108 年 國立臺灣大學農藝系暨研究所生物統計甲組《統計學（J）》

這組題目主要在測試基本的敘述統計量計算、統計名詞解釋，以及 R 語言的基礎指令操作。

(a) 算術平均數、眾數與中位數的計算：
首先，將數據排序：$\{2, 2, 3, 3, 5, 6, 7, 8\}$。

• 算術平均數 (Arithmetic Mean)：所有數據的總和除以數據的個數。
  $\bar{x} = \frac{2+8+3+2+6+5+7+3}{8} = \frac{36}{8} = 4.5$
• 眾數 (Mode)：數據中出現頻率最高的數值。在此數據集中，數字 2 和 3 都出現兩次，是出現頻率最高的，因此有兩個眾數。
  眾數 = 2, 3
• 中位數 (Median)：排序後，位於中間的數值。由於數據個數為偶數 (8)，中位數是中間兩個數的平均。
  中位數 = $\frac{3+5}{2} = 4$

(b) 標準偏差與標準誤差的解釋：

• 標準偏差 (Standard Deviation)：衡量數據點離散程度的一個指標，表示數據點圍繞平均值的分散程度。標準偏差越大，表示數據越分散；標準偏差越小，表示數據越集中。對於樣本標準偏差，公式為 $s = \sqrt{\frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$。
• 標準誤差 (Standard Error)：衡量樣本統計量（如樣本平均數）的變異性。它估計的是從同一個母體中抽取不同樣本，這些樣本的統計量（例如樣本平均數）彼此之間會有多大的差異。標準誤差通常指的是樣本平均數的標準誤差 (Standard Error of the Mean, SEM)，公式為 $SE = \frac{s}{\sqrt{n}}$，其中 $s$ 是樣本標準偏差，$n$ 是樣本大小。標準誤差是推論統計中用來建構信賴區間或進行假設檢定的重要工具。

(c) R 語言從 1 到 100 中隨機取出 10 個數的指令：
可以使用 sample() 函數。
sample(1:100, 10)
這個指令會從 1 到 100 的整數向量中，無放回地隨機抽取 10 個數字。

這組題目考驗對機率基本概念的理解，包括期望值、變異係數的定義與應用，以及二項分佈的計算。

(a) 擲 4 個六面骰子點數和的期望值：
設 $X_i$ 為第 $i$ 個骰子擲出的點數，$i = 1, 2, 3, 4$。
每個骰子擲出的點數為 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$，每個點數出現的機率為 $1/6$。
一個骰子的期望值是：
$E(X_i) = \sum_{k=1}^{6} k \cdot P(X_i=k) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5$

設 $S$ 為擲 4 個骰子點數的總和，$S = X_1 + X_2 + X_3 + X_4$。
根據期望值的線性性質，$E(S) = E(X_1 + X_2 + X_3 + X_4) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) + E(X_4)$。
由於每個骰子的期望值都是 3.5，所以：
$E(S) = 3.5 + 3.5 + 3.5 + 3.5 = 4 \times 3.5 = 14$

(b) 變異係數 (Coefficient of Variation, CV)：

• 定義：變異係數是標準偏差除以平均數的比值，通常以百分比表示。
  $CV = \frac{s}{\bar{x}} \times 100\%$ (用於樣本) 或 $\frac{\sigma}{\mu} \times 100\%$ (用於母體)。

這組題目涵蓋了統計學的基本概念，包括隨機樣本、貝氏定理、卜瓦松分佈以及標準化值。

(a) 隨機樣本 (Random Sample)：
隨機樣本是指從一個母體中抽取的一組觀察值，其抽取過程是隨機的，並且母體中的每一個元素都有相等且獨立的機會被選中。

• 獨立性 (Independence)：樣本中的每一個觀察值都是獨立的，一個觀察值的抽取不影響其他觀察值的抽取。
• 均勻性 (Uniformity)：母體中的每一個元素都有相同的機率被選入樣本。
  隨機樣本是進行統計推論（如估計母體參數、檢定假設）的基礎，因為它能確保樣本的代表性，使統計推論結果能推廣到母體。

(b) 貝氏定理 (Bayes' Theorem)：
貝氏定理是機率論中的一個基本定理，它描述了在已知某些條件（證據）下的事件機率，如何更新對該事件先驗機率 (prior probability) 的認知，從而得到後驗機率 (posterior probability)。
若有兩個事件 A 和 B，且 $P(B) > 0$，則貝氏定理的公式為：
$P(A|B) = \frac{P(B|A) P(A)}{P(B)}$

其中：

• $P(A|B)$：事件 B 發生時，事件 A 發生的機率（後驗機率）。
• $P(B|A)$：事件 A 發生時，事件 B 發生的機率。
• $P(A)$：事件 A 發生的先驗機率。
• $P(B)$：事件 B 發生的機率，可以表示為 $P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A^c)P(A^c)$，其中 $A^c$ 是 A 的補集。

