112 年 國立中央大學土木工程學系碩士班丙：大地組《土壤力學與基礎工程》

核心觀念

統一土壤分類法（USCS）先依粒徑將土壤分為：

• 粗粒土：$4$ 號篩（$4.75\text{ mm}$）以上及 $200$ 號篩（$0.075\text{ mm}$）以上顆粒為主。
• 細粒土：通過 $200$ 號篩之土粒超過總重量 $50\%$。
• 有機土：含有顯著有機物，且乾燥後液性限度明顯降低。

細粒土主要利用液性限度 $LL$、塑性限度 $PL$ 與塑性指數 $PI$ 分類：

$$PI=LL-PL$$

塑性圖中的 A 線為：

$$PI=0.73(LL-20)$$

A 線以上主要為黏土（C），A 線以下主要為粉土（M）。

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解題方法與各小題答案

(1) 如何區分 C、M？

C 代表黏土（Clay），M 代表粉土（Silt）。

以塑性圖判斷：

• 位於 A 線以上：屬黏土，代號為 C。
• 位於 A 線以下：屬粉土，代號為 M。
• $PI$ 落在 $4\sim 7$ 且接近 A 線者，使用雙符號 CL-ML。

黏土具有較高塑性與黏聚性；粉土塑性較低，遇水後強度下降較快。

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(2) 如何區分 H、L 土壤？

H 與 L 依液性限度 $LL$ 區分：

• $LL\geq 50\%$：高液性土，代號為 H。
• $LL<50\%$：低液性土，代號為 L。

例如：

• CH：高液性黏土。
• CL：低液性黏土。
• MH：高液性粉土。
• ML：低液性粉土。

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(3) 如何區分 G、S？

G 代表礫土（Gravel），S 代表砂土（Sand）。

先取粗粒部分，即通過 $200$ 號篩的土粒中，未通過 $200$ 號篩者。再比較其中通過與留置 $4$ 號篩的比例：

• 粗粒部分中，留置 $4$ 號篩者超過 $50\%$：礫土，代號 G。
• 粗粒部分中，通過 $4$ 號篩者超過或等於 $50\%$：砂土，代號 S。

簡化判斷：

$$\text{粗粒土} \rightarrow \begin{cases} G，\text{粗粒部分以礫為主}\\ S，\text{粗粒部分以砂為主} \end{cases}$$

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(4) 如何區分 GW、GP？

GW 與 GP 都是礫土，差別在於級配狀況。

GW：級配良好礫土

必須同時符合：

1. 細粒含量小於 $5\%$；
2. 礫土之均勻係數：

$$C_u=\frac{D_{60}}{D_{10}}\geq 4$$

3. 曲率係數：

$$C_c=\frac{D_{30}^{2}}{D_{10}D_{60}}$$

且：

$$1\leq C_c\leq 3$$

GP：級配不良礫土

只要不符合 GW 的級配條件，即歸為 GP，例如：

• $C_u<4$；
• $C_c<1$ 或 $C_c>3$；
• 粒徑範圍過窄；
• 某一粒徑區間顯著缺少。

因此：

$$GW：C_u\geq4,\quad 1\leq C_c\leq3$$ $$GP：不符合上述任一條件$$

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(5) 如何區分 SW、SP 土壤？

SW 與 SP 都是砂土，差別同樣在級配。

SW：級配良好砂土

必須同時符合：

1. 細粒含量小於 $5\%$；
2. 均勻係數：

$$C_u=\frac{D_{60}}{D_{10}}\geq6$$

3. 曲率係數：

$$1\leq C_c\leq3$$

SP：級配不良砂土

不符合 SW 條件者均屬 SP，包括：

• $C_u<6$；
• $C_c<1$ 或 $C_c>3$；
• 粒徑範圍過窄；
• 顯著缺粒。

礫土與砂土的主要差異在 $C_u$ 門檻：

• 礫土：$C_u\geq4$；
• 砂土：$C_u\geq6$。

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(6) 顆粒性土壤在何種情況下需要以雙符號表示？

粗粒土依細粒含量區分：

• 細粒含量小於 $5\%$：使用單一符號，例如 GW、GP、SW、SP。
• 細粒含量介於 $5\%\sim12\%$：使用雙符號。
• 細粒含量大於 $12\%$：以細粒性質作為第二個分類依據，通常使用 GM、GC、SM 或 SC。

