111 年 國立中央大學土木工程學系碩士班己：運輸工程組在職生《經濟學》

本題主要在考驗消費者理論中的基本概念，包括邊際代替率 (MRS)、邊際效用遞減法則，以及無異曲線的形狀。

核心觀念：

1. 邊際代替率 (Marginal Rate of Substitution, MRS)：衡量在維持相同效用水平下，消費者願意放棄多少單位 of good Y 來換取額外一單位 of good X。其數學表達式為 $MRS_{XY} = -\frac{dY}{dX} \Big|_{U=\text{constant}} = \frac{MU_X}{MU_Y}$。
2. 邊際效用遞減法則 (Law of Diminishing Marginal Utility)：隨著消費者消費某財貨的數量增加，該財貨所能提供的額外效用（邊際效用）會逐漸減少。
3. 無異曲線 (Indifference Curve)：代表消費者在相同效用水平下，兩種財貨組合的軌跡。凸向原點的無異曲線表示邊際代替率遞減。

解題過程：

給定效用函數 $U = \frac{1}{4}X^2Y^2$。

(1) 試求對應於此一效用函數的邊際代替率。

首先，我們需要計算對 X 和 Y 的邊際效用 (Marginal Utility)。
對 X 的邊際效用 $MU_X = \frac{\partial U}{\partial X} = \frac{\partial}{\partial X} \left( \frac{1}{4}X^2Y^2 \right) = \frac{1}{4}(2X)Y^2 = \frac{1}{2}XY^2$。
對 Y 的邊際效用 $MU_Y = \frac{\partial U}{\partial Y} = \frac{\partial}{\partial Y} \left( \frac{1}{4}X^2Y^2 \right) = \frac{1}{4}X^2(2Y) = \frac{1}{2}X^2Y$。

邊際代替率 $MRS_{XY}$ 為 $MU_X$ 與 $MU_Y$ 的比值：

本題主要在考驗交叉彈性 (Cross Elasticity of Demand) 的概念與應用。

核心觀念：

1. 交叉彈性 (Cross Elasticity of Demand, $E_{XY}$)：衡量一種財貨 (Y) 的需求量變動百分比，對另一種相關財貨 (X) 價格變動百分比的反應程度。
   $E_{XY} = \frac{\% \Delta Q_Y}{\% \Delta P_X}$
   其中，$\% \Delta Q_Y$ 是財貨 Y 的需求量變動百分比，$\% \Delta P_X$ 是財貨 X 的價格變動百分比。
   • 若 $E_{XY} > 0$，表示 X 和 Y 是替代品（互補品）。
   • 若 $E_{XY} < 0$，表示 X 和 Y 是互補品（替代品）。
   • 若 $E_{XY} = 0$，表示 X 和 Y 是獨立品。

題目中提到公車 (X) 和私家汽車 (Y) 的交叉彈性值為 0.2，這表示它們是替代品。

解題過程：

已知交叉彈性 $E_{XY} = 0.2$。
已知目前公車票價 $P_X = 15$ 元。

(1) 若公車票價改成 5 元時，則可使私家汽車的使用量減少百分之幾？

首先，計算公車票價的變動百分比：
$\% \Delta P_X = \frac{\text{新價格} - \text{舊價格}}{\text{舊價格}} \times 100\% = \frac{5 - 15}{15} \times 100\% = \frac{-10}{15} \times 100\% = -\frac{2}{3} \times 100\% \approx -66.67\%$。

本題考驗企業的成本理論，特別是多廠廠商的總成本與邊際成本的計算。

核心觀念：

1. 總成本 (Total Cost, TC)：廠商生產一定數量產品的總花費，包括固定成本 (Fixed Cost, FC) 和變動成本 (Variable Cost, VC)。$TC = FC + VC$。
2. 邊際成本 (Marginal Cost, MC)：生產額外一單位產品所增加的總成本。$MC = \frac{dTC}{dQ}$。
3. 多廠廠商的總成本：當一家公司擁有兩個或多個生產設施（工廠）時，其總成本是所有工廠的總成本之和。

解題過程：

已知兩工廠的短期總成本函數：
工廠 A：$TCA = 3Q_A + 4$
工廠 B：$TCB = 4Q_B + 2$

其中，$Q_A$ 是工廠 A 的產量，$Q_B$ 是工廠 B 的產量。

(1) 該公司之短期總成本函數 TC。

公司的總產量 $Q$ 是由兩個工廠的產量加總而來，即 $Q = Q_A + Q_B$。
公司的總成本 $TC$ 是兩個工廠總成本的加總：
$TC = TCA + TCB$
$TC = (3Q_A + 4) + (4Q_B + 2)$
$TC = 3Q_A + 4Q_B + 6$。

然而，這是一個以 $Q_A$ 和 $Q_B$ 為變數的總成本函數。在經濟學中，我們通常希望將總成本函數表示為總產量 $Q$ 的函數。但在此題的短期分析中，由於兩個工廠的產量可能不完全相同，且題目沒有提供 $Q_A$ 和 $Q_B$ 與總產量 $Q$ 之間的關係（例如，假設兩個工廠的產量是根據某種規則分配的，或是假設兩者產量相等），因此，若題目是要表示為 $Q_A$ 和 $Q_B$ 的函數，則 $TC = 3Q_A + 4Q_B + 6$ 是正確的。

