111 年 國立臺灣大學農藝系暨研究所生物統計甲組《統計學（B）》

核心觀念

本題考查：

• 算術平均數、眾數、中位數與幾何平均數的定義。
• 直方圖的組距與次數統計。
• 直方圖與長條圖的用途差異。
• 共變異數的計算，以及性質
  $\operatorname{Cov}(X,X+c)=\operatorname{Var}(X)。$

已知資料為

$$x: 9,1,2,1,6,8,1,$$

樣本數為 $n=7$。

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(a) 平均數、眾數、中位數，以及三者的幾何平均數

算術平均數

資料總和為

$$9+1+2+1+6+8+1=28。$$

因此算術平均數為

$$\bar{x}=\frac{28}{7}=4。$$

眾數

各數值出現次數如下：

• $1$ 出現 $3$ 次；
• $2,6,8,9$ 各出現 $1$ 次。

因此眾數為

$$\operatorname{Mode}(x)=1。$$

中位數

先將資料由小到大排列：

$$1,1,1,2,6,8,9。$$

因為 $n=7$ 為奇數，中位數是第

$$\frac{7+1}{2}=4$$

個數，因此

$$\operatorname{Median}(x)=2。$$

這三個數字的幾何平均數

算術平均數、眾數、中位數分別為 $4,1,2$，其幾何平均數為

$$G=\sqrt[3]{4\cdot 1\cdot 2} =\sqrt[3]{8} =2。$$

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(b) 直方圖，組距為 $2$

將數值分成下列組別，並採用左閉右開的區間：

組別	包含的資料	次數
$[0,2)$	$1,1,1$	$3$
$[2,4)$	$2$	$1$
$[4,6)$	無	$0$
$[6,8)$	$6$	$1$
$[8,10)$	$8,9$	$2$

因此直方圖可表示為：

次數
 3 | █
 2 | █                 █
 1 | █   █             █   █
 0 +-----------------------------
      [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10)

若以連續數值的方式繪製，直方圖各柱子必須彼此相接；各組的高度代表該組的次數。由於每組組距皆為 $2$，此處以次數作為柱高即可。

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(c) 直方圖與長條圖的差別

直方圖

直方圖用於呈現連續型資料或數值資料的分布情形，例如身高、體重、考試分數等。

其特徵為：

• 橫軸是連續數值區間；
• 每個柱子代表一個數值區間；
• 柱子彼此相接，表示資料具有連續性；
• 柱子的高度或面積反映次數、比例或密度；
• 組距會影響資料分布的呈現方式。

本題的 $x$ 是數值資料，因此可依組距 $2$ 分組繪製直方圖。

長條圖

長條圖用於比較不同類別的數量，例如不同學校的人數、不同科系的報名人數或不同產品的銷售量。

其特徵為：

• 橫軸通常是類別；
• 每個柱子代表一個類別；
• 柱子之間通常保留間隔；
• 柱子的高度代表各類別的數量或比例；
• 類別本身沒有連續數值上的先後距離。

判斷技巧

判斷兩者的關鍵是：

• 「數值區間的分布」使用直方圖；
• 「不同類別的比較」使用長條圖；
• 直方圖柱子相接，長條圖柱子分開。

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本題涵蓋了隨機變數的期望值計算、統計量（變異係數）的定義與應用，以及機率計算（二項分布）。

(a) 擲4 個 4 面骰子 (1,1,1,5 點) 所出現點數和的期望值

這是一個常見的期望值計算問題。即使骰子沒有實際擲出，題目也給定了四個點數值 (1, 1, 1, 5)。我們只需要計算這四個點數的總和的期望值。
令 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 為四個骰子出現的點數。題目給定的情況是 $X_1=1, X_2=1, X_3=1, X_4=5$。
我們要計算的點數和是 $S = X_1 + X_2 + X_3 + X_4$。
根據期望值的線性性質，$E(S) = E(X_1 + X_2 + X_3 + X_4) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) + E(X_4)$。
由於題目給定的點數是確定的值，並不是一個隨機變數的「過程」，因此我們直接計算這四個給定點數的總和。
總和 = $1 + 1 + 1 + 5 = 8$。
若題目問的是「期望值」，且給定的是一組可能結果，則應計算其期望值。但此處給定的是具體點數，所以就是該點數的總和。
如果題目是問「若隨機擲出4個4面骰子，且恰好出現1,1,1,5的組合，則其點數和的期望值為何？」那答案就是8。
若題目問的是「一個4面骰子，若出現1的機率是3/4，出現5的機率是1/4，獨立投擲4次，求點數和的期望值」，這又是另一種情況。
但根據題目敘述「擲4個4面骰子(1,1,1,5點)所出現點數和的期望值」，最直觀的理解是，就是給定了這四個點數，求其和。

