111 年 國立中央大學土木工程學系碩士班甲：結構組《工程數學》

核心觀念

無阻尼單自由度系統在外力 $r(t)$ 作用下，滿足

其中 $\omega_0$ 是系統自然頻率。當外力頻率等於自然頻率時，系統發生共振，位移解會出現與時間成正比的項。

本題 $m=10$、$k=40$，所以

利用初始條件 $y(0)=1,\ y'(0)=0$，可將位移寫成

解題方法

位移正方向取為外力正方向。將系統自然振動與外力造成的受迫振動分開，代入杜哈美積分公式計算。

（1）外力 $r(t)=10\cos(\omega t)$，且 $\omega=\omega_0$

由 $\omega_0=2$，外力為 $r(t)=10\cos(2t)$。代入積分公式：

使用積化和差公式：

因此

核心觀念

• 本題屬於二階非齊次常係數線性微分方程之初值問題 (Initial Value Problem, IVP)。
• 小題 (1) 考察微分方程組與特徵值問題 (System of ODEs & Eigenvalue Problem)：將高階 ODE 轉化為狀態空間一階微分方程組 $\mathbf{x}' = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{g}(t)$，求解係數矩陣 $\mathbf{A}$ 之特徵值 (Eigenvalues) 與特徵向量 (Eigenvectors) 建立模態矩陣 (Modal Matrix) 進行對角化解耦 (Decoupling)，求得系統響應。
• 小題 (2) 考察拉普拉斯變換 (Laplace Transform)：利用微分性質將時域 (Time Domain) 變換至複數 $s$ 域 (s-Domain) 轉為代數方程，結合初始條件後進行部分分式展開 (Partial Fraction Expansion)，最後透過逆拉普拉斯變換 (Inverse Laplace Transform) 求得解。

解題方法

(1) 系統 ODE 法（特徵值問題）(system O.D.E. method (Eigenvalue problem))

步驟 1：轉換為一階狀態微分方程組
定義狀態變數 $x_1(t) = y(t)$、$x_2(t) = y'(t)$，微分方程可改寫為：
$x_1' = y' = x_2$
$x_2' = y'' = 6y' - 8y + e^{2t} = -8x_1 + 6x_2 + e^{2t}$

寫成矩陣形式：
$\mathbf{x}'(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{g}(t)$
其中 $\mathbf{x}(t) = \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix}$，係數矩陣 $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -8 & 6 \end{bmatrix}$，非齊次項 $\mathbf{g}(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ e^{2t} \end{bmatrix}$。
初始條件為 $\mathbf{x}(0) = \begin{bmatrix} y(0) \\ y'(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$。

步驟 2：求解矩陣 $\mathbf{A}$ 之特徵值與特徵向量
解特徵方程式 $\det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = 0$：
$\det \begin{bmatrix} -\lambda & 1 \\ -8 & 6-\lambda \end{bmatrix} = \lambda^2 - 6\lambda + 8 = (\lambda - 2)(\lambda - 4) = 0$
求得特徵值為 $\lambda_1 = 2$ 與 $\lambda_2 = 4$。

1. 當 $\lambda_1 = 2$ 時，求解 $(\mathbf{A} - 2\mathbf{I})\mathbf{v}_1 = \mathbf{0}$：
   $\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ -8 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_{11} \\ v_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \implies -2v_{11} + v_{12} = 0 \implies \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$

2. 當 $\lambda_2 = 4$ 時，求解 $(\mathbf{A} - 4\mathbf{I})\mathbf{v}_2 = \mathbf{0}$：
   $\begin{bmatrix} -4 & 1 \\ -8 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_{21} \\ v_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \implies -4v_{21} + v_{22} = 0 \implies \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \end{bmatrix}$

步驟 3：變數變換與方程組對角化解耦
建立模態矩陣 $\mathbf{P}$ 及其逆矩陣 $\mathbf{P}^{-1}$：
$\mathbf{P} = \begin{bmatrix} \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$
$\mathbf{P}^{-1} = \frac{1}{1 \cdot 4 - 1 \cdot 2} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -\frac{1}{2} \\ -1 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$

令 $\mathbf{x}(t) = \mathbf{P}\mathbf{z}(t)$，將原式左乘 $\mathbf{P}^{-1}$ 可得解耦系統：
$\mathbf{z}'(t) = \mathbf{D}\mathbf{z}(t) + \mathbf{h}(t)$
其中對角矩陣 $\mathbf{D} = \mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$，新非齊次項 $\mathbf{h}(t) = \mathbf{P}^{-1}\mathbf{g}(t) = \begin{bmatrix} 2 & -\frac{1}{2} \\ -1 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ e^{2t} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2}e^{2t} \\ \frac{1}{2}e^{2t} \end{bmatrix}$。

