109 年 國立臺灣大學農藝系暨研究所生物統計甲組《統計學（J）》

這題主要在考驗對敘述性統計量（平均數、眾數、中位數）、圖形表示（盒鬚圖）以及變異數衡量指標（標準差、變異數）的基本理解，並涉及統計軟體（R）的基本操作。

(a) 計算算術平均數、眾數與中位數：
首先，將數據 $x$ 由小到大排序：1, 2, 3, 3, 5, 6, 6, 8。
算術平均數 (Mean)：所有數據的總和除以數據的個數。
$\bar{x} = \frac{1+8+3+2+6+5+6+3}{8} = \frac{34}{8} = 4.25$

眾數 (Mode)：數據中出現頻率最高的數值。在此數據中，數字 3 和 6 都出現兩次，是出現頻率最高的，因此此數據有兩個眾數。
眾數 = 3, 6

中位數 (Median)：數據排序後，位於最中間的數值。由於數據個數為偶數（8個），中位數為中間兩個數值的平均。
排序後數據為：1, 2, 3, 3, 5, 6, 6, 8。中間兩個數值是 3 和 5。
中位數 = $\frac{3+5}{2} = 4$

(b) 畫出 $x$ 的盒鬚圖 (Box Plot)：
盒鬚圖需要五數摘要 (Five-Number Summary)，包含最小值、第一四分位數 (Q1)、中位數 (Median)、第三四分位數 (Q3) 和最大值。
數據：1, 2, 3, 3, 5, 6, 6, 8
最小值 = 1
最大值 = 8
中位數 = 4 (已計算)

計算 Q1：數據集中位數左側（不含中位數）的數據為 1, 2, 3, 3。這四個數的中位數（Q1）為中間兩個數值的平均。
Q1 = $\frac{2+3}{2} = 2.5$

計算 Q3：數據集中位數右側（不含中位數）的數據為 5, 6, 6, 8。這四個數的中位數（Q3）為中間兩個數值的平均。
Q3 = $\frac{6+6}{2} = 6$

本題考驗期望值、變異係數的概念，以及二項分布的應用。

(a) 寫出擲 6 個四面骰子 (1 到 4 點) 所出現點數和的期望值：
一個四面骰子（點數為 1, 2, 3, 4）出現點數的期望值 $E(X)$ 為：
$E(X) = \frac{1+2+3+4}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$

由於是獨立地擲 6 個四面骰子，根據期望值的線性性質，6 個骰子點數和的期望值等於每個骰子期望值之和。
令 $X_i$ 為第 $i$ 個骰子出現的點數，則點數和為 $S_6 = X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6$。
$E(S_6) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) + E(X_4) + E(X_5) + E(X_6)$
$E(S_6) = 6 \times E(X) = 6 \times 2.5 = 15$

(b) 說明變異係數是什麼，其主要的功用是什麼：
變異係數 (Coefficient of Variation, CV)：變異係數是一個標準化的變異量指標，定義為數據的標準偏差除以其平均數。
$CV = \frac{\sigma}{\mu}$ （母體）或 $CV = \frac{s}{\bar{x}}$ （樣本）

主要功用：變異係數的主要功用是比較不同尺度數據的離散程度。由於標準偏差的單位與原始數據相同，當兩個數據集的平均值差異很大時，直接比較標準偏差可能沒有意義。變異係數將標準偏差相對化，消除了平均數的影響，使得可以對不同單位或不同平均值的數據集進行離散程度的比較。例如，比較不同品種的農作物身高變異程度，或不同產品的價格變異程度。

(c) 根據經驗，1 位顧客到某 1 家店會買商品的機率為 0.6，寫出 4 位顧客中有 2 位不會買的機率：
這個問題可以看作是一個二項分布問題。

本題主要考驗對統計圖形（長條圖 vs 直方圖）、機率分布（卜瓦松分布、二項分布）及標準化概念的理解。

(a) 畫圖並說明長條圖與直方圖在使用上的差別：

長條圖 (Bar Chart)：
用途：用來顯示「類別型資料」的頻率或比例。每個長條代表一個類別，長條之間通常有明顯的間隔，表示類別之間是離散的。
圖示：
🖼️【此處有附圖，請對照原卷】（原卷中應為長條圖，長條之間有間隔）
例如：不同顏色受歡迎程度、各科系學生人數。

