112 年 國立中央大學土木工程學系碩士班戊：水資源組《水文學》

這是一題名詞解釋題，主要在考察學生對水文學基本名詞的理解與掌握。

(1) Dalton's law
Dalton's law of partial pressures 是指在一個氣體混合物中，總壓強等於各組分氣體分壓之和。在水文學中，此定律常與蒸發過程相關，特別是當考慮水體表面蒸發時，蒸發速率與水面上方空氣的飽和水氣壓與實際水氣壓之差有關。
【答案】Dalton's law of partial pressures 指出，在定溫下，氣體混合物的總壓強等於各組分氣體分壓之和。在蒸發過程中，此定律可應用於描述蒸發速率與水面上空氣中水氣壓差的關係。

(2) Hydraulic conductivity
水力傳導度（Hydraulic conductivity, $K$）是衡量多孔介質（如土壤或岩石）傳導地下水能力的參數。它定義為在單位水力坡度下，單位時間內通過單位橫截面積的水量。其單位通常為長度/時間（例如 m/s 或 ft/day）。
【答案】水力傳導度（Hydraulic conductivity, $K$）為衡量多孔介質滲透性的指標，定義為在單位水力坡度下，單位時間內通過單位橫截面積的水量。其值取決於介質的孔隙度、連通性以及水的性質（如黏滯係數和密度）。

(3) Base flow
基流（Base flow）是指在沒有降雨補給的情況下，地下水或深層滲流水緩慢流入河道、湖泊或溪流所形成的持續性低流量。它是河流總流量的重要組成部分，尤其在枯水期。
【答案】基流（Base flow）是指地下水或深層滲流水緩慢流入河道、湖泊或溪流，在無直接降雨補給下所形成的持續性低流量。

(4) Aquitard
弱透水層（Aquitard）是一種含水介質，其水力傳導度介於含水層（Aquifer）和隔水層（Aquitard）之間，因此能夠緩慢地傳導或儲存地下水，但其透水性不足以被視為經濟的地下水水源。
【答案】弱透水層（Aquitard）是一種含水介質，其水力傳導度較含水層低，但高於隔水層，因此能緩慢地傳導或儲存地下水，但不足以作為經濟的地下水水源。

(5) Specific yield
穩定出水量（Specific yield, $S_y$）是指在重力作用下，從飽和多孔介質中排出的水量與介質總體積之比。它代表了可從含水層中實際抽取的地下水量。

核心觀念

本題使用 Horton 入滲公式描述降雨期間的入滲率：

$$f(t)=f_c+(f_0-f_c)e^{-kt}$$

其中：

• $f(t)$：降雨開始後第 $t$ 小時之入滲率，單位為 $\mathrm{mm/hr}$
• $f_0$：初始入滲率
• $f_c$：最終入滲率
• $k$：入滲曲線衰減係數

又因為其他損失忽略不計，所以：

$$\text{總降雨量}=\text{直接逕流深}+\text{總入滲量}$$

先由直接逕流體積換算成逕流深，即可求得此次降雨的總入滲量，再利用 Horton 入滲曲線反推 $f_0$。

解題方法

1. 將直接逕流體積換算為逕流深

集水面積為：

$$A=40\ \mathrm{km^2}=40\times 10^6\ \mathrm{m^2}$$

直接逕流體積為：

$$V_R=99.44\times 10^5 =9.944\times 10^6\ \mathrm{m^3}$$

因此直接逕流深為：

$$R_e=\frac{V_R}{A} =\frac{9.944\times 10^6}{40\times 10^6} =0.2486\ \mathrm{m}$$

換算成毫米：

$$R_e=248.6\ \mathrm{mm}$$

2. 求此次降雨的總入滲量

總雨量為 $300\ \mathrm{mm}$，故總入滲量為：

$$F_{11}=300-248.6=51.4\ \mathrm{mm}$$

此處下標 $11$ 表示降雨持續 $11$ 小時。

3. 由 11 小時總入滲量反求初始入滲率

對 Horton 入滲率積分：

$$F(t)=\int_0^t f(\tau)\,d\tau$$

因此：

$$F(t) =f_ct+\frac{f_0-f_c}{k}\left(1-e^{-kt}\right)$$

代入：

$$F_{11}=51.4\ \mathrm{mm}$$ $$f_c=0.27\ \mathrm{mm/hr},\qquad k=0.15\ \mathrm{hr^{-1}},\qquad t=11\ \mathrm{hr}$$

