108 年 國立中央大學土木工程學系碩士班己：運輸工程組一般生《經濟學》

本題考驗動態市場模型下的均衡分析，包含時間序列供需模型的均衡價格計算，以及價格調整過程的收斂速度分析。

(1) 毛豬市場的最終均衡價格

在一個動態模型中，第 $t$ 期的供給取決於第 $t-1$ 期的價格，而第 $t$ 期的需求則取決於第 $t$ 期的價格。最終均衡是指市場價格不再變動，也就是說，當期價格等於前一時期的價格，且供給等於需求。

令最終均衡價格為 $P^*$。此時，市場處於穩定狀態，即 $P_t = P_{t-1} = P^*$。
將此代入供給與需求函數，並令供給等於需求：
$Q_d^t = 90 - 2P^*$
$Q_s^t = 60 + P^*$

在均衡時，$Q_d^t = Q_s^t$：
$90 - 2P^* = 60 + P^*$
$90 - 60 = P^* + 2P^*$
$30 = 3P^*$
$P^* = \frac{30}{3} = 10$

因此，毛豬市場的最終均衡價格為 10 元。

(2) 市場價格與均衡價格差距的收斂速度

我們需要分析價格如何從初始價格 $P_0 = 8$ 元收斂至均衡價格 $P^* = 10$ 元。
第 $t$ 期的價格 $P_t$ 將由第 $t$ 期的需求與第 $t$ 期的供給所決定。
第 $t$ 期的需求為 $Q_d^t = 90 - 2P_t$。
第 $t$ 期的供給為 $Q_s^t = 60 + P_{t-1}$。

在第 $t$ 期，市場會達到一個暫時的均衡，使得該期的需求等於該期的供給。然而，這裡的供給是基於前一期的價格。這個描述方式有點特殊，通常動態模型會假設當期價格由當期供需決定，而下一期價格受影響。這裡的敘述是「第 $t$ 期的供給函數為 $Q_s^t = 60 + P_{t-1}$」，這意味著當期的供給量是由前一期的價格決定的。而第 $t$ 期的需求函數為 $Q_d^t = 90 - 2P_t$，這意味著當期的需求量是由當期的價格決定的。

如果我們假設市場在每一期都能達到一個「即期均衡」，則在第 $t$ 期，會是第 $t$ 期的需求量等於第 $t$ 期的供給量。然而，題目給定的供給函數 $Q_s^t = 60 + P_{t-1}$ 卻是依賴於前一期的價格。這表示我們不能直接令 $Q_d^t = Q_s^t$ 來求解 $P_t$。

更常見的動態模型設定是：

1. 第 $t$ 期的需求：$Q_d^t = D(P_t)$
2. 第 $t$ 期的供給：$Q_s^t = S(P_{t-1})$
3. 市場調整：在每一期，當期的價格 $P_t$ 會調整到使得當期的需求量等於當期的供給量。

按照這個邏輯，在第 $t$ 期，我們有：
$Q_d^t = 90 - 2P_t$
$Q_s^t = 60 + P_{t-1}$

在第 $t$ 期，市場會調整價格 $P_t$ 以使 $Q_d^t = Q_s^t$。
所以，$90 - 2P_t = 60 + P_{t-1}$。
解出 $P_t$：
$2P_t = 90 - 60 - P_{t-1}$
$2P_t = 30 - P_{t-1}$
$P_t = 15 - \frac{1}{2}P_{t-1}$

這是一個價格調整的遞迴關係式。
我們知道初始價格 $P_0 = 8$。
我們可以計算前幾期的價格：
$P_1 = 15 - \frac{1}{2}P_0 = 15 - \frac{1}{2}(8) = 15 - 4 = 11$
$P_2 = 15 - \frac{1}{2}P_1 = 15 - \frac{1}{2}(11) = 15 - 5.5 = 9.5$
$P_3 = 15 - \frac{1}{2}P_2 = 15 - \frac{1}{2}(9.5) = 15 - 4.75 = 10.25$

本題考驗供給彈性的計算與證明。供給彈性衡量價格變動 1% 時，供給量變動的百分比。

核心觀念： 點彈性公式。對於供給函數 $Q_s = f(P)$，點供給彈性 $E_s$ 為：
$E_s = \frac{dQ_s}{dP} \times \frac{P}{Q_s}$