另一種可能解釋：題目可能是在問，如果我們知道這四個骰子恰好出現了 1, 1, 1, 5 這四個數字（不論順序），那麼這四個數字的總和是多少。這個總和就是 1+1+1+5=8。期望值就是這個確定的值。

更嚴謹的解釋：如果題目是說「一個4面骰子的點數為隨機變數 $X$，其可能值為 1, 2, 3, 4，且假設 $P(X=1)=p_1, P(X=2)=p_2, P(X=3)=p_3, P(X=4)=p_4$。現在我們有4個獨立的4面骰子，它們的點數分別是 $X_1, X_2, X_3, X_4$。我們被告知這四個點數組成了集合 $\{1, 1, 1, 5\}$。請計算 $S = X_1+X_2+X_3+X_4$ 的期望值。」
在這個情境下，由於我們已經知道點數是 1, 1, 1, 5，這四個點數的總和是確定的 8。因此，其期望值就是 8。
如果題目是問「一個4面骰子，其點數為1的機率為 $p_1$，點數為5的機率為 $p_5$ ... 獨立投擲4次，求點數和的期望值」，則需要知道各點數的機率。
但題目給定的「1,1,1,5點」很可能是指這四個數字本身。

本題考察了隨機變數的基本概念、離散機率分布（卜瓦松分布）、連續性校正的必要性，以及標準化值的定義與用途。

(a) 隨機變數 (Random Variable) 的例子

隨機變數是一個變數，它的值是某個隨機試驗或隨機現象的結果。它將隨機試驗的結果映射到一個數值。

• 例子 1：拋擲硬幣
  假設我們拋擲一枚公平的硬幣兩次。我們可以定義一個隨機變數 $X$ 為「正面出現的次數」。
  這個隨機試驗的所有可能結果是 {正正, 正反, 反正, 反反}。
  隨機變數 $X$ 的可能值是 0, 1, 2。

  • 如果結果是 {反反}，則 $X=0$。
  • 如果結果是 {正反} 或 {反正}，則 $X=1$。
  • 如果結果是 {正正}，則 $X=2$。

• 例子 2：測量身高
  假設我們測量一位成年男性的身高。身高是一個連續變數，其值會因人而異，受到多種因素影響。我們可以將身高定義為一個隨機變數 $H$。
  $H$ 的可能值是落在一個區間內的任何實數（例如 1.50 米到 2.00 米之間）。

【答案】隨機變數是將隨機試驗的結果量化的數值，例如拋擲硬幣正面次數或測量身高。

(b) 卜瓦松分布 (Poisson Distribution)

• 說明:
  卜瓦松分布是一種離散機率分布，用來描述在固定時間間隔或固定空間區域內，某事件隨機發生的次數。它假設事件發生的平均速率是恆定的，且事件的發生是獨立的。
  卜瓦松分布由一個參數 $\lambda$ (lambda) 決定，$\lambda$ 是在該時間或空間單位內事件發生的平均次數。
  卜瓦松分布的機率質量函數 (PMF) 為：
  $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \dots$
  其中 $k$ 是事件發生的次數，$e$ 是自然對數的底數 (約 2.71828)。

• 例子:
  一個電話客服中心在每一分鐘平均接到 3 通電話。
  我們可以定義隨機變數 $X$ 為「在任一分鐘內接到的電話次數」。
  這個 $X$ 服從卜瓦松分布，參數 $\lambda = 3$。
  則在某分鐘內接到 2 通電話的機率是：
  $P(X=2) = \frac{e^{-3} 3^2}{2!} = \frac{e^{-3} \cdot 9}{2} \approx \frac{0.0498 \cdot 9}{2} \approx 0.224$

• 平均值和變方:
  對於卜瓦松分布 $P(\lambda)$，其平均值 (期望值) 和變方都等於參數 $\lambda$。
  平均值 $E(X) = \lambda$
  變方 $Var(X) = \lambda$

