114 年 國立中央大學土木工程學系碩士班戊：水資源組《流體力學》

核心觀念

本題使用：

1. 穩態控制體積線動量方程式，求牆面支承力 $F_x,F_y$。
2. 對牆面支承點 $O$ 使用角動量方程式，求固定力矩 $M$。
3. 依圖取出口中心相對入口中心線為

$x_2=-0.12\ \text{m},\qquad y_2=0.04\ \text{m}.$

入口位於牆面支承點，故 $\boldsymbol r_1=\boldsymbol 0$。

出口排入大氣，出口表壓為零；入口 $400\ \text{Pa}$ 按表壓計算。

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基本資料

管截面積：

$$A=\frac{\pi D^2}{4} =\frac{\pi(0.04)^2}{4} =1.2566\times10^{-3}\ \text{m}^2$$

管內水質量：

$$m_w=\rho \mathcal V =1000(140\times10^{-6}) =0.140\ \text{kg}$$

水與水龍頭總重量：

$$W=(0.140+0.500)(9.81) =6.2784\ \text{N}$$

質量流率：

$$\dot m=\rho Q=1000(0.002)=2.000\ \text{kg/s}$$

取 $x$ 軸向右、$y$ 軸向上，則

$$\boldsymbol V_1=(-V,0)$$ $$\boldsymbol V_2= \left(-V\cos45^\circ,\ V\sin45^\circ\right)$$

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1）水龍頭出口速度

由連續方程式：

$$V=\frac{Q}{A} =\frac{0.002}{1.2566\times10^{-3}} =1.5915\ \text{m/s}$$

因此出口速度大小為

$$\boxed{V_2=1.59\ \text{m/s}}$$

方向為左上方 $45^\circ$。

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2）水平方向支承力 $F_x$

對「水龍頭及管內水」使用線動量方程式。入口壓力作用方向向左：

$$F_x-p_1A =\dot m(V_{2x}-V_{1x})$$

其中

$$V_{2x}=-V\cos45^\circ,\qquad V_{1x}=-V$$

故

$$F_x-p_1A =\dot m V(1-\cos45^\circ)$$

代入：

$$p_1A=400(1.2566\times10^{-3}) =0.5027\ \text{N}$$ $$\dot m V(1-\cos45^\circ) =2(1.5915)(1-0.7071) =0.9323\ \text{N}$$

因此

$$F_x=0.5027+0.9323 =1.435\ \text{N}$$

$\boxed{F_x=1.44\ \text{N，向右}}$

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核心觀念

本題使用靜水壓公式與平面受壓面合力：

$$p=\rho gh$$

水平底面上的壓力處處相同，因此：

$$F=pA$$

垂直隔板上的壓力則隨深度線性變化，力矩需使用微小壓力力積分：

$$M_E=\int z\,p(z)\,b\,dz$$

取大氣壓力為基準，採用表壓；槽寬 $b=1\ \text{m}$。

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1. 底部 $DE$ 面所承受的總水壓力

水面比底部 $DE$ 高：

$$h_w=1+3=4\ \text{m}$$

依圖，$DE=2.8\ \text{m}$，故面積為：

$$A_{DE}=2.8(1)=2.8\ \text{m}^2$$

底部壓力為：

$$p_{DE}=\rho_wgh_w =1000(9.81)(4) =39240\ \text{Pa}$$

因此：

$$F_{DE}=p_{DE}A_{DE} =39240(2.8) =109872\ \text{N}$$ $$\boxed{F_{DE}=109.9\ \text{kN}}$$

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2. 底部 $EF$ 面所承受的總液體壓力

比重為 $2.0$，所以液體密度為：

$$\rho_l=2(1000)=2000\ \text{kg/m}^3$$

液體自由液面距底部 $EF$ 高 $1\ \text{m}$，故：

$$p_{EF}=\rho_lg(1) =2000(9.81) =19620\ \text{Pa}$$

依圖，底部 $EF$ 長度取兩個 $1.4\ \text{m}$ 水平段，即：

$$EF=2.8\ \text{m}$$

因此：

$$A_{EF}=2.8(1)=2.8\ \text{m}^2$$ $$F_{EF}=p_{EF}A_{EF} =19620(2.8) =54936\ \text{N}$$ $$\boxed{F_{EF}=54.94\ \text{kN}}$$

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3. 頂部 $BC$ 面所承受的總空氣壓力

空氣密度忽略，因此空氣壓力在高度方向上可視為常數。由於空氣區域與大氣相通，採用表壓時：

$$p_{\text{air}}=0$$

所以：

$$\boxed{F_{BC}=0\ \text{N（表壓）}}$$

若採用絕對壓力，則應為 $p_{\text{atm}}A_{BC}$；但題目未提供大氣壓力，故本題採用表壓計算。

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核心觀念

本題考查因次分析的 $\pi$－理論，以及振盪平板所造成的非定常 Couette 流。令上平板速度為

$$u_H(t)=U_0\cos\omega t,\qquad \omega=\frac{2\pi}{T}.$$

下平板剪應力振幅記為 $\tau_0$。相關變數為

$$\tau_0=f(\rho,\mu,U_0,H,T),$$

其中

$$[\tau_0]=ML^{-1}t^{-2},\quad [\rho]=ML^{-3},\quad [\mu]=ML^{-1}t^{-1},$$ $$[U_0]=Lt^{-1},\quad [H]=L,\quad [T]=t.$$

