108 年 國立中央大學土木工程學系碩士班己：運輸工程組一般生《運輸工程》

本題主要在測試運輸工程領域的基礎名詞解釋能力。

(1) ABS (Anti-lock Braking System)：
ABS 是一種汽車安全系統，旨在防止車輛在緊急煞車時車輪鎖死。當車輪鎖死時，車輛會失去轉向能力且煞車距離可能增加。ABS 透過感測輪速，在偵測到車輪有鎖死趨勢時，會快速地自動釋放並重新施加煞車力道，使車輪保持滾動，從而維持車輛的操控性並縮短煞車距離。

(2) common carriers：
Common carriers 指的是提供公共運輸服務的運輸業者，其服務對象為一般大眾，且必須對所有客戶提供公平、非歧視性的服務。例如，航空公司、鐵路公司、巴士公司、貨運公司等，若其營運模式符合 common carrier 的定義，則必須向所有願意支付費用的乘客或貨主提供運輸服務，不得任意拒絕。

(3) capacity：
Capacity 在運輸工程中有多種含義，最常見的是指道路或設施的服務能力。

• 道路容量 (Road Capacity)：指在特定條件下，一條道路能夠在一段時間內安全、順暢地通過的最大交通量。通常以每小時每車道通過的車輛數 (veh/hr/lane) 表示。

本題主要在測試學生對基本交通流模型（Greenshields 模型）的理解，以及如何從速度-密度關係式推導出容量與阻塞密度。

給定的速度-密度關係式為：
$u = 110 \left( 1 - \frac{k}{142} \right)$
這是一個線性關係，其中 $u$ 是車流速率 (km/h)，$k$ 是交通密度 (veh/km)。
$u_{max} = 110$ km/h 是自由流速率 (當 $k=0$ 時)。
$k_{jam} = 142$ veh/km 是阻塞密度 (當 $u=0$ 時)。

(1) 此一路段之容量 ($q_{max}$)：
交通流量 ($q$) 的定義為 $q = u \times k$。
將速度-密度關係式代入流量公式：
$q(k) = u \times k = 110 \left( 1 - \frac{k}{142} \right) \times k$
$q(k) = 110k - \frac{110}{142} k^2$
容量 ($q_{max}$) 是指在某個密度值下，流量達到最大值。這可以透過對流量函數 $q(k)$ 求導，並令其等於零來找到最大值點。
$\frac{dq}{dk} = 110 - \frac{110}{142} \times 2k$
令 $\frac{dq}{dk} = 0$：
$110 - \frac{220}{142} k = 0$
$\frac{220}{142} k = 110$
$k = 110 \times \frac{142}{220} = \frac{142}{2} = 71 \text{ veh/km}$
這個密度值 $k = 71$ veh/km 就是產生最大流量的密度。
將此密度值代回流量函數 $q(k)$ 中，即可得到最大容量 $q_{max}$：
$q_{max} = 110 \times 71 - \frac{110}{142} (71)^2$

核心觀念

號誌黃燈時間必須同時滿足兩項需求：

1. 停車需求：車輛看到黃燈後，經過反應時間，再以舒適減速度煞停。
2. 通過需求：已進入路口或無法安全停車的車輛，必須在黃燈結束前通過整個路口，且車尾離開路口。

因此，黃燈時間應取兩者中的較大值。

設車速為 $v$（$\text{m/s}$），則：

• 車長：$L=4.5\text{ m}$
• 路口寬：$W=20\text{ m}$
• 舒適減速度：$a=4.6\text{ m/s}^2$
• 反應時間：$t_r=1.0\text{ s}$

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解題方法

一、停車所需的黃燈時間

車輛反應時間內仍以原速行駛，之後才開始煞車。

煞車所需時間為

$$t_b=\frac{v}{a}$$

若採用均勻減速度煞停，煞車階段的平均速度為 $v/2$，因此煞車距離為

$$d_b=\frac{v^2}{2a}$$

黃燈時間的停車限制為反應時間加上煞車時間：

$$Y_s=t_r+\frac{v}{2a}$$

代入數值：

$$Y_s=1.0+\frac{v}{2(4.6)}$$ $$Y_s=1.0+\frac{v}{9.2}$$

此式隨車速 $v$ 增加而增加。

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二、通過路口所需的黃燈時間

車輛必須使車尾通過路口，因此通過距離為

$$W+L=20+4.5=24.5\text{ m}$$

以速度 $v$ 通過所需時間為

$$Y_c=\frac{W+L}{v}$$

因此：

$$Y_c=\frac{24.5}{v}$$

此式隨車速 $v$ 增加而減少。

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三、求使黃燈時間最小的車速

實際所需黃燈時間為

$$Y=\max\left(Y_s,Y_c\right)$$

因為 $Y_s$ 隨 $v$ 增加，$Y_c$ 隨 $v$ 減少，所以兩條限制曲線交會時，最大值最小。令兩者相等：

核心觀念

本題屬於大眾運輸規劃與營運管理中的車隊規模（Fleet Size）指派與班次容量計算。核心評估流程包含三個層次：

1. 運量需求推估（Demand Estimation）：由總活動人潮與接駁運具之運具分擔率（Modal Split），求得特定尖峰時段內的接駁公車總搭乘需求人次，進而轉換為尖峰小時（或單位時間）需運送的乘客率（passengers/hr）。
2. 所需發車頻率與班次數（Frequency / Capacity Requirement）：考量單車額定載客容量（Capacity），推算單位時間內所需發車班次數（Frequency, $f$）或發車間距（Headway, $h$）。
3. 車隊規模計算（Fleet Size Requirement）：根據公車往返一趟所需的巡迴時間（Round-Trip Time, $T$），由公式決定維持此服務頻率所需配置的線上營運車輛數（Fleet Size, $N$）：
   $N = f \times T = \frac{T}{h}$
   其中，$f$ 為發車頻率（班次／單位時間），$T$ 為巡迴時間（單位時間／班次），$h = \frac{1}{f}$ 為發車間距。