  在上面的例子中，平均每分鐘接到的電話次數是 $\lambda = 3$。
  所以，平均值 $E(X) = 3$。
  變方 $Var(X) = 3$。

【答案】卜瓦松分布描述單位時間或空間內隨機事件發生的次數，參數為 $\lambda$，其平均值和變方均為 $\lambda$。

(c) 葉氏連續性校正 (Yates's Correction for Continuity)

本題主要考查對中央極限定理的理解、信賴區間概念的辨析，以及實際計算比例的信賴區間。

(a) 中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 及其重要性

• 說明:
  中央極限定理是統計學中最重要、最基本的定理之一。它指出：
  「從任何一個總體（不論其原始分布為何）中，抽取足夠大的隨機樣本 (n $\ge$ 30 通常被認為足夠大)，則這些樣本的平均值 (樣本平均數 $\bar{X}$) 的抽樣分布將近似於一個常態分布 (Normal Distribution)，且此常態分布的平均值等於總體的平均值 ($\mu$)，標準差等於總體的標準差除以樣本大小的平方根 ($\sigma/\sqrt{n}$，也稱為標準誤 Standard Error)。」
  即使總體的原始分布不是常態的，只要樣本夠大，樣本平均數的分布就趨近於常態。

• 重要性:

  1. 常態分布的普遍性: CLT 使得常態分布在統計學中扮演核心角色。許多統計推論方法都假設數據或樣本統計量服從常態分布。CLT 解釋了為什麼在自然界和許多實際現象中，常態分布如此常見（許多現象是多個隨機因素綜合作用的結果）。
  2. 統計推論的基礎: 它是進行假設檢定和建構信賴區間的理論基礎。由於樣本平均數的抽樣分布近似常態，我們就可以利用常態分布的性質來推斷總體參數。
  3. 樣本統計量推斷母體參數: 即使我們不知道母體的分布形式，只要有足夠大的樣本，我們就可以利用樣本平均數的常態分布來估計母體平均數，並量化估計的不確定性。
  4. 應用廣泛: 在品質管制、金融、醫學、社會科學等眾多領域，CLT 都被用來分析數據、進行預測和決策。

【答案】中央極限定理說明，足夠大的隨機樣本的平均數的抽樣分布近似於常態分布，其平均值為母體平均值，標準差為母體標準差除以樣本大小的平方根。其重要性在於解釋常態分布的普遍性，並為統計推論（如假設檢定和信賴區間）提供了理論基礎。

(b) 80% 信賴區間與 90% 信賴區間的差異

信賴區間 (Confidence Interval, CI) 提供了一個參數（通常是母體平均數或比例）可能落入的範圍，並伴隨一個信賴水準 (Confidence Level)。信賴水準表示如果我們重複多次抽樣，並為每個樣本建構一個信賴區間，那麼預期會有多少比例的區間會包含真實的母體參數。

• 差異:
  • 信賴水準: 80% 信賴區間表示我們有 80% 的信心，真實的母體參數落在該區間內。90% 信賴區間表示有 90% 的信心。
  • 區間寬度: 為了達到更高的信賴水準（90% vs 80%），我們需要包含更多的可能性，這意味著信賴區間的寬度必須增加。
    • 信賴區間的計算通常形式為：(樣本統計量) $\pm$ (臨界值) $\times$ (標準誤)。

本題是一道典型的卡方獨立性檢定 (Chi-squared test of independence) 或卡方適合度檢定 (Chi-squared goodness-of-fit test) 的應用題。由於題目詢問的是「灌溉系統之間的偏好」，且給出了不同灌溉系統的農民數量，這暗示我們需要檢定農民對不同灌溉系統的偏好是否是均勻分佈的，或者是否在各個系統之間存在顯著差異。根據給定的數據結構，這更傾向於一個適合度檢定，即檢定觀察到的農民在各個灌溉系統上的分布是否與某種期望分布（例如均勻分布）相符。

核心觀念: 檢定觀察到的類別數據頻率分布是否與期望的頻率分布有顯著差異。

步驟:

1. 設立虛無與對立假設 ($H_0, H_1$)
2. 確定顯著水準 ($\alpha$)
3. 計算期望頻率 ($E_i$)
4. 計算檢定統計量 ($\chi^2$)
5. 確定決策規則 (臨界值或 p-value)
6. 進行分析與解釋

數據整理:
總農民數 $N = 51 + 36 + 33 = 120$ 人。
有三個灌溉系統：Drip line, Sprinkler, Surface。
觀察到的頻率 (Observed Frequencies, $O_i$)：