細粒含量為 $5\%\sim12\%$ 時，須同時表示：

1. 粗粒土本身的級配；
2. 細粒是粉土或黏土。

例如：

• GW-GM：級配良好礫土，含粉土；
• GW-GC：級配良好礫土，含黏土；
• SP-SM：級配不良砂土，含粉土；
• SW-SC：級配良好砂土，含黏土。

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(7) 如何判斷土壤是否為有機土壤？

有機土可由現場特徵與實驗判定。

現場判斷

通常具有下列特徵：

• 深褐色或黑色；
• 有腐植土氣味；
• 含植物根、纖維或未分解有機物；
• 質地鬆軟、壓縮性大；
• 乾燥後顏色變淡，塑性顯著降低。

實驗判定

將土樣分別測定自然狀態與烘乾後的液性限度：

$$\frac{LL_{\text{乾燥後}}}{LL_{\text{自然狀態}}}<0.75$$

即可判定具有有機性。

有機細粒土再依液性限度區分：

本題主要考驗對土壤力學基本名詞的英文翻譯及測試方法或定義的理解。

核心觀念：土壤力學常用名詞及其測試或計算方法。

解題步驟：

(1) 塑性指數 (Plasticity Index, PI)
- 英文: Plasticity Index (PI)
- 獲得方式: 塑性指數是土壤塑性行為的重要指標，定義為土壤的液性限度 (Liquid Limit, LL) 與塑性限度 (Plastic Limit, PL) 之差。
$PI = LL - PL$
- 測試方法:
- 液性限度 (LL) 是通過標準的 Casagrande 振動法或振動桌法測定的。它定義為土壤在含水量約 25 次敲擊後，由杯狀容器中流出的土壤樣本，其含水量即為液性限度。
- 塑性限度 (PL) 是通過滾動土壤樣本的過程來測定的。當土壤樣本滾動成直徑約 3 mm (1/8 英吋) 的細條時，此時的含水量即為塑性限度。
- 意義: PI 值越大，表示土壤的塑性範圍越廣，其體積變化 (膨脹與收縮) 的潛力越大。

(2) 水力坡降 (Hydraulic Gradient, i)
- 英文: Hydraulic Gradient (i)
- 獲得方式: 水力坡降是土壤中水分滲流方向上的水頭損失率。它定義為水力坡降方向上的總水頭損失 ($\Delta h$) 除以該方向上的滲流距離 (L)。
$i = \Delta h / L$
- 說明:
- $\Delta h$ 是滲流路徑起點和終點之間的總水頭差。
- L 是滲流路徑的長度。
- 意義: 水力坡降是決定土壤中滲流速度 (Darcy 速度) 的關鍵因素。根據 Darcy 定律，$v = k \cdot i$，其中 v 是滲流速度，k 是滲透係數。較大的水力坡降意味著較快的滲流速度。

(3) 預壓密應力 (Preconsolidation Pressure, $\sigma_c'$ 或 $p_c'$)
- 英文: Preconsolidation Pressure (or Precompression Pressure) ($\sigma_c'$ or $p_c'$)
- 獲得方式: 預壓密應力是指土體在歷史上所承受過的、大於當前有效應力的最大有效應力。它代表了土體經歷過的最高壓力狀態。
- 測試方法: 通常通過一維壓縮試驗 (Oedometer Test) 來確定。在試驗中，將土樣在不同壓力下進行加載和卸載。通過繪製壓縮曲線 (通常是 e-log $\sigma'$ 曲線)，利用圖解法 (如 Casagrande 法) 確定預壓密應力 $\sigma_c'$。
- 意義: 預壓密應力是判斷土體是處於正常壓密 (Normally Consolidated, NC) 還是超壓密 (Overconsolidated, OC) 狀態的關鍵參數。如果當前的垂直有效應力 $\sigma_{v}'$ 小於 $\sigma_c'$，則土體為超壓密土；如果 $\sigma_{v}'$ 大於或等於 $\sigma_c'$，則土體為正常壓密土 (或在壓密狀態下)。超壓密土通常具有較高的強度和較小的壓縮性。

(4) 最佳含水量 (Optimum Moisture Content, OMC)
- 英文: Optimum Moisture Content (OMC)
- 獲得方式: 最佳含水量是土壤在特定壓實功下，所能達到的最大乾密度 (Maximum Dry Density, MDD) 時所對應的含水量。
- 測試方法: 通常通過標準 (ASTM D698) 或改良 (ASTM D1557) 的 Proctor 壓實試驗來測定。在試驗中，將土壤樣本在不同的含水量下，以固定的能量進行壓實，然後測量每個含水量下的乾密度。

核心觀念

本題整合兩大主題：

1. 有限邊坡之圓弧滑動分析：以極限平衡法求抗剪力與滑動力的比值。
2. 擋土牆穩定分析：檢核傾覆、滑動與地基承載力破壞。

安全係數的基本概念為：

$$FS=\frac{\text{抗力}}{\text{作用力}}$$

當 $FS>1$ 時，理論上抗力大於作用力；實務設計則須依規範採用足夠的安全係數。

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(1) 有限邊坡圓弧破壞面最常用的方法

解題方法

目前分析有限邊坡圓弧滑動面，最常用的是：

極限平衡法中的條分法（method of slices）。

此方法將可能滑動土體切分為許多垂直土條，逐條計算：

• 土條重量；
• 滑動面上的法向力；
• 滑動面上的抗剪強度；
• 造成滑動的切向力；
• 各力或各力矩對滑動面的貢獻。

常見的條分法包括：

• Fellenius 法，又稱 Ordinary method of slices；
• Bishop simplified method；
• Janbu 法；
• Spencer 法；
• Morgenstern–Price 法。