(1) 供給函數為 $Q_s = bP^2$ 的供給彈性值

首先，計算供給函數對價格的一階導數：
$\frac{dQ_s}{dP} = \frac{d(bP^2)}{dP} = 2bP$

接著，將 $\frac{dQ_s}{dP}$、$P$ 和 $Q_s$ 代入點彈性公式：
$E_s = (2bP) \times \frac{P}{bP^2}$
$E_s = \frac{2bP^2}{bP^2}$
$E_s = 2$

這裡的供給彈性值為 2。這表示當價格上漲 1% 時，供給量會增加 2%。由於 $b>0$ 且價格 $P$ 通常為正，所以供給彈性是正的。

【答案】供給彈性值為 2。

(2) 證明若 $Q_s = a + bP$ 且 $a>0, b>0$，則供給彈性值小於 1

首先，計算供給函數對價格的一階導數：
$\frac{dQ_s}{dP} = \frac{d(a + bP)}{dP} = b$

接著，將 $\frac{dQ_s}{dP}$、$P$ 和 $Q_s$ 代入點彈性公式：
$E_s = b \times \frac{P}{Q_s}$
$E_s = b \times \frac{P}{a + bP}$
$E_s = \frac{bP}{a + bP}$

本題考驗廠商在有兩個生產據點（工廠）時，如何進行產量分配以達成總成本最小化，進而導出整個公司的總成本函數與邊際成本函數。

核心觀念： 成本最小化原則。當一個公司有多個生產單位（如工廠）時，為了最小化總生產成本，必須讓每個生產單位的邊際成本相等。

(1) 該公司之短期總成本函數 $TC$

公司總產量 $Q = Q_A + Q_B$。
為了最小化總成本，公司應該在兩個工廠之間分配產量，使得兩個工廠的邊際成本相等。

首先，計算各工廠的邊際成本 (MC)。邊際成本是總成本對該工廠產量的一階導數。
工廠 A 的邊際成本 $MC_A = \frac{dTC_A}{dQ_A} = \frac{d(Q_A^2 + 10)}{dQ_A} = 2Q_A$。
工廠 B 的邊際成本 $MC_B = \frac{dTC_B}{dQ_B} = \frac{d(Q_B^2 + 5)}{dQ_B} = 2Q_B$。

為了達到總成本最小化，必須滿足 $MC_A = MC_B$：
$2Q_A = 2Q_B$
$Q_A = Q_B$

由於總產量 $Q = Q_A + Q_B$，且 $Q_A = Q_B$，我們可以推導出：
$Q = Q_A + Q_A = 2Q_A \implies Q_A = \frac{Q}{2}$
$Q = Q_B + Q_B = 2Q_B \implies Q_B = \frac{Q}{2}$

現在，我們將 $Q_A = \frac{Q}{2}$ 和 $Q_B = \frac{Q}{2}$ 代入各工廠的總成本函數，以得到以總產量 $Q$ 表示的總成本。
$TC_A = (\frac{Q}{2})^2 + 10 = \frac{Q^2}{4} + 10$
$TC_B = (\frac{Q}{2})^2 + 5 = \frac{Q^2}{4} + 5$

本題考驗雙占市場模型下的產量競爭（Cournot 模型）以及聯合利潤最大化問題。產業假設為齊質雙占，意即只有兩家廠商，且產品是同質的。

核心觀念：

• Cournot 模型： 廠商同時決定產量，並假設對手的產量固定。
• 利潤函數： 利潤等於總收益減總成本。
• 反應函數： 一家廠商在給定對手產量下的最適產量函數。
• 均衡： 兩家廠商的反應函數交點，此時雙方產量均為最佳，且對方的產量假設成立。
• 聯合利潤最大化： 兩家廠商合作，將整個市場視為一個獨占者來決定總產量，以最大化兩家廠商的總利潤。

已知條件：

• 市場需求函數：$P = 96 - Q$ (注意：原題為 $P = 96 - P$，此處應為 $P = 96 - Q$，假設 $Q = Q_A + Q_B$ 為總產量。若題目確實為 $P = 96 - P$，則 $2P = 96 \implies P=48$，此時價格固定，廠商僅需考慮成本，這與後續的產量競爭不符，故推測為筆誤。)
• 廠商 A 的總成本：$TC_A = 0$
• 廠商 B 的總成本：$TC_B = 0$