貝氏定理在機器學習、醫學診斷、金融等領域有廣泛應用。

(c) 卜瓦松分佈 (Poisson Distribution)：

• 定義：卜瓦松分佈是一個離散機率分佈，它描述在一個固定的時間間隔內或一個固定的空間區域內，某個事件隨機發生且獨立發生的次數。它適用於計算罕見事件的發生次數，或在一個大數中隨機發生的次數。
  一個隨機變數 $X$ 服從參數為 $\lambda$ 的卜瓦松分佈，記為 $X \sim Poisson(\lambda)$，其機率質量函數為：
  $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$, 其中 $k = 0, 1, 2, \dots$ 且 $\lambda > 0$。
  $\lambda$ 代表單位時間或單位空間內事件發生的平均次數。

這題考驗對信賴區間的計算以及對常態分佈圖的理解與修正。

(a) 求族群均值之 90% 信賴區間：
此題給定了樣本數據的統計量，要求計算母體平均值的信賴區間。

• 樣本大小 $n = 25$
• 樣本平均數 $\bar{x} = 600$ 克
• 母體標準偏差 $\sigma$ (題目中提到「過去飼養同種類兔子之經驗，標準偏差 50 克」，這通常被視為母體標準偏差 $\sigma$ 或足夠大的樣本標準偏差 $s$ 來近似 $\sigma$。在此假設為 $\sigma = 50$ 克)
• 信賴水準為 90%，所以 $\alpha = 1 - 0.90 = 0.10$。對於雙尾信賴區間，我們需要 $\alpha/2 = 0.05$。

由於母體標準偏差 $\sigma$ 已知（或被假設為已知），我們可以使用 Z 分配來計算信賴區間。
信賴區間的公式為：
$\bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

我們需要查表找到 $Z_{\alpha/2}$，即 $Z_{0.05}$。從標準常態分佈表中，對應累積機率為 $1 - 0.05 = 0.95$ 的 $Z$ 值，約為 $1.645$。

現在將數值代入公式：
信賴區間 = $600 \pm 1.645 \cdot \frac{50}{\sqrt{25}}$
信賴區間 = $600 \pm 1.645 \cdot \frac{50}{5}$
信賴區間 = $600 \pm 1.645 \cdot 10$
信賴區間 = $600 \pm 16.45$

所以，90% 信賴區間為 $(600 - 16.45, 600 + 16.45) = (583.55, 616.45)$。

(b) 修正不正確的常態分佈圖：
原圖顯示一個鐘形曲線，標示「曲線下面積 = 0.95」，並在 $x$ 軸標示了「1.96 = 標準常態分佈 95% 百分位數」。
這個圖有幾個不正確之處：

1. 百分位數的標示：圖中標示「1.96 = 標準常態分佈 95% 百分位數」。標準常態分佈中，95% 的數據落在平均值 $\mu=0$ 的 $\pm 1.96$ 標準差範圍內。也就是說，$P(-1.96 \le Z \le 1.96) = 0.95$。這表示 $1.96$ 是第 97.5 百分位數 ($P(Z \le 1.96) \approx 0.975$)，而 $-1.96$ 是第 2.5 百分位數 ($P(Z \le -1.96) \approx 0.025$)。因此，僅標示 1.96 作為 95% 百分位數是不精確的，它應該是指涵蓋 95% 機率的區間範圍。
2. 曲線下面積的標示：圖中標示「曲線下面積 = 0.95」，這代表了總機率。但是，圖中的曲線似乎只展示了單一尾部的機率，或者是以 0 為中心，但沒有明確標示出涵蓋 95% 機率的區間。
3. 圖形與標示的對應：圖中標示的 1.96 是指標準常態分佈的百分位數，但圖形上的標示似乎與實際的曲線下的面積沒有精確對應。

三種修正方法：

此題考驗對獨立樣本 t 檢定（變方不相等）的應用，即 Welch's t-test。

核心觀念：
比較兩個獨立樣本的平均值，當兩母體變方不相等時，應使用 Welch's t-test。

步驟：

1. 設定虛無假設與對立假設：
   我們要檢定兩品種乳牛的平均泌乳量是否相等。

   • 虛無假設 $H_0: \mu_A = \mu_B$ (兩品種的平均泌乳量相等)
   • 對立假設 $H_1: \mu_A \neq \mu_B$ (兩品種的平均泌乳量不相等)
     這是一個雙尾檢定。

2. 設定顯著水準：
   $\alpha = 0.05$。

3. 檢定統計量：
   由於題目明確指出「族群變方不相等」，我們使用 Welch's t-test。其檢定統計量 $t$ 的計算公式為：
   $t = \frac{(\bar{x}_A - \bar{x}_B) - (\mu_A - \mu_B)}{\sqrt{\frac{s_A^2}{n_A} + \frac{s_B^2}{n_B}}}$
   在虛無假設下，$\mu_A - \mu_B = 0$。
   代入數據：
   $\bar{x}_A = 33.57$, $s_A^2 = 10.26$, $n_A = 14$
   $\bar{x}_B = 30.82$, $s_B^2 = 0.96$, $n_B = 11$

