，

$$f(tL,tK)=t^{1/2}f(L,K).$$

所以此生產函數為 $1/2$ 次齊次函數，齊次次數為

$$\boxed{\nu=\frac12}.$$

由於 $\nu<1$，此生產函數具有規模報酬遞減。也就是說，投入增加 $t$ 倍時，產量只增加為原來的 $t^{1/2}$ 倍。

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（b）計算替代彈性

替代彈性通常定義為

$$\sigma = \frac{d\ln(K/L)} {d\ln(MRTS_{LK})},$$

其中

$$MRTS_{LK}=\frac{MP_L}{MP_K}.$$

先計算兩種投入的邊際產量：

$$MP_L = \frac{\partial Q}{\partial L} = \frac{1}{2\sqrt{L+K}},$$ $$MP_K = \frac{\partial Q}{\partial K} = \frac{1}{2\sqrt{L+K}}.$$

因此，

$$MRTS_{LK} = \frac{MP_L}{MP_K} =1.$$

邊際技術替代率與 $L/K$ 的比例無關，表示無論投入組合如何改變，等產量曲線的斜率都固定為 $-1$。將生產函數改寫為

$$Q=\sqrt{L+K} \quad\Longleftrightarrow\quad L+K=Q^2,$$

可知等產量曲線為直線：

$$K=Q^2-L.$$

直線型等產量曲線代表 $L$ 與 $K$ 為完全替代品。因此，其替代彈性為無限大：

$$\boxed{\sigma=\infty}.$$

嚴格而言，由於 $MRTS_{LK}=1$ 為常數，直接代入微分定義會出現分母為零；經濟學上的標準解讀是完全替代，因此令替代彈性為無限大。

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（c）推導 $L$ 的需求函數

廠商的成本為

$$C=wL+rK.$$

由生產條件

$$Q=\sqrt{L+K},$$

要生產既定產量 $Q$，必須滿足

$$L+K\geq Q^2.$$

由於 $w,r>0$，成本極小化時不會使用超過必要的投入，因此必有

$$L+K=Q^2.$$

成本極小化問題可寫為

$$\min_{L,K\geq 0} wL+rK \quad\text{subject to}\quad L+K=Q^2.$$

因為每增加一單位 $L$ 或 $K$，產量約束中所提供的有效投入量相同，廠商只需比較兩者價格：

• 若 $w<r$，投入 $L$ 較便宜，全部使用 $L$；
• 若 $w>r$，投入 $K$ 較便宜，完全不使用 $L$；
• 若 $w=r$，兩種投入價格相同，任何滿足 $L+K=Q^2$ 的組合皆可達成成本極小化。

因此，$L$ 的條件需求函數為

$$L^c(Q,w,r)= \begin{cases} Q^2, & w<r,\\[4pt] [0,Q^2], & w=r,\\[4pt] 0, & w>r. \end{cases}$$

其中 $w=r$ 時的 $[0,Q^2]$ 表示需求不唯一，只要

$$L\in[0,Q^2], \qquad K=Q^2-L$$

即可。

相應的成本函數為

$$C(Q,w,r)=Q^2\min\{w,r\}.$$

在 $w<r$ 時，$C=wQ^2$，由 Shephard 引理也可得到

$$L^c=\frac{\partial C}{\partial w}=Q^2.$$

在 $w>r$ 時，$C=rQ^2$，因此

這題主要考驗學生對完全競爭市場下，個別廠商與整體市場的短期供給曲線、生產者剩餘以及經濟利潤的理解。其中，廠商的短期供給曲線由其邊際成本曲線（在平均變動成本之上）決定，而市場供給曲線則是所有廠商供給曲線的水平加總。

(a) 個別廠商的生產者剩餘 (Producer Surplus of an individual firm)

生產者剩餘 (PS) 是指廠商願意接受的最低價格與實際市場價格之間的差額。在短期，廠商的供給曲線由其邊際成本 (MC) 曲線決定，且必須在平均變動成本 (AVC) 之上。

