111 年 國立中央大學土木工程學系碩士班甲：結構組《工程力學》

核心觀念

本題考查鋼筋混凝土（RC）梁在**工作應力法（Working Stress Design, WSD / 彈性分析）**下的開裂斷面力學行為，核心觀念包含：

1. 最大彎矩計算：簡支梁中央承受集中荷重 $P$ 時，跨中最大彎矩公式為 $M_{\max} = \dfrac{PL}{4}$。
2. 等值斷面法（Transformed Section Method）：
   • 混凝土開裂後，拉力區混凝土完全不承受拉力（忽略其抗拉強度）。
   • 壓力區混凝土與拉力鋼筋均維持在彈性線性階段（應力與應變呈線性分佈）。
   • 將拉力鋼筋面積等效置換為等效混凝土面積 $n A_s$，其中模數比 $n = \dfrac{E_s}{E_c} = 10$。
3. 中性軸位置（Neutral Axis, N.A.）：開裂等值斷面相對於中性軸之面積一次矩平衡：
   $\sum Q_{\text{N.A.}} = 0 \implies b \cdot x \cdot \left(\frac{x}{2}\right) = n A_s (d - x)$
4. 開裂轉動慣性矩（$I_{cr}$）：對中性軸取斷面二次矩：
   $I_{cr} = \frac{1}{3} b x^3 + n A_s (d - x)^2$
5. 彎曲應力計算公式：
   • 混凝土頂層最大受壓應力：$f_c = \dfrac{M x}{I_{cr}}$
   • 鋼筋重心處受拉應力：$f_s = n \cdot \dfrac{M (d - x)}{I_{cr}}$

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解題方法

已知條件整理

• 梁跨度 $L = 5\text{ m} = 500\text{ cm}$
• 集中載重 $P = 8\text{ tf} = 8{,}000\text{ kgf}$
• 矩形斷面寬度 $b = 30\text{ cm}$
• 梁總高 $h = 60\text{ cm}$，有效深度 $d = 50\text{ cm}$
• 拉力鋼筋面積 $A_s = 20\text{ cm}^2$
• 模數比 $n = \dfrac{E_s}{E_c} = 10$

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步驟一：計算梁之最大彎矩 $M_{\max}$

簡支梁受跨中集中載重，最大彎矩發生於梁跨中截面：
$M_{\max} = \frac{PL}{4} = \frac{8{,}000\text{ kgf} \times 500\text{ cm}}{4} = 1{,}000{,}000\text{ kgf}\cdot\text{cm} = 10^6\text{ kgf}\cdot\text{cm}$

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步驟二：求解開裂中性軸深度 $x$

設自混凝土受壓頂層至中性軸之距離為 $x$（單位：$\text{cm}$）。
由中性軸之面積一次矩平衡方程式（受壓區混凝土面積矩 $=$ 等效鋼筋受拉面積矩）：
$b \cdot x \cdot \left(\frac{x}{2}\right) = n A_s (d - x)$

代入各項已知數值：
$30 \cdot \frac{x^2}{2} = 10 \times 20 \times (50 - x)$
$15 x^2 = 200 (50 - x)$
$15 x^2 + 200 x - 10{,}000 = 0$

同除以 $5$ 化簡：
$3 x^2 + 40 x - 2{,}000 = 0$

因式分解求解：
$(3x + 100)(x - 20) = 0$

中性軸深度必為正值，故：
$x = 20\text{ cm}$

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步驟三：計算開裂轉動慣性矩 $I_{cr}$

將斷面對中性軸取二次矩：
$I_{cr} = \frac{1}{3} b x^3 + n A_s (d - x)^2$

代入數值：
$I_{cr} = \frac{1}{3} \times 30 \times (20)^3 + 10 \times 20 \times (50 - 20)^2$
$I_{cr} = 10 \times 8{,}000 + 200 \times (30)^2$
$I_{cr} = 80{,}000 + 200 \times 900$

核心觀念

本題分別考查組合梁的剪應力與主應力、鋼釘連接的剪流設計，以及柱的 Euler 彈性挫屈。

梁為兩端簡支，跨距 $L=6\,\text{m}$，承受均佈載重 $w=2\,\text{kN/m}$。梁的木板斷面為外尺寸 $200\,\text{mm}\times200\,\text{mm}$、板厚 $25\,\text{mm}$ 的中空方形斷面。取木板彈性模數 $E=12\,\text{GPa}$。

解題方法與計算

（1）腹板中點 D 的最大主應力

簡支梁兩端反力相等：

$$R_A=R_B=\frac{wL}{2} =\frac{2(6)}{2}=6\,\text{kN}$$

腹板中點 D 位於斷面中性軸，因此該處彎曲正應力為零；最大主應力由剪應力決定。最大剪力發生在支承附近，取 $V_{\max}=6\,\text{kN}$。

中空方形斷面對水平中性軸的慣性矩為：

$$I=\frac{200(200)^3-150(150)^3}{12} =91.146\times10^6\,\text{mm}^4$$

在中性軸處，以左側腹板厚度 $b=25\,\text{mm}$ 計算剪應力。中性軸以上的面積包含上方木板與兩側腹板的上半部，因此：

$$Q=(200)(25)(87.5)+2(25)(75)(37.5) =578\,125\,\text{mm}^3$$

由剪應力公式：

$$\tau_D=\frac{VQ}{Ib} =\frac{6000(578\,125)} {(91.146\times10^6)(25)} =1.52\,\text{N/mm}^2 =1.52\,\text{MPa}$$

