112 年 國立中央大學土木工程學系碩士班丙：大地組《材料力學》

本題為材料力學的基礎名詞解釋題，旨在釐清學生對材料行為與失效模式的基本認知。

(a) 延性材料 (Ductile Material) vs. 脆性材料 (Brittle Material)

• 延性材料 (Ductile Material):

  • 定義: 指材料在拉伸或壓縮過程中，在斷裂前能產生顯著的塑性變形。這表示材料在達到極限強度之前，會經歷一個較長的應力-應變曲線的塑性區。
  • 英文定義: A material that can undergo large plastic deformation before fracture.
  • 繪圖說明: 在應力-應變曲線圖中，延性材料的斷裂點會出現在塑性變形區域的末端，曲線有明顯的彎曲和延伸。
  • 比較: 延性材料在斷裂前有明顯的「可塑性」，能吸收較多能量，給予預警。

• 脆性材料 (Brittle Material):

  • 定義: 指材料在斷裂前僅能產生很小的彈性變形，幾乎沒有或只有極少的塑性變形。一旦應力超過其彈性極限，便會迅速斷裂。
  • 英文定義: A material that exhibits little or no plastic deformation before fracture.
  • 繪圖說明: 在應力-應變曲線圖中，脆性材料的斷裂點會很接近其彈性極限，曲線通常是較為陡峭且直線段較長，斷裂發生突然。
  • 比較: 脆性材料斷裂前無明顯預警，破壞通常是突然且災難性的。

  比較圖示:
  (繪圖說明，實際作答時應繪製應力-應變曲線圖)
  延性材料：應力-應變曲線在達到最大應力後，會有一段明顯下降的塑性變形區，直到斷裂。
  脆性材料：應力-應變曲線在達到最大應力（通常也接近斷裂應力）後，隨即斷裂，塑性變形區極小或不存在。

(b) 正向應變 (Normal Strain) vs. 剪應變 (Shear Strain)

• 正向應變 (Normal Strain, $\epsilon$):

  • 定義: 指材料在承受垂直於其表面的應力（正向應力）作用下，其單位長度發生的相對長度變化。通常定義為長度變化量除以原始長度。
  • 英文定義: The change in length per unit original length of a line segment that is perpendicular to a surface.
  • 繪圖說明: 考慮一個長度為 $L$ 的桿件，受軸向拉力 $P$ 作用後伸長 $\Delta L$，則正向應變 $\epsilon = \Delta L / L$。若為壓縮，則 $\Delta L$ 為負值。
  • 數學式: $\epsilon = \frac{\Delta L}{L}$

• 剪應變 (Shear Strain, $\gamma$):

  • 定義: 指材料在承受平行於其表面的應力（剪應力）作用下，由原本垂直的兩條線段之間所夾的直角，變形後不再是直角，其變形角度的變化量（通常指其中一個銳角的餘角變化量）。
  • 英文定義: The change in angle between two lines that were originally perpendicular.
  • 繪圖說明: 考慮一個方形單元體，受剪應力 $\tau$ 作用後，原本成 90 度的邊角變為 $90^\circ - \gamma$ 或 $90^\circ + \gamma$，則剪應變 $\gamma$ 為角度的變化量（弧度）。
  • 數學式: $\gamma = \tan(\theta) \approx \theta$ （其中 $\theta$ 為角度變化量，以弧度表示）。

核心觀念

本題考應力單元的平面應力轉換、摩爾圓，以及凝聚力為零時的 Mohr–Coulomb 破壞準則。

依原圖標示，左右側面的壓應力為 $\sigma_x=100\ \text{kN/m}^2$，上下面的壓應力為 $\sigma_y=140\ \text{kN/m}^2$；四面剪應力大小皆為 $34.64\ \text{kN/m}^2$。以下採拉應力為正、壓應力為負，令 $x$ 軸向右、$y$ 軸向上。由圖中剪力箭頭方向可得 $\tau_{xy}=-34.64\ \text{kN/m}^2$。

