109 年 國立臺灣大學農藝系暨研究所生物統計甲組《試驗設計學》

本題主要在考驗試驗設計中如何處理共變數(covariate)以排除其對試驗結果的干擾。

核心觀念：利用共變數分析(Analysis of Covariance, ANCOVA)來控制量化變數(厚度)對因變數(薄膜強度)的影響。

解題步驟：

1. 試驗單位 (Experimental Unit)：
   薄膜樣品本身。每一個獨立製作的薄膜樣品都是一個試驗單位。

2. 應紀錄的數據 (Data to be Recorded)：

   • 因變數 (Dependent Variable)：薄膜強度 (Film strength)。這是我們主要想要比較的指標。
   • 自變數/因子 (Independent Variable/Factor)：澱粉種類 (Type of starch)。這是我們想要比較的處理因子。
   • 共變數 (Covariate)：薄膜厚度 (Film thickness)。這是我們認為會影響薄膜強度的潛在因子，且其數值是可量測的。

3. 排除薄膜厚度影響的原理 (Principle of Eliminating the Influence of Film Thickness)：
   由於薄膜厚度已知會影響薄膜強度，但我們又希望比較的是不同澱粉種類對薄膜強度的影響，而不受厚度變異的干擾。此時，我們採用共變數分析 (ANCOVA) 的方法。
   ANCOVA 的基本原理是，在分析處理效應 (澱粉種類) 對因變數 (薄膜強度) 的影響之前，先利用統計模型，將共變數 (薄膜厚度) 的影響從因變數中「移除」或「調整」掉，得到一個「調整後」的薄膜強度值 (adjusted film strength)。然後，再對這些調整後的薄膜強度值進行分析，比較不同澱粉種類的差異。
   簡單來說，就是將薄膜強度對薄膜厚度的迴歸關係計算出來，然後將薄膜強度值「標準化」到一個共同的平均厚度上，再進行比較。這樣，比較到的就是「在相同厚度下」，不同澱粉種類的薄膜強度差異。

4. 試驗設計與隨機化 (Experimental Design and Randomization)：

本題考驗對試驗設計三大原則中「隨機化」與「區集」的理解及其排除干擾的機制。

核心觀念：隨機化處理系統性偏差，區集處理已知變異源。

1. 隨機 (Randomization)

• 作用：隨機化是將試驗處理 (treatments) 隨機分配到試驗單位 (experimental units) 的過程。它的主要目的是排除系統性偏差 (systematic bias)。
• 如何排除干擾：
  • 避免人為偏誤：防止研究者無意間或有意地將某些處理分配到較有利或較不利的試驗單位上。
  • 平均化未預期變異：試驗過程中可能存在許多未預期、未知的變異源 (例如土壤肥力不均、溫度隨時間變化、操作者的細微差異等)。隨機化能讓這些未預期變異源對各個處理的影響趨於平均。也就是說，雖然無法預測或控制這些變異源，但隨機化確保了這些變異源對所有處理的影響是機會均等的，不會系統性地偏向某個處理。
  • 使誤差項獨立且同質：隨機化的應用有助於確保殘差 (誤差) 項是獨立且同質的，這是許多統計檢定 (如 ANOVA) 的基本假設。
  • 保證統計推論的有效性：嚴格的隨機化是進行統計推論 (如顯著性檢定、信賴區間) 的基礎。

2. 區集 (Blocking)

本題主要考驗對統計模型中 Cell Means Model 與 Treatment Effects Model 的理解，以及如何透過最小平方法 (Least Squares Method) 推導參數估計值。

核心觀念：

1. Cell Means Model：直接將每個 cell (處理與重複的組合) 的平均值視為參數。
2. Treatment Effects Model：將總體平均值 $\mu$ 和處理效應 $\tau_i$ 作為參數，假設處理效應是可加的 (additive)。
3. 最小平方法 (Least Squares Method)：透過最小化殘差平方和來估計模型參數。

模型設定：

• CRD 設計， $a$ 個處理，每個處理有 $n$ 個重複。
• 觀測值：$y_{ij}$，其中 $i=1, \dots, a$ (處理)，$j=1, \dots, n$ (重複)。
• Cell Means Model：$y_{ij} = \mu_{i} + \epsilon_{ij}$
  • $\mu_i$：第 $i$ 個處理的平均值 (cell mean)。
  • $\epsilon_{ij}$：誤差項，$E(\epsilon_{ij})=0$, $Var(\epsilon_{ij})=\sigma^2$。
• Treatment Effects Model：$y_{ij} = \mu + \tau_i + \epsilon_{ij}$
  • $\mu$：總平均 (overall mean)。
  • $\tau_i$：第 $i$ 個處理的效應 (treatment effect)。
  • $\epsilon_{ij}$：誤差項，$E(\epsilon_{ij})=0$, $Var(\epsilon_{ij})=\sigma^2$。
  • 通常對處理效應有約束條件，例如 $\sum_{i=1}^a \tau_i = 0$ (或 $\tau_a=0$ 等效約束)。

