115 年 國立臺灣大學農藝研究所生物統計學組《試驗設計學》

本題主要在考察試驗設計的兩大基本原則：重複與隨機化，以及干擾因子的概念與處理方法。

1. 重複 (Replication)：

   • 用意：
     • 提供估計試驗誤差的獨立觀測值。
     • 提高統計檢定的功效，使我們能更精確地偵測處理間的差異。
     • 允許我們評估試驗結果的變異性，並計算信賴區間。
   • 提高估計準確度：重複是指對同一處理在不同的實驗單位上進行多次試驗。透過重複，我們可以獲得同一處理的多個觀測值。這些觀測值的平均值通常比單一觀測值更能代表該處理的真實效應，因為平均值有助於平滑掉隨機誤差的影響。根據統計學原理，平均值的標準誤 (standard error of the mean) 與樣本數的平方根成反比（$\text{SE}_{\bar{y}} = \frac{s}{\sqrt{n}}$），因此樣本數 (即重複數) 越多，平均值的變異性越小，估計的準確度就越高。

2. 隨機化 (Randomization)：

   • 用意：
     • 確保實驗單位的分配是無偏的，避免系統性偏差的產生。
     • 使誤差項 (error term) 獨立且同質分佈 (independent and identically distributed, i.i.d.)，這是進行統計推論（如 F 檢定、t 檢定）的基礎假設。
     • 使得所有處理在分配到實驗單位時，都具有相同的機率，確保了公平性。
   • 提高估計準確度：隨機化本身不直接提高估計的準確度，而是確保估計的無偏性與統計推論的有效性。它透過打散潛在的、未被控制的變異來源（如土壤肥力、光照差異等）對不同處理造成的影響，使觀察到的差異更能歸因於處理本身，而非其他環境因素。

3. 干擾因子 (Nuisance Factor)：

   • 定義：干擾因子是試驗中存在，但非研究者感興趣的因子，卻可能顯著影響試驗結果，引入額外的變異。若不加以控制，可能降低試驗的準確性或導致錯誤的結論。

核心觀念

本題考查完全隨機設計（CRD）中的：

1. 線性對比（linear contrast）及其係數設定。
2. 對比間正交性的判定。
3. 對比平方和的計算。
4. 正交對比平方和分解。
5. 單一對比的 $F$ 檢定與實務解釋。

