115 年 國立臺灣大學農藝研究所生物統計學組《統計學（B）》

核心觀念

本題考查：

• Poisson 分布及其適用條件。
• 兩個 Poisson 發生率之比較。
• 大樣本常態近似與檢定統計量。
• 型一錯誤與型二錯誤。
• 樣本數增加對檢定力的影響。

令一天內流浪貓與流浪狗的出現隻數分別為 $X$ 與 $Y$，其平均出現率分別為 $\lambda_C$ 與 $\lambda_D$。

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(A) 機率分布

在固定時間內，若事件具有以下特性：

1. 不同時間區間內的出現事件彼此獨立；
2. 單位時間內的平均出現率固定；
3. 極短時間內同時出現兩隻以上的機率可忽略；

則固定時間內的事件發生次數適合以 Poisson 分布描述。

因此，一天內流浪貓與流浪狗的數量可分別表示為

$$X\sim \operatorname{Poisson}(24\lambda_C),$$ $$Y\sim \operatorname{Poisson}(24\lambda_D).$$

若以「一天」作為時間單位，也可簡寫為

$$X\sim \operatorname{Poisson}(\lambda_C),\qquad Y\sim \operatorname{Poisson}(\lambda_D),$$

其中此時的 $\lambda_C,\lambda_D$ 代表每天的平均出現隻數。

Poisson 分布的重要性質為

$$E(X)=\operatorname{Var}(X)=\lambda_C t,$$ $$E(Y)=\operatorname{Var}(Y)=\lambda_D t,$$

其中 $t$ 為觀察時間。

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(B) 假設檢定

欲檢定流浪狗的密度是否大於流浪貓的密度，即檢定

$$\lambda_D>\lambda_C.$$

因此假設為

$$H_0:\lambda_D=\lambda_C,$$ $$H_1:\lambda_D>\lambda_C.$$

也可寫成

$$H_0:\lambda_D-\lambda_C=0, \qquad H_1:\lambda_D-\lambda_C>0.$$

這是右尾檢定，因為研究問題關心的是流浪狗密度是否「大於」流浪貓密度。

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(C) 檢定統計量與拒絕域

1. 建立差異的近似分布

假設貓、狗的出現次數彼此獨立，則

$$E(Y-X)=t(\lambda_D-\lambda_C),$$

且

$$\operatorname{Var}(Y-X) =\operatorname{Var}(Y)+\operatorname{Var}(X) =t\lambda_D+t\lambda_C.$$

在虛無假設 $H_0:\lambda_D=\lambda_C=\lambda$ 下，

$$E(Y-X)=0,$$ $$\operatorname{Var}(Y-X)=2t\lambda.$$

由於未知參數 $\lambda$，以合併資料估計：

$$\hat{\lambda} =\frac{X+Y}{2t}.$$

因此，

$$2t\hat{\lambda}=X+Y.$$

在大樣本近似下，檢定統計量為

$$Z= \frac{Y-X}{\sqrt{X+Y}} \overset{\text{近似}}{\sim}N(0,1).$$

若直接以出現率表示，則等價寫成

$$Z= \frac{\hat{\lambda}_D-\hat{\lambda}_C} {\sqrt{(\hat{\lambda}_D+\hat{\lambda}_C)/t}}.$$