• Drip line: $O_1 = 51$
• Sprinkler: $O_2 = 36$
• Surface: $O_3 = 33$

1. 虛無與對立假設 (Null and Alternative Hypotheses)

• $H_0$: 農民對這三個灌溉系統沒有偏好，即農民在三個灌溉系統上的分布是均勻的 (或服從某個預設比例)。
  在這個情境下，最自然的假設是農民對三個系統的偏好是均勻的。
  期望頻率 $E_i = \frac{N}{k}$，其中 $N$ 是總數，$k$ 是類別數。
  $E_1 = E_2 = E_3 = \frac{120}{3} = 40$。
• $H_1$: 農民對這三個灌溉系統存在偏好，即農民在三個灌溉系統上的分布不是均勻的。
  (或者更廣泛地說，觀察到的分布與期望的均勻分布不同)。

2. 顯著水準 (Significance Level)

題目已給定：$\alpha = 0.05$。

3. 計算期望頻率 (Expected Frequencies)

根據虛無假設 $H_0$ (農民偏好均勻)，每個灌溉系統應該被 $\frac{120}{3} = 40$ 位農民所偏好。

• 期望頻率 (Drip line): $E_1 = 40$
• 期望頻率 (Sprinkler): $E_2 = 40$
• 期望頻率 (Surface): $E_3 = 40$

4. 計算檢定統計量 (Test Statistic)

卡方檢定統計量為：
$\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$
其中 $k$ 是類別數 (在這裡是 3)。

計算：

• 對於 Drip line: $\frac{(51 - 40)^2}{40} = \frac{11^2}{40} = \frac{121}{40} = 3.025$
• 對於 Sprinkler: $\frac{(36 - 40)^2}{40} = \frac{(-4)^2}{40} = \frac{16}{40} = 0.4$
• 對於 Surface: $\frac{(33 - 40)^2}{40} = \frac{(-7)^2}{40} = \frac{49}{40} = 1.225$

總的卡方值：
$\chi^2 = 3.025 + 0.4 + 1.225 = 4.65$

5. 確定決策規則 (Decision Rule)

本題考查配對樣本 t 檢定 (Paired t-test)，用於比較同一組對象在兩種不同條件下的差異。在此情境下，我們比較的是同一塊土地在噴灑殺蟲劑前後害蟲數量的變化，以判斷殺蟲劑是否有效。

核心觀念: 檢定兩相關樣本（噴灑前後）的平均數是否存在顯著差異。

步驟:

1. 設立虛無與對立假設 ($H_0, H_1$)
2. 確定顯著水準 ($\alpha$)
3. 計算差值 ($d_i$)
4. 計算差值的平均數 ($\bar{d}$) 和標準差 ($s_d$)
5. 計算檢定統計量 ($t$)
6. 確定決策規則 (臨界值或 p-value)
7. 進行分析與解釋

數據整理:
有 8 塊地 (n=8)。
噴灑前害蟲數量 ($x_i$)：18, 21, 14, 12, 17, 16, 15, 12
噴灑後害蟲數量 ($y_i$)：5, 1, 2, 3, 8, 7, 10, 6

1. 虛無與對立假設 (Null and Alternative Hypotheses)

我們想檢定殺蟲劑是否「可以殺死」害蟲，這意味著噴灑後害蟲數量應該顯著減少。
我們定義差值 $d_i = x_i - y_i$ (噴灑前 - 噴灑後)。

• $H_0$: 殺蟲劑無效，即噴灑前後的害蟲數量沒有差異，或噴灑後數量沒有減少。
  $H_0: \mu_d = 0$ (其中 $\mu_d$ 是噴灑前後害蟲數量差值的母體平均數)
  或者，更精確地說，我們可能關注的是噴灑後數量是否顯著減少，所以我們可以設定 $H_0: \mu_d \le 0$。但通常檢定有效性時，會先檢定是否有差異，若有，再看方向。這裡我們檢定是否存在顯著減少，所以對立假設是：
• $H_1$: 殺蟲劑有效，即噴灑後害蟲數量顯著減少。
  $H_1: \mu_d > 0$ (噴灑前數量大於噴灑後數量)。
  這是一個單尾檢定 (right-tailed test)。

2. 顯著水準 (Significance Level)

題目已給定：$\alpha = 0.05$。

3. 計算差值 (Differences)

