108 年 國立臺灣大學材料科學與工程研究所碩士班丙組《材料科學（A）》

此題考查混合差排（mixed dislocation）的結構概念。混合差排是包含刃差排（edge dislocation）和螺位差排（screw dislocation）兩種組態特徵的差排線。

解題步驟：

1. 繪製差排線 (Dislocation Line)：差排線是差排結構的中心線。
2. 繪製伯格斯向量 (Burger's Vector, $\vec{b}$)：伯格斯向量代表差排線單位長度造成的晶格畸變大小與方向。對於混合差排，$\vec{b}$ 的方向與差排線方向（$\vec{u}$）不平行也不垂直，即 $\vec{b}$ 存在與差排線平行的分量（螺位差排分量）和與差排線垂直的分量（刃差排分量）。
3. 繪製施加的剪切力 (Applied Shear Force)：施加的剪切力通常是為了使差排移動，從而導致材料變形。剪切力的方向與差排的滑移方向（由 $\vec{b}$ 和滑移面決定）相關。
4. 標示相對位置：清楚標示差排線、伯格斯向量 ($\vec{b}$)、以及施加的剪切力方向。

說明：
混合差排的特徵在於其伯格斯向量 $\vec{b}$ 與差排線方向 $\vec{u}$ 之間存在一個角度 $\theta$。

此題考查材料加工（冷軋與熱軋）對微觀結構的影響，以及 ASTM 晶粒尺寸標準的應用。

(1) 冷軋純銅片與熱軋純銅片的區別

• 冷軋 (Cold Rolling)：在室溫或接近室溫下進行的軋製。
  • 微觀結構：冷軋會引入嚴重的應變硬化（strain hardening），導致晶粒變形（elongated and distorted grains），差排密度顯著增加，形成應變帶（twinning）或亞晶粒（subgrains）。材料的強度增加，延展性降低。
  • 表面：表面光滑，可能帶有輕微的加工紋路。
  • 機械性質：硬度高，強度高，延展性較差。
• 熱軋 (Hot Rolling)：在再結晶溫度以上進行的軋製。
  • 微觀結構：在熱軋過程中，材料的變形伴隨著再結晶（recrystallization）和晶粒生長（grain growth）。因此，熱軋後的材料通常具有較均勻、尺寸較大且應變較小的等軸晶粒（equiaxed grains）。差排密度較低。
  • 表面：表面可能帶有氧化皮（scale）。
  • 機械性質：硬度較低，強度較低，延展性較好。

區別方法：

1. 微觀結構觀察 (Microstructural Observation)：
   • 金相顯微鏡：對樣品進行拋光、蝕刻後，在金相顯微鏡下觀察。冷軋樣品會顯示出高度變形的晶粒，而熱軋樣品顯示較均勻的等軸晶粒。
   • 穿透式電子顯微鏡 (TEM)：觀察差排密度。冷軋樣品差排密度遠高於熱軋樣品。
2. 機械性質測試 (Mechanical Property Testing)：
   • 硬度測試 (Hardness Test)：冷軋樣品硬度更高。
   • 拉伸測試 (Tensile Test)：冷軋樣品屈服強度和抗拉強度更高，但斷裂伸長率（延展性）較低。
3. 表面觀察：熱軋樣品表面可能帶有氧化皮。

(2) ASTM 晶粒尺寸數為 5 的純銀棒與 ASTM 晶粒尺寸數為 10 的純銀棒的區別

ASTM 晶粒尺寸數 (ASTM Grain Size Number, $G$) 與平均晶粒面積之間的關係為：
$N = 2^{G-1}$

此題考查應變率對鐵（Iron）中解理斷裂（cleavage）和孿生（twinning）兩種變形/斷裂機制影響的機制。

核心觀念：

• 解理斷裂 (Cleavage)：脆性斷裂的一種形式，沿著特定的晶體學平面（解理面）發生。通常發生在脆性材料或在低溫、高應力集中時。
• 孿生 (Twinning)：一種形變機制，其中晶體的一部分發生了鏡像對稱的變形，相對於另一部分，圍繞一個特定的晶面（孿生面）和一個特定的晶向（孿生軸）。是一種相對快速的變形方式。
• 應變率 (Strain Rate)：材料單位時間內的形變率。高應變率意味著快速施加載荷。

