本題主要在考察學生對於變方分析 (Analysis of Variance, ANOVA) 的核心概念，包含其原理、基本假設以及如何檢驗這些假設。

變方分析的原理

變方分析的核心原理是將總變異 (Total Variation) 分解為不同來源的變異。在實驗設計中，我們希望將觀察到的總變異分解為由處理 (treatment) 引起的變異以及由隨機誤差 (random error) 引起的變異。

• 總變異 (Total Sum of Squares, SST)：衡量所有觀測值與總平均值之間的差異總和。
• 處理變異 (Treatment Sum of Squares, SSTr)：衡量不同處理組平均值與總平均值之間的差異總和，代表處理因素對觀測值的影響。
• 誤差變異 (Error Sum of Squares, SSE)：衡量同一處理組內觀測值與該處理組平均值之間的差異總和，代表隨機誤差或未被模型解釋的變異。

基本關係式為：$SST = SSTr + SSE$。

F 檢定的原理

F 檢定是變方分析用來檢定處理效應是否顯著的統計方法。其原理是比較處理均方 (Mean Square for Treatment, MSTr) 與誤差均方 (Mean Square for Error, MSE)。

• MSTr：是處理變異除以其自由度 ($SSTr / df_{Tr}$)，代表處理因素的平均變異。
• MSE：是誤差變異除以其自由度 ($SSE / df_E$)，代表隨機誤差的平均變異。

F 統計量定義為：$F = MSTr / MSE$。

• 虛無假設 ($H_0$)：所有處理組的平均值均相等，即處理因素對觀測值沒有顯著影響。
• 對立假設 ($H_1$)：至少有一個處理組的平均值與其他處理組不同。

在 $H_0$ 為真的情況下，MSTr 和 MSE 都應該大致反映隨機誤差的變異，因此 F 值會接近 1。如果 $H_1$ 為真，則 MSTr 會比 MSE 大，導致 F 值顯著大於 1。我們將計算出的 F 值與 F 分配表中的臨界值進行比較，若計算出的 F 值大於臨界值，則拒絕 $H_0$，認為處理效應是顯著的。

變方分析的基本假設

變方分析的有效性依賴於幾個關鍵的基本假設：

1. 獨立性 (Independence)：各個觀測值之間是相互獨立的。這意味著一個觀測值的結果不應影響其他觀測值。在實驗設計中，這通常透過隨機化 (randomization) 來達成。
2. 常態性 (Normality)：誤差項（或各處理組內的殘差）應服從常態分配，且平均值為 0。這表示隨機誤差的出現是隨機且對稱的。

本題主要在考察學生對於完全逢機設計 (Completely Randomized Design, CRD) 的基本應用，包含試驗單位的計算、隨機化程序、以及線性統計模式的建立。

題組共用題幹
欲比較三種不同培養液配方對於水稻幼苗生長之影響,預計在實驗室中以完全逢機設計(CRD)進行試驗,各培養液配方重複五次,並於培養一段時間後紀錄植株乾重。

(一) 試驗單位的準備與隨機分配

• 試驗單位 (Experimental Units, EU)：在本試驗中，每個獨立的試驗單位是「一株水稻幼苗」進行培養並測量其乾重。
• 處理 (Treatments)：有三種不同的培養液配方。
• 重複 (Replications)：每種培養液配方重複五次。

試驗單位總數計算：
試驗單位總數 = 處理數 × 重複數
試驗單位總數 = 3 種培養液配方 × 5 次重複 = 15 個試驗單位。
因此，需要準備 15 株水稻幼苗作為試驗單位。

隨機分配的程序：
完全逢機設計 (CRD) 的核心是將所有試驗單位隨機分配到各個處理。隨機分配的目的是確保各試驗單位被分配到任何處理的機會是均等的，從而避免系統性偏差，並使誤差項能夠獨立同質。

