112 年 國立臺灣大學農藝研究所生物統計學組《試驗設計學》

本題主要在測試考生對於試驗設計基本概念的掌握，包含樣本數的決定以及特定情境下的試驗設計安排。

(A) 樣本數計算

在完全逢機設計 (Completely Randomized Design, CRD) 中，決定樣本數 (sample size, $n$) 的主要目標是確保試驗有足夠的統計檢定力 (statistical power) 來偵測到有意義的差異，同時也要考慮資源的限制。樣本數的計算通常需要考量以下幾個關鍵參數：

1. 顯著水準 ($\alpha$): 這是第一類錯誤 (Type I error) 的機率，即當虛無假設 (null hypothesis) 為真時，卻拒絕虛無假設的機率。在農業試驗中，通常設定為 0.05 或 0.01。

   • 取得方式: 由研究者根據試驗的嚴謹度要求來設定。

2. 統計檢定力 ($1-\beta$): 這是第二類錯誤 (Type II error) 的機率 ($\beta$) 的補數，即當對立假設 (alternative hypothesis) 為真時，正確地拒絕虛無假設的機率。通常設定為 0.80 或 0.90。

   • 取得方式: 由研究者根據試驗對偵測到真實差異的期望來設定。

3. 效應值 (Effect size): 這是實驗處理之間預期或實際存在的差異大小。效應值越大，偵測到差異所需的樣本數就越少。在比較兩個平均數時，效應值常以標準化平均數差異 (standardized mean difference) 來表示，例如 Cohen's $d = \frac{|\mu_1 - \mu_2|}{\sigma}$，其中 $\mu_1, \mu_2$ 是兩個群體的平均數，$\sigma$ 是群體的標準差。

   • 取得方式:
     • 過去的研究: 參考類似試驗的結果，估計處理間的差異和變異數。
     • 領域知識: 根據對研究對象的了解，預估一個有實際意義的差異。
     • Pilot study: 進行一個小型預備性試驗，以估計平均數差異和標準差。
     • 最小有意義差異 (Minimum Significant Difference, MSD): 設定一個研究者認為具有實際意義的最小差異值。

4. 變異數 ($\sigma^2$): 這是實驗單位的變異程度，通常以標準差 ($\sigma$) 的平方來表示。變異數越大，偵測差異所需的樣本數就越多。

   • 取得方式: 同樣可透過過去的研究、領域知識或 pilot study 來估計。

樣本數計算公式 (以比較兩組平均數為例)

在 CRD 中，假設我們有 $k$ 個處理，每個處理有 $n$ 個重複 (總樣本數 $N = k \times n$)。若以比較兩組平均數為例，並假設各組變異數相等 (pooled variance)，則所需的樣本數 $n$ (每組) 可以透過以下公式大致估計：

$n = \frac{2 \sigma^2 (Z_{\alpha/2} + Z_{1-\beta})^2}{(\mu_1 - \mu_2)^2}$

其中：

• $n$: 每組的樣本數。
• $\sigma^2$: 估計的誤差變異數 (或各組的變異數)。
• $Z_{\alpha/2}$: 標準常態分配在顯著水準 $\alpha$ 下的臨界值 (例如 $\alpha=0.05$, $Z_{0.025} \approx 1.96$)。
• $Z_{1-\beta}$: 標準常態分配在檢定力 $1-\beta$ 下的臨界值 (例如 $1-\beta=0.8$, $\beta=0.2$, $Z_{0.8} \approx 0.84$)。
• $(\mu_1 - \mu_2)^2$: 預期或感興趣的兩組平均數差異的平方。

對於有多個處理的情況，通常會先計算一個基線的樣本數，然後根據試驗設計的具體模型 (如單因子變異數分析 ANOVA) 來進行調整。例如，對於單因子 ANOVA，總樣本數 $N$ 的估計常與檢定力、 $\alpha$、效應值 (通常是 $\eta^2$ 或 $f^2$) 和處理數有關。

總結樣本數計算步驟：

1. 確定研究目標與要比較的對象 (例如，兩個處理或多個處理)。
2. 設定顯著水準 ($\alpha$) 和期望的統計檢定力 ($1-\beta$)。
3. 估計或定義預期或有意義的處理間差異大小 (效應值)。
4. 估計試驗單位的變異數 ($\sigma^2$)。
5. 使用適當的統計公式或軟體，計算所需的樣本數。
6. 考慮資源限制，並在達到足夠檢定力的前提下，盡量優化樣本數。

