111 年 國立臺灣大學農藝系暨研究所生物統計甲組《試驗設計學》

本題主要在探討試驗設計的三大原則。

(1) 隨機排列 (Random Arrangement)：
隨機排列的目的是為了確保試驗單元（例如田地、植株、動物等）在接受不同處理時，所受到的未受控外在環境因素（如土壤肥力差異、光照強度、濕度、溫度等）的影響是均勻的。透過隨機將處理分配給試驗單元，可以避免這些未受控因素系統性地與處理產生關聯，進而導致偏差。例如，如果我們知道某一區域的土壤特別肥沃，我們就不應該系統性地將所有「處理 A」的試驗單元都安排在該區域，而是透過隨機分配，讓「處理 A」、「處理 B」等各處理的試驗單元有機會被分配到肥沃與貧瘠的區域，使得平均而言，各處理受土壤肥力影響的程度相似。這樣，我們在比較處理間的差異時，就可以更有信心地認為觀察到的差異是處理本身造成的，而不是由土壤肥力等外在因素造成的。

設置區集 (Blocking or Blocking Factors)：
區集化設計（如隨機區集設計, RCBD）的目的是將試驗單元依據某種已知或可預期的、可能影響試驗結果的因素（例如地理位置、飼養批次、實驗日期等）分成若干個同質性較高的群組，稱為「區集」。在每個區集內，再將所有處理隨機分配給該區集的試驗單元。這樣做是為了將區集內部的變異（來自區集間的差異）控制住，並將其從誤差項中分離出來。例如，在農田試驗中，如果發現田地的肥力有從左到右遞減的趨勢，就可以將田地分成若干橫向的區集，每個區集內都包含從左到右的試驗單元。這樣，處理間的比較就是在同質性較高的區集內進行，可以減少因肥力梯度造成的變異對處理效應評估的影響，從而提高試驗的準確性與效率。

總結來說，隨機排列是為了避免未知的、隨機的環境因素系統性地影響處理，而區集化則是為了控制已知的、系統性的環境因素（區集因子）對處理的影響，兩者都是控制誤差、提高統計檢定力的方法。

(2) 計算試驗每個處理變級應該設置的重複次數時，若希望同時將偽陰性 (false negative) 與偽陽性 (false positive) 的發生機率控制在可接受的範圍下，應考量的參數包括：

本題考驗對變異數檢定、t檢定結果的解讀，以及對 ANOVA 基本假設的理解。

(1) 結果甲 (var.test(A, B)) 的說明與判斷：
結果甲是使用 R 語言的 var.test 函數進行兩個樣本變異數的 F 檢定。

• 檢定目的：檢定兩種作物 (A 和 B) 的營養成分含量變異數是否相等。
• 虛無假設 ($H_0$)：兩種作物的營養成分含量變異數相等 (即變異數比為 1)。
• 對立假設 ($H_a$)：兩種作物的營養成分含量變異數不相等 (即變異數比不為 1)。
• 檢定統計量：F 統計量為 1.046。
• 自由度：分子自由度 (num df) 為 11，分母自由度 (denom df) 為 11。
• p-value：0.9419。
• 信賴區間：變異數比的 95% 信賴區間為 [0.3011181, 3.6334674]。
• 樣本估計值：變異數比的估計值為 1.045994。

判斷：由於 p-value (0.9419) 遠大於常用的顯著水準 (例如 $\alpha=0.05$)，我們無法拒絕虛無假設。這表示我們沒有足夠的證據顯示兩種作物的營養成分含量變異數有顯著差異。換句話說，我們可以假設兩組樣本的變異數是相等的。

結果乙 (t.test(A, B, var.eq=T)) 的說明與判斷：
結果乙是使用 R 語言的 t.test 函數進行兩個樣本平均數的 t 檢定，並且指定 var.eq=T，表示假設兩組樣本的變異數相等 (pooled variance t-test)。

