113 年 國立中央大學土木工程學系碩士班甲：結構組《工程力學》

核心觀念

本題考查：

1. 簡支梁受均布載重時的支承反力、剪力與彎矩。
2. 應變計讀值與平面應變轉換。
3. 梁的剪應力公式
   $\tau=\frac{VQ}{Ib}$
4. T 型截面的形心與慣性矩。
5. 剪力流與剪力釘間距：
   $q=\frac{VQ}{I},\qquad F_{\text{釘}}=qS$
6. 柱的降伏與 Euler 挫屈比較。

由圖可知梁長度 $AB=10\ \text{m}$，柱高 $AC=12\ \text{m}$，均布載重為 $w$。

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(a) 求均布外力 $w$

1. T 型截面性質

梁截面尺寸為：

• 翼板：$200\ \text{mm}\times20\ \text{mm}$
• 腹板：$30\ \text{mm}\times200\ \text{mm}$

取截面上緣為基準，形心位置為

$$\bar y =\frac{(200)(20)(10)+(30)(200)(120)} {(200)(20)+(30)(200)} =76\ \text{mm}$$

因此形心 $G$ 位於距上緣 $76\ \text{mm}$ 處。

截面慣性矩：

$$I =\frac{200(20)^3}{12} +(4000)(66)^2 +\frac{30(200)^3}{12} +(6000)(44)^2$$ $$I=4.9173\times10^7\ \text{mm}^4$$

在形心 $G$ 處，上方材料的一次面積矩為

$$Q =(200\times20)(66) +\left[30(76-20)\right](76-20-28)$$ $$Q=311040\ \text{mm}^3$$

形心處位於腹板內，因此

$$b=30\ \text{mm}$$

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2. 由應變計讀值求剪應變

梁縱向受到約束，因此形心處彎曲造成的縱向正應變可視為零；在梁跨中，主要由剪應力造成應變計讀值。

應變計與梁軸線夾角為 $30^\circ$，平面應變轉換式為

$$\varepsilon_\theta =\frac{\gamma_{xy}}{2}\sin 2\theta$$

代入 $\theta=30^\circ$：

$$320\times10^{-6} =\frac{\gamma_{xy}}{2}\sin60^\circ$$ $$\gamma_{xy} =\frac{320\times10^{-6}}{\sin30^\circ\cos30^\circ} =738.2\times10^{-6}$$

材料剪切模數為

$$G=\frac{E}{2(1+\nu)} =\frac{12}{2(1+0.32)} =4.545\ \text{GPa}$$

故形心處剪應力

$$\tau_G=G\gamma_{xy} =(4.545\times10^3)(738.2\times10^{-6}) =3.355\ \text{MPa}$$

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3. 由剪應力求梁剪力

利用

$$\tau_G=\frac{VQ}{Ib}$$

得

$$V =\frac{\tau_GIb}{Q}$$ $$V =\frac{(3.355)(4.9173\times10^7)(30)} {311040} =1.592\times10^4\ \text{N}$$

簡支梁跨中剪力為

$$V=\frac{wL}{2}$$

其中 $L=10\ \text{m}$，因此

$$1.592\times10^4 =\frac{w(10)}{2}$$

此題主要考驗學生如何將應變計讀數與結構的應力及外力連結，並進行相關計算。

核心觀念：

• 應力與應變的轉換公式
• 梁的彎曲應力與剪應力公式
• 靜力平衡與支承反力計算

解題步驟：

1. 結構分析與支承反力計算：
   結構為一梁 AB 與一柱 BC。梁 AB 受到均勻分布外力 $w$。支承條件為 A 點為鉸支承，B 點為滾支承，C 點為固定支承。梁 AB 的長度為 $12 \text{ m}$，柱 BC 的長度為 $5 \text{ m}$。G 點為梁 AB 的中點。
   假設梁 AB 僅承受垂直載重 $w$。由於 A 為鉸支承，B 為滾支承，此梁段 AB 可視為靜定梁。
   總垂直載重：$W = w \times 12 \text{ m}$。
   垂直支承反力 $R_{Ay}$ 與 $R_{By}$。
   ∑ $F_y = 0 \implies R_{Ay} + R_{By} = 12w$
   ∑ $M_A = 0 \implies R_{By} \times 12 - w \times 12 \times 6 = 0 \implies R_{By} = 6w$
   因此，$R_{Ay} = 12w - R_{By} = 12w - 6w = 6w$。
   梁 AB 在 G 點（距離 A 點 $6 \text{ m}$ 處）的剪力 $V_G = R_{Ay} - w \times 6 = 6w - 6w = 0$。
   然而，題目要求根據應變計讀數計算 $w$，這暗示 G 點的應力（特別是剪應力）是非零的。這與 G 點位於中點且為簡支梁的剪力為零矛盾。
   考量到題目要求，我們假設 G 點雖然是中點，但存在非零的剪力，或者應變計讀數主要來自於彎曲應力與剪應力的組合，並且 G 點位於中性軸上，此時彎曲應力為零，應變計讀數僅由剪應力引起。
   若 G 點位於中性軸，則主要應力為剪應力 $\tau_{xy}$。