(B) 試驗田土壤肥力不均質的品系安排

題幹描述了 100 個小區，但土壤肥力有南北向梯差。這表示單純的完全逢機設計 (CRD) 可能無法有效控制此空間變異，導致誤差變異數增大，降低檢定力。為了克服此問題，我們需要採用能夠控制此空間變異的試驗設計。由於土壤肥力有明顯的南北向梯差，這提示我們可以將試驗田劃分為具有相似土壤肥力的小區群組，並在這些群組內部進行隨機化。

本題主要測試考生對統計推論中比較平均數方法，特別是 t 檢定及其變體，以及多重比較方法的理解。

(A) 雙方分析 (Simultaneous Test) vs. 兩兩族群合併 t 檢定 (Pooled t-test)

這裡的「雙方分析」應是指同時檢定所有族群平均數是否相等的檢定，例如單因子變異數分析 (One-way ANOVA)，或者在多個族群比較時，若要同時檢定所有配對差異，則是指多重比較方法。而「兩兩族群合併 t 檢定」通常是指對兩個族群進行獨立樣本 t 檢定 (Independent Samples t-test)，其中「合併」指的是合併變異數的假設。

我們將「雙方分析」理解為：

1. 單因子 ANOVA (One-way ANOVA): 用於檢定三個或三個以上族群的平均數是否全部相等。
2. 多重比較方法: 如果 ANOVA 檢定結果顯著，則進一步使用多重比較方法來找出哪些配對族群的平均數有顯著差異。

而「兩兩族群合併 t 檢定」則專指：

• 獨立樣本 t 檢定 (Independent Samples t-test): 用於比較兩個族群的平均數是否有顯著差異。其中，「合併 t 檢定」通常指假設兩族群變異數相等時所使用的 t 檢定。

1. 獨立樣本 t 檢定 (比較兩族群平均數)

• 基本假設:
  • 獨立性: 來自兩個族群的樣本是獨立的。
  • 常態性 (Normality): 兩個族群的母體都服從常態分配。
  • 變異數同質性 (Homogeneity of variances): 兩個族群的母體變異數相等 ($\sigma_1^2 = \sigma_2^2$)。如果此假設不成立，則需使用 Welch's t-test。
• 適用情境: 當我們只想比較「兩個」族群的平均數時。

2. 單因子變異數分析 (ANOVA) (比較三個或以上族群平均數)

• 基本假設:
  • 獨立性: 所有樣本是獨立的。
  • 常態性 (Normality): 所有族群的母體都服從常態分配。
  • 變異數同質性 (Homogeneity of variances): 所有族群的母體變異數相等 ($\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \dots = \sigma_k^2$)。
• 適用情境: 當我們需要同時檢定「三個或三個以上」族群的平均數是否全部相等時。ANOVA 會給出一個全體檢定 (omnibus test)，告訴我們是否存在至少一對族群的平均數不同。

3. 多重比較方法 (Multiple Comparison Procedures)

• 基本假設: 通常繼承自 ANOVA 的假設 (獨立性、常態性、變異數同質性)。
• 適用情境: 當 ANOVA 檢定結果顯著 (拒絕所有平均數相等的虛無假設) 時，用來找出具體是哪些配對族群的平均數之間存在顯著差異。多重比較方法會進行多次配對比較，並對顯著水準進行調整，以控制整體第一類錯誤率 (Family-wise error rate, FWER)。常見方法有：
  • 費氏最小顯著差異法 (Fisher's LSD): 在 ANOVA 顯著後，對所有配對進行 t 檢定，不進行 FWER 調整，但若 ANOVA 不顯著，則不進行任何配對比較。
  • Tukey's HSD (Honestly Significant Difference): 適用於各組樣本數相等時，控制 FWER。
  • Bonferroni 校正: 對每個配對檢定都降低顯著水準 ($\alpha/m$，其中 $m$ 是配對數)，保守性較高。
  • Scheffé's method: 最保守，適用於所有可能的線性組合比較。
  • Duncan's Multiple Range Test (DMRT): 較 Tukey's HSD 寬鬆。