直方圖 (Histogram)：
用途：用來顯示「連續型資料」的頻率分佈。將連續的數據範圍分成若干個等寬的區間（bins），每個長條的高度代表落入該區間的數據個數或頻率。長條之間是緊密相連的，表示數據是連續的。
圖示：
🖼️【此處有附圖，請對照原卷】（原卷中應為直方圖，長條之間無間隔）
例如：身高分佈、考試分數分佈。

差別總結：

(b) 說明卜瓦松分布是什麼，並說明其與二項分布的關係：
卜瓦松分布 (Poisson Distribution)：
卜瓦松分布是一種離散機率分布，用於描述在固定時間或空間單位內，隨機發生之獨立事件的發生次數。其參數為 $\lambda$（lambda），代表平均發生率。
機率質量函數 (PMF)：$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$，其中 $k = 0, 1, 2, \ldots$。
卜瓦松分布的期望值 $E(X) = \lambda$，變異數 $Var(X) = \lambda$。

與二項分布的關係：
當二項分布的試驗次數 $n$ 非常大，而單次試驗成功的機率 $p$ 非常小時，二項分布可以近似為卜瓦松分布。此時，令 $\lambda = np$（即二項分布的期望值），則二項分布 $B(n, p)$ 的機率 $P(X=k)$ 可以近似為卜瓦松分布 $Pois(\lambda)$ 的機率。

本題考驗對信賴區間的計算與理解，以及標準常態分布圖的判讀與修正。

(a) 用新飼料養 20 隻兔子,兩星期後每隻平均增重 600 克,過去飼養同種類兔子之經驗,標準偏差 50 克,求族群均值之 95% 信賴區間。

此題提供樣本平均數 $\bar{x} = 600$ 克，樣本大小 $n = 20$。過去的經驗提供了族群標準偏差 $\sigma = 50$ 克。這裡應注意，題目給的是「過去飼養同種類兔子之經驗，標準偏差 50 克」，這通常意味著我們知道族群標準偏差 $\sigma = 50$。由於族群標準偏差已知，我們應使用 Z 分布來建構信賴區間。

族群均值 $\mu$ 的 95% 信賴區間公式為：
$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

在此：
$\bar{x} = 600$
$n = 20$
$\sigma = 50$
信賴水準為 95%，所以 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。
$\alpha/2 = 0.025$。
查標準常態分布表，對應 $z_{0.025}$ 的值為 1.96。

信賴區間計算：
$600 \pm 1.96 \times \frac{50}{\sqrt{20}}$
$\sqrt{20} \approx 4.472$
$\frac{50}{\sqrt{20}} \approx \frac{50}{4.472} \approx 11.18$
$1.96 \times 11.18 \approx 21.91$

信賴區間為：$600 \pm 21.91$
即 $(578.09, 621.91)$。

重要澄清： 如果題目意指 50 克是「樣本」標準偏差 $s$，而非「族群」標準偏差 $\sigma$，則應使用 t 分布。但題目用語「過去飼養同種類兔子之經驗，標準偏差 50 克」較傾向於已知族群標準偏差。我們在此假設 $\sigma$ 已知。若使用 t 分布，自由度為 $df = n-1 = 19$，查 t 分布表 $t_{19, 0.025} \approx 2.093$。
$600 \pm 2.093 \times \frac{50}{\sqrt{20}} \approx 600 \pm 2.093 \times 11.18 \approx 600 \pm 23.38$
區間為 $(576.62, 623.38)$。
由於考題可能意圖不同，但標準用法是如果 $\sigma$ 已知就用 Z，否則用 t。我們以已知 $\sigma$ 的情況作答。