計算每塊地的噴灑前害蟲數量減去噴灑後數量：

• 地塊1: $d_1 = 18 - 5 = 13$
• 地塊2: $d_2 = 21 - 1 = 20$
• 地塊3: $d_3 = 14 - 2 = 12$
• 地塊4: $d_4 = 12 - 3 = 9$
• 地塊5: $d_5 = 17 - 8 = 9$
• 地塊6: $d_6 = 16 - 7 = 9$
• 地塊7: $d_7 = 15 - 10 = 5$
• 地塊8: $d_8 = 12 - 6 = 6$

差值數據為：$13, 20, 12, 9, 9, 9, 5, 6$。

4. 計算差值的平均數 ($\bar{d}$) 和標準差 ($s_d$)

• 差值的平均數 ($\bar{d}$):
  $\bar{d} = \frac{\sum d_i}{n} = \frac{13+20+12+9+9+9+5+6}{8} = \frac{83}{8} = 10.375$

• 差值的變方 ($s_d^2$):
  首先計算差值的平方和：$\sum d_i^2 = 13^2 + 20^2 + 12^2 + 9^2 + 9^2 + 9^2 + 5^2 + 6^2$
  $= 169 + 400 + 144 + 81 + 81 + 81 + 25 + 36 = 1017$
  樣本變方 $s_d^2 = \frac{\sum d_i^2 - n\bar{d}^2}{n-1}$
  $s_d^2 = \frac{1017 - 8 \times (10.375)^2}{8-1} = \frac{1017 - 8 \times 107.640625}{7} = \frac{1017 - 861.125}{7} = \frac{155.875}{7} \approx 22.26786$

• 差值的標準差 ($s_d$):
  $s_d = \sqrt{s_d^2} = \sqrt{22.26786} \approx 4.71888$

核心觀念

本題比較三種肥料處理下的玉米產量，涉及：

• Pearson 相關係數與相關檢定
• 簡單線性迴歸
• 單因子變異數分析
• 自由度、平方和、均方與 $F$ 檢定
• 實驗設計中的混淆（confounding）

重要問題是：肥料類型與濃度完全綁定：

肥料類型	濃度
Type N	50 ppm
Type P	100 ppm
Type K	200 ppm

因此，無法從本實驗單獨分辨「肥料類型效果」與「濃度效果」。

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(1) 相關分析中的 $X$ 與 $Y$

R 的 cor.test(X, Y) 輸出為：

$$r=0.2818153$$

單由相關分析結果，無法判定哪一個是 $X$、哪一個是 $Y$，因為 Pearson 相關係數具有對稱性：

$$\operatorname{cor}(X,Y)=\operatorname{cor}(Y,X)$$

交換兩個變數後，相關係數、$t$ 值、自由度與 $p$ 值都不會改變。

若依題目的研究方向採通常約定，可令：

• $X=$ 濃度（concentration）
• $Y=$ 產量（yield）

但這是變數命名上的約定，不能由該段 cor.test 輸出本身推得。

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(2) 使用相關分析是否正確？

結論

若目的是研究「濃度對產量的影響」，使用此相關分析並不正確。

原因一：濃度與肥料類型完全混淆

本資料中：

• 50 ppm 永遠搭配 Type N；
• 100 ppm 永遠搭配 Type P；
• 200 ppm 永遠搭配 Type K。

因此，觀察到的產量差異可能來自：

1. 濃度不同；
2. 肥料類型不同；
3. 濃度與肥料類型的共同作用。

由於每種濃度只有一種肥料類型，沒有辦法將兩者效果分開。

例如，Type P 的平均產量為：

$$\bar y_P=\frac{80+71+69+60}{4}=70$$

Type N 的平均產量為：

$$\bar y_N=\frac{54+33+64+47}{4}=49.5$$

這只能說明「Type P、100 ppm 這個整體處理組合」的平均產量高於「Type N、50 ppm」；不能確定差異是由肥料類型或濃度造成。

原因二：相關係數只描述線性關聯

相關係數檢定的是：

$$H_0:\rho=0$$

對立假設為：

$$H_1:\rho\ne 0$$

它只衡量兩個數值變數間的線性關係，不是用來比較三個實驗處理平均數的主要方法。

本題的濃度實際上只有三個處理水準：

$$50,\quad 100,\quad 200$$

且每一水準皆與不同肥料類型綁定，因此將濃度直接視為連續自變數，會把三個不同肥料處理錯誤地解讀成單純的濃度梯度。

補充

相關係數本身可以作為描述性統計量，但不能據此宣稱濃度對產量具有獨立影響，也不能解決肥料類型與濃度的混淆問題。

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(3) 回歸係數 $B1$、$B2$、$B3$

設：

• $Y=$ 產量
• $X=$ 濃度

簡單線性迴歸模型為：

$$Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\varepsilon_i$$

計算 $B1$

資料平均數為：

$$\bar X=\frac{4(50)+4(100)+4(200)}{12} =116.6667$$ $$\bar Y=\frac{722}{12}=60.1667$$