論證：

1. 孿生 (Twinning) 在高應變率下的傾向：
   • 孿生是一種相對快速的變形機制。它涉及到原子在孿生面上的協同滑移，形成一個鏡像對稱的晶體區域。
   • 當應變率很高時，材料沒有足夠的時間讓其他變形機制（如位錯滑移）充分發揮作用。
   • 孿生過程可以在非常短的時間內完成，因此它在高應變率下成為一種有效的局部形變方式。
   • 在鐵（特別是體心立方 BCC 結構的鐵）中，孿生是應變率敏感的變形模式之一。高應變率可以促進孿生核的形成和發展。

此題考查鋼的微觀結構（microstructure）對其衝擊強度（impact strength）的影響，特別是針對多晶馬氏體低碳鋼（polycrystalline mild steel）軸。

核心觀念：

• 衝擊強度 (Impact Strength)：材料抵抗快速施加載荷（衝擊）的能力，通常通過夏比（Charpy）或伊佐德（Izod）衝擊試驗測定。它與韌性（toughness）密切相關，韌性是材料在斷裂前吸收能量的能力。
• 多晶馬氏體低碳鋼 (Polycrystalline Mild Steel)：通常指低碳鋼（含碳量約 0.05-0.25 wt%），其主要結構是鐵素體（ferrite）和珠光體（pearlite）。軸的應用意味著承受旋轉彎曲應力，可能還會有軸向載荷。
• 微觀結構 (Microstructure)：材料內部晶粒的尺寸、形狀、分佈，以及相的組成、分佈等。

微觀結構對衝擊強度的影響：

1. 晶粒尺寸 (Grain Size)：

   • 影響：根據 Hall-Petch 關係式，晶粒尺寸越小，材料的屈服強度和韌性通常越高。較小的晶粒意味著位錯在滑移時需要越過更多的晶界，這增加了材料的強度。同時，較小的晶粒也限制了裂紋的擴展路徑，因為裂紋在擴展到下一個晶粒時需要改變方向，並克服新的晶界。
   • 對衝擊強度：較小的晶粒尺寸通常能提高衝擊強度，因為它增加了材料吸收能量的能力，使其更難發生脆性斷裂。

2. 相組成與分佈 (Phase Composition and Distribution)：

   • 鐵素體 (Ferrite)：低碳鋼中的軟相，延展性好，但強度較低。
   • 珠光體 (Pearlite)：由鐵素體和碳化物的層狀結構組成，比純鐵素體硬且強度更高，但延展性較差。
   • 影響：低碳鋼中鐵素體和珠光體的比例和形態影響衝擊強度。
     • 鐵素體含量高：通常意味著較低的整體強度，但較好的延展性，可能在較寬的溫度範圍內保持較好的韌性。
     • 珠光體含量高：強度增加，但可能降低延展性。如果珠光體呈粗大片狀（coarse lamellar pearlite），在低溫下可能導致衝擊強度顯著下降。
     • 細片狀珠光體 (fine lamellar pearlite)：相比粗片狀珠光體，其強度和韌性組合可能更好。

此題考查通過掃描電子顯微鏡（SEM）圖像估計陶瓷材料（Ba2TiNb4O15）的相對密度和晶粒尺寸。

核心觀念：

• 相對密度 (Relative Density)：材料的實際密度與其理論密度之比。在顯微圖像中，未緻密化的部分通常表現為孔隙（pores）。
• 晶粒尺寸 (Grain Size)：材料內部晶體的平均尺寸。
• SEM 圖像分析：SEM 圖像提供了材料表面微觀形貌的信息，可以通過圖像分析技術來量化這些特徵。

