113 年 國立臺灣大學農藝研究所生物統計學組《統計學（B）》

核心觀念

本題考查：

• 條件機率：$P(A\mid B)$
• 機率樹中同一分支下各結果機率總和為 $1$
• 事件獨立性：
  $P(A\cap B)=P(A)P(B)$
• 聯集事件：
  $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$
  （本題兩事件互斥）
• 邊際機率與全機率公式

依考卷圖示，樹狀圖中的數值為：

$P(F=Y)=0.3,\qquad P(F=N)=0.7$

且

$P(I=S\mid F=Y)=0.35,\qquad P(I=N\mid F=Y)=0.2$

$P(I=S\mid F=N)=0.65,\qquad P(I=N)=0.13$

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解題方法

由於肥料使用與灌溉方式相互獨立，因此：

$P(I=j\mid F=Y)=P(I=j\mid F=N)=P(I=j)$

先利用各分支機率總和為 $1$，求出未知的條件機率。

（1）求 $P(I=D\mid F=Y)$

在 $F=Y$ 的分支下：

$P(I=D\mid F=Y)+0.35+0.2=1$

因此：

$P(I=D\mid F=Y)=1-0.35-0.2=0.45$

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（2）求 $P(I=D\cap F=Y)$

$$P(I=D\cap F=Y) =P(F=Y)P(I=D\mid F=Y)$$

$=0.3\times 0.45=0.135$

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（3）求 $P(I=S\cap F=N)$

$$P(I=S\cap F=N) =P(F=N)P(I=S\mid F=N)$$

$=0.7\times 0.65=0.455$

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各小題詳解

（a）$P(I=D\mid F=Y)$

由同一分支下各灌溉方式機率總和為 $1$：

$P(I=D\mid F=Y)=1-0.35-0.2$

$\boxed{P(I=D\mid F=Y)=0.45}$

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（b）$P\big((I=D\cap F=Y)\cup(F=N\cap I=S)\big)$

兩事件分別代表：

• 使用肥料且採用滴灌
• 不使用肥料且採用噴灌

兩者不可能同時發生，因此為互斥事件：

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

所以：

$P(I=D\cap F=Y)=0.3\times0.45=0.135$

$P(F=N\cap I=S)=0.7\times0.65=0.455$

因此：

$P\big((I=D\cap F=Y)\cup(F=N\cap I=S)\big)$

$=0.135+0.455=\boxed{0.59}$

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（c）$P(I=N\cap F=N)$

已知：

$P(I=N)=0.13$

而：

本題主要考驗對卜瓦松分布的理解與應用，包括計算特定次數的機率、計算累積機率，以及在樣本數較大時使用常態近似卜瓦松分布。

給定一個感測器的故障率 $\lambda = 0.3$ 次/年。故障次數 $X$ 服從卜瓦松分布 $P(X=x) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}$。

(a) 計算一個感測器每年故障正好一次($x=1$)的機率。
我們直接將 $\lambda=0.3$ 和 $x=1$ 代入卜瓦松分布公式：
$P(X=1) = \frac{e^{-0.3}(0.3)^1}{1!} = 0.3e^{-0.3}$
計算 $e^{-0.3} \approx 0.7408$。
$P(X=1) \approx 0.3 \times 0.7408 = 0.22224$。

【答案】$P(X=1) \approx 0.2222$

(b) 計算一個感測器每年故障一次以上($x > 1$)的機率。
故障一次以上，即故障次數為 2, 3, 4, ...。
計算這個機率的較快方法是利用補集事件：P(X > 1) = 1 - P(X ≤ 1)。
$P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1)$。
$P(X=0) = \frac{e^{-0.3}(0.3)^0}{0!} = e^{-0.3} \approx 0.7408$。
$P(X=1) \approx 0.2222$ (由(a)小題計算)。
$P(X \le 1) \approx 0.7408 + 0.2222 = 0.9630$。
$P(X > 1) = 1 - P(X \le 1) \approx 1 - 0.9630 = 0.0370$。

