112 年 國立中央大學土木工程學系碩士班甲：結構組《工程力學》

核心觀念

本題考查：

1. 懸臂梁受集中力、均布載重與端彎矩時的剪力圖、彎矩圖。
2. 鋼板與混凝土完全黏結時，利用轉換斷面求複合梁的慣性矩與抗彎剛度。
3. 平面彎曲公式：

$$\sigma=\frac{E M y}{EI}$$

4. 梁的彈性曲線：

$$EI\frac{d^2v}{dx^2}=M(x)$$

取 $x$ 自固定端 $A$ 向右量，$L=2\ \text{m}$，向下撓度為負；圖示端彎矩取順時針方向。

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(a) 剪力圖、彎矩圖與最大彎矩

均布載重為 $w=10\ \text{kN/m}$，端點集中力為 $P=5\ \text{kN}$，端彎矩為 $M_0=10\ \text{kN-m}$。

剪力

在 $0\leq x<2$ 時，切取右側梁段：

$$V(x)=-P-w(L-x)$$

因此

$$V(x)=-5-10(2-x)$$ $$\boxed{V(x)=-25+10x\ \text{kN}}$$

重要位置：

$$V(0)=-25\ \text{kN}$$ $$V(2^- )=-5\ \text{kN}$$

在 $B$ 點受到向下 $5\ \text{kN}$ 集中力後，剪力跳升 $5\ \text{kN}$ 至零。

因此剪力圖為：

• $A$ 點：$-25\ \text{kN}$
• 沿梁呈斜直線上升
• $B$ 點左側：$-5\ \text{kN}$
• $B$ 點右側：$0$

彎矩

右側梁段對切面取矩：

$$M(x)=-M_0-P(L-x)-\frac{w(L-x)^2}{2}$$

代入數值：

$$M(x)=-10-5(2-x)-5(2-x)^2$$

整理得：

$$\boxed{M(x)=-40+25x-5x^2\ \text{kN-m}}$$

重要位置：

$$M(0)=-40\ \text{kN-m}$$ $$M(2)=-10\ \text{kN-m}$$

彎矩圖為一條二次曲線，由固定端的 $-40\ \text{kN-m}$ 逐漸上升至 $B$ 點的 $-10\ \text{kN-m}$。

故最大斷面彎矩發生於固定端 $A$：

$$\boxed{|M_{\max}|=40\ \text{kN-m}}$$

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(b) 轉換斷面慣性矩與抗彎剛度

外尺寸為：

$$b_o=0.28\ \text{m},\qquad h_o=0.42\ \text{m}$$

鋼板厚度為 $2\ \text{cm}$，因此混凝土填充區尺寸為：

$$b_c=0.28-2(0.02)=0.24\ \text{m}$$ $$h_c=0.42-2(0.02)=0.38\ \text{m}$$

由於斷面上下及左右對稱，中性軸位於斷面中央。

材料彈性模數比

以混凝土作為基準材料：

$$n=\frac{E_s}{E_c} =\frac{200}{25}=8$$

混凝土慣性矩

$$I_c=\frac{b_ch_c^3}{12}$$ $$I_c=\frac{(0.24)(0.38)^3}{12} =0.00109744\ \text{m}^4$$

鋼板慣性矩

鋼材箱型斷面的慣性矩為外矩形減去內部矩形：

$$I_s=\frac{b_oh_o^3-b_ch_c^3}{12}$$ $$I_s =\frac{(0.28)(0.42)^3-(0.24)(0.38)^3}{12}$$ $$I_s=0.00063128\ \text{m}^4$$

混凝土轉換斷面

$$I_{\text{tr}}=I_c+nI_s$$ $$I_{\text{tr}} =0.00109744+8(0.00063128)$$ $$\boxed{I_{\text{tr}}=0.00614768\ \text{m}^4}$$

其對應的抗彎剛度為：

$$EI=E_cI_{\text{tr}}$$ $$EI=(25,000,000)(0.00614768)$$ $$\boxed{EI=153,692\ \text{kN-m}^2}$$

