114 年 國立臺灣大學農藝研究所生物統計學組《試驗設計學》

核心觀念

本題考查均衡不完全區集設計（BIBD）的定義、參數關係，以及如何依照指定參數建構一個合法設計。

設有：

• $t$：處理數
• $b$：區集數
• $k$：每一區集所含的處理數
• $r$：每一處理出現的區集數
• $\lambda$：任意兩個不同處理共同出現於同一區集的次數

BIBD 必須滿足以下條件：

1. 每一區集包含相同數目的處理，即每區集大小均為 $k$。
2. 每一處理出現相同次數，即每個處理均重複 $r$ 次。
3. 任意兩個不同處理共同出現於同一區集的次數均相同，均為 $\lambda$。
4. 區集是不完全的，即 $k<t$，表示每個區集不包含全部處理。

因此，BIBD 的重點是「處理出現次數均衡」以及「處理兩兩配對次數均衡」。

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重要參數公式

由於共有 $b$ 個區集，每區集含有 $k$ 個處理，因此處理在所有區集中的總出現次數為 $bk$。另一方面，$t$ 個處理各出現 $r$ 次，總出現次數為 $tr$，所以：

$$bk=tr$$

固定考慮某一個處理。該處理共出現於 $r$ 個區集，而在每個區集中會與另外 $k-1$ 個處理同區，因此它與其他處理形成的配對總數為：

$$r(k-1)$$

該處理需與其餘 $t-1$ 個處理各共同出現 $\lambda$ 次，因此：

$$\lambda(t-1)=r(k-1)$$

另外，所有區集一共提供 $b\binom{k}{2}$ 個處理配對；全部處理共有 $\binom{t}{2}$ 種配對，每一對出現 $\lambda$ 次，因此：

$$b\binom{k}{2} = \lambda\binom{t}{2}$$

這些公式可用來判斷指定參數是否有機會形成 BIBD，也能用來快速驗算所列出的區集。

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（一）均衡不完全區集設計的解釋

均衡不完全區集設計是一種區集設計，具有下列特徵：

• 每個區集包含相同數量的處理，大小均為 $k$。
• 每個處理在全部區集中出現相同次數，均為 $r$ 次。
• 任意兩個不同處理共同出現於同一區集的次數均相同，均為 $\lambda$ 次。
• 每個區集只包含部分處理，故 $k<t$，稱為「不完全」。

在試驗設計中，區集通常用來控制環境、地點、批次或其他非處理因素造成的變異。BIBD 使每個處理受到相同程度的配置，也使任意兩個處理具有相同的比較機會，因此適合進行公平的處理比較。

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（二）建構 $t=5,\ b=10,\ k=3$ 的 BIBD

第一步：求每個處理的重複次數 $r$

利用公式 $bk=tr$：

$$10(3)=5r$$ $$r=6$$

所以每個處理必須出現於 $6$ 個區集。

第二步：求任意兩處理的共同出現次數 $\lambda$

利用公式：

$$\lambda(t-1)=r(k-1)$$

代入 $t=5$、$r=6$、$k=3$：

$$\lambda(5-1)=6(3-1)$$ $$4\lambda=12$$ $$\lambda=3$$

所以任意兩個不同處理必須共同出現於同一區集 $3$ 次。

第三步：列出區集

令五個處理為 $1,2,3,4,5$。取所有由三個不同處理組成的三元組：

區集	處理
$B_1$	$\{1,2,3\}$
$B_2$	$\{1,2,4\}$
$B_3$	$\{1,2,5\}$
$B_4$	$\{1,3,4\}$
$B_5$	$\{1,3,5\}$
$B_6$	$\{1,4,5\}$
$B_7$	$\{2,3,4\}$
$B_8$	$\{2,3,5\}$

核心觀念

本題是「具有區集的三因子裂區設計」：

• 區集（block）數：$r=3$
• 主區因子：種植密度 $A$ 與氮肥施用量 $B$
• 主區處理組合數：$ab=3\times 2=6$
• 副區因子：品種 $C$，有 $c=4$ 個試級
• 每個主區配置一個 $A\times B$ 處理組合，再於主區內配置 $C$ 的四個試級。

因此總觀測值為

$$N=rabc=3\times3\times2\times4=72$$

總自由度為

$$N-1=72-1=71$$

裂區設計的關鍵在於：$A$、$B$ 與 $A\times B$ 在主區層級隨機化，使用「主區誤差」檢定；$C$ 及其交互作用在副區層級檢定，使用「副區誤差」檢定。

