核心觀念

本題考查：

1. 由變方分析表判斷試驗設計與試驗單位數。
2. 單因子完全隨機設計的變方分析與 $F$ 檢定。
3. 以事前規劃的線性對比，比較兩組製劑的平均生物活性。

單因子完全隨機設計中，若有 $a$ 個處理、總試驗單位數為 $N$，則：

$$df_{\text{處理}}=a-1,\qquad df_{\text{誤差}}=N-a,\qquad df_{\text{總和}}=N-1$$

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(1) 試驗設計、試驗單位與隨機配置

試驗設計

製劑是唯一的試驗因子，共有四個處理水準：

$$A,\ B,\ C,\ D$$

由於變方分析表只有「製劑」與「誤差」兩個來源，沒有區集、批次或其他阻隔因素，因此採用：

單因子完全隨機設計（Completely Randomized Design, CRD）

其統計模式為：

$$Y_{ij}=\mu+\tau_i+\varepsilon_{ij}, \qquad i=A,B,C,D$$

其中 $\varepsilon_{ij}$ 通常假設彼此獨立，且服從：

$$\varepsilon_{ij}\sim N(0,\sigma^2)$$

試驗單位數

由總和自由度：

$$N-1=29$$

因此：

$$N=30$$

也可由誤差自由度驗算：

$$N-4=26 \quad\Longrightarrow\quad N=30$$

所以本試驗共採用 30 個試驗單位。

四種製劑的重複數須滿足：

$$n_A+n_B+n_C+n_D=30$$

且每個 $n_i$ 均為正整數。

適當的隨機配置

先將 30 個性質相近的試驗單位編號為 $1,\ldots,30$，再將其中：

• $n_A$ 個配置給製劑 A；
• $n_B$ 個配置給製劑 B；
• $n_C$ 個配置給製劑 C；
• $n_D$ 個配置給製劑 D。

配置方式應採完全隨機，例如將四種製劑標籤依各自重複數寫入 30 張籤中，充分混合後隨機抽取，或使用亂數表、電腦亂數進行隨機分派。

每一個試驗單位接受 A、B、C、D 的機率分別為：

$$\frac{n_A}{30},\quad \frac{n_B}{30},\quad \frac{n_C}{30},\quad \frac{n_D}{30}$$

隨機配置的目的，是避免研究員主觀選擇試驗單位所造成的系統性偏差。

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(2) 四種製劑平均生物活性是否相同

假設

欲檢定四種製劑的平均生物活性是否相同：

$$H_0:\mu_A=\mu_B=\mu_C=\mu_D$$ $$H_1:\text{至少有兩種製劑的平均生物活性不同}$$

計算均方

製劑均方為：

$$MS_{\text{製劑}} =\frac{SS_{\text{製劑}}}{df_{\text{製劑}}} =\frac{64.42}{3} =21.4733$$

誤差均方為：

$$MS_E =\frac{SS_E}{df_E} =\frac{62.12}{26} =2.3892$$

因此檢定統計量：

$$F =\frac{MS_{\text{製劑}}}{MS_E} =\frac{21.4733}{2.3892} \approx 8.99$$

判定

題目給定：

$$F_{0.01,3,26}=4.637$$

由於：

$$F=8.99>4.637$$

故拒絕虛無假設 $H_0$。

結論

在顯著水準 $\alpha=0.01$ 下，有充分證據顯示四種製劑的平均生物活性並不完全相同。此檢定只能說明至少有一組平均數不同，不能直接指出是哪幾組不同；若要進一步判定，須進行適當的多重比較。

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(3) 比較廠商製劑與實驗室製劑

核心觀念

A、B 屬於廠商製劑，C、D 屬於實驗室製劑。欲比較的是兩個群組的平均生物活性，因此應使用線性對比，而不是直接比較四個處理的個別平均數。

廠商製劑的加權平均為：

$$\bar y_{\text{廠商}} = \frac{n_A\bar y_A+n_B\bar y_B}{n_A+n_B}$$

實驗室製劑的加權平均為：

$$\bar y_{\text{實驗室}} = \frac{n_C\bar y_C+n_D\bar y_D}{n_C+n_D}$$

加權是必要的，因為四種製劑的重複數不一定相同。

建立對比

定義欲檢定的母體對比為：

$$L= \frac{n_A}{n_A+n_B}\mu_A + \frac{n_B}{n_A+n_B}\mu_B - \frac{n_C}{n_C+n_D}\mu_C - \frac{n_D}{n_C+n_D}\mu_D$$