2. 計算梁截面慣性矩 $I$：
   T 型斷面：翼板寬 $200 \text{ mm}$，高 $20 \text{ mm}$；腹板寬 $30 \text{ mm}$，高 $100 \text{ mm}$。
   計算中性軸位置：
   翼板面積 $A_f = 200 \times 20 = 4000 \text{ mm}^2$，其形心距頂部 $y_f = 10 \text{ mm}$。
   腹板面積 $A_s = 30 \times 100 = 3000 \text{ mm}^2$，其形心距頂部 $y_s = 20 + 100/2 = 70 \text{ mm}$。
   總面積 $A = 7000 \text{ mm}^2$。
   中性軸位置 $y_c = \frac{A_f y_f + A_s y_s}{A} = \frac{4000 \times 10 + 3000 \times 70}{7000} = \frac{40000 + 210000}{7000} = \frac{250}{7} \approx 35.71 \text{ mm}$ (自頂部算起)。
   計算繞中性軸的慣性矩 $I$：
   $I = (\frac{1}{12} \times 200 \times 20^3 + 4000 \times (y_c - 10)^2) + (\frac{1}{12} \times 30 \times 100^3 + 3000 \times (70 - y_c)^2)$
   $I = (\frac{1}{12} \times 200 \times 8000 + 4000 \times (\frac{180}{7})^2) + (\frac{1}{12} \times 30 \times 1000000 + 3000 \times (\frac{240}{7})^2)$
   $I = (133333.3 + 4000 \times 587.75) + (2500000 + 3000 \times 1163.26)$
   $I \approx (133333 + 2351000) + (2500000 + 3489780) \approx 8.474 \times 10^6 \text{ mm}^4$。

核心觀念

剪力釘用來傳遞 T 型梁翼板與腹板交界面的縱向剪力。界面剪力流為

$$q=\frac{VQ}{I}$$

其中 $V$ 為梁內最大剪力、$Q$ 為翼板對中性軸的一次面積矩、$I$ 為整個 T 型斷面的慣性矩。每一支剪力釘在間距 $S$ 內承受

$$P=qS$$

故須滿足 $qS\leq0.8\text{ kN}$。

先求均布載重 $w$

由圖示，T 型斷面尺寸為：

• 翼板：$200\text{ mm}\times20\text{ mm}$
• 腹板：$30\text{ mm}\times200\text{ mm}$

取斷面上緣向下為 $y$ 軸：

$$A_f=200(20)=4000\text{ mm}^2$$ $$A_w=30(200)=6000\text{ mm}^2$$

中性軸位置為

$$\bar y= \frac{4000(10)+6000(120)}{4000+6000} =76\text{ mm}$$

圖中應變計位置 $G$ 距上緣

$$y_G=20+100=120\text{ mm}$$

因此 $G$ 到中性軸的距離為

$$|y_G-\bar y|=44\text{ mm}$$

整個 T 型斷面的慣性矩為

$$\begin{aligned} I={}&\frac{200(20)^3}{12}+4000(76-10)^2\\ &+\frac{30(200)^3}{12}+6000(120-76)^2\\ ={}&4.9173\times10^7\text{ mm}^4 \end{aligned}$$

