111 年 國立中央大學土木工程學系碩士班丙：大地組《土壤力學與基礎工程》

此題考驗土壤基本物理性質的單位。液限 (Liquid Limit, LL) 和塑性限 (Plastic Limit, PL) 是描述土壤在不同含水量下的行為，這些都是無因次的參數，代表的是含水量比例，所以沒有單位。

此題考驗土壤的破壞準則，即莫爾-庫侖破壞準則。此準則將土壤的破壞與其剪應力、正向應力及內摩擦角、凝聚力有關。

莫爾-庫侖破壞準則的數學表達式為：
$\tau_f = c + \sigma \tan \phi$

此題考驗土壤試驗的應用。最佳含水量 (Optimal Water Content, OWC) 是指在特定壓實能量下，使土壤達到最大乾密度時的含水量。此參數對於土壤的壓實工程非常重要。

用於測定土壤最佳含水量最常用的試驗是「標準壓實試驗」(Standard Proctor Test) 或「改良式標準壓實試驗」(Modified Proctor Test)。

核心觀念

本題考核土壤透水係數（Hydraulic Conductivity / Permeability，$k$）之測定試驗。大地工程中測定土壤透水性依實施場域分為室內試驗（Laboratory Tests）與現地試驗（Field Tests）：

1. 達西定律（Darcy's Law）：
   土體中水流呈層流（Laminar flow）狀態時，單位時間之出水量 $Q$ 為：

   $$Q = k \cdot i \cdot A = k \cdot \frac{\Delta h}{L} \cdot A$$

   其中：

   • $k$：土壤透水係數（Permeability / Hydraulic Conductivity）
   • $i$：水力坡降（Hydraulic Gradient, $i = \Delta h / L$）
   • $A$：土樣垂直於流向之總截面積
   • $L$：水流通過土樣之長度

2. 適用土層分類原則：

   • 粗顆粒土壤（砂土、礫石）：透水性大（$k > 10^{-3}\text{ cm/s}$），水流通過迅速，採用常水頭試驗（Constant Head Permeability Test）。
   • 細顆粒土壤（粉土、黏土）：透水性極低（$k < 10^{-3}\text{ cm/s}$），出水量極微小，採用變水頭試驗（Falling / Falling-head Permeability Test）。
   • 大型現場工程：採用**現地抽水試驗（Pumping Test）**或鑽孔壓水／注水試驗（Packer/Slug Test）。

解題方法

本題配分為 3 分之簡答問答題，回答應力求完整、條理清晰，依「室內試驗」與「現地試驗」兩大分類條列常見試驗方法、適用土類及對應之透水係數公式：

1. 室內試驗（Laboratory Tests）

• 常水頭透水試驗（Constant Head Permeability Test）：
  • 適用對象：粗顆粒土壤（如粗砂、乾淨砂礫石，$k > 10^{-3}\text{ cm/s}$）。
  • 計算公式： $$k = \frac{Q \cdot L}{A \cdot h \cdot t}$$ （$Q$ 為時間 $t$ 內流出之水量，$h$ 為固定水頭差）。
• 變水頭透水試驗（Falling Head Permeability Test）：
  • 適用對象：細顆粒土壤（如粉土、粉土質黏土，$k < 10^{-3}\text{ cm/s}$）。
  • 計算公式：

核心觀念

本題考查土壤粒徑分布與級配係數（coefficient of gradation）$C_c$ 的判定方法。

土壤級配曲線由粒徑分析試驗建立，並由曲線讀取：

• $D_{10}$：通過百分比為 $10\%$ 的有效粒徑
• $D_{30}$：通過百分比為 $30\%$ 的粒徑
• $D_{60}$：通過百分比為 $60\%$ 的粒徑

級配係數定義為：

因此，必須先取得土壤的粒徑分布曲線，才能計算 $C_c$。

解題方法

對粗粒土而言，工程師使用**篩分析試驗（sieve analysis）**測定各粒徑範圍的重量百分比，繪製粒徑分布曲線，再由曲線讀取 $D_{10}$、$D_{30}$ 與 $D_{60}$，代入：