具體操作步驟如下：

1. 編號試驗單位：將 15 株水稻幼苗分別編號，例如從 1 到 15。
2. 編號處理：將三種培養液配方分別編號，例如：
   • 培養液配方 1：標示為 '1'
   • 培養液配方 2：標示為 '2'
   • 培養液配方 3：標示為 '3'
3. 進行隨機分配：
   • 方法一：亂數表 (Random Number Table)：
     • 從亂數表中隨機選擇一個起始點，並設定一個讀取方向（例如，從左到右，從上到下）。
     • 從亂數表中逐一讀取數字。將讀取的數字轉換為處理編號。由於有 3 種處理，我們可以使用三種方法：
       • 方法 A (分成三組)：讀取連續的數字。將讀取的數字除以 3，取餘數 (mod 3)。餘數為 1 的分配到處理 1，餘數為 2 的分配到處理 2，餘數為 0 (或 3) 的分配到處理 3。
       • 方法 B (一次一個分配)：如果使用亂數表產生 1 到 15 的亂數，則將抽出的數字直接對應到試驗單位編號。例如，第一個抽出的數字是 7，則試驗單位 7 被分配到第一個處理。然後再抽一個數字，分配到第二個處理，依此類推，直到所有 15 個單位被分配。
       • 方法 C (直接產生處理代碼)：產生一個長度為 15 的隨機數列，其中包含 5 個 '1'、5 個 '2' 和 5 個 '3'。例如，使用電腦產生亂數。
   • 方法二：電腦亂數產生器 (Random Number Generator)：
     • 使用統計軟體（如 R, SAS, SPSS）或試算表軟體（如 Excel）的亂數功能。
     • 例如，在 R 中，可以產生一個包含 1 到 15 的序列，然後對其進行隨機排序 (shuffle)，再將前 5 個位置的試驗單位分配給處理 1，接下來 5 個給處理 2，最後 5 個給處理 3。或者，直接產生一個包含 5 個 '1'、5 個 '2'、5 個 '3' 的隨機排列。
   • 方法三：抽籤 (Lottery)：
     • 製作 15 張紙條，分別寫上試驗單位編號 1 到 15。
     • 製作 15 張紙條，其中 5 張寫著「處理 1」，5 張寫著「處理 2」，5 張寫著「處理 3」。
     • 將所有紙條放入兩個不同的箱子中（一個裝試驗單位編號，一個裝處理代碼）。
     • 從試驗單位編號箱中隨機抽取一張紙條，再從處理代碼箱中隨機抽取一張紙條，將兩者配對。重複此過程直到所有紙條配對完畢。

總結隨機分配：
總之，需要準備 15 株水稻幼苗。隨機分配的目標是確保每株幼苗都有相等的機會被分配到任何一種培養液配方，並且每種配方都有 5 株幼苗。

(二) 線性統計模式與參數定義

對於完全逢機設計 (CRD)，其線性統計模式通常寫成以下形式：

核心觀念

本題考查二因子完全逢機設計（two-factor CRD）的變方分析，以及交感作用的圖形判讀。

令：

• 因子 $A$：水稻品種，共 $a=3$ 個試級；
• 因子 $B$：肥料配方，共 $b=2$ 個試級；
• 每一處理組合重複 $n=4$ 次；
• 總觀測數為 $N=abn=3\times2\times4=24$。

二因子模式為：

$$Y_{ijk}=\mu+\alpha_i+\beta_j+(\alpha\beta)_{ij}+\varepsilon_{ijk}$$

其中各誤差項獨立且服從平均數為 $0$、變異數為 $\sigma^2$ 的常態分布。

本題已直接給出試驗機差均方：

$$MSE=556$$

因此誤差平方和為：

$$SSE=MSE\times DF_E$$

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題目資料的一致性說明

題目同時提供邊際平均數與處理組合平均數，但兩者彼此不一致。例如，依處理組合平均數計算：

$$\bar y_{1.}=\frac{\bar y_{11}+\bar y_{12}}{2} =\frac{110+86}{2}=98$$

並非題目所列的 $\bar y_{1.}=110$。

同樣地，$\bar y_{2.}$、$\bar y_{3.}$、$\bar y_{.1}$、$\bar y_{.2}$ 也無法由處理組合平均數推出。因此，以下依六個處理組合平均數

$$\bar y_{11}=110,\quad \bar y_{12}=86,\quad \bar y_{21}=125,\quad \bar y_{22}=130,\quad \bar y_{31}=58,\quad \bar y_{32}=76$$

作為正式計算依據，因為二因子 ANOVA 的各項平方和應由處理組合平均數一致地推導。

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（一）變方分析表

第一步：計算各邊際平均數與總平均數

$A$ 因子的平均數

$$\bar y_{1.}=\frac{110+86}{2}=98$$ $$\bar y_{2.}=\frac{125+130}{2}=127.5$$ $$\bar y_{3.}=\frac{58+76}{2}=67$$