梁中點處剪力為零，故應變計主要量得彎曲應變。應變計與梁軸成 $30^\circ$，且

$$\epsilon_y=-\nu\epsilon_x$$

所以

$$\epsilon_{30^\circ} =\epsilon_x\cos^2 30^\circ+\epsilon_y\sin^2 30^\circ$$

此題主要考驗學生對柱體在軸力作用下的穩定性分析，包括降伏與挫屈的判斷。

核心觀念：

• 柱的軸力計算
• 材料的降伏強度判斷
• 柱的挫屈臨界載荷計算 (Euler's formula)
• 細長柱與短柱的區分

解題步驟：

1. 計算柱中的軸力 $P$：
   柱 BC 承受來自梁 AB 的支承反力。根據題目一(a)的分析，梁 AB 在 B 點的垂直支承反力為 $R_{By} = 6w$。
   從題目一(a)計算得到 $w = 17.63 \text{ kN/m} = 0.01763 \text{ kN/mm} = 17.63 \text{ N/mm}$。
   因此，柱 BC 所承受的軸力 $P = R_{By} = 6w = 6 \times 17.63 \text{ N/mm} = 105.78 \text{ N}$。
   此軸力為壓力。

2. 判斷是否降伏 (Yielding)：
   柱的材料為矩形斷面，尺寸為 $a = 50 \text{ mm}$。假設為正方形斷面，則截面積 $A = 50 \text{ mm} \times 50 \text{ mm} = 2500 \text{ mm}^2$。
   材料的楊氏係數 $E = 200 \text{ GPa} = 200 \times 10^3 \text{ N/mm}^2$。
   材料的降伏強度 $\sigma_y = 250 \text{ MPa} = 250 \text{ N/mm}^2$。
   柱中的平均壓應力 $\sigma_{col} = \frac{P}{A} = \frac{105.78 \text{ N}}{2500 \text{ mm}^2} \approx 0.042 \text{ N/mm}^2 = 0.042 \text{ MPa}$。
   由於 $\sigma_{col} \ll \sigma_y$ ($0.042 \text{ MPa} \ll 250 \text{ MPa}$)，因此柱不會發生降伏。

此題為一靜力學與動力學綜合問題，考驗學生對靜力平衡、彈簧力、重力以及牛頓第二運動定律在瞬時狀態下的應用。

核心觀念：

• 靜力平衡條件 ($\sum F = 0, \sum M = 0$)
• 彈簧力與其伸長量/壓縮量的關係 ($F = k \Delta L$)
• 牛頓第二運動定律 ($\sum F = ma$)
• 瞬時加速度的計算

前提假設：

• 桿 AC 為均質桿，質量為 $m$，其重心 (Center of Gravity, CG) 位於桿的幾何中心。
• 彈簧的勁度係數分別為 $k_A$ 和 $k_B$。
• 重力加速度為 $g$。
• 桿 AC 的長度為 $L$。點 A、B、C 的位置由圖示決定。
• 圖示顯示 A、B、C 在同一水平線上，且 A、B 點的懸吊點在 A、B 處。桿 AC 的長度為 $L$ (總長)。點 A、B、C 在桿上的位置：A 是桿的左端點，C 是桿的右端點，B 點在 AC 之間，且距離 A 為 $0.75L$，距離 C 為 $0.25L$ (即 B 點在 AC 桿上的位置，與 A 相距 $0.75L$)。
• 重力 $mg$ 作用在桿的重心。對於均質桿 AC，重心在 AC 的中點，即距離 A 為 $L/2$。
• 彈簧懸吊點 A 和 B 在桿上。

問題分析：

(1) 靜力平衡狀態下，求二彈簧支撐點之反力。

在靜力平衡狀態下，桿 AC 受到重力 $mg$ 和兩個彈簧力 $F_A$、$F_B$ 的作用。
重力 $mg$ 作用在桿的重心，即距離 A 點 $L/2$ 處。
彈簧力 $F_A$ 作用在 A 點，方向向上。
彈簧力 $F_B$ 作用在 B 點，方向向上。
假設彈簧伸長量分別為 $\Delta L_A$ 和 $\Delta L_B$。則 $F_A = k_A \Delta L_A$，$F_B = k_B \Delta L_B$。
桿 AC 的長度為 $L$。點 A 是桿的左端。點 C 是桿的右端。點 B 在桿上，距離 A 為 $0.75L$。
重心 G 在距離 A 為 $L/2$ 處。

為了計算反力，我們需要知道彈簧的伸長量。題目中並未直接給出伸長量，但給出了位置關係。
假設在靜力平衡狀態下，A 點和 B 點的懸吊點是固定的，桿 AC 處於某個位置。
然而，圖示中 A 和 B 是桿上的點，彈簧分別連接到 A 和 B，並向上懸吊。
靜力平衡：
∑ $F_y = 0 \implies F_A + F_B - mg = 0$
∑ $M_A = 0 \implies F_B \times (0.75L) - mg \times (L/2) = 0$ (以 A 點為參考點取力矩)