【答案】$P(X > 1) \approx 0.0370$

(c) 有20個感測器,計算每年總共故障5次($x=5$)的機率。
當我們有 $n$ 個獨立的卜瓦松隨機變數 $X_1, X_2, ..., X_n$，其參數分別為 $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$，則它們的和 $Y = X_1 + X_2 + ... + X_n$ 也服從卜瓦松分布，其參數為 $\Lambda = \lambda_1 + \lambda_2 + ... + \lambda_n$。
在此題中，有20個感測器，每個感測器的故障率為 $\lambda = 0.3$。
所以，總故障數 $Y$ 服從卜瓦松分布，其參數為 $\Lambda = n \times \lambda = 20 \times 0.3 = 6$。
我們需要計算 $P(Y=5)$，其中 $Y \sim Poisson(\Lambda=6)$。

核心觀念

已知蘋果族群平均重量 $\mu=50$、族群標準差 $\sigma=10$，抽取樣本數 $n=5$。樣本平均數 $\bar X$ 的抽樣分布為

$$\bar X\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right),$$

因此樣本平均數的標準誤為

$$\sigma_{\bar X}=\frac{\sigma}{\sqrt n} =\frac{10}{\sqrt5}.$$

80%中央區間所對應的標準常態臨界值為

$$z_{0.90}=1.2816,$$

因為中央機率為 $0.80$，左右兩尾各為 $0.10$。

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解題方法

題目未提供實際抽出的5個蘋果重量，因此沒有觀察到的樣本平均數 $\bar x$。依題意，計算的是「樣本平均重量落在何範圍內的80%區間」，以已知的族群平均數 $\mu=50$作為中心：

$$\mu\pm z_{0.90}\frac{\sigma}{\sqrt n}.$$

代入數值：

$$50\pm 1.2816\left(\frac{10}{\sqrt5}\right).$$

先計算樣本平均數的標準誤：

$$\frac{10}{\sqrt5}\approx 4.4721.$$

再計算誤差範圍：

$$1.2816(4.4721)\approx 5.732.$$

因此區間為

本題主要考驗對變異數檢定 (F檢定) 和平均數檢定 (t檢定) 的應用，特別是當兩組樣本的變異數未知但可由樣本計算時。

首先，我們需要計算兩組樣本的平均值、變異數和標準差。
人工測定 (A): $n_1 = 8$
數據: 4.5, 5.6, 6.5, 7.5, 8.6, 9.8, 10.7, 12
樣本平均值 $\bar{x}_1 = \frac{4.5+5.6+6.5+7.5+8.6+9.8+10.7+12}{8} = \frac{65.2}{8} = 8.15$
樣本變異數 $s_1^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n_1}(x_{1i} - \bar{x}_1)^2}{n_1-1}$
$\sum(x_{1i} - \bar{x}_1)^2 = (4.5-8.15)^2 + (5.6-8.15)^2 + (6.5-8.15)^2 + (7.5-8.15)^2 + (8.6-8.15)^2 + (9.8-8.15)^2 + (10.7-8.15)^2 + (12-8.15)^2$
$= (-3.65)^2 + (-2.55)^2 + (-1.65)^2 + (-0.65)^2 + (0.45)^2 + (1.65)^2 + (2.55)^2 + (3.85)^2$
$= 13.3225 + 6.5025 + 2.7225 + 0.4225 + 0.2025 + 2.7225 + 6.5025 + 14.8225 = 47.2225$
$s_1^2 = \frac{47.2225}{8-1} = \frac{47.2225}{7} \approx 6.7461$

儀器測定 (I): $n_2 = 8$
數據: 6, 6.8, 7.6, 8, 8.5, 9, 9.5, 9.8
樣本平均值 $\bar{x}_2 = \frac{6+6.8+7.6+8+8.5+9+9.5+9.8}{8} = \frac{65.2}{8} = 8.15$
樣本變異數 $s_2^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n_2}(x_{2i} - \bar{x}_2)^2}{n_2-1}$
$\sum(x_{2i} - \bar{x}_2)^2 = (6-8.15)^2 + (6.8-8.15)^2 + (7.6-8.15)^2 + (8-8.15)^2 + (8.5-8.15)^2 + (9-8.15)^2 + (9.5-8.15)^2 + (9.8-8.15)^2$
$= (-2.15)^2 + (-1.35)^2 + (-0.55)^2 + (-0.15)^2 + (0.35)^2 + (0.85)^2 + (1.35)^2 + (1.65)^2$
$= 4.6225 + 1.8225 + 0.3025 + 0.0225 + 0.1225 + 0.7225 + 1.8225 + 2.7225 = 12.1625$
$s_2^2 = \frac{12.1625}{8-1} = \frac{12.1625}{7} \approx 1.7375$