篩分析的基本流程為：

1. 將土樣烘乾並稱重。
2. 依孔徑大小排列標準篩。
3. 將土樣置於篩組中振篩。
4. 計算各篩上的留滯百分比與累積通過百分比。
5. 以粒徑為橫軸、累積通過百分比為縱軸，繪製半對數粒徑分布曲線。

核心觀念

1. 不排水剪力強度（Undrained Shear Strength, $s_u$ 或 $c_u$）：
   • 飽和細粒土（如黏土、粉土）在受到快速加載、孔隙水無法即時排出之條件下所能承受的最大剪應力。
   • 依據總應力分析法（Total Stress Analysis, $\phi = 0$ 觀念），飽和黏土在不排水剪切時之抗剪強度為： $$\tau_f = c_u = s_u$$
2. 測定試驗分類：
   • 室內試驗（Laboratory Tests）：能精確控制應力路徑與排水條件。
   • 現地試驗（In-situ / Field Tests）：可避免深層取樣擾動（Sampling Disturbance），快速測定現地強度。

解題方法

大地工程師測定土壤不排水剪力強度（$s_u$）之試驗，可依工程實務區分為「室內試驗」與「現地試驗」兩大類。作答時需明確列出具代表性的核心試驗，並簡述其測定原理：

1. 室內試驗（Laboratory Tests）

• 無圍壓壓縮試驗（Unconfined Compression Test, UC 試驗）：
  • 最簡便且常用的室內試驗。圍壓 $\sigma_3 = 0$，快速施加軸向應力至試體破壞。
  • 破壞軸向應力為無圍壓壓縮強度 $q_u$，其不排水剪力強度為： $$s_u = \frac{q_u}{2}$$
• 三軸不壓密不排水試驗（Unconsolidated Undrained Triaxial Test, UU 試驗）：
  • 試體在等向圍壓 $\sigma_3$ 下不允許排水壓密，隨後在不排水條件下施加軸向差應力直至破壞。
  • 同一飽和黏土在不同圍壓下的破壞主應力差 $(\sigma_1 - \sigma_3)_f$ 為定值，得： $$s_u = \frac{(\sigma_1 - \sigma_3)_f}{2}$$
• 三軸壓密不排水試驗（Consolidated Undrained Triaxial Test, CU 試驗）：
  • 先在特定有效應力下完全壓密，再於不排水條件下剪切破壞（常配合量測孔隙水壓力 $u$），亦可用於求得全應力狀態下的 $s_u$。

2. 現地試驗（In-situ Tests）

• 十字片剪試驗（Field Vane Shear Test, FVT）：
  • 針對軟弱至中等飽和黏土測定現地 $s_u$ 的標準試驗。將十字型旋轉葉片壓入土層中旋轉，量測使土壤剪切破壞之最大扭矩（Torque, $T$），進而推算 $s_u$：

此題考驗土壤膨脹潛能的測定方法。膨脹指數 (Swelling Index) 是衡量某些特定土壤（如膨脹性土）在吸水後膨脹的潛力指標。

測定膨脹指數最常用的試驗是「膨脹試驗」(Swelling Test) 或「膨脹壓力試驗」(Swelling Pressure Test)，通常在固結儀 (Oedometer) 中進行。

核心觀念

本題考查土壤力學中的「有效應力原理」。飽和土壤中，土體所受的總應力由兩部分共同承擔：

1. 孔隙水承擔的孔隙水壓；
2. 土粒骨架彼此接觸所傳遞的有效應力。

依 Terzaghi 有效應力原理：

其中：

• $\sigma'$：有效應力，即土粒骨架承受的應力；
• $\sigma$：總應力；
• $u$：孔隙水壓。

因此，有效應力等於「總應力減去孔隙水壓」。

解題方法

題目問：

In geotechnical engineering, effective stress is equal to what?

