114 年 國立中央大學土木工程學系碩士班丙：大地組《土壤力學與基礎工程》

本題為名詞解釋題，主要在測試考生對土壤力學基本名詞的理解程度。

(1) Falling head test (變水頭試驗)：
此試驗用於測定土壤的滲透係數（permeability）。試驗時，將一定體積的土壤試樣裝入圓柱形試管中，其上方與一個細長的測壓管相連。測壓管中的水頭隨時間逐漸下降，透過測量水頭下降的時間以及試樣的尺寸，可以計算出土壤的滲透係數。此方法適用於滲透性較低的土壤，如黏土或粉土。
【答案】用於測定土壤滲透係數的試驗，適用於低滲透性土壤。

(2) Optimum moisture content (最適含水量)：
最適含水量是指在標準試驗條件下（如 Proctor 試驗），土壤達到最大乾密度時所需的含水量。在此含水量下，土壤的密度最大，承載力也較高，是土壤壓實工程中的重要指標。
【答案】土壤在標準壓實條件下，達到最大乾密度時的含水量。

(3) Critical hydraulic gradient (臨界水力坡降)：

本題主要涵蓋土壤力學中關於壓縮、固結、OCR定義、三軸試驗數據處理等重要觀念。

(1) Draw a graph to show "compression index" in soil mechanics. (3%)
土壤的壓縮指數（Compression Index, $C_c$）是表示土壤在壓縮過程中，體積變化與有效應力變化之間關係的參數。通常是在半對數座標圖上，以壓縮曲線（e-log $p'$）來呈現。壓縮指數是當土壤從超чен（overconsolidated）狀態進入正常壓縮（normally consolidated）狀態後，e-log $p'$ 曲線上直線部分的斜率。

圖示：
在繪製 e-log $p'$ 圖時，橫軸為有效應力（$p'$），通常取對數尺度；縱軸為孔隙比（e）。
當施加的應力低於 OCR 所定義的先壓密應力時，土壤處於超чен狀態，壓縮曲線較為平緩（斜率為 $C_r$ 或 $C_s$）。
當施加的應力超過先壓密應力時，土壤進入正常壓縮狀態，壓縮曲線變為較陡峭的直線，其斜率即為壓縮指數 $C_c$。

$$C_c = -\frac{\Delta e}{\Delta \log p'}$$

其中 $\Delta e$ 為孔隙比的變化量，$\Delta \log p'$ 為有效應力的對數變化量。

[在此處應繪製一個 e-log $p'$ 的圖，顯示超壓密區和正常壓密區，並標示出 $C_c$ 的斜率。由於純文字無法繪圖，請想像一個標準的 e-log $p'$ 圖。]
【答案】壓縮指數 $C_c$ 是土壤在正常壓縮階段，孔隙比（e）與有效應力（$p'$）對數值之間的斜率。

(2) Why does consolidation settlement take years? (3%)
土壤固結沉降之所以需要很長時間（甚至數年），主要是因為土壤的滲透性（permeability）通常較低。在固結過程中，土壤的體積減小是由於孔隙水被擠壓排出。水的排出速率取決於土壤的孔隙結構、水的黏滯性以及滲流路徑的長度。對於黏土等低滲透性土壤，水要完全排出需要很長的時間，導致固結沉降是一個緩慢的過程。固結時間與滲透係數的平方成正比，與排水路徑長度的平方成正比。
【答案】由於土壤（尤其是黏土）的滲透性低，孔隙水排出需要很長時間。

(3) What causes soil consolidation? (3%)
土壤固結（Consolidation）主要是由於施加的外部荷載（如建築物、填土等）導致土壤中的孔隙水壓力增加，進而產生向外的滲流。隨著孔隙水壓力的消散，有效應力（effective stress）逐漸增加，土壤骨架受壓，體積隨之減小，這就是固結沉降。簡而言之，固結是由於孔隙水壓力消散，導致有效應力增加，進而引起土壤體積縮小。
【答案】外部荷載導致孔隙水壓力增加，隨後孔隙水壓力的消散導致有效應力增加，引起土壤體積縮小。