• 檢定目的：檢定兩種作物 (A 和 B) 的營養成分含量平均數是否相等。
• 虛無假設 ($H_0$)：兩種作物的營養成分含量平均數相等 (即平均數差異為 0)。
• 對立假設 ($H_a$)：兩種作物的營養成分含量平均數不相等 (即平均數差異不為 0)。
• 檢定統計量：t 統計量為 0.3448。
• 自由度：df = 22 (由於假設變異數相等，自由度為 $n_A - 1 + n_B - 1 = 11 + 11 = 22$)。
• p-value：0.7335。
• 信賴區間：平均數差異的 95% 信賴區間為 [-7.103433, 9.936766]。
• 樣本估計值：作物 A 的樣本平均數為 194.5000，作物 B 的樣本平均數為 193.0833。

判斷：由於 p-value (0.7335) 遠大於常用的顯著水準 (例如 $\alpha=0.05$)，我們無法拒絕虛無假設。這表示我們沒有足夠的證據顯示兩種作物的營養成分含量平均數有顯著差異。

本題考驗隨機完全區集設計 (RCBD) 的變異數分析與假設檢定。

步驟一：整理數據並計算基本統計量

首先，我們需要將數據整理成表格，並計算各品種的總計、平均值，以及各區集的總計、平均值。

區集	品種	株高 (cm)
1	A	80
1	B	80
1	C	84
2	B	85
2	C	88
2	A	90
3	A	85
3	C	89
3	B	76

總觀測數 $N = 9$ (3 個品種 × 3 個區集)。
處理數 (品種) $t = 3$ (A, B, C)。
區集數 $b = 3$。

各品種的總計與平均數：

• 品種 A: $80 + 90 + 85 = 255$ cm, 平均數 $\bar{y}_{A.} = 255 / 3 = 85$ cm
• 品種 B: $80 + 85 + 76 = 241$ cm, 平均數 $\bar{y}_{B.} = 241 / 3 = 80.33$ cm
• 品種 C: $84 + 88 + 89 = 261$ cm, 平均數 $\bar{y}_{C.} = 261 / 3 = 87$ cm
  品種總計: $255 + 241 + 261 = 757$ cm

各區集的總計與平均數：

• 區集 1: $80 + 80 + 84 = 244$ cm, 平均數 $\bar{y}_{.1} = 244 / 3 = 81.33$ cm
• 區集 2: $85 + 88 + 90 = 263$ cm, 平均數 $\bar{y}_{.2} = 263 / 3 = 87.67$ cm
• 區集 3: $85 + 89 + 76 = 250$ cm, 平均數 $\bar{y}_{.3} = 250 / 3 = 83.33$ cm
  區集總計: $244 + 263 + 250 = 757$ cm

總平均數 $\bar{y}_{..} = 757 / 9 = 84.11$ cm

步驟二：計算變異數分析表 (ANOVA Table)

RCBD 的變異數分解公式：
$SST = SSTR + SSBL + SSE$
總平方和 = 處理平方和 + 區集平方和 + 誤差平方和

1. 總平方和 (SST)：
   $SST = \sum_{i=1}^{b} \sum_{j=1}^{t} (y_{ij} - \bar{y}_{..})^2$
   $SST = (80-84.11)^2 + (80-84.11)^2 + (84-84.11)^2 + (85-84.11)^2 + (88-84.11)^2 + (90-84.11)^2 + (85-84.11)^2 + (89-84.11)^2 + (76-84.11)^2$
   $SST = (-4.11)^2 + (-4.11)^2 + (-0.11)^2 + (0.89)^2 + (3.89)^2 + (5.89)^2 + (0.89)^2 + (4.89)^2 + (-8.11)^2$
   $SST = 16.8921 + 16.8921 + 0.0121 + 0.7921 + 15.1321 + 34.6921 + 0.7921 + 23.9121 + 65.7721 = 178.8889$