D 點的應力狀態為純剪力，故最大主應力為：

$$\sigma_1=\tau_D=1.52\,\text{MPa}, \qquad \sigma_2=-\tau_D=-1.52\,\text{MPa}$$

主平面相對原剪應力面旋轉 $45^\circ$。應力狀態可表示為：

D 點：σx = 0，σy = 0，τxy = 1.52 MPa

主應力面：σ1 = +1.52 MPa（拉）
           σ2 = −1.52 MPa（壓）

（2）梁 AB 段鋼釘間距 $s$

上方木板面積為 $200\times25\,\text{mm}^2$，其對中性軸的一次矩為：

$$Q_f=(200)(25)(87.5) =437\,500\,\text{mm}^3$$

上方木板與兩側腹板間的總剪流為：

核心觀念

木盒受力方向沿斜面與垂直斜面分解。先用最大靜摩擦力判斷木盒是否開始滑動；若會滑動，再改用動摩擦力計算加速度。

依圖示，$P=30\text{ N}$ 指向右下方，與水平線夾角為 $30^\circ$。取斜面向上為平行正方向，斜面外側為法線正方向，則：

• 垂直斜面的正向力為 $N$。
• 最大靜摩擦力為 $f_{s,\max}=\mu_{s,\max}N$。
• 若木盒滑動，動摩擦力大小為 $f_k=\mu_kN$，方向與滑動方向相反。

令斜面向右上方與水平線的夾角為 $\theta$，將力投影到斜面方向與法線方向：

$$P_{\parallel}=P\cos(30^\circ+\theta)$$ $$P_{\perp}=P\sin(30^\circ+\theta)$$

其中 $P_{\parallel}$ 沿斜面向上，$P_{\perp}$ 壓向斜面。因此：

$$N=mg\cos\theta+P\sin(30^\circ+\theta)$$

不計摩擦時，沿斜面的合力為：

$$F_{\parallel}=P\cos(30^\circ+\theta)-mg\sin\theta$$

解題方法與計算

取 $m=5\text{ kg}$、$g=9.8\text{ m/s}^2$，故 $mg=49\text{ N}$。先算 $N$ 與 $F_{\parallel}$，比較 $|F_{\parallel}|$ 和 $f_{s,\max}$。若 $|F_{\parallel}|\le f_{s,\max}$，靜摩擦力足以平衡木盒，木盒不滑動；若超過，木盒會滑動，再以動摩擦力求加速度。

（1）$\theta=0^\circ$

$$N=49\cos0^\circ+30\sin30^\circ=49+15=64\text{ N}$$

核心觀念

分布載重的等效合力等於載重圖形下的面積；合力作用位置則通過載重圖形的形心。圖中載重只作用在 $A$ 到 $B$ 之間，區段長度為 $L$，呈正弦形，兩端為零，中央最大值為 $w_0$。

解題方法

令 $x$ 自梁左端起算，則 $A$、$B$ 分別位於 $x=L$、$x=2L$。以向下為載重正方向，載重函數為

$$w(x)= \begin{cases} w_0\sin\!\left(\dfrac{\pi(x-L)}{L}\right), & L\le x\le 2L,\\[6pt] 0, & \text{其他位置}. \end{cases}$$

等效合力大小為載重函數在 $A$ 到 $B$ 間的積分：

核心觀念

1. 力偶（Couple）與力偶矩（Couple Moment）：
   由一對大小相等、方向相反且作用線平行的兩力 $\mathbf{F}$ 與 $-\mathbf{F}$ 所構成的力系稱為「力偶」。其對空間中某參考點產生的力矩總和稱為「力偶矩」。
2. 自由向量（Free Vector）的定義：
   在力學中，若一個向量的物理效應完全取決於其大小（Magnitude）與方向（Direction），而與其**作用點（Point of Application）或作用線（Line of Action）**的選取無關，可在空間中任意平行移動而不改變其對剛體的作用效果，則該向量稱為自由向量。
3. 力矩之向量外積（Cross Product）：
   力 $\mathbf{F}$ 對參考點 $O$ 的力矩為 $\mathbf{M}_O = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$，其中 $\mathbf{r}$ 為由點 $O$ 指向力之作用點的位置向量。

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解題方法與完整證明

1. 設定座標與向量定義

考慮圖 2 所示之力偶系統，包含一對平行且大小相等、方向相反的力：

• 力 $\mathbf{F}$ 作用於剛體上的點 $A$，其作用線上的位置向量為 $\mathbf{r}_A$（相對於空間中任意選取的參考點 $O$）。
• 力 $-\mathbf{F}$ 作用於剛體上的點 $B$，其作用線上的位置向量為 $\mathbf{r}_B$（相對於同一參考點 $O$）。

2. 計算力偶對任意點 $O$ 的力矩總和

此力偶對參考點 $O$ 所產生的合成力矩 $\mathbf{M}_O$ 為兩力對 $O$ 點力矩的向量和：

$$\mathbf{M}_O = (\mathbf{r}_A \times \mathbf{F}) + [\mathbf{r}_B \times (-\mathbf{F})]$$

利用向量外積之性質，將負號提出：

$$\mathbf{M}_O = (\mathbf{r}_A \times \mathbf{F}) - (\mathbf{r}_B \times \mathbf{F})$$

根據向量外積對減法的分配律，合併為：

$$\mathbf{M}_O = (\mathbf{r}_A - \mathbf{r}_B) \times \mathbf{F}$$

3. 幾何關係化簡與無關性驗證

由向量幾何關係可知，$\mathbf{r}_A - \mathbf{r}_B$ 代表自點 $B$ 指向點 $A$ 的相對位置向量，記為 $\mathbf{r}$（即 $\mathbf{r} = \mathbf{r}_{A/B} = \mathbf{r}_A - \mathbf{r}_B$）。因此上式可表示為：

$$\mathbf{M}_O = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$$