得：

$$51.4 =0.27(11) +\frac{f_0-0.27}{0.15} \left(1-e^{-0.15(11)}\right)$$ $$51.4 =2.97+\frac{f_0-0.27}{0.15} \left(1-e^{-1.65}\right)$$

由 $e^{-1.65}\approx 0.19205$：

核心觀念

本題分為兩部分：

1. 使用合理化公式推估小集水區的尖峰逕流量。
2. 使用曼寧公式，配合矩形排水道的濕周條件，反求底寬與洪峰水深。

合理化公式為

$$Q_p=CiA$$

其中：

• $Q_p$：尖峰流量；
• $C$：逕流係數；
• $i$：降雨強度；
• $A$：集水區面積。

合理化公式適用於降雨延時大於或等於集流時間的情況，此時整個集水區均能對出口產生逕流貢獻。

矩形排水道的濕周與過水斷面積分別為

$$P=b+2y$$ $$A_c=by$$

曼寧公式為

$$Q=\frac{1}{n}A_cR^{2/3}S^{1/2}$$

其中水力半徑

$$R=\frac{A_c}{P}$$

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解題方法一：合理化公式推估尖峰流量

已知：

$$C=0.6$$ $$A=1\ {\rm km^2}=1,000,000\ {\rm m^2}$$ $$i=1\ {\rm mm/min}$$

將降雨強度換算為 SI 單位：

$$i=\frac{0.001\ {\rm m}}{60\ {\rm s}} =1.6667\times10^{-5}\ {\rm m/s}$$

降雨延時為 $30$ 分鐘，集流時間為 $20$ 分鐘，因此

$$30>20$$

降雨延時大於集流時間，可以直接使用合理化公式計算尖峰流量：

$$Q_p=CiA$$ $$Q_p=(0.6)(1.6667\times10^{-5})(1,000,000)$$ $$\boxed{Q_p=10.0\ {\rm m^3/s}}$$

因此設計排水道時，洪峰流量應採用

$$Q=10.0\ {\rm cms}$$

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解題方法二：以曼寧公式設計矩形排水道

已知：

$$n=0.019,\qquad S=0.04,\qquad P=5\ {\rm m}$$

由濕周條件：

$$b+2y=5$$

因此

$$b=5-2y$$

矩形過水斷面積為

$$A_c=by$$

又因為濕周固定為 $5$ m，所以水力半徑為

$$R=\frac{A_c}{P}=\frac{A_c}{5}$$

代入曼寧公式：

$$10=\frac{1}{0.019}A_c \left(\frac{A_c}{5}\right)^{2/3}(0.04)^{1/2}$$

由

$$(0.04)^{1/2}=0.2$$

可得

$$10=\frac{0.2}{0.019}A_c \left(\frac{A_c}{5}\right)^{2/3}$$

整理後：

$$A_c^{5/3} = \frac{10(0.019)5^{2/3}}{0.2}$$

因此

核心觀念

本題考查含均勻地下水補注之非受壓地下水流，採用杜布假設（Dupuit assumption）與達西定律。

令左側為 $x=0$、右側為 $x=L$，地下水位分別為

$h(0)=h_0,\qquad h(L)=h_L$

取單位寬度，且 $q$ 為向右的水平流量。杜布假設下，流線近似水平，因此達西定律為

$$q=-Kh\frac{dh}{dx} =-\frac{K}{2}\frac{d(h^2)}{dx}$$

均勻補注量為 $w$，由連續方程可得

$\frac{dq}{dx}=w$

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解題方法與推導

對寬度為 $dx$ 的地下水流柱，補注量為 $w\,dx$，因此

$q(x+dx)-q(x)=w\,dx$

整理得

$\frac{dq}{dx}=w$

積分一次：

$q(x)=C+wx$

其中 $C$ 為積分常數。

代入杜布流公式：

$-\frac{K}{2}\frac{d(h^2)}{dx}=C+wx$

由 $x=0$ 積分至任意位置 $x$：

$$h^2(x)-h_0^2 =-\frac{2}{K}\int_0^x(C+w\xi)\,d\xi$$

因此

$$h^2(x) =h_0^2-\frac{2C}{K}x-\frac{w}{K}x^2$$

再利用右側邊界條件 $h(L)=h_L$：

$$h_L^2 =h_0^2-\frac{2CL}{K}-\frac{wL^2}{K}$$

解出 $C$：