本題考驗產業組織理論中的領導者-追隨者模型 (Leader-Follower Model)，也稱為史坦伯格模型 (Stackelberg Model)。在此模型中，一家優勢廠商 (領導者，X 公司) 制定價格或產量，而其他廠商 (追隨者，小廠) 則根據領導者的決策來決定自己的產量。

核心觀念：

1. 追隨者廠商的供給函數：在價格領導模型中，追隨者廠商在給定的市場價格下，會根據其邊際成本等於價格的原則來決定其產量，以最大化利潤。
2. 領導者廠商面對的需求函數：領導者廠商知道追隨者廠商的反應函數，因此可以預測在任何給定價格下，追隨者總共會生產多少。領導者面對的需求是市場總需求減去追隨者廠商的總供給。
3. 領導者廠商的最優決策：領導者廠商在其面對的需求函數下，會尋找使其利潤最大化的價格和產量。這通常涉及其邊際收益等於其邊際成本。
4. 市場均衡：由領導者設定的價格和產量，以及追隨者根據該價格決定的產量，共同構成市場的均衡。

解題過程：

市場需求函數：$Q = 200 - P$
小廠 i 的邊際成本：$MC_i = q_i$, $i=1,2,3,4$
X 公司 (領導者) 的邊際成本：$MCA = 2$

(1) 若令 $\sum_{i=1}^{4} q_i = q_B$，試求出不同市場價格下 4 家小廠商之供給函數。

對於每個小廠 i，其利潤最大化條件是在其邊際成本等於市場價格 P 時決定產量 $q_i$。
$MC_i = P$
$q_i = P$

由於有 4 家相同的小廠，它們的供給函數相同。因此，每個小廠的供給函數都是 $q_i = P$。
這表示，在任何給定的市場價格 P 下，每個小廠都會生產 P 單位的鋼鐵。

小廠的總供給 $q_B$ 是 4 家小廠供給的總和：
$q_B = \sum_{i=1}^{4} q_i = q_1 + q_2 + q_3 + q_4$
由於 $q_i = P$ 對所有 i 都成立，
$q_B = P + P + P + P = 4P$。

所以，4 家小廠商的總供給函數（或稱為追隨者廠商的總供給函數）為 $q_B = 4P$。

【答案】4 家小廠商的供給函數為 $q_i = P$。它們的總供給函數為 $q_B = 4P$。

(2) 根據定義，市場總需求為 $Q = q_A + q_B$，試求 X 公司所面對之市場需求 $q_A = q_A(P)$？

市場總需求函數為 $Q = 200 - P$。
市場總產量 $Q$ 是領導者 X 公司產量 $q_A$ 和追隨者廠商總產量 $q_B$ 的加總：$Q = q_A + q_B$。
我們已經從 (1) 知道追隨者廠商的總供給函數為 $q_B = 4P$。

X 公司所面對的市場需求，是市場總需求減去追隨者廠商所提供的總產量。
$q_A = Q - q_B$
將市場總需求 $Q = 200 - P$ 和追隨者總供給 $q_B = 4P$ 代入：
$q_A = (200 - P) - 4P$
$q_A = 200 - 5P$。

這就是 X 公司所面對的需求函數，表示在任一價格 P 下，扣除小廠的產量後，X 公司還能銷售多少。

本題考驗總體經濟學中關於物價穩定 (Price Stability) 的討論，尤其是在貨幣政策之外，還有哪些因素會影響物價水平。

核心觀念：
物價穩定是總體經濟學的目標之一，通常由中央銀行透過貨幣政策來達成。然而，物價水平也會受到供給面因素、財政政策、以及其他結構性因素的影響。

解題過程：

穩定物價通常是指通貨膨脹率保持在一個較低且穩定的水平。中央銀行主要透過貨幣政策工具（如調整利率、公開市場操作、存款準備率）來影響貨幣供給，進而影響總需求，最終影響物價。

除了貨幣供給（總需求面因素）之外，還有許多其他因素會影響物價：

1. 供給面衝擊 (Supply Shocks)：

   • 能源價格變動：原油、天然氣等能源價格的劇烈波動會直接影響生產成本，進而影響許多商品的價格，並可能引發整體物價的上升（如 1970 年代的石油危機）。
   • 農產品價格變動：惡劣天氣、病蟲害等因素可能導致農產品歉收，推升食品價格，進而影響消費者物價指數 (CPI)。
   • 勞動市場狀況：勞動生產率的變化、工資的快速上漲（若未伴隨生產力提升）也可能增加企業的生產成本，進而轉嫁至商品價格。
   • 供應鏈問題：全球性或區域性的供應鏈中斷（如疫情期間的港口壅塞、晶片短缺）會導致商品供給不足，推升價格。

2. 財政政策 (Fiscal Policy)：

   • 政府支出：過度的政府支出，特別是若未透過稅收來支應，會增加總需求，若經濟體已接近充分就業，可能導致需求拉動型通貨膨脹。
   • 稅收政策：減稅政策可能增加民間可支配所得，刺激消費，增加總需求。