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(1) 最小平方法估計值推導

a. Cell Means Model：估計 $\mu_i$

Cell Means Model 為 $y_{ij} = \mu_i + \epsilon_{ij}$。
我們希望最小化殘差平方和 $S_1 = \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^n \epsilon_{ij}^2 = \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^n (y_{ij} - \mu_i)^2$。

對 $S_1$ 分別對每個 $\mu_i$ 求偏微分並令其等於零：
$\frac{\partial S_1}{\partial \mu_k} = \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^n 2(y_{ij} - \mu_i) \frac{\partial \mu_i}{\partial \mu_k} = 0$

這裡 $\frac{\partial \mu_i}{\partial \mu_k}$ 僅在 $i=k$ 時為 1，否則為 0。
所以，對於任一特定的 $\mu_k$ (其中 $k$ 是 $1, \dots, a$ 之一)：
$\sum_{j=1}^n 2(y_{kj} - \mu_k) \times 1 = 0$
$2 \sum_{j=1}^n (y_{kj} - \mu_k) = 0$
$\sum_{j=1}^n y_{kj} - \sum_{j=1}^n \mu_k = 0$
$\sum_{j=1}^n y_{kj} - n \mu_k = 0$
$n \mu_k = \sum_{j=1}^n y_{kj}$
$\hat{\mu}_k = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n y_{kj}$

這個結果表明，第 $k$ 個處理的 cell mean 估計值 $\hat{\mu}_k$ 就是該處理所有觀測值的樣本平均值。
$\hat{\mu}_i = \bar{y}_{i.} = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n y_{ij}$

b. Treatment Effects Model：估計 $\mu$ 和 $\tau_i$

Treatment Effects Model 為 $y_{ij} = \mu + \tau_i + \epsilon_{ij}$，且約束條件為 $\sum_{i=1}^a \tau_i = 0$。
我們希望最小化殘差平方和 $S_2 = \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^n \epsilon_{ij}^2 = \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^n (y_{ij} - \mu - \tau_i)^2$。

對 $S_2$ 分別對 $\mu$ 和 $\tau_k$ (任一 $k=1, \dots, a$) 求偏微分並令其等於零：

對 $\mu$ 求偏微分：
$\frac{\partial S_2}{\partial \mu} = \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^n 2(y_{ij} - \mu - \tau_i) \frac{\partial}{\partial \mu}(\mu + \tau_i) = 0$
$\sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^n 2(y_{ij} - \mu - \tau_i) \times 1 = 0$
$\sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^n (y_{ij} - \mu - \tau_i) = 0$
$\sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^n y_{ij} - \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^n \mu - \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^n \tau_i = 0$
$T_{..} - a n \mu - n \sum_{i=1}^a \tau_i = 0$
其中 $T_{..} = \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^n y_{ij}$ (總和)。
由於約束條件 $\sum_{i=1}^a \tau_i = 0$，上式簡化為：
$T_{..} - a n \mu = 0$
$\hat{\mu} = \frac{T_{..}}{an} = \frac{1}{an} \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^n y_{ij} = \bar{y}_{..}$
總平均的估計值 $\hat{\mu}$ 是所有觀測值的樣本總平均。

對 $\tau_k$ 求偏微分 (假設 $k$ 是 $1, \dots, a$ 之一)：
$\frac{\partial S_2}{\partial \tau_k} = \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^n 2(y_{ij} - \mu - \tau_i) \frac{\partial}{\partial \tau_k}(\mu + \tau_i) = 0$
這裡 $\frac{\partial}{\partial \tau_k}(\mu + \tau_i)$ 僅在 $i=k$ 時為 1，否則為 0。
所以：
$\sum_{j=1}^n 2(y_{kj} - \mu - \tau_k) \times 1 = 0$
$\sum_{j=1}^n (y_{kj} - \mu - \tau_k) = 0$
$\sum_{j=1}^n y_{kj} - \sum_{j=1}^n \mu - \sum_{j=1}^n \tau_k = 0$
$T_{k.} - n \mu - n \tau_k = 0$
其中 $T_{k.} = \sum_{j=1}^n y_{kj}$ (第 $k$ 個處理的總和)。
將 $\hat{\mu} = \bar{y}_{..}$ 代入：
$T_{k.} - n \bar{y}_{..} - n \tau_k = 0$
$n \tau_k = T_{k.} - n \bar{y}_{..}$
$\hat{\tau}_k = \frac{T_{k.}}{n} - \bar{y}_{..} = \bar{y}_{k.} - \bar{y}_{..}$
其中 $\bar{y}_{k.} = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n y_{kj}$ 是第 $k$ 個處理的樣本平均值。

