112 年 國立臺灣大學農藝研究所生物統計學組《統計學（B）》

核心觀念

本題考查：

1. 母體平均數與母體變異數的計算。
2. 隨機抽樣下的樣本平均數、樣本變異數。
3. 樣本平均數與樣本變異數作為母體參數估計量的無偏性。
4. 母體平均數的信賴區間。
5. 盒鬚圖的繪製與解讀。
6. 以圖形與統計特徵判斷常態分布假設是否合理。

設母體為

$$\{2,4,6,9,10,11,13,15,18\},$$

母體大小為 $N=9$。採不重複簡單隨機抽樣，每個樣本大小為 $n=3$。

為便於示範，取三個樣本如下：

$$\begin{aligned} \text{第1樣本}&=(2,10,15),\\ \text{第2樣本}&=(4,9,18),\\ \text{第3樣本}&=(6,11,13). \end{aligned}$$

這是一次可能的隨機抽樣結果；不同的隨機抽樣順序會得到不同的樣本統計量。

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母體參數

（e）母體平均值

$$\mu=\frac{2+4+6+9+10+11+13+15+18}{9} =\frac{88}{9} \approx 9.778.$$

（f）母體變方

先計算平方和：

$$\sum_{i=1}^{9}x_i^2 =4+16+36+81+100+121+169+225+324 =1076.$$

若將母體變異數定義為分母 $N$：

$$\sigma_N^2 =\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2 =\frac{1076}{9}-\left(\frac{88}{9}\right)^2 =\frac{1940}{81} \approx23.951.$$

在證明樣本變異數無偏性時，通常採用分母 $N-1$ 的有限母體變異數：

$$S^2 =\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2 =\frac{1940/9}{8} =\frac{485}{18} \approx26.944.$$

以下證明中，母體變異數採用 $S^2$ 定義。

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三個樣本的統計量

（a）抽取三個樣本

三個樣本為：

$$\begin{aligned} X_1&=(2,10,15),\\ X_2&=(4,9,18),\\ X_3&=(6,11,13). \end{aligned}$$

每個樣本均包含 $n=3$ 個觀測值。

（b）（c）各樣本平均值

第1樣本：

$$\bar X_1=\frac{2+10+15}{3}=9.$$

第2樣本：

$$\bar X_2=\frac{4+9+18}{3} =\frac{31}{3} \approx10.333.$$

第3樣本：

$$\bar X_3=\frac{6+11+13}{3}=10.$$

因此三個樣本平均值為：

$$\boxed{9,\quad 10.333,\quad 10}.$$

（d）各樣本變方

樣本變異數使用無偏估計式：

$$s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2.$$

第1樣本

$$\bar X_1=9,$$ $$s_1^2 =\frac{(2-9)^2+(10-9)^2+(15-9)^2}{2} =\frac{49+1+36}{2} =43.$$

第2樣本

$$\bar X_2=\frac{31}{3},$$ $$\begin{aligned} s_2^2 &=\frac{1}{2} \left[ \left(4-\frac{31}{3}\right)^2+ \left(9-\frac{31}{3}\right)^2+ \left(18-\frac{31}{3}\right)^2 \right]\\ &=\frac{1}{2} \left[ \frac{361}{9}+\frac{16}{9}+\frac{529}{9} \right]\\ &=\frac{1}{2}\cdot\frac{906}{9} =\frac{151}{3} \approx50.333. \end{aligned}$$

第3樣本

$$\bar X_3=10,$$ $$s_3^2 =\frac{(6-10)^2+(11-10)^2+(13-10)^2}{2} =\frac{16+1+9}{2} =13.$$

因此三個樣本變異數為：

$$\boxed{43,\quad 50.333,\quad 13}.$$

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以三個樣本估計母體參數

（e）母體平均值的估計

三個樣本平均值的平均為：

$$\hat\mu =\frac{\bar X_1+\bar X_2+\bar X_3}{3} =\frac{9+\frac{31}{3}+10}{3} =\frac{88}{9} \approx9.778.$$