2. 拒絕域

顯著水準為 $\alpha=0.05$，且為右尾檢定，因此拒絕域為

$$Z>z_{0.95}=1.645\approx 1.65.$$

所以：

$$\boxed{\text{若 }Z>1.65,\text{ 則拒絕 }H_0。}$$

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(D) 根據一天資料判斷

一天內觀察到

$$X=11,\qquad Y=14.$$

代入檢定統計量：

$$Z= \frac{14-11}{\sqrt{14+11}} = \frac{3}{5} =0.60.$$

由於

核心觀念

本題考查三個重點：

1. 列聯表中的獨立性與條件分布
2. 卡方獨立性檢定與卡方同質性檢定的適用情境
3. 模型參數個數、期望次數與統計關聯和因果關係的區別

本題為 $3\times 4$ 列聯表：

• 耕作管理方式：3 類
• 病害發生程度：4 類

令 $p_{ij}$ 表示第 $i$ 種耕作方式且病害程度為第 $j$ 級的母體機率。

若兩變數相互獨立，則

$$p_{ij}=p_{i+}p_{+j},$$

等價於

$$P(\text{病害程度}=j\mid \text{耕作方式}=i) = P(\text{病害程度}=j).$$

在獨立性假設下，期望次數為

$$E_{ij}=\frac{n_{i+}n_{+j}}{n}.$$

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解題方法

判斷各選項時，依序檢查：

• 敘述是否符合獨立性的定義；
• 抽樣方式是否符合獨立性檢定或同質性檢定；
• 母體機率參數是否扣除總和為 1 的限制；
• 卡方檢定的拒絕域是否位於右尾；
• 顯著關聯是否足以支持因果結論。

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選項分析

(A) 正確

若耕作管理方式與病害發生程度在母體中相互獨立，則病害程度的條件分布不會因耕作管理方式不同而改變：

$$P(\text{病害程度}=j\mid \text{慣行}) = P(\text{病害程度}=j\mid \text{有機}) = P(\text{病害程度}=j\mid \text{友善}).$$

因此，敘述正確。

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(B) 正確

樣本是從台灣農戶母體中以簡單隨機抽樣取得，每一農戶同時具有：

• 一種耕作管理方式；
• 一種病害發生程度。

因此資料形成一個單一隨機樣本的列聯表，適合使用卡方獨立性檢定，檢驗兩個類別變數是否相互獨立。

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(C) 錯誤

在 $3\times4$ 列聯表中，完整列聯機率模型有 $12$ 個細胞機率，但總和必須為 1，因此可自由變動的參數數目為

$$12-1=11.$$

在獨立性虛無假設下，

$$p_{ij}=p_{i+}p_{+j}.$$

其中：

• 3 個列邊際機率有 $3-1=2$ 個自由參數；
• 4 個欄邊際機率有 $4-1=3$ 個自由參數。

因此虛無假設下的自由參數數目為

$$(3-1)+(4-1)=2+3=5.$$

所以正確數目為：

• 虛無假設：5 個；
• 對立假設：11 個。

題目所述的 7 與 12 均不正確。

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(D) 正確

若研究者先依照耕作管理方式分成三組，再分別從慣行、有機、友善農戶中抽樣，則每一組都有自己的病害程度分布。

此時檢驗的是：

$$H_0: \text{三種耕作方式下的病害程度分布相同}$$

對抗

$$H_1: \text{至少有一種耕作方式的病害程度分布不同}.$$

這正是卡方同質性檢定的適用情境。

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(E) 錯誤

由不同耕作管理方式的農戶中分別抽樣，屬於乘積多項分布模型。每一種耕作方式下，病害程度有 4 個機率，且每列機率總和為 1。

在對立假設下，三列分布各自可不同，因此每列有

$$4-1=3$$

本題主要考驗對不同統計分析方法的應用、解釋、以及其在特定研究情境下的適用性與限制。題目要求從統計效度(Statistical Validity)和生物意涵(Biological Interpretation)兩個角度進行評估。

整體研究背景與主要分析結果：
研究探討三種肥料處理（化學、有機、無）對小麥產量的影響。
主要 ANOVA 分析結果顯示三者產量有顯著差異 ($F(2,87)=18.73, p<0.001$)。
Tukey's HSD 事後檢定顯示：

• 化學肥料 vs. 無肥料：p<0.001 (顯著差異)
• 化學肥料 vs. 有機肥料：p=0.002 (顯著差異)
• 有機肥料 vs. 無肥料：p=0.184 (無顯著差異)
  結論：化學肥料處理的產量顯著高於有機肥料和無肥料。

統計假設：

• 變異數齊性：無顯著差異 (F-test for equality of variances)。
• 資料近似常態分布 (normally distributed)。
• 處理是隨機分配的。