直接套用有效應力定義即可。若考慮飽和土壤在某一深度的垂直應力，則可寫成：

例如，土層自重造成的總垂直應力為 $\sigma_v$，孔隙水壓為 $u$，真正作用於土粒接觸面的應力便是：

核心觀念

本題考查土木工程與大地工程中最基本的物理指標——**土壤含水量（Water Content 或 Moisture Content, $w$）**之定義與標準試驗測定方法（依據 ASTM D2216 / CNS 5088 烘箱烘乾法）。

1. 含水量之定義：
   土壤中孔隙水質量（$M_w$ 或 $W_w$）與乾燥土粒質量（$M_s$ 或 $W_s$）之比值，通常以百分比表示：
   $w = \frac{W_w}{W_s} \times 100\% = \frac{W_1 - W_2}{W_2 - W_c} \times 100\%$
   • $W_1$：濕土加盛土容器之總重。
   • $W_2$：烘乾土加盛土容器之總重。
   • $W_c$：空盛土容器（含蓋）之重。
   • $W_w = W_1 - W_2$：孔隙水重。
   • $W_s = W_2 - W_c$：乾土重。

解題方法（標準烘箱烘乾法試驗步驟）

土壤含水量的標準試驗室測定法為烘箱烘乾法（Oven-Drying Method），其標準操作程序如下：

1. 秤取容器重：
   清潔並乾燥盛土容器，秤得其質量並記錄為 $W_c$。
2. 秤取濕土樣重：
   將具代表性的濕土試樣放入容器中（加蓋以防運送過程中水分散失），秤得容器與濕土的總重，記錄為 $W_1$。
3. 烘箱烘乾：
   打開容器蓋，置入烘箱內進行烘乾。
   • 標準溫度：保持在 $110 \pm 5^\circ\text{C}$。
   • 烘乾時間：持續烘乾至土樣達到恆重（Constant Mass），一般無機土壤通常需要 12 至 24 小時（或依土樣大小確保烘乾完成）。
4. 冷卻與秤取乾土樣重：
   將烘乾後的土樣連同容器取出，加蓋放入乾燥器（Desiccator）冷卻至室溫（避免吸收空氣中水氣），秤得烘乾土與容器之總重，記錄為 $W_2$。
5. 計算含水量：

核心觀念

直接剪力試驗（direct shear test）是將土樣置於上下兩個可相對滑動的剪力盒中，在已知垂直應力 $\sigma_n$ 下施加水平剪力，使土樣沿預定水平面剪切破壞。

試驗可由破壞時的剪應力與正應力，建立莫爾—庫倫破壞準則：

其中：

• $\tau_f$：破壞時剪應力
• $c'$：有效黏聚力
• $\phi'$：有效摩擦角
• $\sigma_n'$：有效正應力

因此，直接剪力試驗主要用來求取土壤的抗剪強度參數：

1. 黏聚力 $c$ 或有效黏聚力 $c'$
2. 摩擦角 $\phi$ 或有效摩擦角 $\phi'$

對同一土樣施加至少三種不同的垂直應力，分別量測破壞時的剪應力，再以 $\sigma_n$ 為橫軸、$\tau_f$ 為縱軸繪製破壞包絡線，即可由截距與斜率求得：

解題方法

本題詢問「直接剪力試驗能決定哪些土壤性質」，應從試驗的量測量與莫爾—庫倫定律切入。

直接剪力試驗直接量測：

• 施加的垂直力，換算為正應力；
• 施加的水平力，換算為剪應力；
• 剪切位移；
• 垂直方向的變形。

其中最主要的成果是不同正應力下的抗剪強度。將各組試驗結果繪製成破壞包絡線：

即可決定土壤的抗剪強度參數 $c$ 與 $\phi$。若試驗以有效應力分析，則得到有效應力參數 $c'$ 與 $\phi'$。

此外，由剪應力—剪位移曲線及垂直變形—剪位移曲線，還可判斷：

• 峰值抗剪強度
• 殘餘抗剪強度
• 剪切剛度或剪應力—位移關係
• 剪脹或剪縮特性

對砂土而言，剪切過程中的體積變化可反映其剪脹、剪縮行為；對黏土而言，試驗條件可設計為排水或不排水，所得強度參數須配合應力條件解讀。

核心觀念

本題考查土力學中粗顆粒土壤（砂土、礫石）常用的透水試驗方法——常水頭透水試驗（Constant Head Permeability Test）。
核心觀念為達西定律（Darcy's Law）：水在飽和土壤中的滲流流速 $v$ 與水力坡降 $i$ 成正比，即：

流量 $Q$ 為滲流流速與土樣全斷面積 $A$ 的乘積：

式中：

• $k$：土壤的透水係數（Coefficient of permeability / Hydraulic conductivity）。
• $i$：水力坡降（Hydraulic gradient），定義為兩測壓管間的水頭損失 $\Delta h$ 與滲流路徑長度 $L$ 之比值，$i = \frac{\Delta h}{L}$。
• $A$：土樣之垂直截面積。
• $Q$：在時間 $t$ 內所收集排出的滲流水體積。