這個結果表明，第 $k$ 個處理效應的估計值 $\hat{\tau}_k$ 是該處理的樣本平均值與所有樣本總平均之間的差異。

注意：這裡我們估計了 $\mu$ 和 $\tau_1, \dots, \tau_a$。如果我們嚴格遵守約束 $\sum_{i=1}^a \tau_i = 0$ 來進行推導，例如用拉格朗日乘數法，或者先用一個參數 (如 $\tau_a$) 表示另一個參數 (如 $\tau_a = -\sum_{i=1}^{a-1} \tau_i$)，則可以得到 $a$ 個獨立的參數估計。

核心觀念

BIBD（平衡不完全區集設計）具有下列參數：

• $v$：處理數
• $b$：區集數
• $k$：每一區集所含的處理數
• $r$：每一處理出現於幾個區集
• $\lambda$：任意兩個不同處理同時出現於幾個區集

BIBD 必須滿足：

1. 每一區集大小相同，皆為 $k$。
2. 每一處理出現次數相同，皆為 $r$。
3. 任意兩個不同處理同時出現次數相同，皆為 $\lambda$。

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(1) BIBD 存在的兩條必要條件

第一條：處理總出現次數相等

所有區集一共包含 $bk$ 個處理位置；另一方面，每個處理出現 $r$ 次，共有 $v$ 個處理，因此也有 $vr$ 個處理位置。

所以必須滿足

$$bk=vr$$

因此，

$$r=\frac{bk}{v}$$

必須為整數。

這是第一個必要條件。例如，若 $bk$ 不能被 $v$ 整除，就不可能讓每個處理具有相同的重複次數。

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第二條：處理對的總共現次數相等

固定考慮某一處理，例如處理 $i$。

處理 $i$ 出現於 $r$ 個區集，而每次出現時，該區集還包含另外 $k-1$ 個處理。因此，處理 $i$ 與其他處理共同出現的總次數為

$$r(k-1)$$

另一方面，處理 $i$ 必須分別和其餘 $v-1$ 個處理各共同出現 $\lambda$ 次，所以總次數為

$$\lambda(v-1)$$

因此必須滿足

$$r(k-1)=\lambda(v-1)$$

亦即

$$\lambda=\frac{r(k-1)}{v-1}$$

必須為整數。

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兩條必要條件的意義

BIBD 的兩條基本參數關係為

$$bk=vr$$

以及

$$r(k-1)=\lambda(v-1)$$

這兩條是「必要條件」，但不是充分條件。即使某組參數能算出整數的 $r$ 與 $\lambda$，實際排列區集時仍必須檢查：

• 每一處理是否真的出現 $r$ 次；
• 每一對處理是否真的共同出現 $\lambda$ 次。

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(2) 各設計的判斷方法

判斷每一個設計是否為 BIBD，依序檢查：

1. 每個區集是否含有相同數目的處理；
2. 每個處理的出現次數是否相同；
3. 任意兩個處理的共同出現次數是否相同。

本題各設計的參數與檢查結果如下。

設計	參數	必要條件或平衡性檢查	判斷
Design 1	$v=4,\ b=5,\ k=2$	$bk=10$，但 $10/4$ 不是整數，無法得到整數 $r$	不是 BIBD
Design 2	$v=9,\ b=12,\ k=3$	雖有 $r=4$、$\lambda=1$，但實際處理對的共現次數不一致	不是 BIBD
Design 3	$v=7,\ b=7,\ k=4$	雖有 $r=4$、$\lambda=2$，但實際處理對的共現次數不一致	不是 BIBD
Design 4	$v=4,\ b=5,\ k=2$	$bk=10$，但 $10/4$ 不是整數	不是 BIBD
Design 5	$v=9,\ b=12,\ k=3$	$r=4$、$\lambda=1$，且每個處理出現 4 次、每對處理共同出現 1 次	是 BIBD
Design 6	$v=7,\ b=7,\ k=4$	$r=4$、$\lambda=2$，且每個處理出現 4 次、每對處理共同出現 2 次	是 BIBD