因此：

$$\sigma_x=-100,\qquad \sigma_y=-140,\qquad \tau_{xy}=-34.64 \quad(\text{kN/m}^2)$$

解題方法

(1) 摩爾圓、極點與主應力

摩爾圓圓心位於平均正應力：

$$\sigma_{\text{avg}}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} =\frac{-100-140}{2}=-120\ \text{kN/m}^2$$

半徑為：

$$R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2} =\sqrt{20^2+34.64^2}\approx 40\ \text{kN/m}^2$$

所以主應力為圓與正應力軸的交點：

$$\sigma_1=-120+40=-80\ \text{kN/m}^2$$ $$\sigma_3=-120-40=-160\ \text{kN/m}^2$$

以上採拉應力為正，因此兩者皆為壓應力；換成壓應力大小，最大主應力為 $160\ \text{kN/m}^2$，最小主應力為 $80\ \text{kN/m}^2$。

摩爾圓上，兩組互相垂直平面的應力點可標為 $(-100,-34.64)$ 與 $(-140,+34.64)$，圓心為 $(-120,0)$、半徑約 $40$。作圖時須註明剪應力軸的正方向。依此符號慣例，由平面方向作平行線定位的極點座標為 $(-100,+34.64)\ \text{kN/m}^2$。

(2) 三個平面上的正向應力與剪應力

令 $\alpha$ 為平面本身相對水平線的角度，逆時針為正。取平面上的正向切線方向為 $\alpha$ 方向，剪應力正值表示沿此方向。轉換公式為：

$$\sigma_n =\sigma_x\sin^2\alpha+\sigma_y\cos^2\alpha -2\tau_{xy}\sin\alpha\cos\alpha$$ $$\tau_t =(\sigma_y-\sigma_x)\sin\alpha\cos\alpha +\tau_{xy}\cos 2\alpha$$

核心觀念

軸力桿件的彈性變形公式由胡克定律與應變定義得到：

$$\sigma=\frac{P}{A},\qquad \varepsilon=\frac{\delta}{L},\qquad \sigma=E\varepsilon$$

因此：

$$\frac{P}{A}=E\frac{\delta}{L}$$

整理得：

$$\boxed{\delta=\frac{PL}{AE}}$$

題目所給的 $\delta=PE/AL$ 少了長度與楊氏模數的位置關係，故公式不正確。

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解題方法

將桿件分成 $AB$、$BC$、$CD$ 三段，分別求各段內力，再利用軸力桿件變形公式計算：

$$\Delta=\sum_i\frac{N_iL_i}{AE}$$

取向右為正，依照圖示外力方向：

• $A$ 點：$6\ \text{kN}$ 向左
• $B$ 點：$9\ \text{kN}$ 向右
• $C$ 點：$3\ \text{kN}$ 向右
• $D$ 點：$6\ \text{kN}$ 向左

整體外力平衡：

$$-6+9+3-6=0$$

$AB$ 段內力

在 $AB$ 段任意位置切開，取左側自由體：

$$N_{AB}=6\ \text{kN}$$

為拉力。

$BC$ 段內力

取 $BC$ 段左側自由體：

$$-6+9=3\ \text{kN}$$

因此：

$$N_{BC}=-3\ \text{kN}$$

負號表示壓力。

$CD$ 段內力

取 $CD$ 段左側自由體：

$$-6+9+3=6\ \text{kN}$$

因此：

$$N_{CD}=-6\ \text{kN}$$

亦為壓力。

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計算 A 相對於 D 點的位移

已知：

$$L_{AB}=15.0\ \text{cm}=0.150\ \text{m}$$ $$L_{BC}=17.5\ \text{cm}=0.175\ \text{m}$$ $$L_{CD}=20.0\ \text{cm}=0.200\ \text{m}$$ $$E=200\ \text{GPa}=200\times10^9\ \text{N/m}^2$$