首先，我們需要找出廠商的邊際成本 (MC) 和平均變動成本 (AVC)。
總成本函數為 $STC(Q) = 96 + 2Q^2$。
其中，固定成本 (FC) = 96，變動成本 (VC) = $2Q^2$。
由於題目說明所有固定成本都是沉沒成本 (sunk costs)，這意味著在短期決策中，廠商不會考慮固定成本。

邊際成本 (MC) 是總成本對產量的微分：
$MC = \frac{dSTC}{dQ} = \frac{d(96 + 2Q^2)}{dQ} = 4Q$

平均變動成本 (AVC) 是變動成本除以產量：
$AVC = \frac{VC}{Q} = \frac{2Q^2}{Q} = 2Q$

在完全競爭市場中，廠商的短期供給曲線是其邊際成本曲線在平均變動成本之上。
我們需要找到 MC 與 AVC 的交點，以確定廠商的關廠點 (shutdown point)。
令 $MC = AVC$：
$4Q = 2Q$
$2Q = 0 \implies Q = 0$
這表示當產量大於 0 時，MC 始終大於 AVC ($4Q > 2Q$ for $Q>0$)。因此，廠商的短期供給曲線就是其邊際成本曲線 $P = MC = 4Q$。

接下來，我們需要找出市場均衡時的價格 (P) 和個別廠商的產量 (Q)。
市場需求函數為 $D(P) = 360 - 4P$。
由於有 80 家完全相同的競爭廠商，市場供給函數 (S) 是個別廠商供給函數的水平加總。
個別廠商的供給函數是 $P = 4Q_{firm}$，即 $Q_{firm} = \frac{P}{4}$。
市場供給函數為：
$S(P) = 80 \times Q_{firm} = 80 \times \frac{P}{4} = 20P$

市場均衡發生在市場供給等於市場需求時：
$S(P) = D(P)$
$20P = 360 - 4P$
$24P = 360$
$P = \frac{360}{24} = 15$
市場均衡價格為 $P = 15$。

個別廠商在市場均衡價格下的產量為：
$Q_{firm} = \frac{P}{4} = \frac{15}{4} = 3.75$

現在我們可以計算個別廠商的生產者剩餘。生產者剩餘是市場價格與廠商供給曲線（MC 曲線）之間的面積。由於廠商的供給曲線是線性函數 $P=4Q$，我們可以將其視為一個三角形的面積。生產者剩餘是從產量為 0 到廠商實際產量 $Q_{firm}$，在價格 P 和 MC 曲線之間的區域。
$PS_{firm} = \int_{0}^{Q_{firm}} (P - MC(Q)) dQ$
由於 $P=15$ 且 $MC(Q) = 4Q$，我們有：
$PS_{firm} = \int_{0}^{3.75} (15 - 4Q) dQ$
$PS_{firm} = \left[ 15Q - 2Q^2 \right]_{0}^{3.75}$
$PS_{firm} = 15(3.75) - 2(3.75)^2$
$PS_{firm} = 56.25 - 2(14.0625)$
$PS_{firm} = 56.25 - 28.125$
$PS_{firm} = 28.125$

或者，我們也可以將生產者剩餘視為一個三角形的面積。這個三角形的頂點是市場價格 P，底邊是從產量 0 到 $Q_{firm}$。三角形的面積為 $\frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}$。
在這個情況下，我們計算的是市場價格 P 和廠商供給曲線（MC 曲線）之間的差額。
生產者剩餘可以計算為：$(P \times Q_{firm}) - \int_{0}^{Q_{firm}} MC(Q) dQ$。
$\int_{0}^{Q_{firm}} MC(Q) dQ = \int_{0}^{3.75} 4Q dQ = [2Q^2]_{0}^{3.75} = 2(3.75)^2 = 2(14.0625) = 28.125$。
$P \times Q_{firm} = 15 \times 3.75 = 56.25$。
$PS_{firm} = 56.25 - 28.125 = 28.125$。

