111 年 國立中央大學土木工程學系碩士班戊：水資源組《水文學》

本題為名詞解釋題，共十個名詞，每個名詞 4 分，總計 40 分。此題旨在測試考生對於水文學基本名詞的理解程度。

(1) Ranking Curve:
Ranking Curve (排序曲線) 是一種用於統計分析水文資料的方法，特別是用於預測未來事件的發生機率。它將觀測到的水文事件（如洪水流量、降雨量等）依其大小進行排序，並給予一個「排序值」(rank)。通常，最大值對應排序值 1，次大值對應排序值 2，依此類推。接著，利用這些排序值來估計事件發生的機率（通常使用 Weibull 公式或其他經驗公式），進而繪製出 Ranking Curve。這條曲線可以幫助我們了解特定大小事件發生的頻率，並用於設計流量的選取。

(2) Hydraulic Conductivity:
Hydraulic Conductivity (水力傳導度)，符號為 $K$，是衡量多孔介質（如土壤、岩石）傳導地下水能力的指標。它定義為在單位水力坡度下，單位時間內通過單位面積的水量。其單位通常為公尺/秒 (m/s) 或公尺/天 (m/d)。水力傳導度的大小取決於介質的孔隙度、孔隙大小和連通性，以及水的性質（如黏滯性）。它是一個重要的參數，用於地下水流模擬、抽水試驗分析等。

(3) Darcy' s Law:
Darcy' s Law (達西定律) 是描述飽和多孔介質中單向穩定流動的定律。它指出，在單位時間內通過多孔介質的滲流速度（或流量密度）與水力坡度成正比，與介質的滲透係數 (Permeability) 成正比。數學表達式為 $v = -K \frac{dh}{dl}$，其中 $v$ 為滲流速度，$K$ 為水力傳導度，$\frac{dh}{dl}$ 為水力坡度（水頭變化量與流動距離的比值）。此定律是地下水文學的基礎。

(4) Permanent Wilting Point:
Permanent Wilting Point (永久枯萎點)，簡稱 PWP，是指土壤中水分含量降低到某一程度時，植物無法從土壤中吸取足夠的水分來維持其生理活動，即使提高空氣濕度，植物葉片的水勢也不會恢復，呈現永久性萎蔫的狀態。這個水分含量值是植物生長的重要極限之一，低於此值，植物將無法存活。它與土壤的質地和結構有關，通常以土壤含水量百分比表示。

(5) Safe yield:
Safe yield (安全出水量) 是指在考慮生態需求、環境影響以及長期可持續性的前提下，從一個水資源系統（如地下水含水層、河流）中，在正常年份和極端乾旱年份都能夠持續、穩定地取用的最大水量。它強調的是水資源的永續利用，避免過度抽取導致地下水位下降、地盤沉降、海水入侵或對生態環境造成不可逆的損害。

(6) Dupuit Assumption:
Dupuit Assumption (杜布假設) 是在分析地下水流，特別是穩定流問題時，所做的一組簡化假設。主要包括：
(a) 流動方向大致為水平方向，垂直分量可忽略。
(b) 滲流速度與水力坡度成正比，且水力坡度近似等於含水層底面至實際水位的坡度。
(c) 等位線 (equipotential lines) 垂直於流線 (streamlines)。
這些假設在處理自由含水層的滲流問題時，簡化了數學分析，並導出了著名的 Dupuit-Forchheimer 方程式。

核心觀念

本題要求由設計洪峰流量反算矩形河道的設計水深，再據此決定護岸高度。主要使用曼寧公式：

$$Q=\frac{1}{n}AR^{2/3}S^{1/2}$$

其中：

• $Q$：洪峰流量，單位為 $\text{m}^3/\text{s}$（cms）
• $n$：曼寧粗糙係數
• $A$：通水斷面積
• $R$：水力半徑，$R=A/P$
• $S$：河床坡度
• $P$：濕周

矩形斷面寬度為 $b$、水深為 $y$ 時：

$$A=by$$ $$P=b+2y$$ $$R=\frac{by}{b+2y}$$

護岸高度至少應能容納設計洪峰流量所對應的水深；若工程規範另有規定，還須在水深上加設自由高。

解題方法

已知：

$$b=12\ \text{m}$$ $$Q=350\ \text{m}^3/\text{s}$$ $$n=0.035$$ $$S=15\%=0.15$$

設設計洪水水深為 $y$ 公尺。

矩形斷面的通水面積為：

$$A=12y$$

濕周為：

$$P=12+2y$$

因此水力半徑為：

$$R=\frac{12y}{12+2y}$$

代入曼寧公式：

$$350 = \frac{1}{0.035} (12y) \left(\frac{12y}{12+2y}\right)^{2/3} (0.15)^{1/2}$$