因此：

$$\boxed{\hat\mu=9.778}.$$

本次抽樣恰好將九個觀測值各使用一次，因此三個樣本平均值的平均恰好等於母體平均值。

（f）母體變方的估計

以三個樣本變異數的平均估計母體變異數：

$$\hat S^2 =\frac{s_1^2+s_2^2+s_3^2}{3} =\frac{43+\frac{151}{3}+13}{3} =\frac{319}{9} \approx35.444.$$

因此：

$$\boxed{\hat S^2=35.444}.$$

要注意，本次估計值 $35.444$ 不必等於母體變異數 $26.944$。無偏的意思是「長期重複抽樣的平均值等於母體參數」，不是每一次抽樣結果都必然相等。

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樣本平均值的無偏性

（g）證明 $E(\bar X)=\mu$

設從母體中抽取 $n$ 個觀測值，樣本平均數為

$$\bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i.$$

利用期望值的線性性質：

$$E(\bar X) =E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right) =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i).$$

簡單隨機抽樣下，每個樣本觀測值對母體中各元素具有相同抽中機率，因此

$$E(X_i)=\mu.$$

所以：

$$E(\bar X) =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mu =\frac{n\mu}{n} =\mu.$$

故樣本平均數是母體平均數的無偏估計量：

$$\boxed{E(\bar X)=\mu}.$$

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樣本變異數的無偏性

（h）證明 $E(s^2)=S^2$

樣本變異數為：

$$s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2.$$

使用恆等式：

$$\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2 =\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2-n(\bar X-\mu)^2.$$

取期望值：

$$E\left[\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2\right] = E\left[\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2\right] -nE\left[(\bar X-\mu)^2\right].$$

在簡單隨機抽樣下，

$$E\left[\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2\right] =n\cdot\frac{1}{N}\sum_{j=1}^{N}(x_j-\mu)^2.$$

又因為

$$\operatorname{Var}(\bar X) =\frac{1-f}{n}S^2, \qquad f=\frac{n}{N},$$

可得

$$n\operatorname{Var}(\bar X) =\left(1-\frac{n}{N}\right)S^2.$$

整理後得到：

$$E\left[\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2\right] =(n-1)S^2.$$

因此：

$$E(s^2) = E\left[ \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2 \right] =S^2.$$

故：

$$\boxed{E(s^2)=S^2}.$$

這項結論成立的關鍵，是樣本變異數的分母必須使用 $n-1$，而不是 $n$。

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實際結果與理論結果的比較

（i）實際樣本統計量與母體參數

母體平均值：

$$\mu\approx9.778.$$

三個樣本平均值：

$$9,\quad10.333,\quad10.$$

三個樣本平均值的平均：

$$\hat\mu=9.778.$$

母體變異數：

$$S^2\approx26.944.$$

三個樣本變異數：

$$43,\quad50.333,\quad13.$$

此題主要在考察對機率論與統計學中幾個重要概念的理解、定義、功能與應用。

(u) 條件機率 (Conditional Probability):
定義：在事件 B 已經發生的條件下，事件 A 發生的機率，記為 $P(A|B)$。
公式：$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$，其中 $P(B) > 0$。
功能與應用：

1. 評估關聯性：判斷一個事件的發生對另一個事件發生機率的影響。例如，在已知某人有吸菸習慣 (B) 的情況下，他罹患肺癌 (A) 的機率 $P(A|B)$ 通常高於沒有吸菸習慣的人。
2. 決策分析：在不確定情況下，根據已獲得的部分資訊來更新對未來事件的機率判斷，進而做出更佳決策。
3. 貝氏定理 (Bayes' Theorem)：條件機率是貝氏定理的基礎，貝氏定理允許我們根據新的證據來更新先驗機率，得到後驗機率。
4. 機器學習：在分類問題中，例如樸素貝葉斯分類器，就大量使用條件機率。