(b) 下圖不正確,畫圖說明三種修正方法。
原圖顯示的標準常態分布圖，標示了曲線下面積為 0.95，以及 $1.96$ 為標準常態分佈 95% 百分位數。圖中 $1.96$ 似乎是指從平均數 0 開始，到 1.96 的距離，其涵蓋了 95% 的機率。然而，通常我們說的 95% 信賴區間是指涵蓋中間 95% 的範圍，也就是從 $-1.96$ 到 $+1.96$。

圖示的不正確之處可能在於：

1. 區域標示不清： 該圖可能只標示了單側的 0.95 機率，或者將 0.95 誤解為單側機率（如 $P(Z \le 1.96) = 0.95$）。
2. 範圍誤解： 95% 的信賴區間通常是指涵蓋中間 95% 的區域，即 $P(-1.96 \le Z \le 1.96) = 0.95$。若圖示只標示了單邊的 0.95，則是不正確的。

三種修正方法（假設原圖意圖標示中間 95% 的區域）：

修正方法一：標示雙側範圍
畫出標準常態分布曲線，在橫軸上標示 $-1.96$ 和 $+1.96$。陰影標示出 $-1.96$ 到 $+1.96$ 之間的區域，並註明此區域的面積為 0.95。
🖼️【此處有附圖，請對照原卷】（繪製標準常態分布曲線，陰影標示 $-1.96$ 到 $1.96$ 區域，並註明面積為 0.95）
說明：這是標準的 95% 信賴區間的圖示，表示中間 95% 的機率落在 $\mu \pm 1.96\sigma$ 的範圍內。

修正方法二：標示單側機率（若原圖意圖表達單側）
如果原圖意圖表達的是單側機率，例如 $P(Z \le z) = 0.95$，那麼 $z$ 的值應為 1.645。
🖼️【此處有附圖，請對照原卷】（繪製標準常態分布曲線，陰影標示從 $-\infty$ 到 $1.645$ 的區域，並註明面積為 0.95）

本題考驗對單一樣本平均數檢定的應用，特別是當族群標準偏差未知時，應使用 t 檢定。

首先，我們需要從提供的數據中計算樣本平均數和樣本標準偏差。
數據 (株高)：88, 92, 90, 91, 85, 87, 88, 89
樣本大小 $n = 8$。

計算樣本平均數 $\bar{x}$：
$\bar{x} = \frac{88+92+90+91+85+87+88+89}{8} = \frac{710}{8} = 88.75$

計算樣本變異數 $s^2$：
首先計算各數據與樣本平均數的差的平方：
$(88-88.75)^2 = (-0.75)^2 = 0.5625$
$(92-88.75)^2 = (3.25)^2 = 10.5625$
$(90-88.75)^2 = (1.25)^2 = 1.5625$
$(91-88.75)^2 = (2.25)^2 = 5.0625$
$(85-88.75)^2 = (-3.75)^2 = 14.0625$
$(87-88.75)^2 = (-1.75)^2 = 3.0625$
$(88-88.75)^2 = (-0.75)^2 = 0.5625$
$(89-88.75)^2 = (0.25)^2 = 0.0625$

Sum of squared differences = $0.5625 + 10.5625 + 1.5625 + 5.0625 + 14.0625 + 3.0625 + 0.5625 + 0.0625 = 35.5$

樣本變異數 $s^2 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n-1} = \frac{35.5}{8-1} = \frac{35.5}{7} \approx 5.0714$

樣本標準偏差 $s = \sqrt{s^2} = \sqrt{5.0714} \approx 2.2519$

檢定步驟：

1. 寫出虛無與對立假說 (Hypotheses)：
   虛無假說 ($H_0$)：族群平均株高等於 90 公分。
   $H_0: \mu = 90$
   對立假說 ($H_1$)：族群平均株高不等於 90 公分 (雙尾檢定)。
   $H_1: \mu \neq 90$

2. 設定顯著水準 (Significance Level)：
   $\alpha = 0.05$

本題考驗對配對樣本 t 檢定 (Paired t-test) 的應用，用於比較同一組對象在不同條件下的測量值是否有顯著差異。在這裡，我們比較同一位病人在服藥前和服藥後的血壓。