2. 處理平方和 (SSTR)：
   $SSTR = \sum_{j=1}^{t} t (\bar{y}_{.j} - \bar{y}_{..})^2$ (這裡 j 代表品種，t 是品種數)
   $SSTR = 3 \times [(\bar{y}_{A.} - \bar{y}_{..})^2 + (\bar{y}_{B.} - \bar{y}_{..})^2 + (\bar{y}_{C.} - \bar{y}_{..})^2]$
   $SSTR = 3 \times [(85 - 84.11)^2 + (80.33 - 84.11)^2 + (87 - 84.11)^2]$
   $SSTR = 3 \times [(0.89)^2 + (-3.78)^2 + (2.89)^2]$

核心觀念

均衡不完全區集設計（BIBD）具有以下特性：

• 共 $t$ 個處理。
• 共 $b$ 個區集，每個區集包含 $k$ 個不同處理。
• 每個處理在 $r$ 個區集出現。
• 任意兩個不同處理恰好共同出現在 $\lambda$ 個區集。

由「處理總出現次數」與「處理配對次數」可推導出 BIBD 的基本參數關係。

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(1) BIBD 的參數限制條件

1. 基本整數與不完全性條件

參數必須為正整數：

$$b,k,t,r,\lambda \in \mathbb{Z}_{>0}.$$

因為是不完全區集設計，每個區集只包含部分處理，因此通常要求：

$$1<k<t.$$

其中 $k<t$ 表示每個區集不可能包含全部 $t$ 個處理。

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2. 處理總出現次數相等

從區集角度計算，所有區集共包含：

$$bk$$

個處理位置。

從處理角度計算，每個處理出現 $r$ 次，共有 $t$ 個處理，因此處理總出現次數為：

$$tr.$$

兩者必須相等，所以：

$$\boxed{bk=tr}.$$

因此：

$$\boxed{b=\frac{tr}{k}}$$

且 $k$ 必須整除 $tr$。

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3. 任一處理與其他處理的配對次數

固定一個處理。

它在 $r$ 個區集中出現，而每個區集除了它本身之外，還有 $k-1$ 個其他處理。因此，該處理與其他處理共同出現的總次數為：

$$r(k-1).$$

另一方面，該處理有 $t-1$ 個其他處理，且每一對共同出現 $\lambda$ 次，所以總次數為：

$$\lambda(t-1).$$

因此必須滿足：

$$\boxed{r(k-1)=\lambda(t-1)}.$$

故：

$$\boxed{r=\frac{\lambda(t-1)}{k-1}}$$

且 $k-1$ 必須整除 $\lambda(t-1)$。

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4. 參數間的另一個重要關係

將

$$bk=tr$$

與

$$r(k-1)=\lambda(t-1)$$

合併，可得：

$$\boxed{\lambda t(t-1)=bk(k-1)}.$$

因此：

$$\boxed{b=\frac{\lambda t(t-1)}{k(k-1)}}.$$

這也表示 $k(k-1)$ 必須整除 $\lambda t(t-1)$。

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5. 其他常見限制

對非平凡 BIBD，通常還有 Fisher 不等式：

$$\boxed{b\geq t}.$$

又由

$$\frac{r}{b}=\frac{k}{t}$$

以及 $k<t$，可知：

$$r<b.$$

上述參數關係是 BIBD 存在的必要條件，但僅滿足數值關係不代表必然能排出實際設計；仍須確認各處理與各處理配對能依規定安排。

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(2) 規劃 $b=4,\ k=3,\ t=4,\ r=3,\ \lambda=2$ 的 BIBD