解題方法

1. 常水頭透水試驗裝置圖（Test Set-up）

常水頭透水試驗的示意架構如下：

       [進水槽 (Inflow)]
            │  ▲
   水流流入 ──┘  │ 溢流口 (維持上游水位恆定)
            │
            ▼
      ┌───────────┐ ── 測壓管 A (水頭 h_A)
      │ 透水石     │   │
      ├───────────┤   │
      │           │   │
      │ 土樣 (Soil)│   │ 滲流距離 L, 斷面積 A, 透水係數 k
      │           │   │
      ├───────────┤   │
      │ 透水石     │ ── 測壓管 B (水頭 h_B)
      └─────┬─────┘
            │
            ▼ 溢流出流口 (維持下游水位恆定)
           ┌┴┐ 
           │ │ ──> 流入量筒收集水體積 Q，量測時間 t
           └─┘
       (兩水位相差固定水頭差 Δh = h_A - h_B)

繪圖要點說明：

1. 供水系統：上方設有溢流裝置之進水水箱，確保試驗過程中上游供水水頭保持恆定。
2. 滲透儀（Permeameter）：
   • 圓柱形筒身，內部放置待測飽和土樣（截面積 $A$）。
   • 土樣上下兩端各置一塊**多孔透水石（Porous stone）**及濾紙，防止土粒流失並使進出水流均勻分佈。
   • 筒身側面土樣段設有兩個測壓管接孔，間距為 $L$。
3. 測壓管（Manometers）：分別量測土樣兩點之測壓管水頭，其水頭差即為水頭損失 $\Delta h$（亦可直接以進、出水水箱水位差作為總水頭損失 $h$）。

此題為一數值計算題，根據前一小題推導的公式，利用給定的數據計算砂土的滲漏係數 ($k$)。

已知數據：

• 水頭差 $\Delta h = 500 \text{ mm}$
• 收集水量所需時間 $t = 5 \text{ min}$
• 收集的水量 $V = 350 \text{ cm}^3$
• 土壤試樣直徑 $D = 150 \text{ mm}$
• 土壤試樣長度 $L = 300 \text{ mm}$

計算步驟：

1. 統一單位：為方便計算，我們將所有單位統一為公制單位 (例如 cm 和 s)。
   • $\Delta h = 500 \text{ mm} = 50 \text{ cm}$
   • $t = 5 \text{ min} = 5 \times 60 \text{ s} = 300 \text{ s}$
   • $V = 350 \text{ cm}^3$
   • 試樣半徑 $r = D/2 = 150 \text{ mm} / 2 = 75 \text{ mm} = 7.5 \text{ cm}$
   • $L = 300 \text{ mm} = 30 \text{ cm}$

此題考驗三軸試驗的術語。CD試驗是三軸試驗的一種，用於測定土壤的抗剪強度參數。

CD 試驗代表 Consolidated-Drained，即「壓密排水」試驗。
在 CD 試驗中，試樣首先在施加的圍壓 (confining pressure) 下進行壓密 (consolidated)，在此過程中允許水排出，確保孔隙水壓力消散，達到有效

此題考驗如何利用三軸試驗的結果計算土壤的有效應力內摩擦角 ($\phi'$)。此題給出的是正常壓密黏土 (normally consolidated clay) 的 CD 試驗結果，對於正常壓密黏土，其有效凝聚力 $c'$ 為零。

已知數據：

• 試驗類型：CD 試驗 (Consolidated-Drained)
• 圍壓 $\sigma_3 = 104 \text{ kPa}$ (這是有效圍壓 $\sigma_3'$，因為是 CD 試驗)
• 最大主應力 $\sigma_1$ 在破壞時。破壞時的最大主應力為圍壓加上偏差應力：
  $\sigma_1 = \sigma_3 + \Delta \sigma_f$
  $\sigma_1 = 104 \text{ kPa} + 125 \text{ kPa} = 229 \text{ kPa}$
  (這裡的 $\sigma_3$ 和 $\Delta \sigma_f$ 都是有效應力)