(v) 二項分布 (Binomial Distribution):
定義：描述在 $n$ 次獨立的重複伯努利試驗 (Bernoulli trials) 中，成功次數 $k$ 的機率分佈。每次試驗只有兩種可能結果（成功或失敗），且每次試驗成功的機率 $p$ 是固定的。
機率質量函數 (PMF)：$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$，其中 $k = 0, 1, \ldots, n$。
期望值：$E(X) = np$
變方：$Var(X) = np(1-p)$
功能與應用：

1. 計數離散事件：用於計算在固定次數試驗中，某特定事件發生固定次數的機率。
2. 品質管制：例如，檢查一批產品，隨機抽取 $n$ 個樣本，每次抽取都是一個試驗，產品合格為成功，不合格為失敗。計算出 $n$ 個樣本中恰好有 $k$ 個不合格品的機率。
3. 醫學研究：例如，給予 $n$ 位病人某種藥物，其中 $p$ 是藥物有效的機率，計算恰好有 $k$ 位病人有效的機率。
4. 民意調查：在一個固定的樣本數下，估計某個選項的比例。

(w) 普瓦松分布 (Poisson Distribution):
定義：描述在一個固定的時間間隔或空間區域內，某事件發生次數的機率分佈。它適用於描述罕見事件在大量試驗中發生的情況，或者在連續時間/空間中發生的次數。
機率質量函數 (PMF)：$P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$，其中 $k = 0, 1, 2, \ldots$。$\lambda$ 是單位時間或空間內的平均發生次數。
期望值：$E(X) = \lambda$
變方：$Var(X) = \lambda$
功能與應用：

1. 計數稀有事件：用於計算在特定時間段內或空間範圍內，某事件發生特定次數的機率。
2. 電話客服中心：計算在一個小時內接到的電話數量。
3. 交通流量：計算在 5 分鐘內通過某個路口的車輛數量。
4. 保險業：計算在一年內發生的意外事故數量。
5. 生物學：計算在一個細胞區域內發現的突變數量。
6. 與二項分布的關係：當二項分布的 $n$ 很大而 $p$ 很小時，二項分布可以近似為普瓦松分布，其中 $\lambda \approx np$。

(x) 變異係數 (Coefficient of Variation, CV):
定義：變異係數是標準差與平均值之比，通常以百分比表示。它衡量的是數據的相對離散程度。
公式：$CV = \frac{\sigma}{\mu} \times 100\%$ (對於族群) 或 $CV = \frac{s}{\bar{x}} \times 100\%$ (對於樣本)。
功能與應用：

此題考驗對變異數分析 (Analysis of Variance, ANOVA) 的應用，用來檢定不同組別（pH 值）的平均值是否存在顯著差異。

核心觀念：
我們想檢定的是，酵素 E2023 的活性是否受到 pH 值影響。這相當於檢定不同 pH 值下的平均活性是否相等。
虛無假設 ($H_0$)：不同 pH 值下的酵素活性平均值都相等。
$\mu_4 = \mu_7 = \mu_{10}$
對立假設 ($H_1$)：至少有一個 pH 值下的酵素活性平均值與其他不同。