(4) What is the definition of OCR in soil mechanics? (3%)
OCR 是 Overconsolidation Ratio 的縮寫，中文稱為「超чен比」。它定義為土壤目前所承受的最大先前的有效應力（$p'_{c}$ 或 $\sigma'_{vc}$）與目前有效應力（$p'$ 或 $\sigma'_{v}$）的比值。

$$OCR = \frac{p'_c}{p'}$$

當 OCR > 1 時，表示土壤目前承受的有效應力小於其歷史上所承受的最大先應力，即處於超чен狀態。
當 OCR = 1 時，表示土壤目前所承受的有效應力等於其歷史上所承受的最大先應力，即處於正常чен狀態（normally consolidated）。
當 OCR < 1 時，在理論上是不可能的，通常表示計算或參數選擇有誤。
【答案】OCR定義為土壤最大先前的有效應力與目前有效應力之比，反映土壤的超чен程度。

(5) What are the "raw data" you obtain with a CD triaxial test? Plot graphs to show it. (4%)
CD (Consolidated-Drained) 三軸試驗是一種緩慢加載的試驗，確保在加載過程中，試樣內的孔隙水壓力在加載過程中能夠完全消散。
CD 試驗的原始數據（raw data）通常包括：

核心觀念

三段土壤 A、B、C 串聯滲流，其特性為：

1. 各段流量相同：$q_A=q_B=q_C=q$。
2. 總水頭損失等於各段水頭損失總和：
   $\Delta h=\Delta h_A+\Delta h_B+\Delta h_C$
3. 依 Darcy 定律：
   $q=kAi$
4. 各段斷面積相同，因此各段水頭損失與滲流阻力 $L/k$ 成正比。

已知：

• 總長度：$L=300\ \text{mm}=0.3\ \text{m}$
• 總水頭差：$\Delta h=300\ \text{mm}=0.3\ \text{m}$
• 各段長度：$L_A=L_B=L_C=0.1\ \text{m}$
• 斷面積：
  $A=80\ \text{mm}\times80\ \text{mm}=0.08\times0.08=0.0064\ \text{m}^2$

滲透係數換算為：

$$k_A=10^{-2}\ \text{cm/s}=10^{-4}\ \text{m/s}$$ $$k_B=10^{-3}\ \text{cm/s}=10^{-5}\ \text{m/s}$$ $$k_C=10^{-4}\ \text{cm/s}=10^{-6}\ \text{m/s}$$

解題方法

因三段土壤串聯且斷面相同，流量相同，可將 Darcy 定律改寫為：

$$q=\frac{kA\Delta h}{L}$$

因此總水頭差與流量的關係為：

$$\Delta h =q\left(\frac{L_A}{k_AA}+\frac{L_B}{k_BA}+\frac{L_C}{k_CA}\right)$$

各段的水頭損失比例為：

$$\Delta h_A:\Delta h_B:\Delta h_C = \frac{L_A}{k_A}:\frac{L_B}{k_B}:\frac{L_C}{k_C}$$

由於三段長度相同：

$$\Delta h_A:\Delta h_B:\Delta h_C = \frac{1}{10^{-4}}:\frac{1}{10^{-5}}:\frac{1}{10^{-6}} =1:10:100$$

總比例為 $111$。

（1）總水力坡降

$$i=\frac{\Delta h}{L} =\frac{300\ \text{mm}}{300\ \text{mm}} =1$$

因此總水力坡降為：

$$\boxed{i=1}$$

（2）各段水頭損失與水力坡降

A 土壤

$$\Delta h_A=\frac{1}{111}(300\ \text{mm}) =2.703\ \text{mm}$$ $$i_A=\frac{\Delta h_A}{L_A} =\frac{2.703}{100} =0.02703$$

B 土壤

本題為無限邊坡穩定分析，考驗考生對穩定係數公式的應用，以及考慮不同水位條件下的影響。

題目給定條件：

• 邊坡坡角（$\beta$）：35°
• 覆土層厚度（$H$）：6 m
• 土壤性質：
  • 單位重（moist unit weight, $\gamma_t$）：18 kN/m³
  • 飽和單位重（saturated unit weight, $\gamma_{sat}$）：20 kN/m³
  • 有效黏聚力（effective cohesion, $c'$）：20 kN/m²
  • 有效內摩擦角（effective friction angle, $\phi'$）：32°
• 穩定分析採用有效應力分析。