估計相對密度：

1. 識別孔隙 (Pores)：在 SEM 圖像中，孔隙通常表現為圖像中的黑色區域，因為它們不反射電子，或者反射的電子較少。
2. 量化孔隙體積 (Quantify Pore Volume)：
   • 圖像處理：使用圖像處理軟件（如 ImageJ）對圖像進行二值化處理，將材料基體（黑色或灰色）和孔隙（白色或黑色）區分開。
   • 面積比例：計算圖像中孔隙所佔的面積比例。在 SEM 圖像中，面積比例可以近似代表體積比例，特別是對於表面孔隙。
   • 相對密度計算：相對密度 $\rho_{rel} = \frac{\rho_{actual}}{\rho_{theoretical}} = 1 - V_{pores}$，其中 $V_{pores}$ 是孔隙的體積分數。
   • 估計：觀察圖像，估計黑色區域（孔隙）佔總圖像面積的比例。
     • 從提供的圖像看，黑色區域（孔隙）佔據了相當大的比例。
     • 例如，如果估計孔隙佔據了 10-20% 的面積，那麼相對密度就估計為 80-90%。
     • 仔細觀察圖像，黑色區域（孔隙）似乎佔據了約 15% 左右的面積。
     • 因此，相對密度估計為 $1 - 0.15 = 0.85$ 或 85%。

估計晶粒尺寸：

1. 識別晶界 (Grain Boundaries)：晶粒之間的界線。在 SEM 圖像中，晶界通常表現為晶粒之間的顏色或灰度變化區域，有時會因蝕刻而更明顯。
2. 量化晶粒尺寸 (Quantify Grain Size)：
   • 方法一：線截法 (Line Intercept Method)：
     • 在圖像上畫多條隨機的直線（或平行線）。
     • 計算每條直線與晶界的交點數。
     • 平均晶粒尺寸 $d_{avg} \approx \frac{L}{N_{intercept}}$，其中 $L$ 是總的直線長度，$N_{intercept}$ 是總的交點數。

核心觀念

本題的核心觀念為離子晶體的異價摻雜（Aliovalent Doping）與點缺陷化學（Defect Chemistry），主要遵循以下準則：

1. 電中性原則（Electroneutrality Condition）：晶體內部所有點缺陷的有效電荷（Effective Charge）代數和必須為零。
2. 位置比例守恆（Site Ratio Conservation）：在 $\text{NaCl}$（岩鹽結構，Rock-salt structure）中，陽離子格位（Cation sites）與陰離子格位（Anion sites）的比例必須嚴格維持 $1:1$。
3. 質量守恆（Mass Balance）：反應前後各元素原子數量必須守恆。
4. Kröger-Vink 缺陷標記法（Kröger-Vink Notation）：用以精確表示點缺陷的位置、種類與有效電荷。

解題方法

1. 基本假設（Assumptions）

1. 置換格位假設：$\text{Ca}^{2+}$ 的離子半徑（約 $1.00\text{ \AA}$）與 $\text{Na}^+$ 的離子半徑（約 $1.02\text{ \AA}$）極為相近，故假設 $\text{Ca}^{2+}$ 優先佔據 $\text{Na}^+$ 的正規格位（Substitutional site），而非進入密堆積間隙。
2. 電中性與晶格比維持：摻雜過程完全遵守晶格位置比（陽離子：陰離子 $= 1:1$）與總體電中性條件。
3. 稀薄固溶體假設：假設摻雜量在固溶限（Solubility limit）之內，不生成第二相析出物。
4. 主導缺陷機制：由於陰離子（$\text{Cl}^-$）半徑較大（約 $1.81\text{ \AA}$），進入間隙的生成能極高，故電荷補償以生成陽離子空位為主導；在低溫或局部近鄰情況下，亦可能形成締合缺陷對（Defect associates）。

2. 缺陷反應與點缺陷推導

將異價鹽類 $\text{CaCl}_2$ 溶入 $\text{NaCl}$ 晶格中，$\text{Ca}^{2+}$ 離子取代 $\text{Na}^+$ 離子時，會在陽離子格位上產生一個單位的正有效電荷 $\text{Ca}_{\text{Na}}^{\bullet}$。為了維持電中性與格位比，系統必須產生帶負有效電荷的點缺陷來補償。