我們將使用單因子變異數分析 (One-way ANOVA) 來檢定這個假設。

數據整理：
pH 值 4: 活性值為 11, 12, 12。樣本平均值 $\bar{x}_4 = (11+12+12)/3 = 35/3 \approx 11.67$。樣本變方 $s_4^2 = \frac{(11-11.67)^2+(12-11.67)^2+(12-11.67)^2}{3-1} = \frac{(-0.67)^2+(0.33)^2+(0.33)^2}{2} = \frac{0.4489+0.1089+0.1089}{2} = \frac{0.6667}{2} \approx 0.333$。
pH 值 7: 活性值為 17, 24, 19。樣本平均值 $\bar{x}_7 = (17+24+19)/3 = 60/3 = 20$。樣本變方 $s_7^2 = \frac{(17-20)^2+(24-20)^2+(19-20)^2}{3-1} = \frac{(-3)^2+(4)^2+(-1)^2}{2} = \frac{9+16+1}{2} = \frac{26}{2} = 13$。
pH 值 10: 活性值為 1, 2, 2。樣本平均值 $\bar{x}_{10} = (1+2+2)/3 = 5/3 \approx 1.67$。樣本變方 $s_{10}^2 = \frac{(1-1.67)^2+(2-1.67)^2+(2-1.67)^2}{3-1} = \frac{(-0.67)^2+(0.33)^2+(0.33)^2}{2} = \frac{0.4489+0.1089+0.1089}{2} = \frac{0.6667}{2} \approx 0.333$。

總平均值 (Grand Mean, $\bar{\bar{x}}$):
所有數據的總和 = $(11+12+12) + (17+24+19) + (1+2+2) = 35 + 60 + 5 = 100$。
總觀測數 $N = 3 \times 3 = 9$。
總平均值 $\bar{\bar{x}} = 100 / 9 \approx 11.11$。

變異數分析步驟：

1. 計算總平方和 (Total Sum of Squares, SST):
   $SST = \sum_{i} \sum_{j} (x_{ij} - \bar{\bar{x}})^2$
   $SST = (11-11.11)^2 + (12-11.11)^2 + (12-11.11)^2 + (17-11.11)^2 + (24-11.11)^2 + (19-11.11)^2 + (1-11.11)^2 + (2-11.11)^2 + (2-11.11)^2$
   $SST = (-0.11)^2 + (0.89)^2 + (0.89)^2 + (5.89)^2 + (12.89)^2 + (7.89)^2 + (-10.11)^2 + (-9.11)^2 + (-9.11)^2$
   $SST = 0.0121 + 0.7921 + 0.7921 + 34.6921 + 166.1521 + 62.2521 + 102.2121 + 82.9821 + 82.9821$
   $SST = 532.87$ (近似值)

2. 計算組間平方和 (Between Groups Sum of Squares, SSB):
   $SSB = \sum_{i=1}^{k} n_i (\bar{x}_i - \bar{\bar{x}})^2$，其中 $k$ 是組數 (3)，$n_i$ 是每組樣本數 (皆為 3)。
   $SSB = 3 \times (\bar{x}_4 - \bar{\bar{x}})^2 + 3 \times (\bar{x}_7 - \bar{\bar{x}})^2 + 3 \times (\bar{x}_{10} - \bar{\bar{x}})^2$
   $SSB = 3 \times (11.67 - 11.11)^2 + 3 \times (20 - 11.11)^2 + 3 \times (1.67 - 11.11)^2$
   $SSB = 3 \times (0.56)^2 + 3 \times (8.89)^2 + 3 \times (-9.44)^2$

此題考驗對單樣本 $t$-檢定 (One-sample t-test) 的應用，用來檢定一個樣本的平均值是否與已知的族群平均值有顯著差異。

核心觀念：
我們想檢定的是，新的水稻品種 O2023 的平均產量是否與親本的平均產量 (110.5 kg/ha) 有顯著差異。
虛無假設 ($H_0$)：新品種 O2023 的平均產量等於親本的平均產量。
$\mu_{O2023} = 110.5$
對立假設 ($H_1$)：新品種 O2023 的平均產量不等於親本的平均產量。
$\mu_{O2023} \neq 110.5$
這是一個雙尾檢定 (two-tailed test)，因為我們關心的是「差異」，而不是特定方向的差異（例如是否「更高」或「更低」）。
檢定使用的是 $t$-檢定，因為我們只有樣本數據，而族群標準差未知。

數據整理：
新品種 O2023 的產量數據 (n=11)：
$94.1, 99.1, 115, 2.7, 114.8, 106.1, 113.6, 141.5, 129.3, 108.1, 103.3$
親本平均產量 (族群平均值，$\mu_0$) = $110.5$ kg/ha。
顯著水準 $\alpha = 0.05$。