「雙方分析」與「兩兩族群合併 t 檢定」的比較與決策

• 情境一：只有兩個族群

  • 此時，「雙方分析」就是直接進行獨立樣本 t 檢定。
  • 「兩兩族群合併 t 檢定」也是獨立樣本 t 檢定（假設變異數相等）。
  • 結論：兩者是相同的。

• 情境二：三個或以上族群

  • 「雙方分析」: 通常指先進行 ANOVA，若 ANOVA 顯著，再進行多重比較。
  • 「兩兩族群合併 t 檢定」: 如果直接對所有配對族群進行獨立樣本 t 檢定，而不經過 ANOVA 作為初步篩選，也不進行多重比較後的 FWER 調整，這將會顯著提高第一類錯誤率。例如，若有 3 個族群，共有 3 個配對。設定 $\alpha=0.05$ 的話，若每次檢定獨立，則至少有一個錯誤的機率約為 $1 - (1-0.05)^3 \approx 0.143$，遠高於 0.05。

• 決策與矛盾處理:

  • 若「雙方分析」(ANOVA + 多重比較) 與「兩兩族群合併 t 檢定」(直接配對 t 檢定) 結論矛盾:
    • 情況 1: ANOVA 顯著，但所有配對 t 檢定均不顯著。
      這不太可能發生，因為 ANOVA 顯著意味著至少有一個平均數不同，而多重比較應該能找出這個差異。如果出現此情況，可能需要檢查計算或假設。
    • 情況 2: ANOVA 不顯著，但某個配對 t 檢定顯著。
      這是常見的矛盾情況。ANOVA 檢定所有族群平均數是否相等 (虛無假設 $H_0: \mu_1 = \mu_2 = \dots = \mu_k$)，它是一個全體檢定。若 ANOVA 不顯著，表示沒有足夠證據拒絕所有平均數相等的假設，即使某個配對 t 檢定顯著，這個顯著性也可能是由多次檢定累積的第一類錯誤所致，或者是一個假陽性。
      決策: 應以 ANOVA 的結果為準。如果 ANOVA 不顯著，則應接受所有族群平均數相等的結論，忽略單獨的配對 t 檢定顯著結果。
    • 情況 3: ANOVA 顯著，某個配對 t 檢定顯著，但多重比較結果不顯著。
      這表示單獨的配對 t 檢定可能捕捉到了真實差異，但由於進行了多次比較，統計方法 (如 Bonferroni 或 Tukey) 為了控制整體錯誤率，變得更為嚴格，導致該差異在校正後不再顯著。
      決策: 應以多重比較方法 (如 Tukey, Bonferroni) 的結果為準，因為它們是專門為控制多次比較時的錯誤率而設計的。如果多重比較不顯著，則應接受該配對差異不顯著的結論。

總結決策原則:

1. 比較兩個族群: 直接使用獨立樣本 t 檢定。
2. 比較三個或以上族群:
   • 首選: 先進行 ANOVA。若 ANOVA 顯著，再進行適當的多重比較方法 (如 Tukey, LSD 等，取決於研究目的和樣本數情況)。
   • 避免: 直接對所有配對族群進行獨立樣本 t 檢定，而不進行 ANOVA 或多重比較調整，因為這會顯著增加第一類錯誤率。
   • 處理矛盾: 若 ANOVA 與配對 t 檢定結果矛盾，以 ANOVA 為主。若 ANOVA 顯著但多重比較不顯著，以多重比較結果為主。

核心觀念

設有 $v$ 個處理、$b$ 個區集，每個區集包含 $k$ 個處理。因每個區集未包含全部處理，所以這是不完全區集設計。判斷本題性質時，先列出每個區集中的處理，再檢查以下三項：

• 連通（connected）：把處理視為頂點；若兩處理曾出現在同一區集，就在兩頂點間連線。若此圖連通，任意兩處理都能透過一連串共同出現的處理連起來，便稱設計連通。此時即使兩處理未直接同區集，其處理差異仍可在區集效應調整後估計。
• 平衡（balanced）：每一對不同處理共同出現在區集中的次數都相同，記為 $\lambda$。這個共同出現次數稱為「處理對的重複數」或「共現數」。
• 可分解（resolvable）：可將所有區集分成若干組，每組都是一個完整重複（replicate）；在每組中，每個處理恰好出現一次。若每區集大小都是 $k$，每組須包含 $v/k$ 個區集，因此 $k$ 必須整除 $v$。可分解設計中，各處理的出現次數也必須相同。