$B$ 因子的平均數

$$\bar y_{.1}=\frac{110+125+58}{3} =\frac{293}{3}=97.667$$ $$\bar y_{.2}=\frac{86+130+76}{3} =\frac{292}{3}=97.333$$

總平均數

$$\bar y_{..} =\frac{110+86+125+130+58+76}{6} =\frac{585}{6}=97.5$$

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第二步：自由度

二因子完全逢機設計的自由度如下：

$$DF_A=a-1=3-1=2$$ $$DF_B=b-1=2-1=1$$ $$DF_{AB}=(a-1)(b-1)=2\times1=2$$ $$DF_E=ab(n-1)=3\times2\times3=18$$ $$DF_T=N-1=24-1=23$$

並且：

$$23=2+1+2+18$$

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第三步：計算 $A$ 因子的平方和

公式為：

$$SSA=bn\sum_{i=1}^{a} (\bar y_{i.}-\bar y_{..})^2$$

代入資料：

$$\begin{aligned} SSA &=2(4)\left[ (98-97.5)^2+(127.5-97.5)^2+(67-97.5)^2 \right]\\ &=8\left[ (0.5)^2+(30)^2+(-30.5)^2 \right]\\ &=8(0.25+900+930.25)\\ &=14644 \end{aligned}$$

因此：

$$MS_A=\frac{SSA}{DF_A} =\frac{14644}{2}=7322$$

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第四步：計算 $B$ 因子的平方和

公式為：

$$SSB=an\sum_{j=1}^{b} (\bar y_{.j}-\bar y_{..})^2$$

代入資料：

$$\begin{aligned} SSB &=3(4)\left[ \left(\frac{293}{3}-97.5\right)^2+ \left(\frac{292}{3}-97.5\right)^2 \right]\\ &=12\left[ \left(\frac16\right)^2+ \left(-\frac16\right)^2 \right]\\ &=\frac23 \approx0.667 \end{aligned}$$

因此：

$$MS_B=\frac{SSB}{DF_B} =\frac23\approx0.667$$

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第五步：計算交感作用平方和

公式為：

$$SS_{AB} =n\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b} \left( \bar y_{ij}-\bar y_{i.}-\bar y_{.j}+\bar y_{..} \right)^2$$

各處理組合的交感偏差如下：

$$\bar y_{11}-\bar y_{1.}-\bar y_{.1}+\bar y_{..} =110-98-\frac{293}{3}+97.5 =\frac{71}{6}$$ $$\bar y_{12}-\bar y_{1.}-\bar y_{.2}+\bar y_{..} =-\frac{71}{6}$$ $$\bar y_{21}-\bar y_{2.}-\bar y_{.1}+\bar y_{..} =-\frac83$$ $$\bar y_{22}-\bar y_{2.}-\bar y_{.2}+\bar y_{..} =\frac83$$ $$\bar y_{31}-\bar y_{3.}-\bar y_{.1}+\bar y_{..} =-\frac{55}{6}$$ $$\bar y_{32}-\bar y_{3.}-\bar y_{.2}+\bar y_{..} =\frac{55}{6}$$

因此：

$$\begin{aligned} SS_{AB} &=4\left[ 2\left(\frac{71}{6}\right)^2+ 2\left(\frac83\right)^2+ 2\left(\frac{55}{6}\right)^2 \right]\\ &=\frac{5548}{3}\\ &\approx1849.333 \end{aligned}$$

因此：

核心觀念

本題是「三因子試驗」結合「條帶配置設計（strip-plot design）」與「小區試驗」：

• 區集（Block）有 $r=3$ 個。
• 採收期 $A$ 配置於直條試區，有 $a=2$ 個試級。
• 肥料配方 $B$ 配置於橫條試區，有 $b=3$ 個試級。
• 品種 $C$ 配置於每個 $A\times B$ 交叉小區內，有 $c=4$ 個試級。

雖然品種是在每個 $A\times B$ 交叉區內以巢式方式配置，但四個品種在每一個 $A\times B$ 組合中都出現，因此在處理結構上，$A$、$B$、$C$ 是完全因子組合：

$$A\times B\times C$$

三因子皆為固定型因子；區集及各層級的誤差則視為隨機來源。

本設計有三個主要誤差層級：

1. $A$ 的誤差：區集內直條試區間的差異，為 Block$\times A$。
2. $B$ 的誤差：區集內橫條試區間的差異，為 Block$\times B$。
3. $C$ 及其交互作用的誤差：$A\times B$ 交叉小區內各品種小區的差異，稱為 Error$(C)$。