其估計量為：

$$\hat L= \frac{n_A\bar y_A+n_B\bar y_B}{n_A+n_B} - \frac{n_C\bar y_C+n_D\bar y_D}{n_C+n_D}$$

檢定假設為：

$$H_0:L=0$$

核心觀念

本題同時考查：

1. 隨機完全區集設計（Randomized Complete Block Design, RCBD）
2. 區集效應控制
3. 採樣順序的隨機化與平衡
4. 重複樣本與實驗單位的區分
5. 變方分析表的自由度配置

三種森林覆蓋程度是研究處理：

• A：20–30%
• B：30–50%
• C：50–80%

5 位研究生的採樣及化學分析熟練程度不同，因此「研究生」會造成額外試驗誤差，應將研究生作為區集。每位研究生負責 3 處森林，且每種覆蓋程度各採樣 1 處，正好形成一個完整區集。

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（1）森林覆蓋程度及採樣順序的指派

1. 以研究生作為區集

令第 $i$ 位研究生為第 $i$ 個區集，每位研究生均採集：

• 1 處 A 類森林
• 1 處 B 類森林
• 1 處 C 類森林

因此，每一位研究生都接觸三種覆蓋程度，研究生的經驗差異便不會集中在某一種覆蓋程度。

例如可安排如下：

研究生	第 1 處	第 2 處	第 3 處
1	A	B	C
2	B	C	A
3	C	A	B
4	A	C	B
5	C	B	A

實際執行時，應將各覆蓋程度內的實際森林位置以隨機方式分派給研究生，避免森林地理位置、交通距離或其他環境因素與研究生混淆。

2. 採樣順序應隨機化或予以平衡

不可讓所有研究生都依照相同順序採樣，例如全部採用 A → B → C。因為研究生可能在採樣過程中產生：

• 疲勞效應
• 熟練度逐漸提高的學習效應
• 時間延遲造成的環境差異
• 儀器或分析流程的時間效應

因此，三種覆蓋程度的採樣順序應在研究生之間隨機化，並盡量使 A、B、C 分散於第 1、2、3 個採樣位置。

上述安排中：

• 第 1 次採樣：A、B、C、A、C
• 第 2 次採樣：B、C、A、C、B
• 第 3 次採樣：C、A、B、B、A

各覆蓋程度在不同採樣位置皆有分布，可降低採樣順序效應與覆蓋程度效應的混淆。

3. 設計表示

此設計可表示為：

$$Y_{ij}=\mu+\rho_i+\tau_j+\varepsilon_{ij}$$

其中：

• $Y_{ij}$：第 $i$ 位研究生採集第 $j$ 種覆蓋程度森林所得的土壤化學分析值
• $\mu$：總平均
• $\rho_i$：第 $i$ 位研究生的區集效應
• $\tau_j$：第 $j$ 種森林覆蓋程度效應
• $\varepsilon_{ij}$：隨機誤差