首先，我們需要計算服藥前後血壓的差值 (d)。這裡我們定義差值為「服藥前血壓 - 服藥後血壓」，這樣如果藥物有效，差值應該是正的，且平均差值應大於 0。

計算差值 $d_i = \text{服藥前} - \text{服藥後}$：
民眾 1: $130 - 112 = 18$
民眾 2: $137 - 119 = 18$
民眾 3: $126 - 96 = 30$
民眾 4: $147 - 115 = 32$
民眾 5: $139 - 108 = 31$
民眾 6: $125 - 110 = 15$
民眾 7: $150 - 118 = 32$
民眾 8: $131 - 116 = 15$

差值數據 $d$: 18, 18, 30, 32, 31, 15, 32, 15。
樣本大小 $n = 8$。

計算差值的樣本平均數 $\bar{d}$：
$\bar{d} = \frac{18+18+30+32+31+15+32+15}{8} = \frac{191}{8} = 23.875$

計算差值的樣本標準偏差 $s_d$：
首先計算各差值與樣本平均差值的差的平方：
$(18-23.875)^2 = (-5.875)^2 = 34.515625$
$(18-23.875)^2 = (-5.875)^2 = 34.515625$
$(30-23.875)^2 = (6.125)^2 = 37.515625$
$(32-23.875)^2 = (8.125)^2 = 66.015625$
$(31-23.875)^2 = (7.125)^2 = 50.765625$
$(15-23.875)^2 = (-8.875)^2 = 78.765625$
$(32-23.875)^2 = (8.125)^2 = 66.015625$
$(15-23.875)^2 = (-8.875)^2 = 78.765625$

Sum of squared differences = $34.515625 + 34.515625 + 37.515625 + 66.015625 + 50.765625 + 78.765625 + 66.015625 + 78.765625 = 446.875$

樣本變異數 $s_d^2 = \frac{\sum(d_i - \bar{d})^2}{n-1} = \frac{446.875}{8-1} = \frac{446.875}{7} \approx 63.8393$

樣本標準偏差 $s_d = \sqrt{s_d^2} = \sqrt{63.8393} \approx 7.9900$

檢定步驟：

本題考驗對獨立性檢定 (Chi-squared test for independence) 的應用，用於檢定兩個類別型變數之間是否存在關聯。在這裡，我們檢定「咖啡偏好」與「性別」這兩個變數是否獨立。

首先，我們需要將原始的次數資料整理成一個列聯表 (Contingency Table)，並計算總計行和總計列，以及期望次數。

原始資料：

總樣本數 $N = 170$。

檢定步驟：

1. 寫出虛無與對立假說 (Hypotheses)：
   虛無假說 ($H_0$)：咖啡偏好與性別是獨立的 (沒有關聯)。
   對立假說 ($H_1$)：咖啡偏好與性別不是獨立的 (有關聯)。

2. 設定顯著水準 (Significance Level)：
   $\alpha = 0.05$

3. 選擇檢定統計量 (Test Statistic)：
   獨立性檢定使用卡方 ($\chi^2$) 檢定統計量。
   $\chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$
   其中 $O_{ij}$ 是實際觀察到的次數， $E_{ij}$ 是在虛無假說下預期的次數。
   期望次數 $E_{ij}$ 的計算公式為：$E_{ij} = \frac{(\text{第 i 列總計}) \times (\text{第 j 行總計})}{N}$

   計算期望次數 $E_{ij}$：
   $E_{\text{男, 美式}} = \frac{80 \times 50}{170} \approx 23.53$
   $E_{\text{男, 濃縮}} = \frac{80 \times 30}{170} \approx 14.12$
   $E_{\text{男, 拿鐵}} = \frac{80 \times 40}{170} \approx 18.82$
   $E_{\text{男, 卡布}} = \frac{80 \times 50}{170} \approx 23.53$
   $E_{\text{女, 美式}} = \frac{90 \times 50}{170} \approx 26.47$
   $E_{\text{女, 濃縮}} = \frac{90 \times 30}{170} \approx 15.88$
   $E_{\text{女, 拿鐵}} = \frac{90 \times 40}{170} \approx 21.18$
   $E_{\text{女, 卡布}} = \frac{90 \times 50}{170} \approx 26.47$