計算步驟：

對於 CD 試驗，土壤的破壞準則為莫爾-庫侖準則，其有效應力形式為：
$\tau_f = c' + \sigma' \tan \phi'$

對於正常壓密黏土，有效凝聚力 $c' = 0$。因此，公式簡化為：
$\tau_f = \sigma' \tan \phi'$

我們需要繪製莫爾圓 (Mohr Circle) 或利用莫爾圓的相關公式來求解 $\phi'$。

核心觀念

本題考查 Mohr–Coulomb 破壞準則下，破壞面與大主應力面之間的幾何關係。

土壤達到剪切破壞時，破壞面上的正應力 $\sigma_n$ 與剪應力 $\tau$ 滿足：

其中：

• $c$：凝聚力
• $\phi$：土壤內摩擦角
• $\sigma_1$：大主應力
• $\sigma_3$：小主應力

在 Mohr 圓中，破壞面上的應力狀態位於破壞包絡線上。由 Mohr 圓幾何關係可得，破壞面與大主應力面之夾角為：

解題方法

設實際破壞面與大主應力面之夾角為 $\theta_f$。

在 Mohr 圓中，實際平面轉動 $\theta_f$，對應到圓上的應力點轉動 $2\theta_f$。

此題考驗邊坡穩定分析，特別是利用穩定數 (Stability Number, $N$) 來計算邊坡的最大允許坡角。此題給定黏土層的參數、開挖深度、安全係數，並提供兩個已知點的穩定數與坡角的關係，要求計算在給定安全係數下可開挖的最大坡角。

已知條件：

• 土壤類型：飽和黏土層 (Saturated clay layer)
• 不排水剪力強度 $c_u = 45 \text{ kPa}$
• 飽和單位重 $\gamma_{sat} = 20 \text{ kN/m}^3$
• 開挖垂直深度 $H = 10 \text{ m}$
• 安全係數 $F_s = 1.2$
• 已知點 1：坡角 $\beta_1 = 53^\circ$，穩定數 $N_1 = 0.18$
• 已知點 2：坡角 $\beta_2 = 90^\circ$，穩定數 $N_2 = 0.26$
• 假設穩定數 $N$ 與坡角 $\beta$ 在 $53^\circ \le \beta \le 90^\circ$ 之間呈線性關係。

基本原理：
邊坡穩定分析的一個常用方法是利用無因次穩定數 $N$ 來表示。對於黏性土邊坡，其極限平衡法的穩定數定義為：
$N = \frac{c_u}{F_s \cdot \gamma \cdot H}$
其中：
$N$ 為穩定數
$c_u$ 為不排水剪力強度
$F_s$ 為安全係數
$\gamma$ 為土壤單位重 (在此為飽和單位重 $\gamma_{sat}$)
$H$ 為邊坡高度 (在此為開挖垂直深度)

在題目中，我們已知 $F_s = 1.2$, $\gamma_{sat} = 20 \text{ kN/m}^3$, $H = 10 \text{ m}$。我們可以利用此計算所需的穩定數 $N_{required}$：
$N_{required} = \frac{c_u}{F_s \cdot \gamma_{sat} \cdot H}$
$N_{required} = \frac{45 \text{ kPa}}{1.2 \cdot 20 \text{ kN/m}^3 \cdot 10 \text{ m}}$
$N_{required} = \frac{45 \text{ kN/m}^2}{240 \text{ kN/m}^2}$
$N_{required} = 0.1875$

線性關係計算：
題目假設在 $53^\circ \le \beta \le 90^\circ$ 之間，穩定數 $N$ 與坡角 $\beta$ 呈線性關係。

核心觀念

本題考查標準貫入試驗（SPT）之擊數修正與砂土緊密度判定。

1. $N$ 值

標準貫入試驗中，先以標準貫入器打入前 $150\ \text{mm}$ 作為座入段，再記錄貫入後 $300\ \text{mm}$ 所需之總擊數，此擊數即為 $N$ 值。