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（一）統計線型模式

令

• $Y_{rijk}$：第 $r$ 個區集、第 $i$ 個種植密度、第 $j$ 個氮肥量、第 $k$ 個品種下的產量；
• $r=1,2,3$；
• $i=1,2,3$；
• $j=1,2$；
• $k=1,2,3,4$。

適合本裂區設計的統計線型模式為

$$Y_{rijk} = \mu+\rho_r+\alpha_i+\beta_j+(\alpha\beta)_{ij} +u_{rij} +\gamma_k +(\alpha\gamma)_{ik} +(\beta\gamma)_{jk} +(\alpha\beta\gamma)_{ijk} +\varepsilon_{rijk}$$

其中：

• $\mu$：總平均；
• $\rho_r$：第 $r$ 個區集效應；
• $\alpha_i$：種植密度 $A$ 的效應；
• $\beta_j$：氮肥施用量 $B$ 的效應；
• $(\alpha\beta)_{ij}$：$A\times B$ 交互作用；
• $u_{rij}$：主區誤差，表示第 $r$ 區集內 $A\times B$ 主區處理組合的隨機誤差；
• $\gamma_k$：品種 $C$ 的效應；
• $(\alpha\gamma)_{ik}$：$A\times C$ 交互作用；
• $(\beta\gamma)_{jk}$：$B\times C$ 交互作用；
• $(\alpha\beta\gamma)_{ijk}$：$A\times B\times C$ 三因子交互作用；
• $\varepsilon_{rijk}$：副區誤差。

由於 $A$、$B$、$C$ 皆為固定型因子，故上述因子效應及交互作用均視為固定效應。區集通常視為隨機效應，主區誤差與副區誤差則假設為相互獨立、平均數為零的隨機誤差。

常用假設為

$$u_{rij}\overset{\text{i.i.d.}}{\sim}N(0,\sigma^2_{\mathrm{WP}})$$

以及

$$\varepsilon_{rijk}\overset{\text{i.i.d.}}{\sim}N(0,\sigma^2_{\mathrm{SP}})$$

其中 $\sigma^2_{\mathrm{WP}}$ 為主區誤差變異，$\sigma^2_{\mathrm{SP}}$ 為副區誤差變異。

模式中的兩層誤差

主區層級的誤差為

$$\text{區集}\times(A\times B)$$

副區層級的誤差則為

$$\text{區集}\times(A\times B)\times C$$

實際進行假設檢定時：

• $A$、$B$、$A\times B$ 使用主區誤差；
• $C$、$A\times C$、$B\times C$、$A\times B\times C$ 使用副區誤差。

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（二）ANOVA 表之變異來源與自由度

1. 主區部分

區集數為 $r=3$，因此區集自由度為

$$r-1=3-1=2$$

主區共有 $ab=6$ 個 $A\times B$ 處理組合，其處理自由度為

$$ab-1=6-1=5$$

再將主區處理自由度分解為：

$$A:\quad a-1=3-1=2$$ $$B:\quad b-1=2-1=1$$ $$A\times B:\quad (a-1)(b-1)=2\times1=2$$

主區誤差為「區集 $\times$ 主區處理組合」，自由度為

$$(r-1)(ab-1) = (3-1)(6-1) = 2\times5 = 10$$

也可分解為

本題考查試驗設計的應用，要求根據試驗目的、資源限制和場地特性，設計一個合適的田間佈置。

試驗目的：評估 20 個抗蟲品系 (R1-R20) 的抗蟲性，並與 2 個商業品種 (C1, C2) 進行比較。總共有 $20 + 2 = 22$ 個處理。
場地特性：64 個試區，土壤或環境異質性存在，但無明顯方向性變化。
資源限制：每個品系的種子有限，只能用於一個試區。

分析與考量：

1. 處理數與試區數：總共有 22 個處理 (20 個品系 + 2 個對照品種)。試區總數為 64。
2. 異質性處理：由於試區之間存在異質性，且無明顯方向性，這提示我們需要一個能夠控制區集效應的設計，例如隨機區集設計 (Randomized Complete Block Design, RCBD)。
3. 資源限制：每個品系只能用於一個試區。這意味著我們無法進行重複試驗，或者說，每個處理（品系或品種）在整個試驗中僅出現一次。這是一個嚴重的限制，因為沒有重複就無法估計誤差，也就無法進行標準的統計推論（如 ANOVA 和顯著性檢定）。
4. 試驗目的：評估品系的抗蟲性並與對照比較。