從力矩平衡方程式：
$F_B \times 0.75L = mg \times 0.5L$
$F_B = \frac{0.5L}{0.75L} mg = \frac{2}{3} mg$

將 $F_B$ 代入力平衡方程式：
$F_A + \frac{2}{3} mg - mg = 0$
$F_A = mg - \frac{2}{3} mg = \frac{1}{3} mg$

因此，兩個彈簧支撐點的反力分別為 $F_A = \frac{1}{3} mg$ 和 $F_B = \frac{2}{3} mg$。

(2) 兩個支撐同時被切斷，求在切斷瞬間，點 A 處的加速度。

當兩個支撐（彈簧）同時被切斷時，桿 AC 只受重力 $mg$ 的作用。
在切斷的瞬間，桿的速度為零，但其角速度也為零（因為切斷前是靜止的）。
根據牛頓第二運動定律，桿 AC 將以重力加速度 $g$ 開始向下運動。
我們需要計算點 A 的加速度。
桿 AC 的重心 G 在距離 A 為 $L/2$ 處。
桿 AC 的質量為 $m$。
桿 AC 是一個整體。當兩個彈簧被切斷，只剩下重力作用時，桿會開始向下加速。
由於重力是均勻作用在整個桿上的（等效為作用在重心），整個桿會以加速度 $g$ 向下平移（忽略可能的轉動，因為初始角速度為零，且無外力矩）。
因此，桿上所有點的加速度都是 $g$ 向下。
點 A 處的加速度 $a_A = g$ (向下)。

(3) 僅點 A 處的支撐被切斷，求在切斷瞬間，點 A 處的加速度。

僅點 A 處的支撐（彈簧）被切斷。桿 AC 剩下點 B 的彈簧支撐和重力作用。
此時，桿 AC 處於受力不平衡狀態，將開始運動。
在切斷的瞬間（$t=0^+$），桿 AC 的速度和角速度仍為零。
桿 AC 受到：

• 重力 $mg$ 作用在重心 G (距離 A 為 $L/2$)。
• 彈簧力 $F_B$ 作用在 B 點 (距離 A 為 $0.75L$)。
  由於切斷瞬間速度為零，彈簧的變形量（伸長量）與靜力平衡時相同。
  因此，在切斷瞬間，彈簧力 $F_B$ 的大小仍為 $\frac{2}{3} mg$ (向上)。
  彈簧力 $F_A$ 變為零。

我們需要計算點 A 的加速度。點 A 的加速度 $a_A$ 可以分解為質心 G 的加速度 $a_G$ 加上由角加速度 $\alpha$ 引起的相對加速度。
$a_A = a_G + \alpha \times r_{A/G}$，其中 $r_{A/G}$ 是從 G 到 A 的向量。

首先，應用牛頓第二運動定律於桿 AC 的質心 G：
∑ $F_y = m a_G$
作用在桿上的總垂直力為：$F_B - mg$ (因為 $F_A=0$)。
$F_B = \frac{2}{3} mg$。
∑ $F_y = \frac{2}{3} mg - mg = -\frac{1}{3} mg$。
所以，$m a_G = -\frac{1}{3} mg \implies a_G = -\frac{1}{3} g$。
負號表示質心 G 的加速度向下。

接下來，應用轉動定律於桿 AC：
∑ $M_G = I_G \alpha$
以 G 點為參考點計算力矩。
重力 $mg$ 通過 G 點，力矩為零。
彈簧力 $F_B$ 作用在 B 點，距離 G 點的水平距離為 $0.75L - L/2 = 0.25L$。
力臂為 $0.25L$。
力矩 $M_G = F_B \times (0.75L - L/2) = F_B \times 0.25L$。
$M_G = (\frac{2}{3} mg) \times (0.25L) = \frac{1}{6} mgL$。
此力矩為順時針方向（假設桿 AC 逆時針為正）。
桿 AC 的質心轉動慣量 $I_G = \frac{1}{12} mL^2$。
$\frac{1}{6} mgL = (\frac{1}{12} mL^2) \alpha$。
$\alpha = \frac{6mgL}{mL^2/12} = \frac{72mgL}{mL^2} = \frac{72g}{L}$。
角加速度 $\alpha = \frac{72g}{L}$ (順時針)。