其中，Bishop 簡化法常用於圓弧滑動面；若要求同時滿足整體力平衡與力矩平衡，則可採用 Spencer 法或 Morgenstern–Price 法。

解題技巧

看到「有限邊坡」、「圓形破壞面」與「安全係數」，應立即聯想到：

$$\boxed{\text{極限平衡法之條分法}}$$

有限元素強度折減法亦可分析邊坡安全係數，但傳統工程設計與考試中最典型、最常用的答案是條分法。

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(2) 邊坡穩定分析中的抗力與驅動力

抗力來源

邊坡的抗力主要來自滑動面上的土壤抗剪強度。依有效應力莫耳－庫倫破壞準則：

$$\tau_f=c'+\sigma'\tan\phi'$$

其中：

• $c'$：有效凝聚力；
• $\phi'$：有效摩擦角；
• $\sigma'$：滑動面上的有效正應力。

有效正應力為：

$$\sigma'=\sigma-u$$

因此：

$$\tau_f=c'+(\sigma-u)\tan\phi'$$

抗滑力可表示為：

$$R=\int_L \left[c'+(\sigma-u)\tan\phi'\right]\,dL$$

其主要來源包括：

1. 土壤凝聚力：提供 $c'$ 所代表的抗剪強度。
2. 土粒間摩擦力：正應力越大，摩擦抗力越大。
3. 滑動面上的有效正應力：土體自重、覆土及外加荷載會增加正應力，進而增加摩擦力。
4. 坡趾被動土壓或其他支撐力：在特定邊坡幾何條件下，可增加抗滑能力。
5. 排水、降低地下水位或設置排水設施：降低孔隙水壓 $u$，提高有效應力與摩擦抗力。

驅動力來源

驅動力是使滑動土體沿滑動面向下移動的力，主要包括：

1. 滑動土體自重的切向分量；
2. 坡頂堆載或建築物荷載；
3. 地震慣性力；
4. 地下水與滲流力；
5. 裂縫中水壓或外加水壓；
6. 坡面幾何與外部荷載造成的下滑分力。