(1) Cournot 均衡狀況下，個別廠商之最適產量 $(Q_A^*, Q_B^*)$ 與利潤 $(\pi_A^*, \pi_B^*)$

步驟 1：建立廠商的利潤函數
廠商 A 的總收益 $TR_A = P \times Q_A = (96 - (Q_A + Q_B)) Q_A = 96Q_A - Q_A^2 - Q_A Q_B$。
廠商 A 的利潤 $\pi_A = TR_A - TC_A = (96Q_A - Q_A^2 - Q_A Q_B) - 0 = 96Q_A - Q_A^2 - Q_A Q_B$。

廠商 B 的總收益 $TR_B = P \times Q_B = (96 - (Q_A + Q_B)) Q_B = 96Q_B - Q_B^2 - Q_A Q_B$。
廠商 B 的利潤 $\pi_B = TR_B - TC_B = (96Q_B - Q_B^2 - Q_A Q_B) - 0 = 96Q_B - Q_B^2 - Q_A Q_B$。

步驟 2：推導廠商的反應函數
廠商 A 為了最大化其利潤 $\pi_A$，會假設廠商 B 的產量 $Q_B$ 固定，然後對 $Q_A$ 求偏導數並令其為零。
$\frac{\partial \pi_A}{\partial Q_A} = 96 - 2Q_A - Q_B = 0$
$2Q_A = 96 - Q_B$
$Q_A = 48 - \frac{1}{2}Q_B$ (這是廠商 A 的反應函數)

同理，廠商 B 為了最大化其利潤 $\pi_B$，會假設廠商 A 的產量 $Q_A$ 固定，然後對 $Q_B$ 求偏導數並令其為零。
$\frac{\partial \pi_B}{\partial Q_B} = 96 - 2Q_B - Q_A = 0$
$2Q_B = 96 - Q_A$
$Q_B = 48 - \frac{1}{2}Q_A$ (這是廠商 B 的反應函數)

步驟 3：求解 Cournot 均衡產量
將廠商 B 的反應函數代入廠商 A 的反應函數（或反之）：
$Q_A = 48 - \frac{1}{2}(48 - \frac{1}{2}Q_A)$
$Q_A = 48 - 24 + \frac{1}{4}Q_A$
$Q_A = 24 + \frac{1}{4}Q_A$
$Q_A - \frac{1}{4}Q_A = 24$
$\frac{3}{4}Q_A = 24$
$Q_A = 24 \times \frac{4}{3} = 32$

將 $Q_A = 32$ 代入廠商 B 的反應函數：
$Q_B = 48 - \frac{1}{2}(32) = 48 - 16 = 32$

所以，Cournot 均衡狀況下，個別廠商的最適產量為 $Q_A^* = 32$ 且 $Q_B^* = 32$。

本題考驗對國際貿易中保護主義措施的理解。保護貿易措施是指一國政府為了保護國內產業免受國外競爭的衝擊，而對進口商品或服務採取的一些限制性措施。

核心觀念： 保護貿易措施的種類與目的。

以下列出一般國家採取的常見保護貿易措施：

1. 關稅 (Tariffs)：

   • 定義： 在進口商品進入國內市場時，由政府對其徵收的稅費。
   • 種類：
     • 從價關稅 (Ad valorem Tariff)： 按商品價格的一定比例徵收。例如，進口價的 10%。
     • 從量關稅 (Specific Tariff)： 按進口商品的數量（重量、體積、個數等）徵收固定金額。例如，每公斤徵收 5 元。
     • 複合關稅 (Compound Tariff)： 同時採用從價關稅和從量關稅。
   • 目的： 增加進口商品的價格，使其國內售價高於競爭對手，從而減少進口；同時也是政府的財政收入來源。

2. 非關稅壁壘 (Non-Tariff Barriers, NTBs)：

   • 定義： 指除關稅以外，所有對國際貿易產生限制作用的措施。
   • 常見種類：
     • 進口配額 (Import Quotas)： 政府規定在一定時期內允許進口的某種商品的數量上限。一旦達到配額，進口就會停止。
     • 進口許可證制度 (Import Licensing)： 政府要求進口商在進口特定商品前必須獲得政府頒發的許可證。這可以作為限制進口數量的間接手段，或用於統計和監管。
     • 政府採購的優惠政策 (Preferential Treatment for Government Procurement)： 政府在採購商品或服務時，優先考慮國內產品，或對國內產品給予價格優惠，從而限制外國產品的進入。