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（一）統計線型模式與 ANOVA 表

1. 設定符號

令

• $Y_{ijkl}$：第 $i$ 個區集、第 $j$ 個採收期、第 $k$ 個肥料配方、第 $l$ 個品種下的產量；
• $i=1,2,3$；
• $j=1,2$；
• $k=1,2,3$；
• $l=1,2,3,4$。

2. 統計線型模式

此條帶配置加小區配置的統計模式可寫為

$$\begin{aligned} Y_{ijkl} ={}&\mu+\rho_i+\alpha_j+\beta_k+\gamma_l\\ &+(\alpha\beta)_{jk} +(\alpha\gamma)_{jl} +(\beta\gamma)_{kl} +(\alpha\beta\gamma)_{jkl}\\ &+(\rho\alpha)_{ij} +(\rho\beta)_{ik} +(\rho\alpha\beta)_{ijk} +e_{ijkl}. \end{aligned}$$

其中：

• $\mu$：總平均；
• $\rho_i$：區集效果；
• $\alpha_j$：採收期 $A$ 效果；
• $\beta_k$：肥料配方 $B$ 效果；
• $\gamma_l$：品種 $C$ 效果；
• $(\alpha\beta)_{jk}$：$A\times B$ 交互作用；
• $(\alpha\gamma)_{jl}$：$A\times C$ 交互作用；
• $(\beta\gamma)_{kl}$：$B\times C$ 交互作用；
• $(\alpha\beta\gamma)_{jkl}$：$A\times B\times C$ 三因子交互作用；
• $(\rho\alpha)_{ij}$：區集與 $A$ 的交互作用，作為 $A$ 的誤差項；
• $(\rho\beta)_{ik}$：區集與 $B$ 的交互作用，作為 $B$ 的誤差項；
• $(\rho\alpha\beta)_{ijk}$：區集與 $A\times B$ 的交互作用，作為 $A\times B$ 的誤差項；
• $e_{ijkl}$：品種層級的殘差。

各項參數採用一般的和為零限制，例如

$$\sum_i\rho_i=0,\qquad \sum_j\alpha_j=0,\qquad \sum_k\beta_k=0,\qquad \sum_l\gamma_l=0.$$

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3. 自由度推導

總觀測數為

$$N=rabc=3\times2\times3\times4=72,$$

因此總自由度為

$$N-1=72-1=71.$$

各來源自由度如下：

• 區集：

$$r-1=3-1=2.$$

• 採收期 $A$：

$$a-1=2-1=1.$$

• $A$ 的誤差 Block$\times A$：

$$(r-1)(a-1)=2\times1=2.$$

• 肥料配方 $B$：

$$b-1=3-1=2.$$

• $B$ 的誤差 Block$\times B$：

$$(r-1)(b-1)=2\times2=4.$$

• $A\times B$：

$$(a-1)(b-1)=1\times2=2.$$

• $A\times B$ 的誤差 Block$\times A\times B$：

$$(r-1)(a-1)(b-1) =2\times1\times2=4.$$

• 品種 $C$：

$$c-1=4-1=3.$$

• $A\times C$：

$$(a-1)(c-1)=1\times3=3.$$

• $B\times C$：

$$(b-1)(c-1)=2\times3=6.$$

• $A\times B\times C$：

$$(a-1)(b-1)(c-1) =1\times2\times3=6.$$

• 品種層級誤差：

先考慮每一個 $A\times B$ 交叉區內的品種變異，共有 $rab$ 個交叉區，因此其總自由度為

$$rab(c-1)=3\times2\times3\times3=54.$$

其中 $C$、$A\times C$、$B\times C$、$A\times B\times C$ 已解釋的自由度為

$$3+3+6+6=18.$$

故 Error$(C)$ 自由度為

$$54-18=36.$$

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4. ANOVA 表

變異來源（SOV）	自由度（DF）	F 檢定分母
區集 Block	$r-1=2$	—
採收期 $A$	$a-1=1$	Block$\times A$
Error$(A)$：Block$\times A$	$(r-1)(a-1)=2$	—