(a) 檢定兩種測定法之變異是否相同。
這是檢定兩個獨立樣本變異數是否相等的 F 檢定。
虛無假設 $H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$
對立假設 $H_1: \sigma_1^2 \ne \sigma_2^2$
檢定統計量為 $F = \frac{s_1^2}{s_2^2}$ (通常將較大的變異數放在分子，以進行單尾檢定)。
在此，$s_1^2 \approx 6.7461$ (人工)，$s_2^2 \approx 1.7375$ (儀器)。
$F = \frac{6.7461}{1.7375} \approx 3.8828$。
自由度為 $(n_1-1, n_2-1) = (7, 7)$。
顯著水準為 $\alpha$ (題目未給定，通常假設為 0.05)。
我們需要查找 F 分布的臨界值 $F_{\alpha/2, n_1-1, n_2-1}$ 和 $F_{1-\alpha/2, n_1-1, n_2-1}$。
對於雙尾檢定，臨界值為 $F_{0.025, 7, 7}$。
查 F 分布表，對於自由度 (7, 7)，$\alpha=0.05$ 時的臨界值為 $F_{0.025, 7, 7} \approx 4.99$。
(或者，如果採用單尾檢定，即 $H_1: \sigma_1^2 > \sigma_2^2$ 或 $H_1: \sigma_1^2 < \sigma_2^2$。如果我們將較大的變異數放在分子，$H_1: \sigma_1^2 \ne \sigma_2^2$ 是雙尾檢定。

本題考驗對單因子變異數分析 (One-way ANOVA) 的應用，包括計算 ANOVA 表、判斷因子是否有顯著影響，以及事後比較 (Post-hoc test)，這裡使用 LSD (Least Significant Difference) 方法。

首先，整理數據，計算各組的樣本數、平均值、變異數和總體平均值。
飼料 A (A): $n_1 = 4$, 數據: 4, 6, 10, 4。
$\bar{x}_A = \frac{4+6+10+4}{4} = \frac{24}{4} = 6$。
$\sum x_A^2 = 4^2 + 6^2 + 10^2 + 4^2 = 16 + 36 + 100 + 16 = 168$。
$SS_A = \sum x_A^2 - \frac{(\sum x_A)^2}{n_1} = 168 - \frac{24^2}{4} = 168 - \frac{576}{4} = 168 - 144 = 24$。
$s_A^2 = \frac{SS_A}{n_1-1} = \frac{24}{3} = 8$。

飼料 B (B): $n_2 = 4$, 數據: 10, 13, 10, 11。
$\bar{x}_B = \frac{10+13+10+11}{4} = \frac{44}{4} = 11$。
$\sum x_B^2 = 10^2 + 13^2 + 10^2 + 11^2 = 100 + 169 + 100 + 121 = 490$。
$SS_B = \sum x_B^2 - \frac{(\sum x_B)^2}{n_2} = 490 - \frac{44^2}{4} = 490 - \frac{1936}{4} = 490 - 484 = 6$。
$s_B^2 = \frac{SS_B}{n_2-1} = \frac{6}{3} = 2$。

飼料 C (C): $n_3 = 4$, 數據: 4, 10, 5, 9。
$\bar{x}_C = \frac{4+10+5+9}{4} = \frac{28}{4} = 7$。
$\sum x_C^2 = 4^2 + 10^2 + 5^2 + 9^2 = 16 + 100 + 25 + 81 = 222$。
$SS_C = \sum x_C^2 - \frac{(\sum x_C)^2}{n_3} = 222 - \frac{28^2}{4} = 222 - \frac{784}{4} = 222 - 196 = 26$。
$s_C^2 = \frac{SS_C}{n_3-1} = \frac{26}{3} \approx 8.6667$。

總樣本數 $N = n_1 + n_2 + n_3 = 4 + 4 + 4 = 12$。
總平均值 $\bar{x}_{grand} = \frac{\sum x_A + \sum x_B + \sum x_C}{N} = \frac{24 + 44 + 28}{12} = \frac{96}{12} = 8$。
總平方和 (Total Sum of Squares, SST)
$SST = \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x}_{grand})^2 = (\sum x_A^2 + \sum x_B^2 + \sum x_C^2) - \frac{(\sum x)^2}{N}$
$SST = (168 + 490 + 222) - \frac{96^2}{12} = 880 - \frac{9216}{12} = 880 - 768 = 112$。