平衡設計若每區集大小皆為 $k$，且每個處理出現 $r$ 次，則滿足關係式：

$$r(k-1)=\lambda(v-1)$$

解題方法

對每個設計，先把每一欄讀成一個區集，再做三項檢查：

1. 連通性：看是否能沿著共同出現的處理，從任一處理連到其他處理。
2. 平衡性：數每一對處理的共現次數；只要有兩對的次數不同，就不平衡。
3. 可分解性：看能否把區集分組，使每組中每個處理恰好出現一次；也可先檢查 $v$ 是否能被 $k$ 整除，以及各處理的出現次數是否相同。

各設計判斷

Design 1

區集為：

$$B_1=\{1,2\},\quad B_2=\{1,3\},\quad B_3=\{1,4\}$$

• 連通：處理 $1$ 分別與 $2、3、4$ 同區集，因此所有處理都能經由 $1$ 連起來，設計連通。
• 平衡：處理對 $(1,2)、(1,3)、(1,4)$ 各共同出現一次；但 $(2,3)、(2,4)、(3,4)$ 都沒有共同出現，故共現次數不相同，設計不平衡。
• 可分解：處理 $1$ 出現三次，處理 $2、3、4$ 各出現一次，各處理的重複數不同，無法組成每組都涵蓋全部處理的完整重複，故不可分解。

Design 2

區集為：

$$\begin{aligned} B_1&=\{1,2,3\}, & B_2&=\{4,5,6\}, & B_3&=\{7,8,9\},\\ B_4&=\{1,4,7\}, & B_5&=\{2,5,8\}, & B_6&=\{3,6,9\} \end{aligned}$$

• 連通：前三個區集分別連起 $\{1,2,3\}$、$\{4,5,6\}$、$\{7,8,9\}$；後三個區集又把這三組連接起來。例如，$1$ 與 $4、7$ 同區集，而 $4$ 又與 $5、6$ 同區集。因此所有處理都互相連通。

核心觀念

本題的核心在於**多因子裂區設計（Split-Plot Design with Factorial Main Plot Treatments）的模式建構、變異數分析（ANOVA）自由度分割，以及現代試驗設計學理論中三種基本結構（Three Structures of Experimental Design）**的釐清。

1. 裂區設計的本質：屬於受限制逢機化（Restricted Randomization）的階層性設計，試驗包含兩個不同大小的試驗單元（大區 Whole Plot 與副區 Sub-plot），並對應兩個不同層級的逢機誤差：
   • 大區誤差（Error A）：用於檢定大區因子效應（種植密度 $A$、施氮量 $B$ 及其交互作用 $A \times B$）。
   • 副區誤差（Error B）：用於檢定副區因子效應（品種 $C$）以及所有涉及副區因子的交互作用（$A \times C$、$B \times C$、$A \times B \times C$）。
2. 試驗設計的三種結構（依據 Nelder 及 Bailey 的試驗設計架構）：
   • 處理結構（Treatment Structure）
   • 單元結構／設計結構（Design/Unit Structure）
   • 逢機化結構（Randomization Structure）

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解題方法

(A) 統計線型模式與 ANOVA 表

1. 因子設定與代號

• 區集因子（Block）：$r = 3$（$k = 1, 2, \dots, r$）
• 大區因子 A（種植密度）：$a = 2$（$i = 1, 2, \dots, a$），固定效應
• 大區因子 B（氮肥施用量）：$b = 3$（$j = 1, 2, \dots, b$），固定效應
• 副區因子 C（水稻品種）：$c = 3$（$l = 1, 2, \dots, c$），固定效應
• 總觀測值個數：$N = r \times a \times b \times c = 3 \times 2 \times 3 \times 3 = 54$

2. 統計線型模式（Statistical Linear Model）

$$Y_{ijkl} = \mu + \rho_k + \alpha_i + \beta_j + (\alpha\beta)_{ij} + \epsilon_{(ijk)}^{(a)} + \gamma_l + (\alpha\gamma)_{il} + (\beta\gamma)_{jl} + (\alpha\beta\gamma)_{ijl} + \epsilon_{ijkl}^{(b)}$$