計算：

$$S_{xx}=\sum (X_i-\bar X)^2$$ $$=4(50-116.6667)^2 +4(100-116.6667)^2 +4(200-116.6667)^2$$ $$=46666.6667$$

又有：

$$S_{xy}=\sum (X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y) =2466.6667$$

因此：

$$\hat\beta_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}} =\frac{2466.6667}{46666.6667} =0.052857$$

所以：

$$\boxed{B1=0.0529}$$

截距為：

$$\hat\beta_0=\bar Y-\hat\beta_1\bar X$$ $$=60.1667-(0.052857)(116.6667) =54.000$$

因此迴歸式為：

$$\hat Y=54+0.052857X$$

計算 $B2$

題目已給斜率的標準誤：

$$SE(\hat\beta_1)=0.0569$$

因此：

$$t=\frac{\hat\beta_1}{SE(\hat\beta_1)} =\frac{0.052857}{0.0569} \approx0.92882$$

所以：

$$\boxed{B2=0.92882}$$

計算 $B3$

斜率的檢定為：

$$H_0:\beta_1=0$$ $$H_1:\beta_1\ne0$$

自由度為：

$$df=n-2=12-2=10$$

由 $t=0.92882$、$df=10$ 的雙尾檢定：

$$\boxed{B3=0.3749}$$

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(4) 計算 $R^2$ 並解釋

簡單線性迴歸中：

$$R^2=r^2$$

因此：

$$R^2=(0.2818153)^2 \approx0.0794$$

所以：

$$\boxed{R^2\approx0.0794}$$

解釋為：以濃度建立的簡單線性迴歸模型，只能解釋產量變異約：

$$7.94\%$$

其餘約：

$$100\%-7.94\%=92.06\%$$

無法由此線性模型解釋。

此外，斜率的 $p$ 值為 $0.3749>0.05$，沒有足夠證據拒絕 $\beta_1=0$，因此不能宣稱濃度與產量具有顯著線性關係。

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(5) 使用簡單線性迴歸是否正確？

結論

將本資料分析成「濃度對產量的單純線性迴歸」並不正確，至少不能用來估計濃度的獨立效果。

原因一：肥料類型與濃度完全混淆

模型實際上將下列三種不同處理視為單一濃度變化：

• Type N，50 ppm
• Type P，100 ppm
• Type K，200 ppm

因此迴歸斜率反映的是三個「肥料類型—濃度組合」之間的平均趨勢，不是純粹的濃度效果。

原因二：濃度只有三個不同數值

雖然有 12 筆觀測值，但自變數 $X$ 只有三個不同水準。模型不是依據 12 個不同濃度建立連續劑量反應關係，而是依據三個處理組合估計直線。

原因三：線性關係缺乏實驗設計支持

以三組平均產量表示：

濃度	平均產量
50	49.5
100	70
200	61

產量先上升後下降，並不呈現明顯的線性增加趨勢。即使計算出一條回歸線，也不代表真實的濃度—產量關係是線性的。

正確的實驗設計

若要分辨肥料類型與濃度的效果，必須讓每一種肥料類型都出現在多個濃度，最好採用二因子實驗設計，例如：

$$\text{肥料類型}\times\text{濃度}$$

如此才能估計：

• 肥料類型主效果；
• 濃度主效果；
• 肥料類型與濃度的交互作用。

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(6) 變異數分析表

將三種「肥料類型—濃度組合」視為三個處理組。

樣本數：

$$n=12$$

組數：

$$k=3$$

因此：

$$df_{\text{factor}}=k-1=2$$ $$df_{\text{residual}}=n-k=9$$ $$df_{\text{total}}=n-1=11$$

題目表格給定：

$$SS_{\text{total}}=1681.7$$ $$SS_{\text{residual}}=797.0$$

計算 $C1$