另一種計算方法是利用價格與邊際成本的差額。生產者剩餘是市場價格 P 與廠商供給曲線（MC）之間的面積。由於 MC 是線性的，我們可以將其視為一個三角形。
這個三角形的底是 $Q_{firm} = 3.75$。
這個三角形的高是市場價格 $P=15$ 減去當 $Q=0$ 時 MC 的值（即 0）。
然而，更精確的說法是，生產者剩餘是市場價格 P 與廠商供給曲線（MC）在 $Q=0$ 到 $Q_{firm}$ 之間的面積。
由於 MC 是 $4Q$，當 $Q=0$ 時，$MC=0$。
生產者剩餘是市場價格 P 與 MC 曲線之間的面積。
$PS_{firm} = \frac{1}{2} \times Q_{firm} \times (P - MC(0))$
$PS_{firm} = \frac{1}{2} \times 3.75 \times (15 - 0)$
$PS_{firm} = \frac{1}{2} \times 3.75 \times 15 = 0.5 \times 56.25 = 28.125$
這個計算方式是正確的，因為 MC 曲線從原點出發。

【答案】28.125

核心觀念

本題考查獨占廠商的利潤極大化、完全價格歧視，以及兩區塊訂價。

• 統一訂價時，廠商選擇使邊際收益 $MR$ 等於邊際成本 $MC$ 的產量。
• 第一級價格歧視下，廠商對每單位收取消費者的最高願付價格，因此產量增加到需求價格等於邊際成本的位置；廠商取得需求曲線與邊際成本曲線之間的剩餘。
• 兩區塊訂價時，第一區塊包含前 $Q_1$ 單位，第二區塊包含接續的 $Q_2$ 單位，總產量為 $Q_1+Q_2$。因此，區塊 1 的單位價格依 $Q_1$ 決定，區塊 2 的單位價格依總產量 $Q_1+Q_2$ 決定。

(a) 第一級價格歧視增加的生產者剩餘

需求反函數為 $P=28-0.5Q$。總成本為 $TC=24+1.5Q^2$，故 $MC=3Q$。固定成本已沉沒，不影響產量決策；比較兩種訂價方式時，固定成本也會相互抵銷。

先求統一訂價下的產量。線性需求的邊際收益為 $MR=28-Q$，令 $MR=MC$：

$$28-Q=3Q$$ $$Q_U=7,\qquad P_U=28-0.5(7)=24.5$$

統一訂價下的生產者剩餘，亦即扣除變動成本後的收益為：

$$PS_U=P_UQ_U-\int_0^{Q_U}MC(q)\,dq$$ $$PS_U=24.5(7)-\int_0^7 3q\,dq =171.5-73.5=98$$

第一級價格歧視下，廠商生產至需求價格等於邊際成本：

$$28-0.5Q=3Q$$ $$Q_D=8$$

此時生產者剩餘是需求曲線與邊際成本曲線之間的面積：

$$PS_D=\int_0^8\bigl[(28-0.5q)-3q\bigr]\,dq$$ $$PS_D=28(8)-1.75(8^2)=112$$

因此，第一級價格歧視比統一訂價多取得：

$$PS_D-PS_U=112-98=14$$

(b) 兩區塊訂價的利潤極大化

核心觀念

本題考查 Cournot 數量競爭、聯合利潤極大化的卡特爾，以及 Stackelberg 領導者—追隨者模型。

兩家廠商的市場總產量為 $Q=q_1+q_2$，市場價格由反需求函數 $P=50-Q$ 決定。廠商利潤為銷售收入減去成本；若邊際成本為 $MC_i$，則成本函數可由邊際成本積分得到。

Cournot 模型中，兩家廠商同時選擇產量，並各自將對手產量視為固定。Stackelberg 模型中，領導者先選產量，追隨者觀察領導者產量後再選擇產量，因此領導者須將追隨者的反應函數納入自己的決策。