四種處理的平均數記為 $\bar{Y}_1,\bar{Y}_2,\bar{Y}_3,\bar{Y}_4$。對比的一般形式為

$$L=c_1\bar{Y}_1+c_2\bar{Y}_2+c_3\bar{Y}_3+c_4\bar{Y}_4$$

其中係數必須滿足

$$\sum_{i=1}^{4}c_i=0$$

對比平方和公式為

$$SS_L= \frac{\left(\sum_{i=1}^{4}c_i y_{i.}\right)^2} {n\sum_{i=1}^{4}c_i^2}$$

本題每種處理重複 $n=5$ 次。

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一、對比係數與正交性

對比 $C_1$：不施肥與有施肥

比較 $T_1$ 與 $T_2,T_3,T_4$ 的平均效果，可令

$$C_1=(-3,1,1,1)$$

因此

$$L_1=-3\bar{Y}_1+\bar{Y}_2+\bar{Y}_3+\bar{Y}_4$$

係數總和為

$$-3+1+1+1=0$$

符合對比條件。

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對比 $C_2$：化學肥料與有機肥料

化學肥料包含 $T_2,T_3$ 兩組，有機肥料為 $T_4$。為比較兩類平均數，令

$$\frac{\bar{Y}_2+\bar{Y}_3}{2}-\bar{Y}_4$$

乘以 $2$ 後，可使用整數係數：

$$C_2=(0,1,1,-2)$$

因此

$$L_2=\bar{Y}_2+\bar{Y}_3-2\bar{Y}_4$$

係數總和為

$$0+1+1-2=0$$

符合對比條件。

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對比 $C_3$：化學肥料 A 與化學肥料 B

直接比較 $T_2$ 與 $T_3$：

$$C_3=(0,1,-1,0)$$

因此

$$L_3=\bar{Y}_2-\bar{Y}_3$$

係數總和為

$$0+1-1+0=0$$

符合對比條件。

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正交性判定

在各處理重複次數相同時，兩個對比正交的條件為

$$\sum_{i=1}^{4}c_i d_i=0$$

逐一計算：

$C_1$ 與 $C_2$

$$(-3)(0)+(1)(1)+(1)(1)+(1)(-2) =0+1+1-2=0$$

所以 $C_1$ 與 $C_2$ 正交。

$C_1$ 與 $C_3$

$$(-3)(0)+(1)(1)+(1)(-1)+(1)(0) =0+1-1+0=0$$

所以 $C_1$ 與 $C_3$ 正交。

$C_2$ 與 $C_3$

$$(0)(0)+(1)(1)+(1)(-1)+(-2)(0) =0+1-1+0=0$$

所以 $C_2$ 與 $C_3$ 正交。

因此，三個對比兩兩正交。

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二、計算 $C_1$ 平方和及驗證平方和分解

已知處理總和為

$$y_{1.}=50,\qquad y_{2.}=80,\qquad y_{3.}=70,\qquad y_{4.}=100$$

$C_1$ 的平方和

使用

$$C_1=(-3,1,1,1)$$

先計算對比分子：

$$\sum c_i y_{i.} =(-3)(50)+(1)(80)+(1)(70)+(1)(100)$$ $$=-150+80+70+100=100$$

再計算係數平方和：

$$\sum c_i^2=(-3)^2+1^2+1^2+1^2=12$$

因此

$$SS_{C_1} = \frac{100^2}{5(12)} = \frac{10000}{60} = 166.67$$

所以

$$\boxed{SS_{C_1}=166.67}$$

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$C_2$ 與 $C_3$ 的平方和

為驗證三個對比平方和的總和，需同時計算另外兩個平方和。

$C_2$

$$\sum c_i y_{i.} =(0)(50)+(1)(80)+(1)(70)+(-2)(100)$$ $$=80+70-200=-50$$

且

$$\sum c_i^2=0^2+1^2+1^2+(-2)^2=6$$

所以

$$SS_{C_2} = \frac{(-50)^2}{5(6)} = \frac{2500}{30} = 83.33$$

$C_3$

$$\sum c_i y_{i.} =(0)(50)+(1)(80)+(-1)(70)+(0)(100) =10$$

且

$$\sum c_i^2=0^2+1^2+(-1)^2+0^2=2$$

所以

核心觀念

本題考查「同時控制兩個環境變異來源」的試驗設計。四個水稻品種是處理，地區與期作是環境因子：

• 地區：北、中、南、東，共 $4$ 個水準。
• 期作：一期、二期，共 $2$ 個水準。
• 品種：$A、B、C、D$，共 $4$ 個處理。

每一個「地區 × 期作」組合代表一個試驗環境，因此共有

$$4\times 2=8$$

個環境區組。每個環境區組內配置四個品種各一次，並以隨機方式決定其位置。

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解題方法

適合採用：

以「地區 × 期作」為區組的隨機完全區集設計（Randomized Complete Block Design, RCBD）。

每個區組內均包含四個品種 $A、B、C、D$，因此每個品種有 $8$ 次重複。

此設計能達成下列目的：

1. 以「地區」控制南北、東西或不同地理區域所造成的環境差異。
2. 以「期作」控制一期作與二期作之間的季節、氣候及栽培條件差異。
3. 在每一個地區與期作組合內，四個品種均完整出現，品種比較受到相同環境條件的影響。
4. 將地區與期作的主效應，以及兩者交互作用所造成的變異，自誤差中分離出來，以提高品種比較的精確度。

本設計的統計模型可寫為

$$Y_{ijk} = \mu+V_i+R_j+S_k+(RS)_{jk}+\varepsilon_{ijk},$$

其中：

• $Y_{ijk}$：第 $j$ 個地區、第 $k$ 個期作中，第 $i$ 個品種的產量；
• $\mu$：總平均；
• $V_i$：品種效應；
• $R_j$：地區效應；
• $S_k$：期作效應；
• $(RS)_{jk}$：地區與期作的交互作用；
• $\varepsilon_{ijk}$：實驗誤差。

因為每一個「地區 × 期作 × 品種」組合只有一筆觀測值，品種與環境的交互作用會併入實驗誤差中。

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處理配置草圖

每一個「地區 × 期作」環境區組內，四個品種各配置一次。下表為一種可能的隨機配置；實際試驗時應以隨機化程序決定順序。

地區	一期作：四個試驗小區	二期作：四個試驗小區
北部	$C\quad A\quad D\quad B$	$A\quad D\quad B\quad C$
中部	$B\quad D\quad A\quad C$	$D\quad C\quad A\quad B$
南部	$D\quad B\quad C\quad A$	$C\quad A\quad D\quad B$
東部	$A\quad C\quad B\quad D$	$B\quad D\quad C\quad A$

每一格即為一個完整區組。例如北部一期作為一個區組，其中四個小區分別種植 $C、A、D、B$ 四個品種。

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ANOVA 變異來源與自由度

總試驗單位數為

$$N=4\times 4\times 2=32.$$

因此總自由度為

$$DF_{\text{Total}}=32-1=31.$$

1. 地區

地區有 $4$ 個水準，因此

$$DF_{\text{地區}}=4-1=3.$$

2. 期作

期作有 $2$ 個水準，因此