先驗證參數

檢查處理總出現次數：

$$bk=4(3)=12,$$ $$tr=4(3)=12.$$

所以：

$$bk=tr.$$

再檢查配對關係：

$$r(k-1)=3(3-1)=6,$$ $$\lambda(t-1)=2(4-1)=6.$$

所以：

$$r(k-1)=\lambda(t-1).$$

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設計方式

將四個處理記為 $1,2,3,4$。每個區集安排三個處理，採取「每次排除一個處理」的方式：

區集	處理配置
$B_1$	$\{1,2,3\}$
$B_2$	$\{1,2,4\}$
$B_3$	$\{1,3,4\}$
$B_4$	$\{2,3,4\}$

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驗證重複數 $r$

處理 $1$ 出現在 $B_1,B_2,B_3$，共 $3$ 次。

處理 $2$ 出現在 $B_1,B_2,B_4$，共 $3$ 次。

處理 $3$ 出現在 $B_1,B_3,B_4$，共 $3$ 次。

處理 $4$ 出現在 $B_2,B_3,B_4$，共 $3$ 次。

因此每個處理皆出現：

$$r=3.$$

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驗證共同出現次數 $\lambda$

本題考驗 $2^2$ 複因子試驗中，效應的對比表示法，以及在區集設計中處理組合的配置與混雜 (confounding) 的概念。

(1) 效應的直交對比表示：
對於一個 $2^2$ 複因子試驗，有四個處理組合：A1B1, A1B2, A2B1, A2B2。
我們希望用這些處理組合的均值來表示各效應。假設各處理組合的均值分別為 $m_{11}, m_{12}, m_{21}, m_{22}$。

• A 因子主效應 (Temperature main effect)：
  A 因子主效應衡量的是溫度從低 (A1) 變到高 (A2) 時，對抗蟲機制平均影響的差異。這可以表示為在 B 因子兩個水準 (B1 和 B2) 下，A 因子水準的平均差異。
  對比 $C_A$ 應該是比較 (A2 的平均值) 與 (A1 的平均值)。
  在 B1 下，A2 的平均值是 $m_{21}$，A1 的平均值是 $m_{11}$。
  在 B2 下，A2 的平均值是 $m_{22}$，A1 的平均值是 $m_{12}$。
  A 因子主效應的對比是：(A2B1 + A2B2) - (A1B1 + A1B2)。
  為了使其成為一個直交對比，係數需要滿足：

  • 兩組係數和為 0
  • 兩組係數的內積為 0
  • 係數的絕對值相等
    我們可以設定 A2 為 +1，A1 為 -1。
    $C_A = (-1) \times m_{11} + (-1) \times m_{12} + (+1) \times m_{21} + (+1) \times m_{22}$
    $C_A = m_{21} + m_{22} - m_{11} - m_{12}$
    其係數組合為 (-1, -1, 1, 1)。

• B 因子主效應 (CO2 concentration main effect)：
  B 因子主效應衡量的是二氧化碳濃度從低 (B1) 變到高 (B2) 時，對抗蟲機制平均影響的差異。這可以表示為在 A 因子兩個水準 (A1 和 A2) 下，B 因子水準的平均差異。
  對比 $C_B$ 應該是比較 (B2 的平均值) 與 (B1 的平均值)。
  在 A1 下，B2 的平均值是 $m_{12}$，B1 的平均值是 $m_{11}$。
  在 A2 下，B2 的平均值是 $m_{22}$，B1 的平均值是 $m_{21}$。
  B 因子主效應的對比是：(A1B2 + A2B2) - (A1B1 + A2B1)。
  我們可以設定 B2 為 +1，B1 為 -1。
  $C_B = (-1) \times m_{11} + (+1) \times m_{12} + (-1) \times m_{21} + (+1) \times m_{22}$
  $C_B = m_{12} + m_{22} - m_{11} - m_{21}$
  其係數組合為 (-1, 1, -1, 1)。

• AB 二因子交感效應 (Interaction effect of A and B)：
  AB 二因子交感效應衡量的是 B 因子對 A 因子的影響程度是否隨 A 因子的水準而改變，或者反之。這可以看作是 (A2 相對於 A1 的差異) 在 B2 下與在 B1 下是否相同。
  在 B1 下，A2 相對於 A1 的差異是 $m_{21} - m_{11}$。
  在 B2 下，A2 相對於 A1 的差異是 $m_{22} - m_{12}$。
  交感效應的對比是：$(m_{22} - m_{12}) - (m_{21} - m_{11})$
  $C_{AB} = m_{11} - m_{12} - m_{21} + m_{22}$
  其係數組合為 (1, -1, -1, 1)。

