114 年 國立臺灣大學農藝研究所生物統計學組《統計學（B）》

此題考驗對「精密度」(Precision) 的理解。精密度指的是量測結果的穩定性或可重複性，即多次量測結果的離散程度。在統計學中，通常用標準差或變異數來衡量精密度。

此題旨在考驗對統計學基本流程的理解。統計學的研究流程通常包含以下步驟：

1. 抽樣 (Sampling)：從母體中抽取樣本。
2. 敘述統計 (Descriptive Statistics) / 計算 (Calculation)：對樣本數據進行整理、計算，如計算平均數、標準差、製作圖表等，以描述樣本的特性。
3. 推論統計 (Inferential Statistics) / 推論 (Inference)：利用樣本統計量來推論母體的特性，例如進行假設檢定或估計信賴區間。
4. 結論 (Conclusion) / 應用 (Application)：根據推論結果，對母體下結論或做出決策。

在圖二的示意圖中，ABCD 代表了統計分析的流程：
A. 首先是從母體中抽取樣本，故為「抽樣」。
B. 接著對樣本數據進行計算或整理，例如計算、繪製圖表，故為「計算」。
C. 之後利用樣本的計算結果來對母體進行推論，故為「推論」。
D. 最後根據推論結果，可能需要進一步的計算驗證或對推論進行確認，在此脈絡下，若是指根據推論進行決策或解釋，常會伴隨再次的計算或確認，而選項中出現「推論」或「計算」，若從統計方法的應用延伸來看，「推論」是更符合統計學的最終目的。

觀察圖二，A 指向 B，B 指向 C，C 指向 D。
A 應為抽樣 (Sampling)。
B 應為對樣本數據的整理與計算 (Calculation)。
C 應為利用樣本數據推論母體 (Inference)。
D 應為基於推論的進一步應用或解釋。

選項 (A) A.抽樣, B.抽樣, C.計算, D.抽樣：不符合流程。
選項 (B) A.抽樣, B.計算, C.推論, D.計算：A-抽樣，B-計算，C-推論，D-計算。這個流程是合理的，即從抽樣到計算，再到推論，最後可能需要進一步的計算來驗證或支持推論。
選項 (C) A.抽樣, B.計算, C.推論, D.推論：A-抽樣，B-計算，C-推論，D-推論。此流程也合理，即從抽樣到計算，再到推論，最後可能需要進一步的推論來支持結論。

檢視圖二的箭頭方向，A -> B -> C -> D。
A 是獲取數據的來源，即抽樣。
B 是對數據的處理，即計算。
C 是利用樣本數據對母體做判斷，即推論。
D 則是對推論結果的進一步應用或解釋。

再仔細觀察圖二的圖示，A 是一個母體，B 是從母體中抽取出來的樣本。C 代表對樣本進行分析（計算、整理），D 代表從樣本分析結果推論到母體。
因此，ABCD 的順序應為：
A: Sampling (抽樣)
B: Sample (樣本)
C: Calculation/Analysis (計算/分析)
D: Inference (推論)

回到選項，圖二的 ABCD 順序指的是流程，而不是具體的物件。
A 應為抽樣 (Sampling)。
B 應為對樣本數據的計算 (Calculation)。
C 應為統計推論 (Inference)。
D 應為統計推論的應用或結論 (Inference/Conclusion)。

選項 (B) 抽樣, 計算, 推論, 計算，可以理解為：抽樣 -> 計算樣本統計量 -> 進行推論 -> 根據推論結果進行進一步的計算或驗證。
選項 (C) 抽樣, 計算, 推論, 推論，可以理解為：抽樣 -> 計算樣本統計量 -> 進行推論 -> 根據推論結果進行進一步的推論或解釋。

在統計學的標準流程中，從樣本到母體的推論是核心。C 代表推論。D 則是在推論之後的步驟。如果 C 是推論，那麼 D 更有可能是基於推論的應用或進一步的解釋，或者為了支持推論而做的其他分析。

仔細觀察圖二的箭頭和圖示，A 是母體，B 是樣本，C 是對樣本的處理（計算），D 是對母體的推論。
所以，流程是：

1. 抽樣 (Sampling) - 獲取樣本

此題考驗計算分組次數分布表時的步驟順序。建立分組次數分布表通常需要以下步驟：

1. 決定組數 (Determine the number of groups/classes)：首先需要決定要將數據分成多少個組。這通常取決於數據的範圍、數據點的數量以及分析的目的。常用的經驗法則有 Sturges' rule ($k = 1 + 3.322 \log_{10} n$) 或平方根法則 ($\sqrt{n}$)。
2. 計算組距 (Calculate the class width)：在決定組數後，計算每個組的寬度。