2. $N_{60}$

不同現場的錘擊能量、鑽桿長度、鑽孔直徑及取樣器型式可能不同，因此須將現場 $N$ 值修正至標準能量效率 $60\%$，所得為 $N_{60}$：

其中：

• $C_E$：錘擊能量修正係數；
• $C_B$：鑽孔直徑修正係數；
• $C_R$：鑽桿長度修正係數；
• $C_S$：取樣器修正係數。

本題已直接給定 $N_{60}$，因此不必再進行上述修正。

3. $(N_1)_{60}$

$(N_1)_{60}$ 是將 $N_{60}$ 再依有效上覆壓力修正至標準有效應力 $P_a$ 的結果，用以比較不同深度砂土的緊密程度：

常用的上覆壓力修正係數為：

其中：

• $P_a$：大氣壓，通常取 $100\ \text{kPa}$；
• $\sigma'_{v0}$：試驗深度處的有效垂直應力。

為避免淺層土壓力修正過大，工程上通常採用：

解題方法

比較不同深度砂土的緊密程度時，不能直接比較 $N_{60}$，因為深度越深，有效上覆壓力越大，砂土即使緊密程度相同，量測到的 $N_{60}$ 通常也會較高。因此應先換算為 $(N_1)_{60}$。

本題為乾砂土，地下水影響可忽略，因此：

已知砂土單位重：

(a) $N_{60}$ 與 $(N_1)_{60}$ 的意義

$N_{60}$

$N_{60}$ 為將現場標準貫入試驗所得的 $N$ 值，依錘擊能量效率、鑽孔直徑、鑽桿長度及取樣器型式等因素修正至標準能量效率 $60\%$ 後的擊數。

$(N_1)_{60}$

$(N_1)_{60}$ 為將 $N_{60}$ 再依試驗深度處的有效上覆壓力加以正規化，使不同深度的砂土具有可比較性的標準化擊數：

其中：

(b) 以 $(N_1)_{60}$ 比較兩深度砂土緊密度

深度 $1.5\ \text{m}$

有效垂直應力為：

核心觀念

本題考查淺基礎極限承載力（Ultimate Bearing Capacity, $q_u$）之古典理論與現代通用理論的架構與差異：

1. Terzaghi 承載力理論：建立於連續壁式基腳（條形基礎，Strip Footing）的極限平衡破壞模式，假設基底粗糙，利用塑性平衡將土壤受壓破壞區分為三個區域（彈性核區、放射狀剪力區、被動蘭金區），採用重疊原理（Superposition Method）將凝聚力、超載力、基礎底面土壤自重三項抗力線性疊加。
2. Meyerhof 通用承載力公式（General Bearing Capacity Equation）：放寬 Terzaghi 僅適用於長條形淺基腳垂直均勻載重的限制，藉由引入「形狀因子（Shape Factors）」、「深度因子（Depth Factors）」及「傾斜載重因子（Inclination Factors）」來全面修正長寬比、埋置深度超載面抗剪貢獻、以及載重偏心/傾斜等實際工程條件。

解題方法

本題為申論與公式解析題，分為兩大子題作答：

一、Terzaghi 長條形淺基礎極限承載力公式及其物理意義

1. 公式表示式：

   $$q_u = c N_c + q N_q + \frac{1}{2} \gamma B N_\gamma$$

   式中：

   • $q_u$：極限承載力（Ultimate bearing capacity，$\text{kN/m}^2$）。
   • $c$：基礎底面下方土壤之凝聚力（Cohesion，$\text{kN/m}^2$）。
   • $q = \gamma_1 D_f$：基礎底面深度之有效超載壓力（Effective surcharge at foundation level，$\text{kN/m}^2$），$D_f$ 為基礎埋深，$\gamma_1$ 為基礎底面以上土壤之單位重。
   • $\gamma$：基礎底面以下滑動破壞面影響範圍內之土壤單位重（Unit weight of soil below footing base，$\text{kN/m}^3$）。
   • $B$：基礎寬度（Footing width，$\text{m}$）。
   • $N_c, N_q, N_\gamma$：Terzaghi 承載力因子（無因次，僅為土壤摩擦角 $\phi$ 之函數）。