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Design 1

此設計有 $v=4$ 個處理、$b=5$ 個區集，每區集含 $k=2$ 個處理。

由第一條必要條件，

$$r=\frac{bk}{v} =\frac{5(2)}{4} =\frac{10}{4} =2.5$$

$r$ 不是整數，因此不可能使四個處理都出現相同次數。

所以 Design 1 不是 BIBD。

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Design 2

Design 2 的參數為

$$v=9,\qquad b=12,\qquad k=3$$

由第一條必要條件，

$$r=\frac{bk}{v} =\frac{12(3)}{9} =4$$

再由第二條必要條件，

$$\lambda =\frac{r(k-1)}{v-1} =\frac{4(3-1)}{9-1} =\frac{8}{8} =1$$

核心觀念

本題考查「條區設計」與「隨機完全區集設計（RCBD）」的結合。

• 區集因素：共 $r=4$ 個完全區集，用來控制試驗田因南、北側防風林所造成的環境差異。
• 因素 $A$：大豆品種，共 $a=3$ 個水準。
• 因素 $B$：肥料種類，共 $b=2$ 個水準，即化學肥與有機肥。
• 每一完全區集內，品種與肥料以互相垂直的條帶配置，形成 $3\times 2=6$ 個交叉小區。
• 條區設計的特色是：$A$ 與 $B$ 各有自己的誤差項，因此不能只使用單一殘差檢定所有效果。

總試驗小區數為

$$N=rab=4\times 3\times 2=24.$$

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（1）試驗進行步驟與田間佈置

1. 區集劃分

防風林位於試驗田南、北兩側，會造成風勢、溫度、蒸散作用及土壤水分等環境差異。因此，先將試驗田劃分為四個完全區集，記為區集 $I$、$II$、$III$、$IV$。

各區集內的環境條件應盡量均勻；區集之間則用來吸收由南北位置所造成的差異。

若主要環境梯度為南北向，四個區集可依南北方向排列，使每一區集內的條帶盡量處於相近的環境範圍。

2. 條帶的配置與隨機化

每一區集內進行兩次獨立隨機化：

1. 將三個大豆品種隨機配置於三條同方向的品種條帶。
2. 將兩種肥料隨機配置於與品種條帶垂直的兩條肥料條帶。

例如，若品種條帶採南北向，肥料條帶則採東西向。兩者交叉後，每一個交叉區代表一個「品種 × 肥料」處理組合。

每個交叉小區種植相同面積的大豆，並保持播種密度、灌溉、除草、病蟲害防治及收穫方式一致。肥料種類是整條施用，品種也是整條種植，因此符合條區設計的實際操作方式。

3. 田間佈置圖

以下為一個合法的條區配置示意。圖中每一個格子為一個交叉小區，括號內為「品種，肥料」。

假設三條品種條帶由西向東排列，兩條肥料條帶由南向北排列：

                         北
        ┌───────────────┬───────────────┐
        │ 區集 I         │ 區集 II        │
        │ A1-C  A2-C  A3-C│ A2-C  A1-C  A3-C│
        │ A1-O  A2-O  A3-O│ A2-O  A1-O  A3-O│
        └───────────────┴───────────────┘

        ┌───────────────┬───────────────┐
        │ 區集 III       │ 區集 IV        │
        │ A3-C  A1-C  A2-C│ A1-C  A3-C  A2-C│
        │ A3-O  A1-O  A2-O│ A1-O  A3-O  A2-O│
        └───────────────┴───────────────┘
                         南

其中：

• $A_1,A_2,A_3$：三個大豆品種；
• $C$：化學肥；
• $O$：有機肥。

上圖僅表示條區結構；正式試驗時，各區集內品種條帶的順序及肥料條帶的順序均應以隨機化結果決定。每一區集皆包含完整的六種處理組合：

$$(A_1,C),(A_2,C),(A_3,C),(A_1,O),(A_2,O),(A_3,O).$$

4. 田間管理與觀測

試驗期間除肥料種類與品種外，其他栽培管理條件盡量一致。成熟後，以每一交叉小區的產量作為觀測值，記為 $Y_{ijk}$，其中：

• $i=1,\ldots,4$：區集；
• $j=1,\ldots,3$：品種；
• $k=1,\ldots,2$：肥料。

產量資料依區集、品種及肥料整理後，進行條區設計的變方分析。

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（2）線型模式與變方分析表

1. 線型模式

令 $Y_{ijk}$ 表示第 $i$ 個區集、第 $j$ 個品種及第 $k$ 種肥料下的產量，則條區設計的線型模式為

$$Y_{ijk} = \mu+\rho_i+\alpha_j+(\rho\alpha)_{ij} +\beta_k+(\rho\beta)_{ik} +(\alpha\beta)_{jk} +\varepsilon_{ijk}.$$

其中：

• $\mu$：總平均；
• $\rho_i$：第 $i$ 個區集效果；
• $\alpha_j$：第 $j$ 個品種效果；
• $(\rho\alpha)_{ij}$：區集 × 品種誤差；
• $\beta_k$：第 $k$ 種肥料效果；