步驟：

1. 計算樣本平均值 ($\bar{x}$):
   $\bar{x} = \frac{94.1 + 99.1 + 115 + 2.7 + 114.8 + 106.1 + 113.6 + 141.5 + 129.3 + 108.1 + 103.3}{11}$
   $\bar{x} = \frac{1227.6}{11} \approx 111.6$ kg/ha。

2. 計算樣本標準差 ($s$):
   首先計算樣本變方 ($s^2$)：
   $s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$
   為了計算方便，我們需要計算每一個數據點與樣本平均值 (111.6) 的差的平方和。
   $\sum (x_i - \bar{x})^2 =$
   $(94.1-111.6)^2 + (99.1-111.6)^2 + (115-111.6)^2 + (2.7-111.6)^2 + (114.8-111.6)^2 + (106.1-111.6)^2 + (113.6-111.6)^2 + (141.5-111.6)^2 + (129.3-111.6)^2 + (108.1-111.6)^2 + (103.3-111.6)^2$
   $= (-17.5)^2 + (-12.5)^2 + (3.4)^2 + (-108.9)^2 + (3.2)^2 + (-5.5)^2 + (2.0)^2 + (29.9)^2 + (17.7)^2 + (-3.5)^2 + (-8.3)^2$
   $= 306.25 + 156.25 + 11.56 + 11859.21 + 10.24 + 30.25 + 4.00 + 894.01 + 313.29 + 12.25 + 68.89$
   $\sum (x_i - \bar{x})^2 = 13666.5$
   樣本變方 $s^2 = \frac{13666.5}{11-1} = \frac{13666.5}{10} = 1366.65$。
   樣本標準差 $s = \sqrt{1366.65} \approx 36.97$ kg/ha。

   注意：數據中出現 2.7 kg/ha 這樣極端的值，它可能是一個離群值 (outlier)，對樣本平均值和標準差影響很大。我們暫時不移除它，按照題目數據進行計算。

3. 計算 $t$ 統計量:
   $t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$
   $t = \frac{111.6 - 110.5}{36.97 / \sqrt{11}}$
   $t = \frac{1.1}{36.97 / 3.317}$
   $t = \frac{1.1}{11.146}$
   $t \approx 0.0987$

本題核心觀念

• 以簡單線性迴歸估計自變數（肥料用量）與因變數（大豆產量）之線性關係。
• 迴歸斜率 $b=\dfrac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{Var}(X)}$，截距 $a=\bar Y-b\bar X$。
• 以迴歸方程式可作預測，再比較不同肥料的單位效益（每單位肥料產量）以判斷哪種較有效。

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(a) 兩種肥料分別做簡單線性迴歸

	化學肥料 (C)	非化學肥料 (M)
觀測個數 $n$	8	8
$\bar X$ (單位)	$20.5$	$209.5$
$\bar Y$ (kg/plot)	$\dfrac{268.86}{8}=33.6075$	$\dfrac{207.64}{8}=25.955$
$\operatorname{Var}(X)$	$45.43$	$4040$
$\operatorname{Cov}(X,Y)$	$91.29$	$757$

化學肥料

$b_{\text{C}}=\frac{91.29}{45.43}=2.009\;( \text{kg/單位 C})$

$$a_{\text{C}}=\bar Y-b_{\text{C}}\bar X =33.6075-2.009\times20.5 =-7.58\;( \text{kg})$$

$\boxed{\hat Y_{\text{C}}=-7.58+2.01X}$

非化學肥料

$b_{\text{M}}=\frac{757}{4040}=0.1875\;( \text{kg/單位 M})$

$$a_{\text{M}}=\bar Y-b_{\text{M}}\bar X =25.955-0.1875\times209.5 =-13.36\;( \text{kg})$$

$\boxed{\hat Y_{\text{M}}=-13.36+0.188X}$