以條分法表示，第 $i$ 個土條的重量為 $W_i$，滑動面傾角為 $\alpha_i$，則其驅動力約為：

$$T_i=W_i\sin\alpha_i$$

整體安全係數可概念化表示為：

$$FS= \frac{\sum \text{滑動面抗剪力}} {\sum \text{滑動面切向驅動力}}$$

若採力矩形式，則為：

$$FS= \frac{\sum M_R}{\sum M_D}$$

其中 $M_R$ 為抗滑力矩，$M_D$ 為滑動力矩。

常見陷阱

地下水具有雙重影響：

• 水壓增加會提高驅動作用；
• 孔隙水壓增加會降低有效正應力，使摩擦抗力下降。

因此，排水通常能同時降低滑動作用並提高抗剪強度。

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(3) 造成擋土牆可能破壞的 A

核心觀念

此處的 A 為：

$$\boxed{\text{地下水或孔隙水壓}}$$

地下水存在時，會在擋土牆背面產生額外的靜水壓，也會提高填土內的孔隙水壓。

作用一：增加牆背側向水壓

若牆背水深為 $H$，水的單位重為 $\gamma_w$，則水壓隨深度增加：

$$u=\gamma_w z$$

三角形水壓分布所形成的合力為：

$$P_w=\frac{1}{2}\gamma_w H^2$$

作用位置位於牆底以上：

$$\frac{H}{3}$$

因此，地下水會增加牆體的傾覆力矩與滑動力。

作用二：降低填土有效應力

填土的有效應力為：

$$\sigma'=\sigma-u$$

孔隙水壓增加時，$\sigma'$ 降低，土壤抗剪強度：

$$\tau_f=c'+\sigma'\tan\phi'$$

也隨之降低，可能造成牆後填土或基礎土壤的穩定性下降。

設計上的處理

擋土牆通常需設置：

• 牆背排水層；
• 排水管或洩水孔；
• 反濾層；
• 牆頂防止地表水入滲。

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(4) 擋土牆抗傾覆安全係數

解題方法

以牆趾（toe）作為轉動中心，分別計算：

• 抗傾覆力矩 $M_R$；
• 傾覆力矩 $M_O$。

安全係數為：

$$FS_{\text{overturning}} = \frac{M_R}{M_O}$$

力矩來源

常見的抗傾覆力矩包括：

• 牆身自重；
• 底版重量；
• 牆踵上方填土重量；
• 牆趾上方填土重量；
• 基礎上方的垂直附加荷載。

常見的傾覆力矩包括：

• 主動土壓 $P_a$；
• 牆背水壓 $P_w$；
• 地震土壓；
• 其他水平荷載。

主動土壓若呈三角形分布，合力作用於牆底以上 $H/3$，因此：

$$M_O=P_a\left(\frac{H}{3}\right)$$

若某垂直力 $V_i$ 的作用線至牆趾距離為 $x_i$，則：

$$M_R=\sum V_i x_i$$

示意圖

                 填土
        //////////////////
        |← 主動土壓 Pa
        |\
        | \
        |  \
        |   \
        |    \
        |     \
        |      \
        |       \
        |        |
        |        |
        |        |
        |        |
        |________|________________
       toe       heel

        ↑ V1       ↑ V2
        |<-- x1 -->|<------ x2 ------>

        牆趾 toe 為轉動中心
        Pa 造成傾覆力矩 MO
        V1、V2 造成抗傾覆力矩 MR

解題技巧

抗傾覆力矩的力臂必須由牆趾量起。牆踵側的重量通常具有較大的力臂，因此對抗傾覆最有效。

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(5) 擋土牆抗基底滑動安全係數

解題方法

水平方向分別計算：

• 抗滑力 $R_H$；
• 滑動力 $D_H$。

安全係數為：

$$FS_{\text{sliding}} = \frac{R_H}{D_H}$$

抗滑力來源

基底摩擦力為：

$$R_f=N\tan\delta$$

其中：

• $N$：基底正向力；
• $\delta$：牆底與地基土壤間摩擦角。

若基礎底面具有黏著力，則可加入黏著力：

核心觀念

本題比較兩種基礎形式：

1. 方型淺基礎：利用 Terzaghi 極限承載力公式，先求極限承載壓力，再除以安全係數得到容許承載壓力。
2. 預鑄方型樁：樁的極限承載力由樁端阻抗與樁身表面摩擦力組成：

$$Q_u=Q_b+Q_s$$

其中：

• $Q_b$：樁端阻抗
• $Q_s$：樁身表面摩擦阻抗
• $Q_a=Q_u/F_s$：容許承載力

已知土壤為均勻砂土，故 $c'=0$，且無地下水，總應力與有效應力相同。

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解題方法與計算

（1）方型淺基礎邊長

已知：

$$\gamma=18\ \text{kN/m}^3,\qquad \phi'=35^\circ$$ $$D_f=1.5\ \text{m},\qquad Q_a=300\ \text{kN}$$ $$F_s=3,\qquad N_q=41,\qquad N_\gamma=45$$

方型基礎的 Terzaghi 極限承載力為：

$$q_u=1.3c'N_c+qN_q+0.4\gamma BN_\gamma$$

因為砂土之黏聚力為零：

$$c'=0$$

基礎底面以上覆土壓力：

$$q=\gamma D_f=18(1.5)=27\ \text{kPa}$$

因此：

$$q_u=27(41)+0.4(18)B(45)$$ $$q_u=1107+324B\ \text{kPa}$$

容許承載壓力為：

$$q_a=\frac{q_u}{F_s} =\frac{1107+324B}{3}$$

方型基礎面積為 $B^2$，故其容許承載力：

$$Q_a=q_aB^2$$

代入 $Q_a=300\ \text{kN}$：

$$300=\frac{1107+324B}{3}B^2$$

整理為：

$$(1107+324B)B^2=900$$

解得：

$$B\approx0.811\ \text{m}$$

故基礎邊長取：

$$\boxed{B\approx0.81\ \text{m}}$$

工程設計可採用略為放大的標準尺寸，例如：

$$\boxed{B=0.85\ \text{m}}$$

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（2）預鑄式方型混凝土樁長度

已知樁邊長：

$$B_p=0.4\ \text{m}$$

樁截面積：

$$A_p=B_p^2=(0.4)^2=0.16\ \text{m}^2$$

樁周長：

$$P=4B_p=4(0.4)=1.6\ \text{m}$$

樁承載力安全係數為 $4$，因此所需極限承載力：

$$Q_u=F_sQ_a=4(300)=1200\ \text{kN}$$

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1. 樁端阻抗

Meyerhof 樁端阻抗公式：

$$q_b=q'N_q^*$$

但需受限於：

$$q_b\leq0.5p_aN_q^*$$

採標準大氣壓：

$$p_a=100\ \text{kPa}$$

故樁端極限承載壓力上限為：

$$q_{b,\max}=0.5(100)(143) =7150\ \text{kPa}$$

樁端阻抗上限：

$$Q_b=q_{b,\max}A_p =7150(0.16) =1144\ \text{kN}$$