這些假設對於 ANOVA 和 Tukey's HSD 是符合的。

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案例 A：產量對土壤氮(N)含量的簡單線性迴歸

問題 3A(a): 評估案例A的統計效度 (Statistical Validity)

核心觀念： 迴歸分析的適用條件、結果解釋與研究目的的符合性。

分析：
研究人員對每種處理分別進行了產量對土壤氮(N)含量的簡單線性迴歸。

• 統計效度問題：
  1. 研究目的不符： 主要研究目的是比較「肥料處理」對「小麥產量」的影響。ANOVA 和 Tukey's HSD 是直接比較不同肥料處理組的平均產量。而案例 A 的分析是將「產量」與「土壤氮含量」進行迴歸，試圖建立產量與土壤氮含量之間的關係。雖然肥料處理會影響土壤氮含量，但此分析的重點放在「土壤氮含量」而非「肥料處理」本身。這相當於將「肥料處理」視為一個隱藏的因子，間接通過土壤氮含量來探討。
  2. 迴歸分析的假設： 線性迴歸要求殘差服從常態分布、獨立且變異數恆定。雖然 ANOVA 的結果顯示資料近似常態且變異數齊性，但此處是針對「產量」本身，而非「殘差」。迴歸分析的殘差假設需要另外驗證。
  3. 解釋上的誤導： 結論「化學肥料處理的 R² 值最高 0.78。因此，化學肥料是最佳的肥料。」是錯誤的。R² 值反映了土壤氮含量能解釋產量變異的比例，而不是肥料處理的優劣。化學肥料處理的 R² 高，僅表示在此處理下，土壤氮含量與產量之間的線性關係較強，土壤氮含量對產量的影響較大。它並不能直接證明化學肥料本身是「最佳」的，因為 ANOVA 和 Tukey's HSD 的結果已經直接證明了這一點，且它們是針對「處理」本身進行比較。
  4. 數據誤用： 雖然每種處理都有 30 個樣本，但進行獨立迴歸時，實際上是利用了每組內的數據點。對於「化學肥料」組，其平均產量是 52.5，土壤氮含量未知（題目只說測量了，但未提供各組的平均土壤氮含量）。如果直接用產量對土壤氮含量做迴歸，則需要知道每塊田地的土壤氮含量。如果這裡的分析是基於「平均產量」對「平均土壤氮含量」進行迴歸，那樣本數將會很小（只有 3 個點，每個點代表一個處理的平均值），無法進行有效的迴歸分析。
  5. 忽略隨機分配的資訊： ANOVA 和 Tukey's HSD 充分利用了隨機分配的資訊，能夠較好地控制潛在的干擾因素。而獨立迴歸分析，如果沒有正確納入處理的資訊，則可能忽略了這一點。

建議修正：

• 如果研究目的是比較肥料處理的優劣，應主要依賴 ANOVA 和 Tukey's HSD 的結果。
• 如果研究目的是探討土壤氮含量對產量的影響，應在迴歸模型中納入「肥料處理」作為因子變數，並可能將「土壤氮含量」作為連續變數，進行多因子迴歸分析，例如：Yield = $\beta_0 + \beta_1 \times \text{Treatment} + \beta_2 \times \text{Soil N} + \epsilon$（其中 Treatment 是因子變數，Soil N 是連續變數）。
• 驗證迴歸分析的假設。
• 避免將 R² 值直接解讀為肥料處理的優劣。

結論： 統計效度低。分析方法（簡單線性迴歸）與研究目的（比較肥料處理）不符，解釋錯誤，且可能誤用了數據。

問題 3A(b): 評估案例A的生物意涵 (Biological Interpretation)