驗證直交性：
我們將處理組合的順序固定為 (A1B1, A1B2, A2B1, A2B2)，對應的係數向量為：
$C_A: (-1, -1, 1, 1)$
$C_B: (-1, 1, -1, 1)$
$C_{AB}: (1, -1, -1, 1)$

• $C_A$ 與 $C_B$ 的內積：$(-1)(-1) + (-1)(1) + (1)(-1) + (1)(1) = 1 - 1 - 1 + 1 = 0$ (直交)
• $C_A$ 與 $C_{AB}$ 的內積：$(-1)(1) + (-1)(-1) + (1)(-1) + (1)(1) = -1 + 1 - 1 + 1 = 0$ (直交)
• $C_B$ 與 $C_{AB}$ 的內積：$(-1)(1) + (1)(-1) + (-1)(-1) + (1)(1) = -1 - 1 + 1 + 1 = 0$ (直交)

所有三個對比是相互直交的。

(2) 配置處理組合於區集以進行混雜 (Confounding)：
試驗共有 4 個處理組合 (A1B1, A1B2, A2B1, A2B2)。
試驗環境是 2 個區集 (b=2)，每個區集大小為 k=2。
這意味著每個區集只能容納 2 個處理組合。
總共有 $N = bk = 2 \times 2 = 4$ 個試驗單元。

在 RCBD 或 CRD 中，我們需要將 4 個處理組合隨機分配到 4 個試驗單元。但是，由於空間限制，我們必須將這 4 個處理組合分配到 2 個區集，每個區集只有 2 個試驗單元。

我們希望 A 和 B 的主效應是重要的，而 AB 交感效應可以與區集效應混雜。

在區集設計中，區集效應是試驗變異的一個來源。當區集大小小於總處理數時，我們無法在每個區集內測試所有處理。
區集效應的自由度為 $b-1 = 2-1 = 1$。
總自由度為 $N-1 = 4-1 = 3$。
處理的自由度為 $4-1 = 3$。
這 3 個自由度分別對應 A 主效應 (df=1)，B 主效應 (df=1)，AB 交感效應 (df=1)。

當我們將處理組合分配到區集時，我們實際上是在決定哪些處理組合落在同一個區集，哪些落在不同的區集。
由於每個區集大小為 k=2，這表示我們是將 4 個處理組合分成兩組，每組 2 個，分別放入兩個區集。
例如，我們將 {P1, P2} 放入區集 1，{P3, P4} 放入區集 2。
區集效應的自由度是 1，它對應於區集 1 的均值與區集 2 的均值之間的差異。

混雜 (Confounding) 的概念是指，某一個處理效應的自由度與區集效應的自由度混雜在一起，導致無法獨立估計該處理效應。
在我們的例子中，區集效應的自由度是 1。
A 主效應的自由度是 1。
B 主效應的自由度是 1。
AB 交感效應的自由度是 1。

因為我們被告知 AB 交感效應可以與區集效應混雜，這意味著 AB 交感效應的自由度 (1) 將會與區集效應的自由度 (1) 混雜。
這意味著，我們將 AB 交感效應的自由度分配給區集效應。
換句話說，我們將 AB 交感效應的平方和 (SS_AB) 與區集效應的平方和 (SS_Block) 合併。
在 ANOVA 表中，這會導致我們無法獨立地估計 AB 交感效應。

如何配置處理組合？
我們需要將 4 個處理組合 {A1B1, A1B2, A2B1, A2B2} 分配到兩個區集 {Block 1, Block 2}，每個區集有 2 個處理組合。
區集效應的自由度是 1，它代表了兩個區集之間的差異。
AB 交感效應的自由度也是 1，它代表了 (A2-A1) 在 B2 下與在 B1 下的差異。

為了使 AB 交感效應與區集效應混雜，我們需要選擇一種分組方式，使得 AB 交感效應的對比係數與區集指示變數的係數相同。
AB 交感效應的對比係數為 (1, -1, -1, 1)。
這個對比將處理組合分成兩組：{A1B1, A2B2} 和 {A1B2, A2B1}。