(a) Cournot 均衡產量與價格

兩家廠商的邊際成本為 $MC_i=10+q_i$，因此成本函數為：

$$C_i(q_i)=\int_0^{q_i}(10+x)\,dx =10q_i+\frac{1}{2}q_i^2$$

廠商 $i$ 的利潤為：

$$\pi_i=q_i(50-q_i-q_j)-10q_i-\frac{1}{2}q_i^2$$

對自己的產量 $q_i$ 微分並令一階條件為零：

$$\frac{\partial \pi_i}{\partial q_i} =50-2q_i-q_j-10-q_i=0$$

整理得廠商 $i$ 的反應函數：

$$3q_i+q_j=40$$

兩家廠商成本相同，Cournot 均衡產量對稱，令 $q_1=q_2=q$：

$$4q=40 \quad\Rightarrow\quad q_1=q_2=10$$

市場總產量為 $Q=20$，價格為：

$$P=50-20=30$$

(b) 利潤極大化卡特爾的均衡價格

卡特爾選擇總產量 $Q$，使兩家廠商的合計利潤最大。由於兩家廠商成本函數相同且為凸函數，給定總產量時，成本最低的分配是平均分配，即 $q_1=q_2=Q/2$。

合計成本為：

$$C(Q) =2\left(10\frac{Q}{2} +\frac{1}{2}\left(\frac{Q}{2}\right)^2\right) =10Q+\frac{Q^2}{4}$$

卡特爾利潤為總收入減去合計成本：

$$\Pi(Q) =(50-Q)Q-10Q-\frac{Q^2}{4}$$

對總產量 $Q$ 微分並令一階條件為零：

$$\frac{d\Pi}{dQ} =50-2Q-10-\frac{Q}{2}=0$$

因此：

核心觀念

這題考價格下限造成的超額供給，以及生產者效率不同時，交易分配對生產者剩餘與無謂損失的影響。

供給曲線可視為各單位產品的邊際成本，需求曲線可視為各單位產品的邊際願付價格。總剩餘為願付價格高於邊際成本的部分；無謂損失則是價格下限實施後，相對於競爭均衡減少的總剩餘。

解題方法與計算

先求均衡與價格下限下的數量

競爭均衡時，供給量等於需求量：

$$10-Q=0.25Q$$ $$Q^*=8,\qquad P^*=2$$

價格下限為 $3，高於均衡價格，因此具有約束力。令 $P=3$：

$$Q^d=10-3=7$$ $$Q^s=\frac{3}{0.25}=12$$

市場需求量只有 7 百萬蒲式耳，供給量則為 12 百萬蒲式耳，因此實際交易量為 7 百萬蒲式耳。

(a) 超額供給

超額供給等於供給量減需求量：

$$Q^s-Q^d=12-7=5$$

超額供給為 5 百萬蒲式耳。

(b) 最有效率的生產者交易時之無謂損失

假設成交的 7 百萬蒲式耳由邊際成本最低的生產者供應，即供給曲線上的前 7 單位成交。原均衡總剩餘為：

$$TS^*=\int_0^8\big[(10-Q)-0.25Q\big]\,dQ =40$$

價格下限下，前 7 單位的總願付價格為：

$$\int_0^7(10-Q)\,dQ=45.5$$

其生產成本為：

$$\int_0^7 0.25Q\,dQ=6.125$$

所以價格下限下的總剩餘為 $45.5-6.125=39.375$，無謂損失為：

$$DWL=40-39.375=0.625$$

亦可直接計算均衡交易量 $8$ 與價格下限下交易量 $7$ 之間的三角形：

核心觀念

本題考的是風險趨避者的期望效用比較。決策者會比較「不投保時的期望效用」與「投保後的確定效用」；當投保效用較高時，便偏好投保。

解題方法

不投保時，未發生損失的機率為 $1-q$，所得為 $90{,}000$；發生損失的機率為 $q$，所得為 $40{,}000$。因此：

$$EU_{\text{不投保}} =(1-q)\sqrt{90{,}000}+q\sqrt{40{,}000} =300(1-q)+200q =300-100q$$

投保後，保費為 $11{,}600$，且保險會全額補償損失，因此不論是否發生損失，所得都為 $78{,}400$。投保效用為：