核心觀念

對均質、等向性、線彈性材料，楊氏模數、柏松比與剪力模數的關係為

$$E=2G(1+\nu)$$

因此

$$G=\frac{E}{2(1+\nu)}$$

其中，楊氏模數由應力—軸向應變曲線斜率求得；柏松比則為

$$\nu=-\frac{\varepsilon_{\text{lateral}}}{\varepsilon_{\text{axial}}}$$

拉伸時側向收縮，所以側向應變為負值。

(A) 公式判斷

題目所給

$$G=\frac{E}{1-\nu}$$

不正確。正確公式為

$$\boxed{G=\frac{E}{2(1+\nu)}}$$

錯誤原因是分母應包含因子 $2$，且柏松比應為 $1+\nu$，不是 $1-\nu$。

(B) 由圖讀值與計算

取圖中同一應力水平的讀值：

• 軸向應力：

$$\sigma=3\times10^5\ \text{N/m}^2$$

• 軸向應變：

$$\varepsilon_{\text{axial}}=0.5\%=0.005$$

• 側向應變：

$$\varepsilon_{\text{lateral}}=-0.2\%=-0.002$$

注意左側的 $0.3$ 是座標刻度，虛線在 $\sigma=3\times10^5\ \text{N/m}^2$ 時的讀值約為 $0.2\%$。

楊氏模數為

本題考查簡支梁的剪力圖 (Shear Force Diagram, SFD) 和彎矩圖 (Bending Moment Diagram, BMD) 的繪製與分析。

核心觀念：

1. 支反力計算： 根據靜力平衡方程式 ($\Sigma F_y = 0, \Sigma M = 0$) 計算支撐點的支反力。
2. 剪力圖 (SFD)： 沿梁的長度方向，剪力隨位置的變化。集中載荷會引起剪力的階躍變化；均佈載荷或樑的自重會使剪力線性變化。
3. 彎矩圖 (BMD)： 沿梁的長度方向，彎矩隨位置的變化。集中載荷會引起彎矩的線性變化；均佈載荷會引起彎矩的二次曲線變化。
4. 剪力與彎矩的關係： 剪力圖上任意點的斜率等於作用在該點的均佈載荷（若有）；彎矩圖上任意點的斜率等於該點的剪力值。當剪力為零時，彎矩取極值（最大值或最小值）。

題目分析：
梁的類型：簡支梁 (Simply Supported Beam)。
總長度：$L = 5.0 \, \text{m}$。
載荷：在距離左支撐 2.5 m 處，有一個向下 10 kN 的集中載荷。
支撐：左端 A 為鉸支撐 (或輥支撐，但假設為鉸支撐以產生垂直支反力)，右端 C 為輥支撐 (或鉸支撐，但假設為鉸支撐以產生垂直支反力)。圖示為三角形支撐符號，通常表示鉸支撐或輥支撐，能夠承受垂直力。

步驟 1：計算支反力

設左支撐 (A) 的垂直支反力為 $R_A$，右支撐 (C) 的垂直支反力為 $R_C$。
梁承受一個向下 10 kN 的集中載荷，作用在距離 A 點 2.5 m 處。
總長度為 5.0 m，所以載荷點距離 C 點的距離為 $5.0 - 2.5 = 2.5 \, \text{m}$。
這個集中載荷正好位於梁的跨中。

根據 $\Sigma F_y = 0$ (垂直方向合力為零)：
$R_A + R_C - 10 \, \text{kN} = 0$
$R_A + R_C = 10 \, \text{kN}$

根據 $\Sigma M_A = 0$ (繞 A 點的合力矩為零，取逆時針為正)：
$R_C \times 5.0 \, \text{m} - 10 \, \text{kN} \times 2.5 \, \text{m} = 0$
$5.0 \, R_C = 25 \, \text{kN} \cdot \text{m}$
$R_C = \frac{25}{5.0} = 5 \, \text{kN}$