轉換初始條件：
$\mathbf{z}(0) = \mathbf{P}^{-1}\mathbf{x}(0) = \begin{bmatrix} 2 & -\frac{1}{2} \\ -1 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}$

步驟 4：求解獨立的一階微分方程

1. 針對 $z_1(t)$：
   $z_1' - 2z_1 = -\frac{1}{2}e^{2t}$
   同乘積分因子 $e^{-2t}$ 可得：
   $\frac{d}{dt}\left( z_1 e^{-2t} \right) = -\frac{1}{2} \implies z_1 e^{-2t} = -\frac{1}{2}t + C_1 \implies z_1(t) = C_1 e^{2t} - \frac{1}{2}t e^{2t}$
   帶入 $z_1(0) = 2 \implies C_1 = 2$，故 $z_1(t) = 2e^{2t} - \frac{1}{2}t e^{2t}$。

$x(x-1)y''+(3x-1)y'+y=0$

Frobenius 展開 (以 $x=0$ 為中心)

設

代入原式，整理得

取最低次的 $x^{r-1}$ 項得指標方程式

$r^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad r=0\;(二重根) .$

令 $r=0$，把次方相同的項係數相等：

故所有係數相等，寫成 $a_m=a_0$。
因此第一個 Frobenius 解為

核心觀念

1. 矩陣對角化（Matrix Diagonalization）定義：
   對一 $n \times n$ 方陣 $A$，若存在一可逆矩陣 $P$ 及對角矩陣 $D$，使得 $P^{-1}AP = D$，則稱方陣 $A$ 可對角化。其中 $D$ 的對角元素為 $A$ 的特徵值（Eigenvalues），矩陣 $P$ 的行向量（Column Vectors）為對應之線性獨立特徵向量（Eigenvectors）。
2. 可對角化之充要條件：
   • $n \times n$ 方陣 $A$ 可對角化的充要條件為 $A$ 擁有 $n$ 個線性獨立的特徵向量。
   • 對於 $A$ 的每一個特徵值 $\lambda_i$，其幾何重數（Geometric Multiplicity，$g_i = \text{nullity}(A - \lambda_i I) = n - \text{rank}(A - \lambda_i I)$）必須等於其代數重數（Algebraic Multiplicity，$m_i$）。
   • 若存在某特徵值使得 $g_i < m_i$，則該矩陣稱為瑕矩陣（Defective Matrix），不可對角化。

解題方法

步驟一：求解特徵方程式與特徵值

由特徵方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ 展開：
$\begin{vmatrix} 1-\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 3-\lambda & 3 \\ 2 & 1 & 4-\lambda \end{vmatrix} = 0$

沿第一列展開行列式：
$(1-\lambda)[(3-\lambda)(4-\lambda) - 3] - 1[1(4-\lambda) - 6] + 1[1 - 2(3-\lambda)] = 0$
$(1-\lambda)(\lambda^2 - 7\lambda + 9) - (-2 - \lambda) + (2\lambda - 5) = 0$
$(\lambda^2 - 7\lambda + 9 - \lambda^3 + 7\lambda^2 - 9\lambda) + 3\lambda - 3 = 0$
$-\lambda^3 + 8\lambda^2 - 13\lambda + 6 = 0$
$\lambda^3 - 8\lambda^2 + 13\lambda - 6 = 0$

進行因式分解：
$(\lambda - 1)(\lambda^2 - 7\lambda + 6) = 0$
$(\lambda - 1)^2(\lambda - 6) = 0$

解得特徵值：

• $\lambda_1 = \lambda_2 = 1$（代數重數 $m_1 = 2$）
• $\lambda_3 = 6$（代數重數 $m_2 = 1$）

步驟二：求解特徵空間與幾何重數

1. 對重根特徵值 $\lambda = 1$：
   求解齊次方程組 $(A - 1I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$：
   $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

   對係數矩陣進行列基本運算：

核心觀念

以平面剛體的矩陣平衡法判斷穩定性。平面剛體有水平位移、垂直位移及轉動三種自由度；支承必須能限制這三種剛體運動，支承矩陣才需滿秩 3。

滾支承只能提供垂直反力，不能提供水平反力。圖中三個支承位置依序取 $x=0,1,2$，外力為 $B$ 點向下 $4$，以及 $C$ 點向左 $3$。

解題方法

令三個支承的垂直反力分別為 $R_A,R_B,R_C$，取 $x$ 軸沿梁向右、垂直向上為正，並以逆時針力矩為正。各支承反力對應的平衡矩陣為

三列依序代表水平力、垂直力與以 $A$ 點取矩。右側的 $3$ 是平衡向左的水平外力；垂直力平衡要求反力總和為 $4$；