   （為求精確，計算時盡量保留小數，或使用分數表示。）

4. 計算檢定統計量的值：

本題考驗對簡單線性迴歸模型的參數估計、信賴區間的計算，以及預測區間的計算與解釋。

首先，我們需要計算迴歸分析所需的各項統計量，包括樣本平均數、樣本標準偏差、樣本共變異數等。
數據：
父親身高 (x): 176, 176, 166, 175, 170, 177, 171, 167, 170, 178
兒子身高 (y): 178, 170, 168, 172, 165, 174, 170, 169, 169, 182
樣本大小 $n = 10$。

計算樣本平均數：
$\bar{x} = \frac{176+176+166+175+170+177+171+167+170+178}{10} = \frac{1750}{10} = 175$
$\bar{y} = \frac{178+170+168+172+165+174+170+169+169+182}{10} = \frac{1717}{10} = 171.7$

計算樣本標準偏差：
$s_x^2 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n-1}$
$\sum(x_i - \bar{x})^2 = (176-175)^2 + (176-175)^2 + (166-175)^2 + (175-175)^2 + (170-175)^2 + (177-175)^2 + (171-175)^2 + (167-175)^2 + (170-175)^2 + (178-175)^2$
$= 1^2 + 1^2 + (-9)^2 + 0^2 + (-5)^2 + 2^2 + (-4)^2 + (-8)^2 + (-5)^2 + 3^2$
$= 1 + 1 + 81 + 0 + 25 + 4 + 16 + 64 + 25 + 9 = 226$
$s_x^2 = \frac{226}{10-1} = \frac{226}{9} \approx 25.111$
$s_x = \sqrt{25.111} \approx 5.011$

$s_y^2 = \frac{\sum(y_i - \bar{y})^2}{n-1}$
$\sum(y_i - \bar{y})^2 = (178-171.7)^2 + (170-171.7)^2 + (168-171.7)^2 + (172-171.7)^2 + (165-171.7)^2 + (174-171.7)^2 + (170-171.7)^2 + (169-171.7)^2 + (169-171.7)^2 + (182-171.7)^2$
$= (6.3)^2 + (-1.7)^2 + (-3.7)^2 + (0.3)^2 + (-6.7)^2 + (2.3)^2 + (-1.7)^2 + (-2.7)^2 + (-2.7)^2 + (10.3)^2$
$= 39.69 + 2.89 + 13.69 + 0.09 + 44.89 + 5.29 + 2.89 + 7.29 + 7.29 + 106.09 = 230.11$
$s_y^2 = \frac{230.11}{10-1} = \frac{230.11}{9} \approx 25.568$
$s_y = \sqrt{25.568} \approx 5.056$

計算樣本共變異數 $s_{xy}$：
$s_{xy} = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n-1}$
$\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = (176-175)(178-171.7) + (176-175)(170-171.7) + (166-175)(168-171.7) + (175-175)(172-171.7) + (170-175)(165-171.7) + (177-175)(174-171.7) + (171-175)(170-171.7) + (167-175)(169-171.7) + (170-175)(169-171.7) + (178-175)(182-171.7)$
$= (1)(6.3) + (1)(-1.7) + (-9)(-3.7) + (0)(0.3) + (-5)(-6.7) + (2)(2.3) + (-4)(-1.7) + (-8)(-2.7) + (-5)(-2.7) + (3)(10.3)$
$= 6.3 - 1.7 + 33.3 + 0 + 33.5 + 4.6 + 6.8 + 21.6 + 13.5 + 30.9 = 152.8$
$s_{xy} = \frac{152.8}{10-1} = \frac{152.8}{9} \approx 16.978$

迴歸係數估計值：
斜率 $\hat{\beta}_1 = \frac{s_{xy}}{s_x^2} = \frac{16.978}{25.111} \approx 0.676$
截距 $\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x} = 171.7 - 0.676 \times 175 = 171.7 - 118.3 = 53.4$

殘差平方和 (SSE)：