現在計算點 A 的加速度。
點 A 相對於質心 G 的向量 $r_{A/G}$。G 在 A 右側 $L/2$ 處。所以 $r_{A/G}$ 指向左，長度為 $L/2$。
$a_A = a_G + \alpha \times r_{A/G}$。

此小題考驗學生對靜力平衡條件的應用，計算在重力作用下，彈簧提供的支撐反力。

核心觀念：

• 靜力平衡條件：∑ $F_y = 0$ (垂直方向力平衡) 和 ∑ $M = 0$ (力矩平衡)。
• 彈簧力：$F = k \Delta L$，但在本題中，彈簧力的大小可由力矩平衡直接求得，無需知道彈簧勁度 $k$ 或伸長量 $\Delta L$。

解題步驟：

1. 識別作用力：
   桿 AC 受到三個垂直向上的力：彈簧 A 的支撐力 $F_A$、彈簧 B 的支撐力 $F_B$。
   桿 AC 受到一個垂直向下的力：重力 $mg$，作用在桿的重心 G。
   根據題目描述，桿 AC 為均質桿，其重心 G 位於桿的幾何中心。
   桿 AC 的總長度為 $L$。點 A 是桿的左端。點 C 是桿的右端。
   點 B 在桿上，距離 A 為 $0.75L$。
   重心 G 在桿的中心，距離 A 為 $L/2$。

2. 建立靜力平衡方程式：
   為了求得 $F_A$ 和 $F_B$，我們需要建立兩個獨立的平衡方程式。

   • 垂直方向力平衡：
     ∑ $F_y = 0$
     $F_A + F_B - mg = 0$ (方程式 1)
     其中，$F_A$ 和 $F_B$ 是彈簧提供的向上拉力。

此小題考驗學生在動力學問題中，如何運用牛頓第二運動定律分析瞬時加速度。

核心觀念：

• 牛頓第二運動定律：∑ $F = ma$ (包括平移和轉動)。
• 瞬時加速度：在切斷支撐的瞬間，物體的速度和角速度為零，但加速度可能非零。
• 均質桿的動力學分析。

解題步驟：

1. 分析切斷瞬間的受力：
   當兩個彈簧支撐（在 A 和 B 點）同時被切斷時，桿 AC 僅受自身重力 $mg$ 的作用。
   重力 $mg$ 作用在桿的重心 G，即距離 A 點 $L/2$ 處。
   在切斷的瞬間 ($t=0^+$)，桿 AC 的速度和角速度均為零。

2. 應用牛頓第二運動定律於質心 G：
   ∑ $F_y = m a_G$
   桿 AC 僅受重力 $mg$ 向下作用。
   $mg = m a_G$

此小題為動力學問題，考驗學生在桿件僅受部分支撐和重力作用時，如何利用牛頓運動定律（包括平移和轉動）計算瞬時加速度。

核心觀念：

• 牛頓第二運動定律：∑ $F = ma$ (質心平移) 和 ∑ $M = I \alpha$ (繞質心轉動)。
• 瞬時加速度：切斷支撐的瞬間，桿的速度和角速度為零，但加速度和角加速度可能非零。
• 桿件的動力學分析，包括質心加速度和角加速度的計算。
• 剛體動力學中，點加速度的計算：$\vec{a} = \vec{a}_G + \vec{\alpha} \times \vec{r}_{P/G}$。

解題步驟：

1. 分析切斷瞬間的受力與力矩：
   僅點 A 處的支撐（彈簧）被切斷。桿 AC 剩下 B 點的彈簧支撐和重力作用。

   • 作用力：
     • 重力 $mg$ 作用在重心 G，距離 A 為 $L/2$。
     • 彈簧 B 的支撐力 $F_B$ 作用在 B 點，距離 A 為 $0.75L$。
   • 初始條件：
     在切斷的瞬間 ($t=0^+$)，桿 AC 的速度和角速度均為零。
   • 彈簧力 $F_B$ 的大小：
     由於切斷瞬間速度為零，彈簧的變形（伸長量）與靜力平衡時相同。根據題目二(1)的計算，在靜力平衡時，$F_B = \frac{2}{3} mg$。因此，在切斷瞬間，$F_B$ 的大小仍為 $\frac{2}{3} mg$。