問題的核心：

• 無重複試驗 (One-Replication Trial)：由於資源限制，每個處理（R1-R20, C1-C2）只能安排在一個試區。這意味著我們沒有真正的重複來估計誤差變異。
• 場地異質性：需要控制。

可能的設計方向：

情境一：如果「每一品系的種子量僅足以供應一個試區」是指「每一個處理（R1-R20, C1-C2）都只能安排一個試區」
這是最嚴格的解釋。總共有 22 個處理。試區有 64 個。

• 問題：如果每個處理只出現一次，我們如何進行統計分析？標準的 ANOVA 方法需要重複。

可能的解決方案 (基於有限資源和場地特性)：

1. 隨機區集設計 (RCBD) 的變形：

   • 我們有 64 個試區。我們可以將這 64 個試區分成若干個區集，每個區集的大小應能容納所有 22 個處理，或者容納部分處理，並重複區集。

   • 方案 A：分區集，每個區集包含所有處理 (BIBD/Lattice/Incomplete Block Design)。

     • 如果我們將 64 個試區分成多個區集，每個區集的大小 $k$ 必須小於 64。
     • 如果我們嘗試讓每個區集包含所有 22 個處理，則 $k=22$。我們需要 $64/22$ 個區集，這不是整數。
     • 如果我們將 64 個試區分成 3 個區集（例如，每個區集約 21-22 個試區），那麼每個區集大小約 21-22。
     • 不完全區集設計 (Incomplete Block Design)：由於無法讓每個區集包含所有 22 個處理（$k=22, v=22$），且資源有限，我們可能需要考慮不完全區集。
     • 均衡不完全區集設計 (BIBD)：如果我們能設計一個 BIBD，參數 $v=22$，則 $k$ 可以小於 22。例如，如果 $k=11$，則 $b \times 11 = r \times 22$。如果 $r=1$，則 $b=2$。這意味著需要 2 個區集，每個區集大小 11。總試區數 $2 \times 11 = 22$。這與 64 個試區不符。
     • 更實際的考慮：我們有 64 個試區，可以容納 64 個試驗單位。我們有 22 個處理。
     • 如果我們能重複區集：
       • 假設我們設計一個區集大小為 $k$ 的區集。我們需要 $b$ 個區集，總試區數 $b \times k \le 64$。
       • 如果我們將 64 個試區分成 3 個區集，每個區集約 21-22 個試區。
       • 方案 A.1：每個區集包含所有 22 個處理 ( completo block design )
         • 我們需要 3 個區集，每個區集包含 22 個處理。總試區數 $3 \times 22 = 66$。這超過 64 個試區。
         • 因此，我們無法完成一個完整的隨機區集設計，讓每個處理在每個區集中都出現一次。
       • 方案 A.2：不完全區集設計 (Incomplete Block Design)
         • 我們有 64 個試區。可以劃分成 3 個區集，每個區集約 21-22 個試區。
         • 例如，劃分 3 個區集，每個區集有 21 個試區，總共 $3 \times 21 = 63$ 個試區。剩下 1 個試區不用。
         • 在每個區集內，我們需要安排 22 個處理。由於區集大小只有 21，這意味著每個區集內，有 1 個處理缺失 (不完全區集)。
         • 這就變成了不均衡不完全區集設計 (Unbalanced Incomplete Block Design, UIBCD)。
         • 或者，我們可以讓每個處理僅出現一次，並利用區集來控制異質性。

   • 方案 B：將 64 個試區分成 3 個區集，每個區集大小約 21-22。

     • 我們有 22 個處理 (R1-R20, C1-C2)。
     • 設計：
       1. 將 64 個試區劃分為 3 個區集 (Block 1, Block 2, Block 3)，每個區集包含 21 或 22 個試區。例如，Block 1 (22 plots), Block 2 (21 plots), Block 3 (21 plots)。
       2. 在 Block 1 中，隨機將 22 個處理 (R1-R20, C1-C2) 分配到這 22 個試區。
       3. 在 Block 2 中，隨機將 22 個處理 (R1-R20, C1-C2) 分配到這 21 個試區。這意味著 Block 2 中，有一個處理未被安排。
       4. 在 Block 3 中，隨機將 22 個處理 (R1-R20, C1-C2) 分配到這 21 個試區。這意味著 Block 3 中，有一個處理未被安排。
     • 問題：這種設計是 不均衡不完全區集設計 (UIBCD)。
     • 統計分析：UIBCD 的統計分析比 BIBD 更複雜，需要使用線性模型 (GLM) 或其他高級統計方法，並且不能進行標準的 ANOVA。
     • 優點：控制了區集異質性，並盡可能地包含了所有處理。
     • 缺點：處理之間的比較可能不精確，因為每個處理出現的次數不同（有些出現 3 次，有些出現 2 次）。