   $t = \frac{(33.57 - 30.82) - 0}{\sqrt{\frac{10.26}{14} + \frac{0.96}{11}}}$
   $t = \frac{2.75}{\sqrt{0.732857 + 0.087273}}$
   $t = \frac{2.75}{\sqrt{0.82013}}$
   $t = \frac{2.75}{0.90561}$
   $t \approx 3.0367$

4. 自由度 (Degrees of Freedom, df)：
   Welch's t-test 的自由度計算比較複雜，通常使用 Welch-Satterthwaite 方程式：

核心觀念

本題要檢定資料是否可視為來自常態分佈：

$$H_0:X\sim N(\mu,\sigma^2)$$ $$H_1:X\not\sim N(\mu,\sigma^2)$$

可利用常態分佈的兩項特徵：

• 偏態係數為 $0$；
• 峰度為 $3$，超額峰度為 $0$。

因此採用 Jarque–Bera 常態性檢定。其統計量為

$$JB=\frac{n}{6} \left[ g_1^2+\frac{(g_2)^2}{4} \right],$$

其中

$$g_1=\frac{m_3}{m_2^{3/2}}, \qquad g_2=\frac{m_4}{m_2^2}-3,$$

且

$$m_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^k.$$

在 $H_0$ 成立且樣本數充分大時，

$$JB\overset{a}{\sim}\chi^2_{(2)}.$$

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解題方法與計算

本題樣本數為

$$n=50,\qquad \bar{x}=94.88,\qquad s^2=61.54.$$

由於樣本變方採用分母 $n-1$，故

$$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 =(n-1)s^2 =49(61.54) \approx3015.28.$$

直接由資料計算三階與四階中心動差，可得

$$m_2=\frac{1}{50}\sum (x_i-\bar{x})^2 =\frac{3015.28}{50} =60.3056.$$

進一步計算：

$$m_3=\frac{1}{50}\sum (x_i-\bar{x})^3 \approx -43.0883,$$ $$m_4=\frac{1}{50}\sum (x_i-\bar{x})^4 \approx7679.627.$$

因此偏態係數為

核心觀念

本題考查：

• Pearson 樣本相關係數檢定
• 簡單線性迴歸斜率檢定
• 相關係數與迴歸斜率檢定的關係
• 迴歸誤差項的基本假設
• 決定係數 $R^2$ 的計算與解釋

資料筆數為 $n=10$。先計算：

$$\bar{x}=\frac{274}{10}=27.4,\qquad \bar{y}=\frac{365}{10}=36.5$$

定義：

$$S_{xx}=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=188.4$$ $$S_{yy}=\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2=324.5$$ $$S_{xy}=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=198$$

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a. 母體相關係數檢定

解題方法

樣本相關係數為

$$r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$$

代入數值：

$$r=\frac{198}{\sqrt{188.4(324.5)}} =\frac{198}{\sqrt{61135.8}} \approx 0.8008$$

欲檢定：

$$H_0:\rho=0,\qquad H_1:\rho\neq 0$$

在母體資料近似二元常態的條件下，檢定統計量為

$$t=\frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}$$

其在虛無假設下服從自由度 $n-2=8$ 的 $t$ 分配。

由

$$r^2\approx 0.6413$$

得

$$t=\frac{0.8008\sqrt{8}}{\sqrt{1-0.6413}} \approx 3.78$$

雙尾檢定，顯著水準 $\alpha=0.05$，臨界值為

$$t_{0.975,8}=2.306$$

因為

$$|t|=3.78>2.306$$

故拒絕 $H_0$。

結論

在顯著水準 $0.05$ 下，有充分證據認為小麥產量與雨量之間存在顯著的線性相關，而且相關方向為正。雨量越大時，小麥產量通常越高。

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b. 迴歸斜率檢定

解題方法

簡單線性迴歸模型為

$$Y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\epsilon_i$$

先求迴歸係數：

$$\hat{\beta}_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}} =\frac{198}{188.4} \approx 1.051$$ $$\hat{\beta}_0=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x} =36.5-(1.051)(27.4) \approx 7.70$$

因此迴歸方程式為

$$\hat{Y}=7.70+1.051x$$

欲檢定：

$$H_0:\beta_1=0,\qquad H_1:\beta_1\neq 0$$

先計算殘差平方和：

$$SSE=S_{yy}-\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}}$$ $$SSE=324.5-\frac{198^2}{188.4} \approx 324.5-208.09 =116.41$$

誤差變異數估計量為

$$MSE=\frac{SSE}{n-2} =\frac{116.41}{8} \approx 14.55$$

斜率估計值的標準誤為

$$SE(\hat{\beta}_1) =\sqrt{\frac{MSE}{S_{xx}}} =\sqrt{\frac{14.55}{188.4}} \approx 0.278$$

檢定統計量為

$$t=\frac{\hat{\beta}_1-0}{SE(\hat{\beta}_1)} =\frac{1.051}{0.278} \approx 3.78$$

自由度為 $n-2=8$。在 $\alpha=0.05$ 的雙尾檢定下：

$$t_{0.975,8}=2.306$$

由於

$$|t|=3.78>2.306$$

故拒絕 $H_0$。

結論