(1) 主要補償機制：陽離子空位補償（Cation Vacancy Compensation）

每引入一個 $\text{Ca}^{2+}$ 離子取代 $\text{Na}^+$，必須同時產生一個鈉離子空位 $V_{\text{Na}}'$ 來平衡電荷：

產生的點缺陷類型：

• $\text{Ca}_{\text{Na}}^{\bullet}$：置換型鈣離子（帶 $+1$ 有效電荷）。
• $V_{\text{Na}}'$：鈉離子空位（帶 $-1$ 有效電荷）。

(2) 缺陷偶極複合體（Defect Complex / Associate）

在溫度較低或缺陷濃度稍高時，帶正電的 $\text{Ca}_{\text{Na}}^{\bullet}$ 與帶負電的 $V_{\text{Na}}'$ 因庫倫靜電引力而互相束縛，形成電中性的缺陷對（又稱電偶極子，Electric Dipole）：

此題考查聚合物的化學結構、命名與結構-性質關係，特別是柔韌性（flexibility）。

核心觀念：

• 聚合物命名：聚合物名稱通常由「聚」加上單體名稱構成。
• 聚合物結構：由重複的單元（repeating units）組成。
• 柔韌性 (Flexibility)：聚合物鏈段在受力時彎曲或轉動的能力。影響因素包括主鏈的旋轉能壘、側基的空間位阻、鏈的剛性結構單元等。

(1) Poly(butylene terephthalate) (PBT) 的化學結構

• 單體 (Monomer)：PBT 是由對苯二甲酸（terephthalic acid）和 1,4-丁二醇（1,4-butanediol）通過酯化反應（縮聚反應）形成的聚酯。

  • 對苯二甲酸： HOOC-C$_6$H$_4$-COOH (苯環對位上有兩個羧基)
  • 1,4-丁二醇： HO-(CH$_2$)$_4$-OH (一個直鏈的四碳醇，兩端有羥基)

• 重複單元 (Repeating Unit)：在縮聚反應中，一個羧基與一個羥基反應，脫去一分子水，形成酯鍵 (-COO-)。

  • 單體反應示意：
    HOOC-Ar-COOH + HO-(CH$_2$)$_4$-OH $\rightarrow$ [-OC-Ar-COO-(CH$_2$)$_4$-O-]$_n$ + 2$n$H$_2$O
    其中 Ar 代表對苯二甲酸的苯環部分 (-C$_6$H$_4$-)。

• 化學結構草圖：
  重複單元結構為：
  -O-(CH$_2$)$_4$-O-CO-C$_6$H$_4$-CO-
  （其中 C$_6$H$_4$ 代表對位的苯環）

  更詳細的結構式：

       O                 O
      //                //
  -[-O-(CH2)4-O-C-C6H4-C-]-
  

  在 C$_6$H$_4$ 中，兩個 -CO- 基團是處於對位（para-position）的。

(2) PBT 與 PET 的柔韌性比較

• Poly(ethylene terephthalate) (PET)：

此題考查聚合物的結構與應用（作為衣物纖維），需要判斷哪種聚合物更適合製成衣物。

核心觀念：

• 聚合物結構與性質：聚合物的化學結構決定了其物理和機械性質，進而影響其應用。
• 衣物纖維的性質要求：良好的拉伸強度、耐磨性、柔韌性、吸濕性（舒適度）、易染色性、耐洗性、抗皺性等。