核心觀念

莖葉圖中，莖代表十位數，葉代表個位數。因此圖三資料為：

• 莖 8、葉 0、4、8：$80,84,88$
• 莖 9、葉 $0,0,1,3,4,5,5,6,6,6,8,8$：
  $90,90,91,93,94,95,95,96,96,96,98,98$

共 $15$ 筆資料。

解題方法

平均值公式為：

資料總和：

因此平均值為：

此題考驗對機率分布形態的判斷，特別是偏態 (Skewness) 和峰態 (Kurtosis)。圖四是一個機率密度函數的圖形，顯示了數據的分布情況。

觀察圖四的曲線形態：

1. 偏態 (Skewness)：

   • 左偏分布 (Left-skewed distribution)：長尾朝左，峰值偏右。平均數 < 中位數 < 眾數。
   • 右偏分布 (Right-skewed distribution)：長尾朝右，峰值偏左。眾數 < 中位數 < 平均數。
   • 對稱分布 (Symmetric distribution)：長尾對稱，平均數 = 中位數 = 眾數。

2. 峰態 (Kurtosis)：

   • 左態分布 (Leptokurtic)：比常態分布更尖銳，尾部更厚。峰態 > 3。
   • 右態分布 (Platykurtic)：比常態分布更平坦，尾部更薄。峰態 < 3。
   • 常態分布 (Mesokurtic)：峰態 = 3。

在圖四中，曲線的峰值出現在右側（較大的數值），而長尾則朝向左側（較小的數值）。這表示數據的質量集中在右側，但有少數較小的數值將長尾拉向左邊。
根據這個形態，我們可以判斷：

• 偏態：長尾朝左，峰值偏右，這是典型的左偏分布。

核心觀念

變異係數用來衡量資料的「相對離散程度」，定義為標準差除以平均數，通常以百分比表示：

標準差與平均數的單位相同，相除後單位抵消，因此變異係數沒有公斤等重量單位。

解題方法

依圖五，體重資料的樣本平均數與樣本標準差為：

代入公式：

四捨五入至小數點後一位：

這表示標準差約為平均體重的 $19.7\%$。

選項分析

核心觀念

四分位數將資料由小到大分成四個部分：

• 第一四分位數 $Q_1$：第 25 百分位數。
• 第二四分位數 $Q_2$：第 50 百分位數。
• 第三四分位數 $Q_3$：第 75 百分位數。

其中，第二四分位數 $Q_2$ 的定義就是中位數（median）。因此有：

「第一四分位數到第三四分位數」所形成的區間為四分位距範圍：

此範圍必定包含位於其中央的 $Q_2$，也就是中位數。

解題方法

直接根據四分位數的順序判斷：

所以 $Q_2$ 必定落在 $Q_1$ 與 $Q_3$ 之間。由於 $Q_2$ 就是中位數，因此第一四分位數到第三四分位數中必包含：

選項分析

(A) 第二四分位數

正確。第二四分位數為 $Q_2$，而四分位數的順序為：

因此 $Q_2$ 必定包含在第一四分位數到第三四分位數之間。

(B) 中位數

正確。中位數的定義就是第二四分位數：

核心觀念

已知產品是不良品，要求它來自甲或乙的機率，屬於貝氏定理問題。須先計算各產線「產能比例 × 不良率」，再比較兩者對全部不良品的貢獻。

解題方法

設 $D$ 表示拿到不良品。甲、乙的產能比例分別為 $P(\text{甲})=0.6$、$P(\text{乙})=0.4$；不良率分別為 $P(D\mid\text{甲})=1-0.98=0.02$、$P(D\mid\text{乙})=1-0.97=0.03$。

甲產生不良品的整體機率為：

乙產生不良品的整體機率為：

兩者相同。全部產品的不良機率為：

因此，已知拿到不良品時，它來自甲的機率為：

此題考驗期望值的計算。保險公司針對每一位顧客，其利潤的期望值可以通過考慮兩種可能情況來計算：顧客生存和顧客死亡。

假設顧客的壽險額為 $S =$$20000。
保費為 $P =$$300。
死亡率為 $p = 0.1\% = 0.001$。
生存率為 $1 - p = 1 - 0.001 = 0.999$。