整理數值：

$$350 = 132.79y \left(\frac{12y}{12+2y}\right)^{2/3}$$

此方程式無法直接代數解出 $y$，可用試算法或數值法求解。

取 $y=2.00$ 公尺：

$$A=12(2)=24\ \text{m}^2$$ $$P=12+2(2)=16\ \text{m}$$ $$R=\frac{24}{16}=1.50\ \text{m}$$

代入曼寧公式：

$$Q = \frac{1}{0.035} (24) (1.50)^{2/3} (0.15)^{1/2}$$ $$Q\approx347.9\ \text{m}^3/\text{s}$$

此流量略小於設計流量 $350\ \text{m}^3/\text{s}$，因此水深須略增加。

取 $y=2.01$ 公尺：

核心觀念

本題利用暴雨所形成的「直接逕流體積」估計：

1. 集水區總超滲降雨深度；
2. 集水區的 $\phi$ index。

基本關係如下：

$$P_e=P-F$$

其中：

• $P_e$：總超滲降雨深度；
• $P$：總降雨深度；
• $F$：總入滲深度。

$\phi$ index 定義為：使降雨強度扣除固定入滲率後，所得總降雨超額體積等於直接逕流體積的入滲率。

本題兩場降雨連續發生，每場歷時 $4$ 小時，因此總降雨歷時為：

$$T=8\ \text{hr}$$

總降雨深度為：

$$P=4.2+3.1=7.3\ \text{cm}$$

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解題方法：分離基流並積分直接逕流

觀測流量中包含基流與暴雨直接逕流：

$$Q=Q_b+Q_d$$

其中 $Q_b$ 為基流，$Q_d$ 為直接逕流流量。

由流量歷線可取：

• 降雨開始前之基流點：$t=0$ hr，$Q_b=7.5\ \text{m}^3/\text{s}$；
• 逕流退水完成點：$t=66$ hr，$Q_b=6.5\ \text{m}^3/\text{s}$。

以直線連接兩點估計基流：

$$Q_b(t)=7.5-\frac{7.5-6.5}{66}t$$

因此：

$$Q_b(t)=7.5-\frac{t}{66}$$

各觀測時刻的直接逕流流量為：

$t$（hr）	$Q$（m³/s）	$Q_b$（m³/s）	$Q_d=Q-Q_b$（m³/s）
0	7.5	7.500	0.000
6	15.0	7.409	7.591
12	30.0	7.318	22.682
18	26.0	7.227	18.773
24	18.0	7.136	10.864
30	14.0	7.045	6.955
36	11.0	6.955	4.045
42	8.5	6.864	1.636
48	7.5	6.773	0.727
54	7.5	6.682	0.818
60	7.0	6.591	0.409
66	6.5	6.500	0.000

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直接逕流體積

觀測間隔為 $6$ 小時，採矩形法：

$$\Delta t=6\times3600=21600\ \text{s}$$

由 $t=0$ 至 $t=60$ hr 的直接逕流流量總和為：

核心觀念

本題為水平不透水底面上的一維穩態非拘限（自由）含水層，左、右兩側水體分別維持水深 $h_0$ 與 $h_L$。圖示中 $h_0>h_L$，地下水由 $x=0$ 流向 $x=L$。

杜布假設包括：

1. 地下水流線近似水平，垂直水力梯度可忽略。
2. 垂直剖面上的水力梯度可用水面坡度表示：
   $i\approx-\frac{dh}{dx}$
3. 飽和流通面積為 $A=Bh$，其中 $B$ 為垂直紙面方向的含水層寬度。

因此，地下水的流動可由達西定律推導。

杜布方程式推導

取流向為 $x$ 軸正方向，水力傳導係數 $K$ 為常數。依杜布假設，某一剖面上的水平平均流速為

$v_x=-K\frac{dh}{dx}$

剖面流量為

$Q=Bhv_x=-KBh\frac{dh}{dx}$

若以單位寬度流量 $q=Q/B$ 表示，則

$q=-Kh\frac{dh}{dx}$

本題為穩態且無地下水補注，因此流量沿 $x$ 方向保持不變：

$\frac{dq}{dx}=0$

故杜布方程式的微分形式為

$\frac{d}{dx}\left(Kh\frac{dh}{dx}\right)=0$

當 $K$ 為常數時，

$\frac{d}{dx}\left(h\frac{dh}{dx}\right)=0$

由於

$h\frac{dh}{dx}=\frac{1}{2}\frac{d(h^2)}{dx}$

所以也可寫成

$\frac{d^2(h^2)}{dx^2}=0$

由

$q=-Kh\frac{dh}{dx}$

分離變數並由 $x=0$ 積分至任意位置 $x$：

$$\int_{h_0}^{h(x)}h\,dh =-\frac{q}{K}\int_0^x dx$$

得到

$$\frac{h(x)^2-h_0^2}{2} =-\frac{q}{K}x$$

因此

$h(x)^2=h_0^2-\frac{2q}{K}x$

在 $x=L$ 處，$h(L)=h_L$，故