2. 二度空間設計 (Two-Dimensional Design)：

   • 由於異質性無明顯方向性，可以考慮將 64 個試區排列成一個網格，例如 8x8。
   • 然後，可以將行 (Row) 和列 (Column) 作為兩個區集效應來控制。
   • 拉丁方設計 (Latin Square Design)：如果處理數等於區集數，例如 $n \times n$ 的拉丁方，可以控制行和列的效應。但我們有 22 個處理，64 個試區，不適用標準拉丁方。
   • 區集拉丁方設計 (Balanced Incomplete Block Design with two way elimination of heterogeneity)：這是一種更高級的設計，可以處理非標準的處理數和試區數。

最符合題意且可行的設計：

考慮到「無明顯方向性變化」以及「64 個試區」，最直觀的設計是利用這 64 個試區。
由於每個處理只能出現一次，這是一個 單次試驗 (single trial)，沒有重複。
但是，題目要求「說明本試驗之田間佈置應如何設計才能迎合本研究之目的」。這意味著我們需要最大化利用試區，並盡可能地控制場地異質性。

方案：利用 64 個試區，劃分為區集，並處理不完全性和不均衡性。

1. 劃分區集：將 64 個試區劃分為 3 個區集 (Blocks)。

   • Block 1: 22 個試區
   • Block 2: 21 個試區
   • Block 3: 21 個試區
     總計 $22 + 21 + 21 = 64$ 個試區。

2. 處理分配：

   • 在 Block 1 中，隨機將 22 個處理 (R1-R20, C1-C2) 分配到這 22 個試區。
   • 在 Block 2 中，隨機將 22 個處理 (R1-R20, C1-C2) 中的 21 個分配到這 21 個試區。需要決定哪一個處理不被納入 Block 2。
   • 在 Block 3 中，隨機將 22 個處理 (R1-R20, C1-C2) 中的 21 個分配到這 21 個試區。需要決定哪一個處理不被納入 Block 3。

3. 處理的重複次數：

   • 在 Block 1 中的 22 個處理，每個出現 1 次。
   • 在 Block 2 中，有 21 個處理出現 1 次，1 個處理出現 0 次。
   • 在 Block 3 中，有 21 個處理出現 1 次，1 個處理出現 0 次。
   • 總計：
     • 有一個處理在 Block 1 出現，在 Block 2 和 3 未出現（出現 1 次）。
     • 有兩個處理在 Block 1 出現，在其中一個區集（Block 2 或 3）出現，在另一個未出現（出現 2 次）。
     • 有 19 個處理在 Block 1 出現，在 Block 2 和 Block 3 都出現（出現 3 次）。
   • 這是一個非常不均衡的設計！ 處理出現的次數為 1, 2, 或 3 次。

更優的設計思路：

考慮到「無明顯方向性變化」，我們可以將 64 個試區排列成 8x8 的網格。
然後，我們可以利用行和列來控制異質性。

方案：利用列區組設計 (Row-Column Design) 或類似結構。

1. 劃分區集：將 64 個試區排列成 8x8 的網格。

   • 將 8 行視為 8 個區集 (Row Blocks)。
   • 將 8 列視為 8 個區集 (Column Blocks)。

2. 處理分配：

   • 我們有 22 個處理。

   • 設計目標：盡可能讓每個處理在不同的行和列都出現，以控制異質性。

   • 如果我們能做一個 BIBD，參數是 (v, k, lambda)：

     • 例如，如果我們能找到一個 $v=22$ 的 BIBD，其中 $k$ 較小，比如 $k=6$。
     • 那麼 $b \times 6 = r \times 22$。如果 $r=3$，則 $b \times 6 = 3 \times 22 \Rightarrow b=11$。
     • 總試區數 $b \times k = 11 \times 6 = 66$。這接近 64。
     • 這是一個參數為 $(v=22, k=6, r=3, b=11, \lambda)$ 的 BIBD。
     • 我們可以將 64 個試區分成 11 個區集，每個區集大小為 6，總共 66 個試區。這仍然超過 64。

   • 回到 64 個試區的限制：

     • 設計1：部分重複的隨機區集設計 (Partially Replicated RCBD)