分析兩種聚合物的結構：

1. Poly(hexamethylene adipamide)

   • 命名分析：
     • "poly-" 表示聚合。
     • "hexamethylene" 指的是六亞甲基二胺 (Hexamethylenediamine)，化學式為 H$_2$N-(CH$_2$)$_6$-NH$_2$。
     • "adipamide" 指的是己二醯胺，這不是一個標準的單體名稱，但從 "amide" 和 "adip-" (來自己二酸) 推測，這裡指的是己二酸 (Adipic acid) 與六亞甲基二胺形成的聚合物。
     • 己二酸的化學式為 HOOC-(CH$_2$)$_4$-COOH。
   • 反應類型：己二酸（二羧酸）與六亞甲基二胺（二胺）反應，形成聚醯胺（Polyamide, PA），脫去水分子。
   • 結構：重複單元為 [-NH-(CH$_2$)$_6$-NH-CO-(CH$_2$)$_4$-CO-]$_n$。
   • 常見名稱：這就是 尼龍 6,6 (Nylon 6,6)。
   • 性質：尼龍 6,6 是一種強度高、耐磨、彈性好、耐化學品、吸濕性適中的熱塑性聚合物。

2. Poly(hexamethylene adipate)

   • 命名分析：
     • "poly-" 表示聚合。
     • "hexamethylene" 指的是六亞甲基二醇 (Hexamethylenediol)，化學式為 HO-(CH$_2$)$_6$-OH。
     • "adipate" 指的是己二酸酯，表示由己二酸形成的酯。
   • 反應類型：己二酸（二羧酸）與六亞甲基二醇（二醇）反應，形成聚酯（Polyester），脫去水分子。
   • 結構：重複單元為 [-O-(CH$_2$)$_6$-O-CO-(CH$_2$)$_4$-CO-]$_n$。

此題考查半導體器件中的基本結構：pn 接面、蕭特基接面和歐姆接觸，以及它們的性質和應用。

核心觀念：

• 半導體 (Semiconductor)：導電性介於導體和絕緣體之間的材料。
• 摻雜 (Doping)：在純半導體中加入雜質原子，以改變其導電類型（P 型或 N 型）。
• pn 接面 (pn Junction)：由 P 型半導體和 N 型半導體緊密接觸形成的介面。
• 蕭特基接面 (Schottky Junction)：由金屬和 N 型半導體（或 P 型半導體）接觸形成的介面。
• 歐姆接觸 (Ohmic Contact)：金屬與半導體之間，在較寬的電壓範圍內呈現線性電阻特性的接觸。
• 能帶圖 (Energy Band Diagram)：描述材料中電子能量分佈的圖。
• 功函數 (Work Function)：將電子從材料表面移出的最小能量。
• 載子 (Charge Carriers)：能夠導電的粒子，在半導體中主要是電子和電洞。

(1) pn 接面 (pn Junction)

• 定義：pn 接面是指 P 型半導體和 N 型半導體在晶體學上緊密接觸所形成的介面區域。
• 形成：當 P 型和 N 型半導體接觸時，由於 P 型區域的電洞（多數載子）和 N 型區域的電子（多數載子）的濃度梯度，會發生擴散。電子從 N 型擴散到 P 型，電洞從 P 型擴散到 N 型。在接面附近，電子和電洞複合，形成一個空間電荷區（depletion region），其中包含固定的帶電離子（N 型區域的給體離子和 P 型區域的受體離子），導致該區域沒有自由載子，呈現高電阻。空間電荷區的建立會產生一個內建電場（built-in electric field）和內建電勢（built-in potential）。
• 性質：
  • 單向導電性 (Rectification)：pn 接面具有單向導電性。
    • 正向偏壓 (Forward Bias)：外加電壓的極性與內建電場方向相反，減小了空間電荷區的寬度，降低了勢壘，使得多數載子（電子從 N 到 P，電洞從 P 到 N）能夠大量擴散通過接面，產生較大的電流。
    • 反向偏壓 (Reverse Bias)：外加電壓的極性與內建電場方向相同，增強了勢壘，擴大了空間電荷區，阻止了多數載子的流動。只有少數載子（N 型區域的電洞和 P 型區域的電子）能夠在內建電場作用下通過，產生一個很小的反向漏電流。
  • 電容效應：在空間電荷區存在電容效應（空乏電容）。
• 應用：
  • 二極體 (Diode)：最基本的 pn 接面應用，用於整流（將交流電變為直流電）、開關、信號檢測等。
  • 電晶體 (Transistor)：BJT (Bipolar Junction Transistor) 包含兩個 pn 接面，用於放大和開關。
  • 太陽能電池 (Solar Cell)：利用光激發產生的電子-電洞對在 pn 接面的內建電場作用下分離，產生光伏效應。
  • LED (Light Emitting Diode)：當 pn 接面處於正向偏壓時，電子和電洞複合發射光。

