114 年 國立中央大學土木工程學系碩士班己：運輸工程組在職生《經濟學》

本題考驗消費者理論中的最適消費選擇問題，即在預算限制下，最大化個人效用。消費者會選擇在哪一點消費，使得無異曲線與預算線相切，此時無異曲線的邊際替代率（MRS）等於商品價格比。

【解題步驟】

1. 設定效用函數與預算限制式：
   效用函數為 $U(X, Y) = XY$。
   預算限制式為 $P_x X + P_y Y = I$。
   代入已知數值：$3X + 2Y = 24$。

2. 計算邊際替代率 (MRS)：
   MRS 是無異曲線上，消費者願意用 X 換 Y 的比率，等於 X 和 Y 的邊際效用之比。
   $MU_x = \frac{\partial U}{\partial X} = Y$
   $MU_y = \frac{\partial U}{\partial Y} = X$
   $MRS_{xy} = \frac{MU_x}{MU_y} = \frac{Y}{X}$

本題考驗彈性概念的計算與應用，包含自身價格彈性、交叉價格彈性、所得彈性，以及彈性與總支出的關係。

【解題步驟】
需求函數為 $X = \frac{3I}{2P_x^2}$。

(1) 需求的自身價格彈性值，$e_{x,x}$：
自身價格彈性衡量當商品自身價格變動 1% 時，該商品需求量變動的百分比。
$e_{x,x} = \frac{\partial X}{\partial P_x} \cdot \frac{P_x}{X}$

首先計算 $\frac{\partial X}{\partial P_x}$：
$X = \frac{3I}{2} P_x^{-2}$
$\frac{\partial X}{\partial P_x} = \frac{3I}{2} \cdot (-2) P_x^{-3} = -3I P_x^{-3} = -\frac{3I}{P_x^3}$

接著計算彈性值：
$e_{x,x} = (-\frac{3I}{P_x^3}) \cdot \frac{P_x}{X}$
代入 $X = \frac{3I}{2P_x^2}$：
$e_{x,x} = (-\frac{3I}{P_x^3}) \cdot \frac{P_x}{\frac{3I}{2P_x^2}}$
$e_{x,x} = (-\frac{3I}{P_x^3}) \cdot \frac{2P_x^3}{3I}$
$e_{x,x} = -2$

【答案】(1) 需求的自身價格彈性值 $e_{x,x} = -2$。

(2) 需求的交叉彈性值，$e_{x,y}$：
交叉價格彈性衡量當另一種財貨 Y 的價格變動 1% 時，X 財貨需求量變動的百分比。
$e_{x,y} = \frac{\partial X}{\partial P_y} \cdot \frac{P_y}{X}$

從需求函數 $X = \frac{3I}{2P_x^2}$ 可以看出，X 的需求量僅取決於 X 的價格 $P_x$ 和所得 $I$，與 Y 的價格 $P_y$ 無關。因此，Y 的價格變動對 X 的需求量沒有影響。
$\frac{\partial X}{\partial P_y} = 0$

所以，交叉彈性值為：
$e_{x,y} = 0 \cdot \frac{P_y}{X} = 0$

【答案】(2) 需求的交叉彈性值 $e_{x,y} = 0$。這表示 X 與 Y 是獨立財貨。

(3) 需求的所得彈性值，$e_{x,I}$：
所得彈性衡量當所得變動 1% 時，該商品需求量變動的百分比。
$e_{x,I} = \frac{\partial X}{\partial I} \cdot \frac{I}{X}$

首先計算 $\frac{\partial X}{\partial I}$：
$X = \frac{3P_x^{-2}}{2} I$
$\frac{\partial X}{\partial I} = \frac{3P_x^{-2}}{2} = \frac{3}{2P_x^2}$

本題考驗廠商的生產決策，特別是多廠廠商如何在兩個廠之間分配產量以達到總成本最小化。核心概念是邊際成本相等原則。

【解題步驟】
廠商的總成本為 $TC = TCA + TCB = Q_A^3 - 200Q_A^2 + 20000Q_A + Q_B^3 - 200Q_B^2 + 20000Q_B$。
總產量限制為 $Q_A + Q_B = 100$。

(1) 使總成本最小的兩工廠生產量，以及是否為最適解：
為使總成本最小，廠商應在兩工廠的邊際成本相等時分配產量。
首先，計算各廠的邊際成本 (MC)：
$MCA = \frac{\partial TCA}{\partial Q_A} = 3Q_A^2 - 400Q_A + 20000$
$MCB = \frac{\partial TCB}{\partial Q_B} = 3Q_B^2 - 400Q_B + 20000$

設定兩廠邊際成本相等：$MCA = MCB$
$3Q_A^2 - 400Q_A + 20000 = 3Q_B^2 - 400Q_B + 20000$
$3Q_A^2 - 400Q_A = 3Q_B^2 - 400Q_B$
$3(Q_A^2 - Q_B^2) - 400(Q_A - Q_B) = 0$
$3(Q_A - Q_B)(Q_A + Q_B) - 400(Q_A - Q_B) = 0$
$(Q_A - Q_B)[3(Q_A + Q_B) - 400] = 0$