欲檢定的假設為：

$$H_0:\tau_A=\tau_B=\tau_C=0$$

亦即三種森林覆蓋程度的平均土壤化學組成相同。

對立假設為：

$$H_1:\text{至少有一種覆蓋程度的平均值不同}$$

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（2）變方分析表中的變異來源與自由度

共有：

$$5\times 3=15$$

筆觀測值，因此總自由度為：

$$15-1=14$$

在隨機完全區集設計中：

• 研究生區集自由度：$5-1=4$
• 覆蓋程度自由度：$3-1=2$
• 誤差自由度：$(5-1)(3-1)=8$

因此變方分析表如下：

變異來源（SOV）	自由度（DF）
研究生（區集）	$5-1=4$
森林覆蓋程度	$3-1=2$
誤差	$(5-1)(3-1)=8$
總和	$15-1=14$

自由度驗算：

$$4+2+8=14$$

覆蓋程度的檢定統計量為：

$$F= \frac{MS_{\text{覆蓋程度}}} {MS_{\text{誤差}}}$$

其中：

核心觀念

本題考查「重複拉丁方設計（replicated Latin square design）」。

有 4 種培養介質，因此每一個拉丁方為 $4\times 4$：

• 列因子：菇室內的 4 座床架；
• 行因子：床架由上至下的 4 個位置；
• 處理因子：4 種培養介質；
• 重複因子：3 間菇室。

拉丁方的基本要求是：每一種培養介質在每一列及每一行中均恰好出現一次。如此可同時控制床架差異與上下位置差異，提高處理比較的精確度。

每間菇室有 $4\times4=16$ 個菇床，三間共 $48$ 個實驗單位；每種培養介質共使用 $3\times4=12$ 個菇床。

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(1) 重複拉丁方設計與試驗步驟

第一步：界定實驗單位與因子

每一席面積 $6$ 平方公尺的菇床為一個實驗單位。

配置如下：

• 重複：菇室，共 $3$ 個；
• 列：每間菇室的床架，共 $4$ 列；
• 行：每座床架由上至下的位置，共 $4$ 行；
• 處理：培養介質配方 $A、B、C、D$。

第二步：建立三個 $4\times4$ 拉丁方

可採用下列配置。表中每個字母代表一種培養介質：

菇室一

床架＼位置	1	2	3	4
1	A	B	C	D
2	B	C	D	A
3	C	D	A	B
4	D	A	B	C

菇室二

床架＼位置	1	2	3	4
1	A	C	D	B
2	C	D	B	A
3	D	B	A	C
4	B	A	C	D

菇室三

床架＼位置	1	2	3	4
1	B	D	A	C
2	D	A	C	B
3	A	C	B	D
4	C	B	D	A

每一個菇室內，每種介質在每座床架及每個上下位置均出現一次。

實際試驗時，$A、B、C、D$ 應以隨機方式對應到四種實際培養介質配方；三個菇室也應各自獨立進行拉丁方隨機化。

第三步：執行隨機化

每間菇室的隨機化可依下列順序進行：

1. 將四種培養介質以隨機方式標記為 $A、B、C、D$。
2. 隨機排列四座床架，作為拉丁方的四列。
3. 隨機排列床架由上至下的四個位置，作為拉丁方的四行。
4. 將隨機化後的拉丁方配置於該菇室的 $16$ 席菇床。
5. 三間菇室各使用一個拉丁方，並以菇室作為三個重複。

第四步：管理試驗條件

除培養介質外，菇種、播種量、含水量、溫度、濕度、通風、光照、培養時間及採收標準應盡量一致。

各菇床應記錄：

• 產量，例如每席菇床總產量；
• 品質指標，例如菇體大小、商品率、硬度或其他預先訂定的品質測定值。

產量與品質屬於不同反應變數，通常分別進行 ANOVA 分析。

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(2) 統計線型模式、SOV 與 DF

統計線型模式

令：

• $Y_{hij}$：第 $h$ 間菇室、第 $i$ 座床架、第 $j$ 個上下位置之觀測值；
• $\mu$：總平均；
• $R_h$：第 $h$ 間菇室效果；
• $F_{i(h)}$：第 $h$ 間菇室內第 $i$ 座床架效果；
• $P_j$：第 $j$ 個上下位置效果；
• $\tau_{k(hij)}$：配置於該菇床的第 $k$ 種培養介質效果；

核心觀念

本題比較三種二因子試驗的田間配置：

• 複因子設計（factorial design）：每一個區集內，$A$、$B$ 的所有處理組合各出現一次，且處理組合可完全隨機配置。
• 裂區設計（split-plot design）：先將主因子配置於較大主區，再將次因子配置於主區內的次區。因此同一主因子水準的各個 $B$ 水準必須形成同一主區內的次區。
• 條區設計（strip-plot design）：$A$ 與 $B$ 分別以兩組互相垂直的條帶配置，兩因子的條帶交會處形成一個試驗小區。

