108 年 國立中央大學土木工程學系碩士班己：運輸工程組一般生《統計學》

本題主要在考察統計學中常見的抽樣方法，包含其定義、優缺點。

統計抽樣方法主要可分為兩大類：機率抽樣 (Probability Sampling) 與非機率抽樣 (Non-probability Sampling)。

一、 機率抽樣 (Probability Sampling)

機率抽樣是指母體中的每一個元素都有一個已知的、非零的機率被抽到樣本中。這類抽樣方法能讓樣本具有代表性，並且可以進行統計推論。

1. 簡單隨機抽樣 (Simple Random Sampling, SRS)

   • 內容： 從母體中抽取樣本，使得母體中的每一個元素都有相同的機會被抽到，且每一個可能的樣本組合也有相同的機率被選出。抽取方式例如：抽籤、亂數表、亂數產生器。
   • 優點：
     • 最簡單、最直觀的機率抽樣方法。
     • 樣本的代表性較高，最不容易產生系統性偏差 (systematic bias)。
     • 統計推論的理論基礎最紮實。
   • 缺點：
     • 當母體很大時，需要完整的母體名冊，執行上可能困難且耗時。
     • 可能抽到代表性不足的樣本，尤其在小樣本情況下。
     • 對於分散在廣大區域的母體，執行成本較高。

2. 系統抽樣 (Systematic Sampling)

   • 內容： 從母體中抽取樣本時，先決定一個抽樣間距 $k$，然後隨機選取第一個樣本，之後每隔 $k$ 個元素抽取一個。抽樣間距 $k$ 通常計算為母體大小 $N$ 除以樣本大小 $n$ ($k = N/n$)。
   • 優點：
     • 執行相對簡單，不需要完整的母體名冊（只需要一個起始點）。
     • 當母體元素有某種週期性排列時，如果抽樣間距與週期不相關，則抽樣結果仍可視為隨機抽樣。
     • 通常比簡單隨機抽樣更均勻地覆蓋母體。
   • 缺點：
     • 如果母體元素有週期性排列，且抽樣間距與週期恰巧吻合，則會產生嚴重的偏差。
     • 一旦選定第一個樣本，後續樣本的選擇就固定了，不完全是隨機的。

3. 分層抽樣 (Stratified Sampling)

   • 內容： 將母體分成若干個互斥的子群體（稱為層，strata），這些子群體在某個關鍵變數上具有同質性。然後，從每一個層中獨立地進行簡單隨機抽樣或系統抽樣。分層抽樣又可分為比例分層抽樣 (Proportional Stratified Sampling) 和非比例分層抽樣 (Disproportional Stratified Sampling)。
   • 優點：
     • 能確保各個重要子群體在樣本中都有足夠的代表性，特別是當母體異質性較高時。
     • 相較於同樣本大小的簡單隨機抽樣，通常能獲得更精確的估計（標準誤較小）。
     • 可以針對不同層進行不同的抽樣設計。
   • 缺點：
     • 需要事先了解母體的結構，並將母體劃分成層，這可能需要額外的資訊和工作。
     • 劃分層的標準選擇很重要，如果劃分不當，效果可能不如預期。
     • 計算估計量和標準誤時，比簡單隨機抽樣複雜。

本題考驗計算母體平均數的信賴區間。由於母體標準差未知，且樣本數 $n=81$ 較大，可使用 $t$ 分配或近似使用 $z$ 分配來計算。在此我們使用 $t$ 分配，因為它更為嚴謹。

核心觀念： 當母體標準差未知時，利用樣本統計量建構母體參數的信賴區間。

已知資訊：

• 樣本大小 $n = 81$
• 樣本平均數 $\bar{x} = 80$
• 樣本標準差 $s = 18$
• 信賴水準 (Confidence Level) $= 95\% = 0.95$

步驟：

1. 計算標準誤 (Standard Error, SE)：
   樣本平均數的標準誤為：
   $SE = \frac{s}{\sqrt{n}}$
   $SE = \frac{18}{\sqrt{81}} = \frac{18}{9} = 2$

2. 尋找臨界值 (Critical Value)：
   由於母體標準差未知，我們使用 $t$ 分配。自由度 (degrees of freedom, df) 為 $n-1$。
   $df = n - 1 = 81 - 1 = 80$
   信賴水準為 $95\%$，表示 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。

核心觀念

本題考查：

• 單一母體平均數的假設檢定
• 母體服從常態分配
• 母體變異數未知，使用單一樣本 $t$ 檢定
• 右尾檢定
• 假設檢定中「不拒絕虛無假設」不等於證明虛無假設為真

業者宣稱平均重量不超過 $78$ 公克，即

$$\mu \leq 78$$

其中 $\mu$ 表示此款玩具的母體平均重量。

由於樣本數 $n=10$ 且母體標準差未知，應使用統計量

$$t=\frac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt n}$$

其自由度為

$$df=n-1=9$$

---

解題方法

1. 建立假設

本題要檢定業者的宣傳是否有被樣本資料推翻。

虛無假設代表業者宣稱成立：

$$H_0:\mu\leq 78$$

對立假設代表平均重量超過 $78$ 公克，因此宣傳不成立：

$$H_1:\mu>78$$

這是右尾檢定。計算檢定統計量時，使用虛無假設的邊界值 $\mu_0=78$。

---

2. 計算檢定統計量

已知

$$\bar X=80,\qquad S=4,\qquad n=10$$

因此

$$t=\frac{80-78}{4/\sqrt{10}}$$

整理得

$$t=\frac{2\sqrt{10}}{4} =\frac{\sqrt{10}}{2} \approx 1.581$$

其自由度為 $9$。

---

3. 決定拒絕域

顯著水準為

$$\alpha=0.05$$

右尾檢定、自由度 $9$ 時，臨界值為

$$t_{0.05,9}=1.833$$

因此拒絕域為

$$t>1.833$$

本題檢定統計量為

$$1.581<1.833$$

核心觀念

本題考一元線性迴歸模型：

$$Y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\varepsilon_i,\qquad i=1,\ldots,n$$