其中各項參數定義如下：

• $Y_{ijkl}$：第 $k$ 區集中，配置第 $i$ 種植密度、第 $j$ 施氮量及第 $l$ 品種的試驗單元產量觀測值。
• $\mu$：總體平均數（Grand mean）。
• $\rho_k$：第 $k$ 區集效應（Block effect），假設 $\rho_k \sim \text{i.i.d. } N(0, \sigma_\rho^2)$（若視為隨機）或滿足 $\sum_{k=1}^r \rho_k = 0$（若視為固定）。
• $\alpha_i$：種植密度 $A$ 之主效應（Main effect），滿足 $\sum_{i=1}^a \alpha_i = 0$。
• $\beta_j$：施氮量 $B$ 之主效應，滿足 $\sum_{j=1}^b \beta_j = 0$。
• $(\alpha\beta)_{ij}$：$A \times B$ 交互作用效應，滿足 $\sum_{i=1}^a (\alpha\beta)_{ij} = \sum_{j=1}^b (\alpha\beta)_{ij} = 0$。
• $\epsilon_{(ijk)}^{(a)}$：大區逢機誤差（Main-plot error 或 Error A），為區集與大區處理組合的交互作用（即 $R \times AB$），滿足 $\epsilon_{(ijk)}^{(a)} \sim \text{i.i.d. } N(0, \sigma_a^2)$。
• $\gamma_l$：品種 $C$ 之主效應，滿足 $\sum_{l=1}^c \gamma_l = 0$。
• $(\alpha\gamma)_{il}$：$A \times C$ 交互作用效應，滿足 $\sum_{i=1}^a (\alpha\gamma)_{il} = \sum_{l=1}^c (\alpha\gamma)_{il} = 0$。
• $(\beta\gamma)_{jl}$：$B \times C$ 交互作用效應，滿足 $\sum_{j=1}^b (\beta\gamma)_{jl} = \sum_{l=1}^c (\beta\gamma)_{jl} = 0$。
• $(\alpha\beta\gamma)_{ijl}$：$A \times B \times C$ 三向交互作用效應，滿足在任一指標加總皆為 0。
• $\epsilon_{ijkl}^{(b)}$：副區逢機誤差（Sub-plot error 或 Error B），滿足 $\epsilon_{ijkl}^{(b)} \sim \text{i.i.d. } N(0, \sigma_b^2)$。
• 假設 $\epsilon_{(ijk)}^{(a)}$ 與 $\epsilon_{ijkl}^{(b)}$ 彼此獨立。

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3. 變異數分析表（ANOVA Table）之自由度（DF）推導

• 總自由度（Total DF）：$rabc - 1 = 54 - 1 = 53$。
• 大區部分（Main-plot part）：大區總單元數為 $rab = 18$，大區總自由度為 $rab - 1 = 17$。
  • 區集（Block）：$r - 1 = 3 - 1 = 2$
  • 種植密度（A）：$a - 1 = 2 - 1 = 1$
  • 施氮量（B）：$b - 1 = 3 - 1 = 2$
  • $A \times B$ 交互作用：$(a - 1)(b - 1) = 1 \times 2 = 2$
  • 大區誤差（Error A）：$(r - 1)(ab - 1) = (3 - 1)(2 \times 3 - 1) = 2 \times 5 = 10$
• 副區部分（Sub-plot part）：副區自由度總和為 $rab(c - 1) = 18 \times 2 = 36$。
  • 品種（C）：$c - 1 = 3 - 1 = 2$
  • $A \times C$ 交互作用：$(a - 1)(c - 1) = 1 \times 2 = 2$
  • $B \times C$ 交互作用：$(b - 1)(c - 1) = 2 \times 2 = 4$
  • $A \times B \times C$ 交互作用：$(a - 1)(b - 1)(c - 1) = 1 \times 2 \times 2 = 4$
  • 副區誤差（Error B）：$ab(r - 1)(c - 1) = 2 \times 3 \times (3 - 1) \times (3 - 1) = 24$

變異數分析表：

階層 (Strata)	變異來源 (SOV)	自由度公式	自由度 (DF)	$F$ 檢定之分母均方
大區 (Main-plot)	區集 (Block, R)	$r - 1$	2	$\text{MS}_{\text{Error(a)}}$
	種植密度 (A)	$a - 1$	1	$\text{MS}_{\text{Error(a)}}$
	施氮量 (B)	$b - 1$	2	$\text{MS}_{\text{Error(a)}}$