2. 應用牛頓第二運動定律於質心 G (平移)：
   ∑ $F_y = m a_G$
   作用在桿上的總垂直力為 $F_B - mg$。
   $F_B - mg = m a_G$
   $\frac{2}{3} mg - mg = m a_G$
   $-\frac{1}{3} mg = m a_G$
   $a_G = -\frac{1}{3} g$。
   質心 G 的加速度 $a_G$ 大小為 $\frac{1}{3} g$，方向向下。

3. 應用牛頓第二運動定律於轉動 (繞質心 G)：
   ∑ $M_G = I_G \alpha$
   以 G 點為參考點計算力矩。重力 $mg$ 通過 G 點，力矩為零。
   彈簧力 $F_B$ 作用在 B 點。B 點距離 G 點的水平距離為 $0.75L - L/2 = 0.25L$。
   力臂為 $0.25L$。
   力矩 $M_G = F_B \times (\text{力臂}) = (\frac{2}{3} mg) \times (0.25L) = \frac{1}{6} mgL$。
   此力矩的方向：假設桿 AC 水平，B 點在 G 點右側，$F_B$ 向上。則力矩為順時針方向。
   桿 AC 的質心轉動慣量 $I_G = \frac{1}{12} mL^2$。
   $\frac{1}{6} mgL = (\frac{1}{12} mL^2) \alpha$

核心觀念

本題考查：

1. 簡支梁受均佈載重與集中彎矩時的支承反力、剪力圖與彎矩圖。
2. 鋼筋混凝土梁的轉換斷面法。
3. 彈性範圍內的彎曲正應力：
   $\sigma=\frac{My}{I}$
4. 鋼筋與混凝土握裹良好，因此兩者應變相同，應力比等於楊氏模數比：
   $\frac{\sigma_s}{\sigma_c}=\frac{E_s}{E_c}=n$
5. 由彎矩微分方程求彈性曲線：
   $EI\frac{d^2v}{dx^2}=M(x)$

以下取 $x$ 軸由左支承 $A$ 向右，並以逆時針彎矩為正；圖示右端 $40\ \text{kN}\cdot\text{m}$ 為順時針集中彎矩。

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(a) 剪力圖與彎矩圖

梁長度為 $4\ \text{m}$，均佈載重為 $10\ \text{kN/m}$，其合力為：

$$W=10(4)=40\ \text{kN}$$

設支承反力為 $A_y$、$B_y$。

由垂直力平衡：

$$A_y+B_y-40=0$$

由 $A$ 點取力矩：

$$4B_y-40(2)-40=0$$

因此：

$$B_y=30\ \text{kN}$$ $$A_y=10\ \text{kN}$$

剪力函數

在 $0<x<4$：

$$V(x)=A_y-10x$$ $$\boxed{V(x)=10-10x\quad(\text{kN})}$$

主要位置剪力為：

$$V(0^+)=10\ \text{kN}$$ $$V(4^-)=10-40=-30\ \text{kN}$$

在 $B$ 點受到 $30\ \text{kN}$ 向上反力後，剪力跳回零。

剪力圖為由 $+10\ \text{kN}$ 線性下降至 $-30\ \text{kN}$ 的直線。

彎矩函數

取左側自由體：

$$M(x)=A_yx-\frac{(10x)x}{2}$$

因此：

$$\boxed{M(x)=10x-5x^2\quad(\text{kN}\cdot\text{m})}$$

關鍵彎矩：

$$M(0)=0$$ $$M(4)=40-80=-40\ \text{kN}\cdot\text{m}$$

剪力為零的位置：

$$10-10x=0 \quad\Rightarrow\quad x=1\ \text{m}$$

此處彎矩為最大正彎矩：

$$M(1)=10(1)-5(1)^2=5\ \text{kN}\cdot\text{m}$$

因此彎矩圖先由 $A$ 點的零值上升至 $x=1\ \text{m}$ 的 $+5\ \text{kN}\cdot\text{m}$，再呈拋物線下降，至 $B$ 點為：