亦可直接寫成：

$$EI=E_sI_s+E_cI_c$$

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核心觀念

由圖可知均質桿 $AB$ 長度為 $2L$，質心 $G$ 位於中點 $O$，因此

$$AG=GO=L,\qquad GB=L.$$

支撐突然移除的瞬間，桿的角速度仍為

$$\omega(0^+)=0.$$

使用剛體平面運動公式：

$$\sum \mathbf F=m\mathbf a_G, \qquad \sum M_P=I_P\alpha,$$

其中 $P$ 為尚存的鉸支點。均質桿對端點的轉動慣量為

$$I_B=I_A=\frac{1}{3}m(2L)^2=\frac{4}{3}mL^2.$$

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(1) 移除點 $B$ 支撐

此時桿以 $O$ 為固定鉸支點，而 $O$ 同時是質心 $G$。

重力 $mg$ 通過 $O$，對 $O$ 的力矩為零，因此

$$\sum M_O=0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha=0.$$

又因為 $G=O$ 是固定點，所以

$$\mathbf a_G=\mathbf 0.$$

對桿使用牛頓第二定律：

$$\mathbf R_O-mg\,\mathbf j =m\mathbf a_G=\mathbf 0.$$

因此

$$\mathbf R_O=mg\,\mathbf j,$$

即點 $O$ 的反力大小為 $mg$，方向鉛直向上。

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(2) 移除點 $O$ 支撐

此時桿以端點 $B$ 為固定鉸支點。取逆時針為正方向，質心 $G$ 位於 $B$ 左方 $L$ 處，重力對 $B$ 的力矩為

$$\sum M_B=mgL.$$

由轉動方程式：

$$mgL=I_B\alpha =\frac{4}{3}mL^2\alpha,$$

得到

$$\alpha=\frac{3g}{4L}$$

且方向為逆時針。

核心觀念

本題分成兩部分：先用歐拉公式求鉸接柱的彈性挫屈載重，再用梁的剪力流公式設計剪力釘間距。

柱的臨界挫屈力為

$$P_{\mathrm{cr}}=\frac{\pi^2 E I_{\min}}{L^2}$$

其中 $I_{\min}$ 是截面較弱方向的慣性矩。梁的剪力流與剪力釘間距則使用

$$q=\frac{VQ}{I}, \qquad F_{\text{每列釘}}=\frac{q}{3}s$$

式中 $V$ 是梁的剪力，$Q$ 是接合面一側截面的面積一次矩，$I$ 是梁截面對中性軸的慣性矩。除以 3 是因梁截面有三排剪力釘共同傳遞剪力。

解題方法

圖中梁長為 $8\,\text{m}$，承受左右對稱、兩端為零且跨中峰值為 $w$ 的三角形分布載重；梁在 $A、B$ 處支承。柱 $BC$ 長 $4\,\text{m}$，兩端 $B、C$ 為鉸接。柱截面翼板寬 $200\,\text{mm}$、厚 $20\,\text{mm}$，腹板厚 $20\,\text{mm}$、淨高 $200\,\text{mm}$。梁截面由上下各一片 $500\times20\,\text{mm}$ 木板及三片 $20\times200\,\text{mm}$ 腹板組成。

(1) 求最大分布載重 $w$

柱截面的弱軸慣性矩為

$$I_{\min} =2\left(\frac{20(200)^3}{12}\right) +\frac{200(20)^3}{12} =26.8\times10^6\ \text{mm}^4$$

代入歐拉公式，柱的臨界軸力為

$$P_{\mathrm{cr}} =\frac{\pi^2(12{,}000)(26.8\times10^6)}{(4{,}000)^2} =198.4\ \text{kN}$$

三角形分布載重的總合力為 $\frac12(8)w=4w$。由對稱性，梁兩端各承受 $2w$，因此柱的軸力為 $2w$。令柱軸力達到臨界值：