情況一：顧客生存
如果顧客生存，保險公司獲得保費 $P$，不需要支付壽險額。
公司的利潤 = $P =$$300。
這種情況發生的機率是生存率 $0.999$。

情況二：顧客死亡
如果顧客死亡，保險公司獲得保費 $P$，但需要支付壽險額 $S$。

核心觀念

一天死亡人數 $X$ 服從平均數為 $2$ 的普瓦松分布：

其機率質量函數為：

本題考查普瓦松分布的眾數，即使機率最大的 $x$ 值。

解題方法

比較相鄰兩個機率：

因此：

• 當 $x<1$ 時，$\frac{2}{x+1}>1$，機率增加；
• 當 $x=1$ 時，$\frac{2}{x+1}=1$，所以 $P(X=1)=P(X=2)$；
• 當 $x>1$ 時，$\frac{2}{x+1}<1$，機率開始下降。

直接計算關鍵機率：

所以最大機率同時出現在 $X=1$ 與 $X=2$。

核心觀念

本題考查「母體平均數的 95% 信賴區間」。母體變異數未知，且樣本數 $n=12$，因此使用自由度 $n-1=11$ 的 $t$ 分配：

其中 $t_{0.975,11}=2.201$。

解題方法

圖六資料為：

樣本平均數為：

樣本標準差：

因此平均數的標準誤為：

核心觀念

假說檢定通常設定兩個互相對立的假說：

• 虛無假說 $H_0$：表示「沒有差異、沒有影響或沒有關聯」，作為檢定時的基準。
• 對立假說 $H_1$ 或 $H_a$：表示研究者真正關心、希望證實的差異、影響或關聯。

檢定的目的，是根據樣本資料判斷是否有足夠證據拒絕 $H_0$。若拒絕 $H_0$，便支持 $H_1$；若無法拒絕 $H_0$，只能表示證據不足，不能直接宣稱 $H_0$ 成立。

解題方法

題目問：「決策者有興趣的問題會是甲假說，並期望其乙。」

研究者通常是想探討某種差異或效果是否存在，因此關心的是對立假說 $H_1$。例如研究新肥料是否提高作物產量：

研究者真正希望獲得支持的是「新肥料確實提高產量」的 $H_1$，也就是期望對立假說能獲得支持、被認定成立。因此：

• 甲為「對立」
• 乙為「成立」

選項分析

核心觀念

假設檢定有兩個假說：

• 虛無假說 $H_0$：通常表示「沒有差異」或「沒有影響」。
• 對立假說 $H_1$：表示「有差異」或「有影響」。

檢定結果可能產生兩類錯誤：

其定義為：

• 型一錯誤：$H_0$ 為真，卻拒絕 $H_0$，其發生機率為顯著水準 $\alpha$。
• 型二錯誤：$H_1$ 為真，卻未拒絕 $H_0$，其發生機率為 $\beta$。

解題方法

判斷此題的關鍵，是先將選項中的敘述翻譯成「真實情況」與「檢定決策」。

選項 (C) 表示：

• 對立假說 $H_1$ 為真；
• 卻拒絕對立假說 $H_1$。

在一般假設檢定中，拒絕 $H_1$ 等同於不拒絕 $H_0$，因此這正是「$H_1$ 為真，卻未能拒絕 $H_0$」的情況，也就是型二錯誤。

另一方面，偽陽性是「實際沒有現象，卻判定有現象」。統計上相當於：

• $H_0$ 為真；
• 卻拒絕 $H_0$。

因此偽陽性就是型一錯誤。

選項分析

• (A) 型一錯誤

核心觀念

檢定力是「母體確有差異時，檢定能拒絕虛無假說的機率」，記為 $1-\beta$。在其他條件固定時，檢定力會隨顯著水準 $\alpha$ 或樣本數 $n$ 增加而提高。

解題方法

提高 $\alpha$ 會擴大拒絕域，使虛無假說較容易被拒絕，因此在虛無假說不成立時，檢定力提高。增加樣本數則通常會降低標準誤，使真實效果更容易與虛無假說區分，檢定力也會提高。

選項分析

• (A) 提高顯著水準：正確。 $\alpha$ 提高時，拒絕域擴大，第二類錯誤機率 $\beta$ 通常下降，因此 $1-\beta$ 上升。

核心觀念

本題考查「個別比較型第一類錯誤率」與「試驗整體型第一類錯誤率」的關係。

每次個別假設檢定的第一類錯誤率為

進行多次比較時，試驗整體型第一類錯誤率是「至少錯誤拒絕一次虛無假設」的機率。

解題方法

圖七中，個別比較型第一類錯誤率固定為 $0.05$。

當只有 $1$ 次兩兩比較時：

當有 $2$ 次兩兩比較時，兩次皆未發生第一類錯誤的機率為

因此，至少發生一次第一類錯誤的試驗整體型第一類錯誤率為

所以圖七中的數值為

選項分析

• (A) $0.05,0.25$：錯誤。
  $A=0.05$ 正確，但兩次比較的整體錯誤率不是將 $0.05$ 直接乘以 $5$，因此 $B$ 不應

核心觀念

本題要區分「兩兩相關」和「控制其他變數後的迴歸關係」。皮爾森相關係數描述兩變數的線性關聯；多元線性迴歸則估計控制其餘因素後，各變數與根長的關聯。顯著的相關或迴歸係數不等於因果證明，且模型的線性、誤差與獨立性假設都要檢查。