組間平方和 (Sum of Squares Between groups, SSB)
$SSB = \sum_{j=1}^{k} n_j (\bar{x}_j - \bar{x}_{grand})^2 = n_1(\bar{x}_A - \bar{x}_{grand})^2 + n_2(\bar{x}_B - \bar{x}_{grand})^2 + n_3(\bar{x}_C - \bar{x}_{grand})^2$
$SSB = 4(6-8)^2 + 4(11-8)^2 + 4(7-8)^2$
$SSB = 4(-2)^2 + 4(3)^2 + 4(-1)^2 = 4(4) + 4(9) + 4(1) = 16 + 36 + 4 = 56$。

組內平方和 (Sum of Squares Within groups, SSW)

本題考驗對簡單線性迴歸的應用，包括計算相關係數、迴歸方程式、變異數分析以及決定係數。

首先，我們需要計算相關數據，包括樣本數、平均值、標準差、平方和與交叉乘積和。
樣本數 $n = 6$。
X (氮肥用量): 0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5
$\bar{x} = \frac{0+0.5+1.0+1.5+2.0+2.5}{6} = \frac{7.5}{6} = 1.25$
$\sum x^2 = 0^2 + 0.5^2 + 1.0^2 + 1.5^2 + 2.0^2 + 2.5^2 = 0 + 0.25 + 1 + 2.25 + 4 + 6.25 = 13.75$
$SS_X = \sum x^2 - \frac{(\sum x)^2}{n} = 13.75 - \frac{(7.5)^2}{6} = 13.75 - \frac{56.25}{6} = 13.75 - 9.375 = 4.375$
$s_x = \sqrt{\frac{SS_X}{n-1}} = \sqrt{\frac{4.375}{5}} = \sqrt{0.875} \approx 0.9354$

Y (稻穀收量): 10, 18, 32, 48, 55, 62
$\bar{y} = \frac{10+18+32+48+55+62}{6} = \frac{225}{6} = 37.5$
$\sum y^2 = 10^2 + 18^2 + 32^2 + 48^2 + 55^2 + 62^2 = 100 + 324 + 1024 + 2304 + 3025 + 3844 = 10621$
$SS_Y = \sum y^2 - \frac{(\sum y)^2}{n} = 10621 - \frac{(225)^2}{6} = 10621 - \frac{50625}{6} = 10621 - 8437.5 = 2183.5$
$s_y = \sqrt{\frac{SS_Y}{n-1}} = \sqrt{\frac{2183.5}{5}} = \sqrt{436.7} \approx 20.90$

交叉乘積和 $S_{xy} = \sum xy - \frac{(\sum x)(\sum y)}{n}$
$\sum xy = (0 \times 10) + (0.5 \times 18) + (1.0 \times 32) + (1.5 \times 48) + (2.0 \times 55) + (2.5 \times 62)$
$= 0 + 9 + 32 + 72 + 110 + 155 = 378$
$S_{xy} = 378 - \frac{(7.5)(225)}{6} = 378 - \frac{1687.5}{6} = 378 - 281.25 = 96.75$

(a) 計算氮肥用量與稻穀收量之相關係數並檢定之。
相關係數 $r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{SS_X SS_Y}}$
$r = \frac{96.75}{\sqrt{4.375 \times 2183.5}} = \frac{96.75}{\sqrt{9555.3125}} = \frac{96.75}{97.7512} \approx 0.9897$

檢定相關係數是否顯著。
虛無假設 $H_0: \rho = 0$ (族群相關係數為 0)
對立假設 $H_1: \rho \ne 0$
檢定統計量 $t = r \sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}}$
$t = 0.9897 \sqrt{\frac{6-2}{1-(0.9897)^2}} = 0.9897 \sqrt{\frac{4}{1-0.9800}} = 0.9897 \sqrt{\frac{4}{0.0200}} = 0.9897 \sqrt{200} = 0.9897 \times 14.142 \approx 14.00$
自由度 $df = n-2 = 6-2 = 4$。
顯著水準 $\alpha = 0.05$ (假設)。
臨界值 $t_{\alpha/2, df} = t_{0.025, 4}$。
查 t 分布表，$t_{0.025, 4} = 2.776$。
由於 $|14.00| > 2.776$，我們拒絕虛無假設 $H_0$。
因此，相關係數顯著不為零，表示氮肥用量與稻穀收量之間存在顯著的線性關係。