2. 各分項之物理意義：

   • 第一項 $c N_c$（凝聚力項）：
     代表基礎底面下方滑動破壞面上「土壤凝聚力（剪力強度成分之 $c$）」所能發揮之支承阻力貢獻。若土壤為純砂土（$c=0$），此項為零。
   • 第二項 $q N_q$（超載壓力項，側向圍壓抗力）：
     代表基礎埋深 $D_f$ 處兩側土體所形成的「上覆有效超載土重（Surcharge $q = \gamma D_f$）」提供被動土壓力側向拘限之抗力貢獻。Terzaghi 假設 $D_f$ 範圍內土壤本身無抗剪剪應力，僅視為均勻超載負荷 $q$。
   • 第三項 $\frac{1}{2} \gamma B N_\gamma$（自重項，基礎寬度抗力）：
     代表基礎底面以下滑動剪力破壞區內「土壤本身自重（自重抗剪阻力）」所能發揮之承載抗力貢獻。此項隨基礎寬度 $B$ 與土壤重度 $\gamma$ 增大而等比增加。

二、Meyerhof 通用淺基礎極限承載力公式及各修正因子意義

1. 公式表示式： $$q_u = c N_c s_c d_c i_c + q N_q s_q d_q i_q + \frac{1}{2} \gamma B N_\gamma s_\gamma d_\gamma i_\gamma$$ （註：式中承載力因子 $N_c, N_q, N_\gamma$ 採用 Meyerhof 理論定義之數值，且其滑動剪力面向上延伸至地表。）

核心觀念

本題比較兩種極限土壓力理論：

• Rankine 土壓力理論：由土體內部的應力狀態與 Mohr–Coulomb 破壞準則推導土壓力。
• Coulomb 土壓力理論：將牆後土體視為可能沿平面滑動的剛性土楔，利用極限平衡分析土壓力。

兩者皆以土體達到主動或被動極限狀態為基礎：

• 牆向外移動，土體側向應力降低，形成主動土壓力。
• 牆向土體移動，土體側向應力增加，形成被動土壓力。

Rankine 土壓力理論

1. 基本假設

Rankine 理論的主要假設如下：

1. 牆後土體為均質、等向性土壤，並可視為具有連續性。
2. 土體符合 Mohr–Coulomb 破壞準則，具有摩擦角 $\phi$；基本公式通常先以無黏性土 $c=0$ 推導。
3. 牆背通常假設為垂直。
4. 牆背與土體間為光滑接觸面，即牆土摩擦角

5. 土壓力狀態達到主動或被動極限平衡，表示牆體已有足夠位移使土體產生破壞。
6. 土體內的主應力方向依據幾何條件判定，對水平填土而言，垂直應力與水平應力為主應力。
7. 基本理論通常假設填土表面為水平，且不特別考慮牆土摩擦造成的剪力影響。

2. 基本公式

對垂直光滑牆背、水平填土及無黏性土，主動土壓力係數為

被動土壓力係數為

深度 $z$ 處的水平土壓應力為

其中 $K$ 可取 $K_a$ 或 $K_p$。若牆高為 $H$，總土壓力為三角形分布：

作用點位於牆底以上

處。

3. 可考量條件

Rankine 理論可處理：

• 主動土壓力與被動土壓力。
• 水平填土與均勻土層。
• 土體黏聚力 $c$ 與摩擦角 $\phi$。
• 地下水壓與外加均布載重所造成的附加側壓。
• 在推廣形式中，可考慮傾斜填土面及傾斜牆背。

但標準 Rankine 理論對牆土摩擦的處理能力有限，通常不直接考慮牆土摩擦角 $\delta$。

Coulomb 土壓力理論

1. 基本假設

Coulomb 理論的主要假設如下：

1. 牆後土體在極限狀態下形成一個可滑動的剛性土楔。
2. 土楔沿一個平面破壞面滑動。
3. 破壞面的位置或傾角可透過極限平衡條件求得。
4. 土楔內部視為剛性體，土楔內的應力分布不逐點分析，而以土楔所受外力進行平衡。
5. 牆體可發生足夠位移，使土楔達到主動或被動極限狀態。
6. 可考慮牆背與土體間的摩擦，牆土摩擦角記為 $\delta$。
7. 土體符合 Mohr–Coulomb 破壞準則，並可考慮土壤摩擦角 $\phi$、黏聚力 $c$。
8. 牆體及土楔通常視為剛體，滑動面上的剪力依據摩擦與黏聚力計算。

2. 分析方法

以主動土壓力為例，先假設牆後土體沿某一平面形成土楔，再列出土楔的受力：