解題方法

原卷第二頁列出 $n=30$、四變數的共變異數矩陣、相關矩陣與平均數，並附有散布圖矩陣。圖中 pot–root、auxin–pot 呈曲線趨勢，auxin–root 有一個偏離主要趨勢的疑似離群點；因此計算線性模型的同時，也要檢視模型適切性。

一、兩兩相關與顯著性檢定

檢定各預測變數與根長的皮爾森相關，虛無假設為 $H_0:\rho=0$。檢定統計量為

若對這三次相關檢定採用 Bonferroni 校正，顯著水準為 $0.05/3\approx0.0167$；auxin–root 與 pot–root 仍顯著，pH–root 仍不顯著。

二、多元線性迴歸

令根長為反應變數，以 pH、auxin、pot 為預測變數。依共變異數矩陣計算未標準化迴歸係數：

再用平均數求截距，得到近似迴歸式：

在這個線性模型中，固定其他兩變數後，auxin 每增加 $1$ ng/mL，預測根長約增加 $0.90$ cm；pot 每增加 $1$ L，預測根長約增加 $0.589$ cm；pH 每增加 $1$，預測根長約減少 $0.68$ cm。這些係數是模型內的條件關聯，不宜直接解讀為因果效果。

標準化迴歸係數約為 pH $=-0.089$、auxin $=0.227$、pot $=0.741$。模型解釋度為

整體檢定 $H_0:\beta_{\mathrm{pH}}=\beta_{\mathrm{auxin}}=\beta_{\mathrm{pot}}=0$ 的統計量為

核心觀念

本題是五種土壤混合配方對植物生長指標的比較。每株植物隨機分派到一種配方，每組 30 株，沒有設定區集因素，因此採完全隨機設計的單因子變異數分析。土壤類型是五水準類別型處理；株高、生物量、葉綠素、NDVI、PRI 與葉片氮含量則是反應變數。

對任一反應變數，模型為：

其中 $\mu$ 是總平均，$\tau_i$ 是第 $i$ 種配方的效果，$\varepsilon_{ij}$ 是隨機誤差。檢定假設為：

解題方法

原卷第三題列出 A 至 E 五種配方，各有 30 株植物；附表只展示植株 1–8、149、150 的資料，並列出七項生長指標。附圖未提供其餘植株的完整數據，因此無法計算實際組平均數、$F$ 值與 $p$ 值，也無法判定哪種配方的整體生長最佳；以下依每株植物各自種植、隨機分派的設計進行分析。

1. 整理並查核資料
   建立一列代表一株植物的資料表，確認 150 個植株編號唯一、A 至 E 各有 30 株，並檢查缺漏值、重複資料、土壤標籤及測量單位。配方比例也應核對：A 為砂 80%、粉土 10%、黏土 10%；B 為 60%、20%、20%；C 為 40%、30%、30%；D 為 20%、40%、40%；E 為 10%、10%、80%。

   附表中有幾筆數值須回查原始紀錄：第 2 株的株高為 286.7 cm、葉片氮含量為 98.6%；第 3 株的地上及地下生物量為 130.2 g、60.6 g，葉綠素含量為 0.7，NDVI 為 10.82，PRI 為 −7.06。標準 NDVI 與 PRI 指標通常落在 $[-1,1]$，因此 10.82 與 −7.06 不符合一般指標範圍；株高、氮含量及生物量的異常幅度也應核對單位、儀器輸出、資料輸入及欄位是否錯置。葉綠素含量須補明測量方法與單位。未經原始資料證實，不應逕自把異常值改成推測的數字；若確認為錯誤，依紀錄更正，若無法確認，僅將該筆該項指標標為缺漏，並保留處理紀錄。

2. 描述與視覺化
   分別列出五組各項指標的平均數、標準差、中位數及範圍，並用箱形圖或散點圖檢視組間差異、離群值與分布形狀。若離群值經查核為真實觀測，分析時應保留並評估其影響；若屬測量或輸入錯誤，則按查核結果處理。

3. 進行單因子變異數分析
   對每項預先指定的反應變數計算組間與組內平方和：