其中：

• $\beta_0$：截距
• $\beta_1$：迴歸斜率
• $\varepsilon_i$：隨機誤差
• $n=10$

以最小平方法估計迴歸係數：

$$\hat{\beta}_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}, \qquad \hat{\beta}_0=\bar y-\hat{\beta}_1\bar x$$

變異分解為：

$$SST=SSR+SSE$$

其中：

• $SST$：總平方和
• $SSR$：迴歸平方和
• $SSE$：誤差平方和

迴歸平方和與誤差平方和的平均平方分別為：

$$MSR=\frac{SSR}{1},\qquad MSE=\frac{SSE}{n-2}$$

---

解題方法

令行駛速度為 $x$，煞車後滑行距離為 $y$，建立模型：

$$\hat y=\hat\beta_0+\hat\beta_1x$$

先計算必要統計量：

$$\sum x_i=590,\qquad \sum y_i=40.3$$ $$\bar x=\frac{590}{10}=59,\qquad \bar y=\frac{40.3}{10}=4.03$$

另外：

$$\sum x_i^2=38500,\qquad \sum x_iy_i=2649,\qquad \sum y_i^2=183.61$$

（1）估計線性迴歸方程式

計算 $S_{xx}$：

$$S_{xx}=\sum x_i^2-\frac{(\sum x_i)^2}{n}$$ $$S_{xx}=38500-\frac{590^2}{10} =38500-34810=3690$$

計算 $S_{xy}$：

$$S_{xy}=\sum x_iy_i-\frac{(\sum x_i)(\sum y_i)}{n}$$ $$S_{xy}=2649-\frac{590(40.3)}{10} =2649-2377.7=271.3$$

因此斜率估計值為：

$$\hat\beta_1=\frac{271.3}{3690} =0.073523$$

截距估計值為：

$$\hat\beta_0=\bar y-\hat\beta_1\bar x$$ $$\hat\beta_0 =4.03-(0.073523)(59) =-0.3079$$

所以估計迴歸方程式為：

$$\boxed{\hat y=-0.3079+0.07352x}$$

本題考驗對統計學與大數據分析之間關聯性的理解。大數據分析借重了許多傳統統計學的概念與方法，並在此基礎上發展出更複雜、更有效率的技術。

核心觀念： 統計學是許多大數據分析方法的理論基礎，兩者在數據處理、模式識別、預測等方面有高度的重疊。

與大數據分析相關的統計技術：

1. 描述性統計 (Descriptive Statistics)：

   • 內容： 這是統計學的基礎，用於整理、摘要和呈現數據的特徵。包括集中趨勢（平均數、中位數、眾數）、離散程度（標準差、變異數、四分位距）、頻率分佈、繪製圖表（直方圖、盒鬚圖、散佈圖）等。
   • 在大數據中的應用： 雖然大數據的規模龐大，但描述性統計仍然是理解數據的第一步。對於海量數據，可能需要使用抽樣、分群匯總或近似計算的方法來快速獲得數據的概貌。例如，快速了解用戶的平均消費金額、產品的銷售熱點、網站流量的趨勢等。

2. 推論性統計 (Inferential Statistics)：

   • 內容： 利用樣本數據來推斷母體參數的性質。包括假設檢定、信賴區間估計、迴歸分析、變異數分析等。
   • 在大數據中的應用：
     • 假設檢定： 用於在不確定性下做出決策，例如 A/B 測試（比較兩種網站設計的轉換率）、判斷某行銷活動是否有效。
     • 迴歸分析 (Regression Analysis)： 預測一個變數與一個或多個變數之間的關係。在大數據中，線性迴歸、邏輯迴歸（用於分類）、多項式迴歸等被廣泛用於預測模型，如房價預測、股票價格預測、客戶流失預測。
     • 變異數分析 (ANOVA)： 比較多個群體的平均數是否存在差異，可用於評估不同行銷策略、產品版本對使用者行為的影響。

3. 多變量分析 (Multivariate Analysis)：

   • 內容： 研究同時處理多個變數之間關係的統計方法。包括：
     • 主成分分析 (Principal Component Analysis, PCA)： 降維技術，將高維數據壓縮到較低維度，同時保留大部分變異。
     • 因子分析 (Factor Analysis)： 識別數據背後潛在的因子。
     • 集群分析 (Cluster Analysis)： 將數據點分組，使同一組內的數據點相似，不同組間的數據點差異大。
     • 判別分析 (Discriminant Analysis)： 建立模型來區分不同的群體。
     • 對應分析 (Correspondence Analysis)： 分析類別變數之間的關聯性。
   • 在大數據中的應用：
     • PCA： 用於處理高維數據，如圖像識別、基因數據分析，減少計算複雜度。
     • 集群分析： 用於用戶分群（客戶細分）、異常檢測（識別與大多數數據點不同的點）、推薦系統（將相似用戶分組）。
     • 判別分析： 用於分類問題，如垃圾郵件過濾、疾病診斷。

4. 機率模型與隨機過程 (Probability Models and Stochastic Processes)：

   • 內容： 建立數學模型來描述隨機現象的機率分佈和演變。