       • 將 64 個試區劃分為 3 個區集 (Blocks)。
       • Block 1: 22 個試區
       • Block 2: 21 個試區
       • Block 3: 21 個試區
       • 在 Block 1 中，隨機安排 22 個處理。
       • 在 Block 2 中，隨機安排 21 個處理（從 22 個中挑選）。
       • 在 Block 3 中，隨機安排 21 個處理（從 22 個中挑選）。
       • 如何選擇哪些處理不出現？ 為了盡可能均衡，可以讓每個處理在 Block 2 和 Block 3 中有機會不出現。
       • 例如，可以有一個輪替機制，讓 Block 2 缺少處理 X，Block 3 缺少處理 Y。
       • 更進一步：讓 Block 1 包含所有 22 個處理。
         • Block 2 包含 21 個處理 (隨機挑選 21 個)。
         • Block 3 包含 21 個處理 (隨機挑選 21 個)。
       • 更均衡的設計：
         • 將 64 個試區劃分為 3 個區集，大小分別為 22, 21, 21。
         • 處理分配：
           • Block 1 (22 plots): 安排 R1-R20, C1, C2。
           • Block 2 (21 plots): 隨機從 22 個處理中選擇 21 個，安排。
           • Block 3 (21 plots): 隨機從 22 個處理中選擇 21 個，安排。
         • 如何選擇缺失的處理？
           • 為了使設計盡量均衡，可以讓 Block 2 缺少處理 $P_1$，Block 3 缺少處理 $P_2$。
           • 更均衡的做法：讓 Block 2 缺少處理 $P_1$, $P_2$, ..., $P_{22}$ 的某一個。讓 Block 3 缺少另一個。
           • 或者，更系統化的方法：
             • 將 64 個試區分成 3 個區集。
             • 區集 1 (22 個試區)：安排所有 22 個處理。
             • 區集 2 (21 個試區)：隨機選擇 21 個處理，並隨機安排。
             • 區集 3 (21 個試區)：隨機選擇 21 個處理，並隨機安排。
             • 問題：這種設計仍然是不均衡的。
             • 為了減少不均衡性：可以考慮讓 Block 2 和 Block 3 缺失的處理是不同的。
             • 推薦設計：
               1. 將 64 個試區劃分為 3 個區集 (Blocks)。
                  • Block 1: 22 個試區
                  • Block 2: 21 個試區
                  • Block 3: 21 個試區
               2. 在 Block 1 中，隨機將 22 個處理 (R1-R20, C1-C2) 分配到 22 個試區。
               3. 在 Block 2 中，隨機將 21 個處理（從 22 個中挑選，例如，隨機挑選一個處理不安排）分配到 21 個試區。
               4. 在 Block 3 中，隨機將 21 個處理（從 22 個中挑選，例如，隨機挑選一個處理不安排）分配到 21 個試區。
               5. 為盡量均衡，可以讓 Block 2 和 Block 3 缺失的處理不同。例如，Block 2 缺少 R1，Block 3 缺少 R2。或者，隨機決定。
               6. 更理想的處理分配：
                  • Block 1: {R1, ..., R20, C1, C2}
                  • Block 2: {R1, ..., R20, C1} (缺少 C2)
                  • Block 3: {R1, ..., R20, C2} (缺少 C1)
                  • 這樣，R1-R20 都出現 3 次，C1 出現 2 次，C2 出現 2 次。這比隨機挑選缺失處理要均衡。
                  • 總試區數 $22 + 21 + 21 = 64$。
                  • 這種設計是部分重複的、不均衡的區集設計 (Partially Replicated, Unbalanced Block Design)。
                  • 統計分析：必須使用通用線性模型 (GLM)，因為處理的重複次數不同。

     • 設計2：利用 8x8 網格，進行列區組設計 (Row-Column Design)

       • 將 64 個試區排列成 8x8 網格。

       • 將 8 行視為 8 個區集 (Row Blocks)。

       • 將 8 列視為 8 個區集 (Column Blocks)。

       • 我們有 22 個處理。

       • 目標：每個處理盡可能出現在不同的行和列。

       • 一個可能的設計是列區組設計 (Row-Column Design)。

       • 設計步驟：

         1. 將 64 個試區組織成 8x8 的網格。
         2. 處理分配：
            • 我們有 22 個處理。
            • 方法：可以考慮基於 Balanced Incomplete Block Design (BIBD) 的原理，但應用於列區組。
            • 一個更簡單的思路：
              • 將 22 個處理隨機分配到 22 個試區。
              • 然後，將這 22 個試區隨機配置到 8x8 網格中的 22 個位置。
              • 問題：這沒有充分利用 64 個試區來控制異質性。