無限邊坡穩定係數（Factor of Safety, FS）公式為：

$$FS = \frac{c' + W \cos \beta \tan \phi'}{W \sin \beta}$$

其中 $W$ 是單位寬度滑動土體的重量。對於單位寬度（1 m），滑動土體的體積為 $V = H \times 1 \times L = H \times 1 \times \frac{H}{\sin \beta}$。
滑動土體單位寬度的重量 $W = V \times \gamma = \frac{H^2}{\sin \beta} \times \gamma$。
將 $W$ 代入 FS 公式：

$$FS = \frac{c' + \left(\frac{H^2}{\sin \beta} \gamma \cos \beta\right) \tan \phi'}{\left(\frac{H^2}{\sin \beta} \gamma \sin \beta\right)} = \frac{c' \sin \beta + H \gamma \cos \beta \tan \phi'}{H \gamma}$$ $$FS = \frac{c'}{H \gamma} \sin \beta + \frac{\cos \beta \tan \phi'}{\sin \beta} \sin \beta = \frac{c' \sin \beta}{H \gamma} + \cos \beta \tan \phi'$$

這個公式的前提是滑動面與坡面平行，且土體均質。

(1) 坡面滿水位時之安全係數。(10%)
當坡面滿水位時，表示滑動面上的孔隙水壓力最大。在無限邊坡穩定分析中，考慮水位的影響通常是通過有效應力來體現。當滑動面充滿水時，土體所承受的有效應力會減小，因為水的浮力會抵消一部分重力。
在此情況下，我們需要使用有效單位重（effective unit weight, $\gamma'$）來計算。
$\gamma' = \gamma_{sat} - \gamma_w$
通常假設 $\gamma_w = 9.81 \, \text{kN/m}^3$。
$\gamma' = 20 \, \text{kN/m}^3 - 9.81 \, \text{kN/m}^3 = 10.19 \, \text{kN/m}^3$。

無限邊坡穩定係數在考慮飽和狀態且滑動面為飽和土體時，公式為：

$$FS = \frac{c' + W \cos \beta \tan \phi'}{W \sin \beta}$$

其中 $W$ 使用飽和單位重 $\gamma_{sat}$ 計算。
滑動土體單位寬度的重量 $W = \frac{H^2}{\sin \beta} \gamma_{sat}$。

$$FS = \frac{c' \sin \beta}{H \gamma_{sat}} + \cos \beta \tan \phi'$$

代入數值：
$c' = 20 \, \text{kN/m}^2$
$H = 6 \, \text{m}$
$\gamma_{sat} = 20 \, \text{kN/m}^3$
$\beta = 35^\circ$
$\phi' = 32^\circ$

$$FS = \frac{20 \times \sin 35^\circ}{6 \times 20} + \cos 35^\circ \times \tan 32^\circ$$ $$FS = \frac{20 \times 0.5736}{120} + 0.8192 \times 0.6249$$ $$FS = \frac{11.472}{120} + 0.5121$$ $$FS = 0.0956 + 0.5121 = 0.6077$$

另一種考量方式：考慮水壓力對滑動力的影響
若題目「坡面滿水位」是指滑動面處的孔隙水壓力分佈，則應使用有效應力分析。
在有效應力分析中，穩定係數公式為：

$$FS = \frac{c' + (W_{soil} - U) \cos \beta \tan \phi'}{W_{soil} \sin \beta}$$

其中 $W_{soil}$ 是滑動土體單位寬度的總重，$U$ 是滑動面上的總孔隙水壓力。
對於無限邊坡，滑動面上的總孔隙水壓力 $U = u \times L = u \times \frac{H}{\sin \beta}$，其中 $u$ 是孔隙水壓力。