本題有：

$$r=2,\qquad a=2,\qquad b=3,\qquad rab=12$$

總自由度為：

$$rab-1=12-1=11$$

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解題方法與配置圖判斷

配置圖 B：複因子設計

配置圖 B 中，每個區集都包含完整的六個處理組合：

$$A_1B_1,\ A_1B_2,\ A_1B_3,\ A_2B_1,\ A_2B_2,\ A_2B_3$$

而且各處理組合在區集內各出現一次，符合 RCBD 下複因子試驗的配置原則。

因此：

$$\boxed{\text{複因子設計選配置圖 B}}$$

配置圖 A：裂區設計

配置圖 A 中，在每一個區集內，$A$ 的同一水準之下配置 $B_1,B_2,B_3$ 三個次區。例如：

$$A_1:\ (A_1B_1,A_1B_2,A_1B_3)$$ $$A_2:\ (A_2B_1,A_2B_2,A_2B_3)$$

因此先配置 $A$ 主區，再於每一個 $A$ 主區內配置 $B$ 次區，符合裂區設計。

$$\boxed{\text{裂區設計選配置圖 A}}$$

配置圖 C：條區設計

配置圖 C 的配置方式是將 $A$ 的不同水準形成一組條帶，$B$ 的不同水準形成另一組與其交叉的條帶；每一個 $A$ 條帶與 $B$ 條帶的交會處形成一個觀測小區。

因此，$A$ 與 $B$ 都不是「主區—次區」的階層關係，而是兩種條帶相交的配置，符合條區設計。

$$\boxed{\text{條區設計選配置圖 C}}$$

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（1）複因子設計：配置圖 B

統計線型模式

令：

• $Y_{ijk}$：第 $i$ 個區集、$A$ 的第 $j$ 水準、$B$ 的第 $k$ 水準之觀測值；
• $i=1,2$；
• $j=1,2$；
• $k=1,2,3$。

RCBD 下複因子設計的模型為：

$$Y_{ijk} = \mu+\rho_i+\alpha_j+\beta_k+(\alpha\beta)_{jk}+\varepsilon_{ijk}$$

其中：

• $\mu$：總平均；
• $\rho_i$：區集效果；
• $\alpha_j$：因子 $A$ 效果；
• $\beta_k$：因子 $B$ 效果；
• $(\alpha\beta)_{jk}$：$A\times B$ 交互作用；
• $\varepsilon_{ijk}$：隨機誤差，通常假設獨立且服從 $N(0,\sigma^2)$。

ANOVA 表

變異來源 SOV	自由度 DF
區集 Block	$r-1=1$
$A$	$a-1=1$
$B$	$b-1=2$
$A\times B$	$(a-1)(b-1)=2$
誤差 Error	$(r-1)(ab-1)=5$
總和 Total	$rab-1=11$

因此複因子設計中，$A$、$B$ 及 $A\times B$ 均以共同的實驗誤差項檢定。

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（2）裂區設計：配置圖 A

統計線型模式

裂區設計中，$A$ 配置於主區，$B$ 配置於主區內的次區。因此必須有兩層誤差：

1. 主區誤差：區集與 $A$ 的交互作用；
2. 次區誤差：次區層級的隨機誤差。

模型為：

$$Y_{ijk} = \mu+\rho_i+\alpha_j+u_{ij} +\beta_k+(\alpha\beta)_{jk} +\varepsilon_{ijk}$$

其中：

• $u_{ij}$：主區誤差，代表區集內 $A$ 主區的隨機變異；
• $\varepsilon_{ijk}$：次區誤差。

主區誤差可表示為：

$$u_{ij}\equiv (\rho\alpha)_{ij}$$

因此也可寫成：

核心觀念

本題比較三種二因子試驗的田間配置：

• 複因子設計（factorial design）：每一個區集內，$A$、$B$ 的所有處理組合各出現一次，且處理組合可完全隨機配置。
• 裂區設計（split-plot design）：先將主因子配置於較大主區，再將次因子配置於主區內的次區。因此同一主因子水準的各個 $B$ 水準必須形成同一主區內的次區。
• 條區設計（strip-plot design）：$A$ 與 $B$ 分別以兩組互相垂直的條帶配置，兩因子的條帶交會處形成一個試驗小區。