核心觀念： 統計結果如何轉化為農業實務的見解，並考慮研究背景。

分析：

• 生物意涵問題：
  1. 結論的誤導性： 結論「化學肥料是最佳的肥料」是基於 R² 值，這是錯誤的。生物學上，最佳肥料應能提供作物所需養分，促進生長，並在成本效益上具有優勢。
  2. 忽略了土壤氮含量本身： 雖然化學肥料處理下的 R² 最高，這可能意味著土壤氮含量是影響產量的一個重要因素，並且在化學肥料處理下，土壤氮含量與產量之間存在較強的線性關係。然而，這並不能直接說明化學肥料在生物學上比有機肥料或無肥料「更佳」。例如，有機肥料可能通過緩慢釋放養分、改善土壤結構等方式發揮作用，其效果可能在更長時間或不同環境下體現，而簡單線性迴歸可能無法捕捉這些複雜的生物學機制。
  3. 未考慮養分釋放機制： 化學肥料通常提供速效氮，而有機肥料提供緩釋氮。簡單線性迴歸可能無法區分這種養分釋放速率的差異對作物生長的影響。
  4. 未考慮成本和環境影響： 生物學上的「最佳」還應考慮肥料的成本、對環境的影響（如氮素流失、溫室氣體排放等）。此分析完全沒有涉及這些生物學或農業經濟學的考量。

建議修正：

• 解釋應基於 ANOVA 和 Tukey's HSD 的結果，指出化學肥料處理在當前條件下能產生最高的平均產量。
• 如果要探討土壤氮含量，應將其作為模型的一部分，而不是結論的唯一依據。
• 應結合肥料的養分釋放機制、成本、環境影響等因素，從更全面的角度來討論哪種肥料「最佳」。例如，化學肥料可能在短期內提高產量，但長期來看，有機肥料可能對土壤健康更有益。

結論： 生物意涵解讀錯誤且片面。僅依賴 R² 值來判斷肥料的優劣，忽略了肥料作用機制、成本、環境影響等關鍵生物學和農業實務考量。

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案例 B：計算變異係數 (Coefficient of Variation, CV)

問題 3B(a): 評估案例B的統計效度 (Statistical Validity)

核心觀念： CV 的定義、適用性以及與研究目的的符合性。

分析：
CV 定義為 (標準差 / 平均值) × 100%。它用於衡量變異數相對於平均值的比例，適用於比較不同尺度或平均值差異很大的數據集的變異程度。

• 統計效度問題：
  1. CV 的適用性： CV 用於衡量相對變異性。在本研究中，三種處理的平均產量 (52.5, 45.8, 43.2) 差異並不大，標準差 (5.9, 6.2, 6.0) 也相對接近。CV 可以用來比較這三組數據的變異性。
  2. CV 的解釋與研究目的： 結論「化學肥料的 CV 最低 11.2%。因此，化學肥料是最佳的肥料。」是錯誤的。CV 低表示數據的變異性相對較小，即產量比較穩定。雖然穩定性可能是農業生產中的一個考量，但「最佳肥料」的定義通常是基於「產量」本身，而不是變異性。ANOVA 和 Tukey's HSD 的結果直接證明了化學肥料處理的平均產量最高，這是判斷「最佳」的更直接和恰當的標準。
  3. 統計假設： CV 本身不要求數據服從常態分佈或變異數齊性，但計算 CV 的前提是計算平均值和標準差。如果數據嚴重偏離常態，標準差的解釋可能會有問題。不過，題目已說明資料近似常態。
  4. 潛在問題： 如果平均值非常接近零，CV 的解釋會變得困難或無意義。在本例中，平均產量均大於 40，CV 的計算是合理的。

建議修正：

• 應將 CV 作為衡量產量穩定性的一個指標，而不是判斷「最佳肥料」的唯一或主要標準。
• 應優先參考 ANOVA 和 Tukey's HSD 的結果來判斷哪種肥料處理的平均產量最高，從而確定「最佳」肥料。
• 可以將 CV 的結果與 ANOVA 的結果結合解釋，例如：化學肥料處理不僅提供了最高的平均產量，而且其產量變異性相對較小（CV 最低），這意味著在這種處理下，產量更加穩定可靠。