$$\boxed{M_B=-40\ \text{kN}\cdot\text{m}}$$

全梁最大彎矩絕對值為：

$$\boxed{|M|_{\max}=40\ \text{kN}\cdot\text{m}}$$

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(b) 轉換斷面慣性矩

1. 模數比

$$n=\frac{E_s}{E_c} =\frac{200}{25}=8$$

以混凝土為基準材料，鋼筋轉換成等效混凝土面積。由於原矩形斷面已包含鋼筋位置的混凝土面積，應增加：

$$(n-1)A_s$$

2. 斷面面積

混凝土矩形：

$$A_c=30(40)=1200\ \text{cm}^2$$

三根 D25 鋼筋：

$$A_s=3(5.067)=15.201\ \text{cm}^2$$

附加轉換面積：

$$A'_s=(n-1)A_s =7(15.201) =106.407\ \text{cm}^2$$

取梁底為基準，鋼筋重心位於 $y=5\ \text{cm}$，混凝土矩形重心位於 $y=20\ \text{cm}$。

3. 轉換斷面中性軸

$$\bar y= \frac{1200(20)+106.407(5)} {1200+106.407}$$ $$\boxed{\bar y=18.78\ \text{cm}}$$

因此中性軸距梁頂：

$$40-18.78=21.22\ \text{cm}$$

距鋼筋重心：

$$18.78-5=13.78\ \text{cm}$$

4. 對中性軸的慣性矩

混凝土矩形自身重心軸慣性矩：

$$I_c=\frac{bh^3}{12} =\frac{30(40)^3}{12} =160000\ \text{cm}^4$$

平行軸定理修正：

$$I_c^*=160000+1200(20-18.78)^2$$

附加轉換鋼筋面積的慣性矩：

$$I_s^*=106.407(18.78-5)^2$$

故：

$$I_{\text{tr}} =160000+1200(1.22)^2+106.407(13.78)^2$$ $$\boxed{I_{\text{tr}}\approx1.82\times10^5\ \text{cm}^4}$$

核心觀念

剪力圖由垂直力平衡求得，彎矩圖由截面彎矩平衡求得；兩者並滿足

$$\frac{dV}{dx}=-w,\qquad \frac{dM}{dx}=V$$

本題均佈載重使剪力沿梁長線性變化、彎矩呈拋物線。集中彎矩會影響彎矩平衡，但不會使剪力跳躍。

解題方法

取 $A$ 為 $x=0$，向右為正。圖示均佈載重為 $10\ \text{kN/m}$，作用於全長 $4\ \text{m}$；$B$ 端施加逆時針 $40\ \text{kN}\cdot\text{m}$ 力偶。

先由整根梁的平衡求支承反力：

$$\sum F_y=0:\qquad A_y+B_y-(10)(4)=0$$ $$\sum M_A=0:\qquad 4B_y-(10)(4)(2)+40=0$$

因此

$$B_y=10\ \text{kN},\qquad A_y=30\ \text{kN}$$

在距 $A$ 點 $x$ 處切開梁，$0<x<4$。剪力為

$$V(x)=A_y-wx=30-10x\quad(\text{kN})$$

所以 $V(0^+)=30\ \text{kN}$，$V(4^-)=-10\ \text{kN}$；剪力圖由 $+30$ 線性下降至 $-10$，並在 $B$ 點因向上反力 $B_y=10\ \text{kN}$ 跳升至零。剪力在

此小題考驗學生如何應用換算截面法 (transformed section method) 計算鋼筋混凝土梁的慣性矩。

核心觀念：

• 鋼筋混凝土梁的換算截面法：將鋼筋的面積換算成等效的混凝土面積，以進行均質材料的應力與變形分析。
• 換算係數 $n = E_s / E_c$。
• 計算組合截面繞其形心軸的慣性矩。

解題步驟：

1. 計算換算係數 $n$：
   $E_s = 200.0 \text{ GPa}$
   $E_c = 25.0 \text{ GPa}$
   $n = \frac{E_s}{E_c} = \frac{200.0}{25.0} = 8$。

2. 計算等效混凝土面積 $A_{s,tr}$：
   鋼筋面積 $A_s = 5.067 \text{ cm}^2$。
   等效混凝土面積 $A_{s,tr} = n \times A_s = 8 \times 5.067 \text{ cm}^2 = 40.536 \text{ cm}^2$。

3. 確定截面幾何尺寸與鋼筋位置：
   混凝土矩形斷面寬度 $b = 30 \text{ cm}$，高度 $h = 40 \text{ cm}$。
   鋼筋位於梁的底部，直徑 $d_{bar} = 2.54 \text{ cm}$。
   鋼筋中心到梁底部的距離：保護層厚度為 $5 \text{ cm}$。
   鋼筋中心到梁底部的距離 $y_{bar\_bottom} = 5 \text{ cm} + d_{bar}/2 = 5 + 2.54/2 = 5 + 1.27 = 6.27 \text{ cm}$。
   鋼筋中心到梁頂部的距離 $y_{bar\_top} = h - y_{bar\_bottom} = 40 - 6.27 = 33.73 \text{ cm}$。