本題分為兩部分：第一部分為土壓力理論的比較，第二部分為淺基礎承載力的計算。

(1) 請分別說明 Rankine 土壓力理論與 Coulomb 土壓力理論之假設與推導方式。(10%)

Rankine 土壓力理論

• 假設：

  1. 牆體為無限高且為平面。
  2. 牆體後方的土體為均質、等向性且無內聚力（$c'=0$）的材料。
  3. 滑動面（或失效面）為平面。
  4. 牆體後方的土體處於被動或主動土壓力極限狀態。
  5. 牆體與土體之間無摩擦力。
  6. 牆背垂直於基礎面。

• 推導方式：
  Rankine 理論採用的是應力分析法。它假設土體處於極限平衡狀態，並且在土體內部存在一個滑動面。通過分析土體內部的應力分佈，特別是牆背處的應力，來確定土壓力。
  在牆背垂直且無摩擦的條件下，Rankine 理論認為土體中的應力狀態在極限情況下，主應力（垂直於滑動面）和次主應力（平行於滑動面）之間的關係符合莫爾-庫倫破壞準則。
  對於牆背垂直於基礎面的情況，主應力方向與水平方向平行或垂直。

  • 主動土壓力 ($K_a$)： 當牆體向外移動，土體處於主動極限狀態時。
    $K_a = \frac{1 - \sin \phi'}{1 + \sin \phi'} = \tan^2(45^\circ - \frac{\phi'}{2})$
    主動土壓力 $p_a = K_a \gamma z$ (無黏聚力時)
  • 被動土壓力 ($K_p$)： 當牆體向內移動，土體處於被動極限狀態時。
    $K_p = \frac{1 + \sin \phi'}{1 - \sin \phi'} = \tan^2(45^\circ + \frac{\phi'}{2})$
    被動土壓力 $p_p = K_p \gamma z$ (無黏聚力時)
    若有黏聚力 $c'$，則主動土壓力為 $p_a = K_a \gamma z - 2c'\sqrt{K_a}$，被動土壓力為 $p_p = K_p \gamma z + 2c'\sqrt{K_p}$。

Coulomb 土壓力理論

• 假設：

  1. 牆體與土體之間存在摩擦角（$\delta$），且此摩擦角是牆背與土體之間的最大剪應力。
  2. 牆後土體是均質、等向性材料。
  3. 滑動面是單一平面（或多個平面，但通常簡化為單一平面）。
  4. 整個土體塊（potential sliding wedge）處於極限平衡狀態。
  5. 牆背可以是傾斜的。

• 推導方式：
  Coulomb 理論採用的是極限平衡法（limit equilibrium method）。它假設一個潛在的滑動土楔體（wedge）在牆體和土體自重的作用下，達到極限平衡狀態。通過分析這個土楔體的受力，包括土楔體的自重、牆體施加的土壓力、牆土摩擦力以及土體內部的黏聚力，來求解土壓力。
  Coulomb 理論考慮了牆土摩擦角 $\delta$ 和牆背傾角，因此比 Rankine 理論更具一般性。

  • 主動土壓力 ($P_a$)：
    $P_a = \frac{1}{2} \gamma H^2 \frac{\sin^2(\beta + \phi')}{\sin^2 \beta \sin(\beta - \delta)} [1 + \sqrt{\frac{\sin(\phi' + \delta') \sin(\phi' - \alpha)}{\sin(\beta - \delta') \sin(\beta + \alpha)}}]^2$
    其中 $\alpha$ 為牆背傾角，$\delta'$ 為土體內部摩擦角（通常取 $\phi'$）。
    對於牆背垂直 ($\alpha=0^\circ$)、土體內部摩擦角等於牆土摩擦角 ($\delta' = \delta$) 的情況，公式簡化為：
    $P_a = \frac{1}{2} \gamma H^2 \frac{\sin^2(\beta + \phi')}{\sin^2 \beta \sin(\beta - \delta)}$
    主動土壓力係數 $K_a = \frac{P_a}{\frac{1}{2} \gamma H^2}$。
  • 被動土壓力 ($P_p$)：
    類似地，Coulomb 理論也可用於計算被動土壓力，但公式中的符號需要調整以反映被動狀態。
    $P_p = \frac{1}{2} \gamma H^2 \frac{\sin^2(\beta - \phi')}{\sin^2 \beta \sin(\beta + \delta)} [1 - \sqrt{\frac{\sin(\phi' + \delta') \sin(\phi' + \alpha)}{\sin(\beta + \delta') \sin(\beta + \alpha)}}]^2$
    對於牆背垂直 ($\alpha=0^\circ$)、土體內部摩擦角等於牆土摩擦角 ($\delta' = \delta$) 的情況，公式簡化為：
    $P_p = \frac{1}{2} \gamma H^2 \frac{\sin^2(\beta - \phi')}{\sin^2 \beta \sin(\beta + \delta)}$
    被動土壓力係數 $K_p = \frac{P_p}{\frac{1}{2} \gamma H^2}$。