       • 更符合「無明顯方向性變化」和「64 個試區」的設計：

         • 使用列區組設計 (Row-Column Design)。
         • 設計：
           1. 將 64 個試區排列成 8x8 網格。
           2. 將 8 行視為 8 個區集 (Row Blocks)，DF = 7。
           3. 將 8 列視為 8 個區集 (Column Blocks)，DF = 7。
           4. 我們有 22 個處理。
           5. 處理分配：
              • 方案 2.1：部分重複的拉丁方設計 (Partially Replicated Latin Square)
                • 如果處理數是 $n$，試區數是 $n \times n$，則可以用拉丁方。
                • 我們有 22 個處理，64 個試區。
                • 無法直接套用標準拉丁方。
              • 方案 2.2：利用 BIBD 構建行/列區組設計。
                • 這需要更複雜的組合數學知識。
                • 一個簡化的想法：
                  • 我們可以選擇 22 個試區，在這些試區上安排 22 個處理。
                  • 然後，我們需要考慮如何利用剩下的 $64-22=42$ 個試區。
                  • 如果我們讓每個處理出現 3 次，總試區數 $22 \times 3 = 66$。 這接近 64。
                  • 如果我們讓每個處理出現 2 次，總試區數 $22 \times 2 = 44$。 這遠少於 64。
                  • 如果我們讓一些處理出現 3 次，一些出現 2 次，總試區數在 44 到 66 之間。
                  • 最實際的設計：
                    1. 將 64 個試區排列成 8x8 網格。
                    2. 處理分配：

核心觀念

本題考查兩個獨立樣本的：

1. 變異數是否相同：使用 $F$ 檢定。
2. 兩處理平均產量是否相同：依變異數檢定結果，選擇等變異數或不等變異數的兩獨立樣本 $t$ 檢定。

令：

• 無覆蓋稻稈組：$n_1=4,\ \bar{x}_1=4.20,\ s_1^2=0.34$
• 有覆蓋稻稈組：$n_2=4,\ \bar{x}_2=1.16,\ s_2^2=3.47$

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（一）$F$ 檢定與信賴區間判斷

1. 檢定假設

令兩組母體變異數分別為 $\sigma_1^2$ 與 $\sigma_2^2$，則：

$$H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2$$ $$H_1:\sigma_1^2\ne\sigma_2^2$$

也可寫成變異數比：

$$H_0:\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}=1$$

2. 判斷原則

若兩母體變異數相同，變異數比應為 $1$。因此，檢查 $F$ 統計量的 $95\%$ 信賴區間是否包含 $1$：

• 信賴區間包含 $1$：不拒絕 $H_0$，沒有充分證據認為兩組變異數不同。
• 信賴區間不包含 $1$：拒絕 $H_0$，認為兩組變異數不同。

題目給出的信賴區間為：

$$(0.006,\ 1.326)$$

由於：

$$0.006<1<1.326$$

所以 $1$ 位於信賴區間內。

3. 結論

在 $\alpha=0.05$ 下，不拒絕兩組母體變異數相同的假設。故本題可視為兩處理具有相同變異數，後續使用等變異數的兩獨立樣本 $t$ 檢定。

須注意：不拒絕 $H_0$ 並不代表已證明兩變異數絕對相等，而是表示目前樣本資料不足以判定兩者有顯著差異。

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（二）兩處理平均產量之 $t$ 檢定

1. 檢定假設

研究問題是有無覆蓋稻稈是否影響平均產量，因此採雙尾檢定：

$$H_0:\mu_1=\mu_2$$ $$H_1:\mu_1\ne\mu_2$$

其中：

• $\mu_1$：無覆蓋稻稈的平均產量
• $\mu_2$：有覆蓋稻稈的平均產量

由上一小題判定兩組變異數相同，因此採用合併變異數的兩獨立樣本 $t$ 檢定。

2. 計算合併樣本變異數

合併樣本變異數為：

$$s_p^2= \frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2} {n_1+n_2-2}$$

代入資料：

$$s_p^2= \frac{(4-1)(0.34)+(4-1)(3.47)} {4+4-2}$$ $$= \frac{3(0.34)+3(3.47)}{6} = \frac{1.02+10.41}{6} = 1.905$$

因此：

$$s_p=\sqrt{1.905}$$

3. 計算 $t$ 統計量

等變異數兩樣本 $t$ 統計量為：