4. 計算換算後截面的形心位置 (中性軸位置 $y_{tr}$)：
   我們將鋼筋換算成的等效混凝土面積 $A_{s,tr}$ 視為一塊面積為 $40.536 \text{ cm}^2$ 的混凝土，放置在鋼筋原有的位置。
   混凝土矩形斷面的形心位置 $y_c = h/2 = 40/2 = 20 \text{ cm}$ (從頂部算起)。
   等效鋼筋面積的形心位置 $y_{s} = y_{bar\_top} = 33.73 \text{ cm}$。
   混凝土斷面的面積 $A_c = b \times h = 30 \times 40 = 1200 \text{ cm}^2$。
   換算後截面的總面積 $A_{total} = A_c + A_{s,tr} = 1200 + 40.536 = 1240.536 \text{ cm}^2$。
   換算截面形心位置 $y_{tr} = \frac{A_c y_c + A_{s,tr} y_s}{A_{total}}$。

核心觀念

鋼筋與混凝土握裹良好，因此兩者具有相同曲率，應以「 transformed section」計算複合斷面的中性軸與慣性矩。

材料彈性模數比為

$$n=\frac{E_s}{E_c} =\frac{200}{25}=8$$

鋼筋位於梁底，承受拉應力；混凝土梁頂承受壓應力。

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1. 求斷面 a-a 的最大彎矩

梁長 $4\ \text{m}$，均佈載重為 $10\ \text{kN/m}$，右端施加順時針彎矩 $40\ \text{kN}\cdot\text{m}$。

由整體平衡：

$$R_A+R_B=10(4)=40\ \text{kN}$$

取 A 點力矩：

$$4R_B-40(2)-40=0$$

因此

$$R_B=30\ \text{kN},\qquad R_A=10\ \text{kN}$$

距離 A 點 $x$ 處的彎矩為

$$M(x)=R_Ax-\frac{wx^2}{2} =10x-5x^2$$

最大彎矩發生於剪力為零處：

$$V(x)=10-10x=0 \quad\Rightarrow\quad x=1\ \text{m}$$

故

$$M_{\max}=10(1)-5(1)^2 =5\ \text{kN}\cdot\text{m}$$

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2. 求 transformed section 的中性軸

斷面尺寸為

$$b=30\ \text{cm},\qquad h=40\ \text{cm}$$

三支 D25 鋼筋總面積：

$$A_s=3(5.067)=15.201\ \text{cm}^2$$

以混凝土為基準材料，鋼筋需增加的等效面積為

$$(n-1)A_s=7(15.201)=106.407\ \text{cm}^2$$

取斷面頂部為 $y=0$，鋼筋重心位於

$$y_s=40-5=35\ \text{cm}$$

因此 transformed section 中性軸位置為

$$\bar y = \frac{(30)(40)(20)+(n-1)A_s(35)} {(30)(40)+(n-1)A_s}$$ $$\bar y = \frac{1200(20)+106.407(35)} {1200+106.407} =21.22\ \text{cm}$$

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3. 求 transformed section 慣性矩

混凝土矩形斷面對自身重心軸的慣性矩：

核心觀念

以 $A$ 點為座標原點，令 $x$ 向右、撓度 $v$ 向上為正。採用彎矩—曲率關係

$$EI\,v''(x)=M(x)$$

其中 $EI$ 為題目所指的梁等效抗彎剛度。圖示集中彎矩為逆時針 $40\ \text{kN}\cdot\text{m}$。

解題方法

梁跨距為 $4\ \text{m}$，均布載重為 $10\ \text{kN/m}$。由整體平衡：

$$R_A+R_B=10(4)=40\ \text{kN}$$ $$\sum M_A=0:\qquad 4R_B-40(2)+40=0$$

因此 $R_B=10\ \text{kN}$、$R_A=30\ \text{kN}$。在 $0\le x\le4$ 範圍內取截面，彎矩為

$$M(x)=R_Ax-\frac{10x^2}{2} =30x-5x^2$$

代入彎矩—曲率關係並積分兩次：