比較：

• Rankine 理論適用於牆背垂直、無牆土摩擦的理想情況，假設土體內部存在多個滑動面。
• Coulomb 理論考慮了牆土摩擦和牆背傾斜，假設只有一個滑動面，適用性更廣。
• Rankine 理論基於應力分析，Coulomb 理論基於極限平衡法。

【答案】已分別說明 Rankine 和 Coulomb 土壓力理論的假設與推導方式。

(2) 某條形淺基礎(Strip Footing,寬度 B=3m,長度 L>>寬度 B)位於均勻砂土層
(c'=0 kPa, φ'=33°)地表下1m處,且地下水位面位於底版處。已知此土層之乾
單位重ya=18.0kN/m³,飽和單位重ysat.=20.0kN/m³。請依 Terzaghi 承載力理論,
計算此條形淺基礎之單位長度極限載重(Qult)以及單位長度可容許淨載重
(Qa(net))(已知φ'=33°時,Nc=48.1,Nq=32.2,N=32.0,安全係數FS為3.0)。(10%)

Terzaghi 淺基礎承載力理論
Terzaghi 的承載力公式考慮了基礎的寬度、深度、土體的黏聚力、內摩擦角和單位重，以及基礎的形狀和傾斜度。對於條形基礎，公式為：
$q_{ult} = c' N_c + q N_q + \frac{1}{2} \gamma B N_\gamma$
其中：

• $q_{ult}$ 為極限承載力（基底壓力）。
• $c'$ 為土壤的有效黏聚力。
• $q$ 為基礎頂面上的上覆土壓力（= $\gamma_{d} D_f$，其中 $D_f$ 為基礎埋深）。
• $\gamma$ 為基礎下方土體的有效單位重。
• $B$ 為基礎寬度。
• $N_c, N_q, N_\gamma$ 為承載力係數，僅與 $\phi'$ 有關。

題目給定條件：

• 基礎類型：條形基礎 (Strip Footing)
• 寬度 $B = 3$ m
• 埋深 $D_f = 1$ m
• 土層：均勻砂土層，$c' = 0$ kPa
• 有效內摩擦角 $\phi' = 33^\circ$
• 乾單位重 $\gamma_d = 18.0 \, \text{kN/m}^3$
• 飽和單位重 $\gamma_{sat} = 20.0 \, \text{kN/m}^3$
• 地下水位面：位於底版處（$D_f = 1$ m 處）。
• 承載力係數（$\phi'=33^\circ$）：$N_c = 48.1$, $N_q = 32.2$, $N_\gamma = 32.0$ (注意：題目給的 $N$ 應為 $N_\gamma$)
• 安全係數 $FS = 3.0$

計算步驟：

1. 確定有效單位重 $\gamma$：
   由於地下水位位於基礎底版處，基礎下方的土體是飽和的。因此，應使用飽和單位重 $\gamma_{sat}$ 來計算承載力公式中的 $\gamma$ 項。
   然而，Terzaghi 公式中的 $\gamma$ 指的是基礎底面以下的平均單位重。由於水位在 $D_f$ 處，基礎下方的土是飽和的，所以 $\gamma = \gamma_{sat} = 20.0 \, \text{kN/m}^3$。