本題有：

$$r=2,\qquad a=2,\qquad b=3,\qquad rab=12$$

總自由度為：

$$rab-1=12-1=11$$

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解題方法與配置圖判斷

配置圖 B：複因子設計

配置圖 B 中，每個區集都包含完整的六個處理組合：

$$A_1B_1,\ A_1B_2,\ A_1B_3,\ A_2B_1,\ A_2B_2,\ A_2B_3$$

而且各處理組合在區集內各出現一次，符合 RCBD 下複因子試驗的配置原則。

因此：

$$\boxed{\text{複因子設計選配置圖 B}}$$

配置圖 A：裂區設計

配置圖 A 中，在每一個區集內，$A$ 的同一水準之下配置 $B_1,B_2,B_3$ 三個次區。例如：

$$A_1:\ (A_1B_1,A_1B_2,A_1B_3)$$ $$A_2:\ (A_2B_1,A_2B_2,A_2B_3)$$

因此先配置 $A$ 主區，再於每一個 $A$ 主區內配置 $B$ 次區，符合裂區設計。

$$\boxed{\text{裂區設計選配置圖 A}}$$

配置圖 C：條區設計

配置圖 C 的配置方式是將 $A$ 的不同水準形成一組條帶，$B$ 的不同水準形成另一組與其交叉的條帶；每一個 $A$ 條帶與 $B$ 條帶的交會處形成一個觀測小區。

因此，$A$ 與 $B$ 都不是「主區—次區」的階層關係，而是兩種條帶相交的配置，符合條區設計。

$$\boxed{\text{條區設計選配置圖 C}}$$

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（1）複因子設計：配置圖 B

統計線型模式

令：

• $Y_{ijk}$：第 $i$ 個區集、$A$ 的第 $j$ 水準、$B$ 的第 $k$ 水準之觀測值；
• $i=1,2$；
• $j=1,2$；
• $k=1,2,3$。

RCBD 下複因子設計的模型為：

$$Y_{ijk} = \mu+\rho_i+\alpha_j+\beta_k+(\alpha\beta)_{jk}+\varepsilon_{ijk}$$

其中：

• $\mu$：總平均；
• $\rho_i$：區集效果；
• $\alpha_j$：因子 $A$ 效果；
• $\beta_k$：因子 $B$ 效果；
• $(\alpha\beta)_{jk}$：$A\times B$ 交互作用；
• $\varepsilon_{ijk}$：隨機誤差，通常假設獨立且服從 $N(0,\sigma^2)$。

ANOVA 表

變異來源 SOV	自由度 DF
區集 Block	$r-1=1$
$A$	$a-1=1$
$B$	$b-1=2$
$A\times B$	$(a-1)(b-1)=2$
誤差 Error	$(r-1)(ab-1)=5$
總和 Total	$rab-1=11$

因此複因子設計中，$A$、$B$ 及 $A\times B$ 均以共同的實驗誤差項檢定。

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（2）裂區設計：配置圖 A

統計線型模式

裂區設計中，$A$ 配置於主區，$B$ 配置於主區內的次區。因此必須有兩層誤差：

1. 主區誤差：區集與 $A$ 的交互作用；
2. 次區誤差：次區層級的隨機誤差。

模型為：

$$Y_{ijk} = \mu+\rho_i+\alpha_j+u_{ij} +\beta_k+(\alpha\beta)_{jk} +\varepsilon_{ijk}$$

其中：

• $u_{ij}$：主區誤差，代表區集內 $A$ 主區的隨機變異；
• $\varepsilon_{ijk}$：次區誤差。

主區誤差可表示為：

$$u_{ij}\equiv (\rho\alpha)_{ij}$$

因此也可寫成：