(2) 蕭特基接面 (Schottky Junction)

• 定義：蕭特基接面是指金屬與半導體（通常是 N 型半導體）接觸形成的介面。
• 形成：當金屬與 N 型半導體接觸時，如果金屬的功函數 ($\Phi_m$) 大於半導體的功函數 ($\Phi_s$)，則會發生電子

此題考查電子器件中的熱問題及其解決策略，涉及兩個主要類型的器件：奈米級電子器件和高功率 LED。

核心觀念：

• 焦耳熱 (Joule Heating)：電流通過電阻時產生的熱量 ($P = I^2R$)。
• 器件尺寸效應：器件尺寸越小，單位體積的功率密度（單位體積產生的熱量）越高，散熱越困難。
• 熱阻 (Thermal Resistance)：熱量從熱源傳遞到散熱點的難易程度，熱阻越高，散熱越差。
• 熱量傳遞機制：傳導（conduction）、對流（convection）、輻射（radiation）。

(1) 奈米級電子器件的熱問題與解決策略

• 熱問題 (Thermal Issues)：

  1. 高功率密度 (High Power Density)：奈米級器件尺寸極小，但工作時的電流密度可能非常高。即使總功率不大，單位體積的功率耗散（power dissipation per unit volume）也可能非常高，導致局部溫度急劇升高。
  2. 散熱困難 (Poor Heat Dissipation)：
     • 尺寸效應：奈米器件的散熱路徑非常短，但同時，其與周圍環境的接觸面積相對於體積來說也較小。
     • 材料的熱導率限制：器件內部的材料（如金屬互連線、半導體材料）的熱導率是有限的，熱量傳遞速度受限。
     • 界面熱阻 (Interface Thermal Resistance, Kapitza Resistance)：不同材料層之間的界面（如金屬-絕緣體、絕緣體-半導體）會產生顯著的熱阻，阻礙熱量傳遞。
  3. 性能退化與失效 (Performance Degradation and Failure)：過高的局部溫度會導致：
     • 器件的電學特性改變（如載流子遷移率下降、漏電流增加）。
     • 材料退化，如金屬互連線的電遷移（electromigration）加速。
     • 絕緣層擊穿（dielectric breakdown）。
     • 器件壽命縮短甚至永久失效。

• 解決策略 (Strategies to Overcome)：

  1. 材料選擇與優化 (Material Selection and Optimization)：
     • 使用高熱導率的材料：如銅（Cu）、金（Au）替代鋁（Al）作為互連線；使用金剛石（diamond）或氮化鋁（AlN）作為散熱基板。
     • 降低界面熱阻：優化界面處理，確保良好的接觸，減少界面缺陷。
  2. 結構設計與散熱架構 (Structural Design and Thermal Management Architecture)：
     • 三維堆疊與散熱：對於 3D 堆疊的奈米器件，需要設計有效的垂直散熱路徑。
     • 微通道散熱器 (Microchannel Heat Sinks)：在器件下方或周圍集成微型流體通道，通過液體循環帶走熱量。
     • 熱傳導通路優化：設計合理的金屬走線和散熱層，將熱量從熱點快速傳導到器件邊緣或封裝的散熱介面。
     • 熱約束層 (Thermal Via)：在多層結構中，通過熱導性好的材料垂直連接，形成熱量傳導通道。
  3. 降低功耗 (Power Consumption Reduction)：
     • 採用低功耗電路設計技術。
     • 優化器件結構，減少漏電流。
     • 使用新一代低功耗半導體材料（如 III-V 族化合物半導體、二維材料）。
  4. 先進封裝技術 (Advanced Packaging Technologies)：
     • 扇出型封裝 (Fan-out Packaging)：擴大芯片的 I/O 數量，以便更好地連接到外部散熱系統。