共有 6 個變數、3 個基本因次 $M,L,t$，因此可建立 $6-3=3$ 個無因次群。

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一、以 $\mu,U_0,H$ 為重複變數

取一般形式

$$\Pi_X=X\mu^aU_0^bH^c.$$

分別令 $X=\tau_0,\rho,T$，使其成為無因次量。

1. 對 $\tau_0$：

$$\tau_0\mu^aU_0^bH^c$$

可得

$$a=-1,\qquad b=-1,\qquad c=1.$$

因此

$$\Pi_1=\frac{\tau_0H}{\mu U_0}.$$

2. 對 $\rho$：

$$\rho\mu^aU_0^bH^c$$

可得

$$a=-1,\qquad b=1,\qquad c=1.$$

因此

$$\Pi_2=\frac{\rho U_0H}{\mu} =\mathrm{Re}.$$

3. 對週期 $T$：

$$T\mu^aU_0^bH^c$$

可得

$$a=0,\qquad b=1,\qquad c=-1.$$

因此

$$\Pi_3=\frac{U_0T}{H}.$$

依 $\pi$－理論，三個無因次群之間存在關係：

$$\boxed{ \frac{\tau_0H}{\mu U_0} = F\left( \frac{\rho U_0H}{\mu}, \frac{U_0T}{H} \right) }$$

或寫成

$$\boxed{ \tau_0 = \frac{\mu U_0}{H} F\left( \mathrm{Re}, \frac{U_0T}{H} \right) }.$$

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二、各無因次參數的意義

1. 剪應力無因次群

$$\frac{\tau_0H}{\mu U_0}$$

表示實際剪應力與黏性剪應力尺度 $\mu U_0/H$ 的比值。若為準穩態平板 Couette 流，則此值等於 1。

2. 雷諾數

$$\mathrm{Re}=\frac{\rho U_0H}{\mu}$$

表示慣性力與黏滯力的相對大小。雖然本題平行振盪流的對流慣性項為零，但密度仍會透過非定常慣性影響流場。

3. 無因次週期

$$\frac{U_0T}{H}$$

表示以 $U_0$ 為速度尺度、以 $H$ 為長度尺度所得到的無因次振動週期，也就是倒數形式的 Strouhal 數。由於實際位移振幅為

$$\frac{U_0}{\omega}=\frac{U_0T}{2\pi},$$

所以 $\frac{U_0T}{H}$ 亦代表平板位移尺度相對於間隙高度的大小，僅差一個常數 $2\pi$。

更直接描述非定常效應的參數為

$$\frac{\rho H^2}{\mu T} = \frac{\mathrm{Re}}{U_0T/H},$$

或 Womersley 數平方

核心觀念

本題使用：

• 不可壓縮穩態流的連續方程式：管內流量處處相同。
• Darcy–Weisbach 沿程損失：
  $h_f=f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}$
• 局部損失：
  $h_m=\sum K\frac{V^2}{2g}$
• 渦輪發電功率：
  $P_{\mathrm{out}}=\eta \rho gQH_{\mathrm{net}}$

圖中輸水管總長度為 $130\ \mathrm{m}$，流量計位於入口後 $100\ \mathrm{m}$ 處，因此後段長度為 $30\ \mathrm{m}$。

解題方法

1. 輸水管出口流量與流速

由連續方程式，管徑相同且無漏水，因此：

$$Q_{\mathrm{out}}=Q_{\mathrm{flowmeter}}=4\ \mathrm{m^3/s}$$

管截面積為：

$$A=\frac{\pi D^2}{4} =\frac{\pi(1)^2}{4} =0.7854\ \mathrm{m^2}$$

故管內流速：

$$V=\frac{Q}{A} =\frac{4}{0.7854} =\frac{16}{\pi} \approx 5.09\ \mathrm{m/s}$$

速度水頭為：

$$\frac{V^2}{2g} =\frac{(5.09)^2}{2(9.81)} \approx 1.322\ \mathrm{m}$$

2. 輸水系統總水頭損失

沿程摩擦損失：

$$h_f =f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g} =0.02\left(\frac{130}{1}\right)(1.322) \approx 3.437\ \mathrm{m}$$

入口損失：

$$h_{\mathrm{inlet}} =K_{\mathrm{inlet}}\frac{V^2}{2g} =0.5(1.322) \approx 0.661\ \mathrm{m}$$

流量計損失：

$$h_{\mathrm{flow}} =K_{\mathrm{flow}}\frac{V^2}{2g} =1.0(1.322) \approx 1.322\ \mathrm{m}$$

因此，忽略渦輪發電機本身的水頭損失時：