結論： 統計效度中等偏低。CV 的計算本身是正確的，但其結論的解讀（將 CV 低等同於「最佳肥料」）是錯誤的，並且忽略了更直接的判斷指標（平均產量）。

問題 3B(b): 評估案例B的生物意涵 (Biological Interpretation)

核心觀念： CV 的生物學意義，以及如何結合實際生產考量。

分析：

• 生物意涵問題：
  1. CV 的意義： 較低的 CV (11.2%) 表示在化學肥料處理組中，各田地的產量比較接近平均值 (52.5)，相對穩定。較高的 CV (13.5%, 13.9%) 表示在有機肥料和無肥料處理組中，產量的波動性較大。
  2. 「最佳肥料」的誤解： 僅憑 CV 低就斷定化學肥料是「最佳」的，這忽略了生物學上的實際需求。農民關心的是能獲得高產量且穩定可靠的肥料。雖然 CV 低意味著穩定，但如果其平均產量也高，則更具生物學意義。
  3. 實際生產考量： 農民在選擇肥料時，會權衡產量、穩定性、成本、環境影響等因素。高產量和穩定性都是重要的目標。
     • 化學肥料：高產量 (平均 52.5)，相對穩定 (CV 11.2%)。
     • 有機肥料：中等產量 (平均 45.8)，波動較大 (CV 13.5%)。
     • 無肥料：最低產量 (平均 43.2)，波動較大 (CV 13.9%)。
  4. 更全面的解釋： 從生物學和實際生產角度看，化學肥料處理不僅提供了最高的平均產量，而且其產量波動性相對較小，這對農民來說可能意味著更可預測的收成。有機肥料和無肥料處理的產量較低，且波動性更大，可能意味著這些處理對環境變化更敏感，或其養分供應機制不如化學肥料穩定。

建議修正：

• 解釋應強調化學肥料在「高產量」和「產量穩定性」兩方面都表現較好。
• 可以補充說明，雖然化學肥料在短期內產量表現優異，但農民仍需考慮其長期對土壤健康和環境的影響，以及與有機肥料在長期效益上的權衡。

結論： 生物意涵解讀基本合理，但將「CV 最低」直接等同於「最佳」是不夠的。應將其與平均產量結合，並考慮其他實際因素。

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案例 C：計算高產量 (Yield > 50) 的條件機率

問題 3C(a): 評估案例C的統計效度 (Statistical Validity)

核心觀念： 條件機率的計算與解釋，以及與研究目的的符合性。

分析：
研究人員計算了在不同肥料處理下，達到高產量 (Yield > 50 bushels/acre) 的條件機率。

• 統計效度問題：
  1. 方法適當性： 計算條件機率 $P(\text{Yield} > 50 | \text{Treatment})$ 是研究「在高產量方面，不同處理的效果如何」的一個有效方法。這直接回答了「哪種處理更容易達到高產量」的問題。
  2. 數據使用： 數據來源是每種處理的 30 個樣本。計算 $18/30$, $7/30$, $4/30$ 是基於樣本數據的條件機率估計，這是恰當的。
  3. 結論的誤導性： 結論「化學肥料處理達到高產量的機率最高 60%。因此，化學肥料是最佳的肥料。」存在誤導。
     • 雖然 60% 是三個條件機率中最高的，這確實是個有用的資訊。
     • 然而，「最佳肥料」的判斷不應僅基於「達到高產量的機率」。它應該綜合考慮平均產量、產量穩定性、成本、環境影響等。例如，如果有機肥料的平均產量雖然不高，但其達到高產量的機率也顯著提升（例如從 13.3% 提升到 23.3%），這也可能是有價值的資訊。
  4. 忽略了其他產量等級： 此分析只關注了「高產量」 (>50)，而忽略了產量在 50 以下的分布情況（無、輕度、中度、嚴重）。ANOVA 分析考慮了所有產量的分布。

建議修正：

• 應將此條件機率的結果作為 ANOVA 和 Tukey's HSD 結果的補充資訊，用於闡述不同處理在達到「高產量」這一特定目標上的表現。