此方程式有兩組解：
情況一：$Q_A - Q_B = 0 \implies Q_A = Q_B$。
情況二：$3(Q_A + Q_B) - 400 = 0$。

我們已知總產量限制為 $Q_A + Q_B = 100$。
將此限制代入上述兩種情況：

情況一：$Q_A = Q_B$ 且 $Q_A + Q_B = 100$。
則 $Q_A = Q_B = 50$。
此時，兩廠產量各為 50 單位。

情況二：$3(Q_A + Q_B) - 400 = 0$。
代入 $Q_A + Q_B = 100$：
$3(100) - 400 = 0$
$300 - 400 = 0$
$-100 = 0$，此為矛盾，表示情況二在此總產量限制下不成立。

因此，唯一可能使總成本最小的產量分配是 $Q_A = 50$ 且 $Q_B = 50$。

是否為最適解？
這裡的「最適解」是指在總產量為 100 的條件下，使總成本最小的產量分配。我們找到的 $Q_A=50, Q_B=50$ 確實滿足了邊際成本相等的條件，這是在固定總產量下的成本最小化原則。

然而，如果題目問的是「廠商的整體最適解」（即決定總產量 $Q$ 的最適決策），則需要市場資訊（如需求曲線或價格），以達到邊際成本等於邊際收益（MC=MR）的條件。但此題僅要求在固定總產量 $Q=100$ 下的成本最小化，因此 $Q_A=50, Q_B=50$ 是符合此條件的。

我們需要檢查邊際成本函數的性質。邊際成本函數 $MC(Q) = 3Q^2 - 400Q + 20000$ 的二次項係數為正，表示這是一個開口向上的拋物線。

核心觀念

本題考查「多工廠獨占」的最適生產決策，核心原則為：

1. 先由市場需求求出反需求函數。
2. 獨占廠商以總產量決定市場價格，因此須使總邊際收益 $MR$ 等於各工廠的邊際成本。
3. 最適配置條件為：

$$MR=MC_1=MC_2$$

其中，$Q=q_1+q_2$，$q_1、q_2$ 分別為第一、第二工廠的產量。

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解題方法

一、求反需求函數與邊際收益

市場需求函數為：

$$Q=100-P$$

整理得反需求函數：

$$P=100-Q$$

總收益為：

$$TR=P\cdot Q=(100-Q)Q=100Q-Q^2$$

因此邊際收益為：

$$MR=\frac{dTR}{dQ}=100-2Q$$

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二、求兩座工廠的邊際成本

第一工廠總成本函數為：

$$TC_1=q_1^2+60$$

因此第一工廠的邊際成本為：

$$MC_1=\frac{dTC_1}{dq_1}=2q_1$$

第二工廠總成本函數為：

$$TC_2=2q_2^2+40$$

因此第二工廠的邊際成本為：

$$MC_2=\frac{dTC_2}{dq_2}=4q_2$$

多工廠獨占的最適條件為：

$$MR=MC_1=MC_2$$

令共同的邊際收益與邊際成本為 $m$，則：

$$2q_1=m \quad\Rightarrow\quad q_1=\frac{m}{2}$$ $$4q_2=m \quad\Rightarrow\quad q_2=\frac{m}{4}$$

所以總產量為：

$$Q=q_1+q_2 =\frac{m}{2}+\frac{m}{4} =\frac{3m}{4}$$

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三、聯立市場需求與最適條件

由邊際收益函數：

$$MR=100-2Q$$

代入 $Q=\frac{3m}{4}$，且 $MR=m$：

$$m=100-2\left(\frac{3m}{4}\right)$$ $$m=100-\frac{3m}{2}$$ $$\frac{5m}{2}=100$$

本題考驗對通貨膨脹影響的理解，以及不同經濟主體在通貨膨脹下的相對損益。通貨膨脹是指一般物價水平的持續上漲，導致貨幣購買力下降。

【解題思路】
通貨膨脹對不同經濟主體的影響，主要取決於他們的資產結構、負債狀況、收入來源以及合約的約定。

可能獲利者：

1. 負債者（特別是固定利率貸款者）：
   通貨膨脹意味著貨幣的實際價值下降。借款人償還的貨幣，其購買力低於當初借入時的購買力。如果貸款的利率是固定的，並且低於或等於通貨膨脹率，那麼借款人實際上是以更少的實際價值償還了債務，從而獲利。例如，償還房貸、學貸等。

2. 實質資產持有者（如房地產、黃金、股票等）：
   在通貨膨脹時期，許多實質資產的價格往往會跟隨物價上漲，甚至漲幅超過通貨膨脹率。持有這些資產的人，其資產的帳面價值（名目價值）會增加，從而可能獲得資本利得。特別是那些能夠將成本轉嫁給消費者的企業，其利潤也會增加。

3. 固定收入者（如果其收入能快速調整或高於通膨率）：
   雖然固定收入者通常被認為是受損者，但如果他們能夠快速調整其收入（例如，透過談判獲得高於通膨率的薪資調漲），或者他們的收入來源（如某些企業的股息）能隨物價上漲而增加，那麼他們也可能相對獲利。但一般情況下，若收入調整不及物價上漲，則屬於受損者。

4. 出口商（視匯率與商品特性）：
   如果本國貨幣因通貨膨脹而貶值（匯率上升），且該國出口商品在國際市場上具有競爭力，那麼出口商的產品在國外市場上相對便宜，可能增加出口量，從而獲利。但這也取決於進口成本是否也隨之增加。

可能蒙受損失者：