將 $R_C$ 代入 $R_A + R_C = 10 \, \text{kN}$：
$R_A + 5 \, \text{kN} = 10 \, \text{kN}$
$R_A = 5 \, \text{kN}$

所以，左支撐 $R_A = 5 \, \text{kN}$ (向上)，右支撐 $R_C = 5 \, \text{kN}$ (向上)。

步驟 2：繪製剪力圖 (Shear Force Diagram, SFD)

我們從左支撐 A 開始，向右移動。
變數 $x$ 表示從左支撐 A 開始的距離。

• 在 $0 < x < 2.5 \, \text{m}$ 範圍內：
  梁上只有左支反力 $R_A = 5 \, \text{kN}$ 向上。
  剪力 $V(x) = R_A = 5 \, \text{kN}$。
  剪力為常數。

• 在 $x = 2.5 \, \text{m}$ 處 (載荷點)：
  當梁經過集中載荷點時，剪力會發生階躍變化。
  在載荷點左側，剪力為 $+5 \, \text{kN}$。
  在載荷點右側，剪力為 $+5 \, \text{kN} - 10 \, \text{kN} = -5 \, \text{kN}$。

• 在 $2.5 < x < 5.0 \, \text{m}$ 範圍內：
  梁上只有右支反力 $R_C = 5 \, \text{kN}$ 向上。
  剪力 $V(x) = R_A - 10 \, \text{kN} + R_C$ (這是總的剪力，但我們看區間內的變化)。
  在 $x=2.5 \, \text{m}$ 右側，剪力為 $5 \, \text{kN} - 10 \, \text{kN} = -5 \, \text{kN}$。
  繼續向右移動，直到 C 點。
  剪力 $V(x) = R_A - 10 \, \text{kN} = 5 \, \text{kN} - 10 \, \text{kN} = -5 \, \text{kN}$。
  剪力為常數。

• 在 $x = 5.0 \, \text{m}$ (右支撐 C)：
  在 C 點，剪力由 $-5 \, \text{kN}$ 變為 $0 \, \text{kN}$，因為右支反力 $R_C = 5 \, \text{kN}$ 向上。
  $-5 \, \text{kN} + 5 \, \text{kN} = 0 \, \text{kN}$。

剪力圖總結：

• 在 $x=0$ 處，剪力從 0 躍升至 $+5 \, \text{kN}$。
• 在 $0 < x < 2.5 \, \text{m}$，剪力為 $+5 \, \text{kN}$。
• 在 $x=2.5 \, \text{m}$ 處，剪力從 $+5 \, \text{kN}$ 躍降至 $-5 \, \text{kN}$。
• 在 $2.5 < x < 5.0 \, \text{m}$，剪力為 $-5 \, \text{kN}$。
• 在 $x=5.0 \, \text{m}$ 處，剪力從 $-5 \, \text{kN}$ 躍升至 $0 \, \text{kN}$。

最大剪力 (絕對值)：$|V_{max}| = 5 \, \text{kN}$。
最小剪力：$V_{min} = -5 \, \text{kN}$。
剪力為 0 的地方：在支撐點 A ($x=0$) 和 C ($x=5.0 \, \text{m}$) 處。
注意：集中載荷點 $x=2.5 \, \text{m}$ 處剪力值從 $+5$ 變為 $-5$，並非為 0。

繪製剪力圖:

• 畫一條水平的 $x$-軸。
• 在 $x=0$ 處，畫一條垂直線段，從 0 向上到 $+5 \, \text{kN}$。
• 在 $0 < x < 2.5 \, \text{m}$ 範圍內，畫一條水平線段在 $+5 \, \text{kN}$。
• 在 $x=2.5 \, \text{m}$ 處，畫一條垂直線段，從 $+5 \, \text{kN}$ 向下到 $-5 \, \text{kN}$。
• 在 $2.5 < x < 5.0 \, \text{m}$ 範圍內，畫一條水平線段在 $-5 \, \text{kN}$。