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解題方法與詳細步驟

(1) 計算第一種情境下所需租用的公車數量

1. 計算接駁總人次與尖峰小時需求：

   • 2 小時高峰期內湧入會場的總人數為 $50{,}000$ 人。
   • 經評估有 $80\%$ 由捷運站轉乘免費接駁公車進場，故 2 小時內的總接駁人次為：
     $D_{\text{total}} = 50{,}000 \times 80\% = 40{,}000 \text{ 人次}$
   • 平均每小時（或 60 分鐘內）之運送需求人次為：
     $D_{\text{hourly}} = \frac{40{,}000}{2} = 20{,}000 \text{ 人次/小時}$

2. 計算每小時所需開行的接駁班次數（$f_1$）：

   • 每班車容量 $C = 40$ 人。
   • 尖峰每小時所需的班次數為：
     $f_1 = \frac{D_{\text{hourly}}}{C} = \frac{20{,}000}{40} = 500 \text{ 班次/小時}$
   • 或換算為平均發車間距 $h_1$：
     $h_1 = \frac{60 \text{ 分鐘}}{500 \text{ 班次}} = 0.12 \text{ 分鐘/班} = 7.2 \text{ 秒/班}$

3. 計算所需車隊規模（$N_1$）：

   • 每輛車之來回巡迴時間 $T_1 = 20 \text{ 分鐘} = \frac{20}{60} \text{ 小時} = \frac{1}{3} \text{ 小時}$。
   • 所需車輛數公式為 $N_1 = f_1 \times T_1$：
     $N_1 = 500 \times \frac{20}{60} = \frac{10{,}000}{60} \approx 166.67 \text{ 輛}$
   • 為完全滿足每小時 $20{,}000$ 人次的載運需求，車輛數不可無條件捨去，必須採無條件進位取整數：

核心觀念
本題同時檢驗兩個安全極限：

1. 側向滑移 (slipping)：當離心力超過路面提供的摩擦力時，車輛會向外滑。必須把所需的側向摩擦力限制在 $\mu$ 之內。
2. 側向翻覆 (overturning)：離心力與道路超高所產生的力矩若使合力的作用線超過車輛外側輪胎的支撐寬度，車身會翻倒。必須保證合力的作用點仍在輪胎寬度的中線內。

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(a) 滑移安全速度

在有超高 $e$（$\tan\theta =e$）的圓形道路上，側向力平衡式為

$\frac{mv^{2}}{R}=W\sin\theta+\mu\,W\cos\theta$

其中 $W=mg$，$\sin\theta\approx e$、$\cos\theta\approx1$（$e=0.04$ 很小）

$\frac{v^{2}}{R}=g\,(e+\mu)$

$\boxed{v_{\text{slip}}=\sqrt{gR\,(e+\mu)}}$

代入數值

$$\begin{aligned} a_{\text{slip}} &= g\,(e+\mu)=9.81\,(0.04+0.25)=2.845\;\text{m/s}^{2}\\[4pt] v_{\text{slip}} &=\sqrt{a_{\text{slip}}R} =\sqrt{2.845\times180}=22.6\;\text{m/s} \end{aligned}$$

換算成 km/h

$v_{\text{slip}}=22.6\;\text{m/s}\times3.6\approx81.5\;\text{km/h}$

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(b) 翻覆安全速度

以車寬 $b=2.3\;\text{m}$、重心高度 $h=1.8\;\text{m}$ 為基礎，翻覆條件是合力矩於外側輪胎不超過支撐寬度的一半。
合力在水平面上的分量：

• 重力的側向分量：$W\sin\theta$（向內側）
• 離心力：$\displaystyle \frac{mv^{2}}{R}=W\frac{v^{2}}{gR}$（向外側）

產生的翻覆力矩（以外側輪為支點）為

本題主要在測試學生對傳統總體運輸規劃方法論的理解，特別是「四步驟法」的內容與目的。

運輸規劃的最終目的是要了解或預測未來人們的出行行為，以便對運輸系統進行規劃、設計與營運。旅行需求預測 (travel demand forecast) 是運輸規劃的核心步驟，而四步驟法 (Four-Step Procedure) 是其中最經典、最常用的總體預測模型。

四步驟法包含以下四個主要步驟：

1. 旅行產生 (Trip Generation)

• 步驟內容： 此步驟旨在預測在特定區域（如一個城市或一個區域）在特定時間內（如一天或一天中的高峰時段）將會產生多少次的出行（Trips）。它分析各種土地利用（如住宅、商業、工業區）和社會經濟因素（如人口、家庭收入、車輛擁有率、就業人數）與出行頻率之間的關係。
• 目的： 確定總體的出行總量。了解有多少出行活動將會發生，為後續步驟提供基礎數據。通常會區分出行目的（如工作、購物、社交、通勤等），因為不同目的的出行行為模式可能不同。

2. 旅行分配 (Trip Distribution)

• 步驟內容： 此步驟將上一步驟預測的總出行量，分配到不同的出行起點（Origin, O）和終點（Destination, D）之間。也就是說，它要預測從區域 A 出發的出行，有多少會前往區域 B，有多少會前往區域 C，以此類推，形成一個起終點（O-D）的出行矩陣。
• 目的： 了解出行在不同區域之間的流向與數量。將總出行量細分到具體的 O-D 組合，為路網選擇步驟提供輸入。常用的模型包括成長因子法 (Growth Factor Models) 或基於引力模型的預測 (Gravity Model)。

3. 路網選擇 (Mode Choice)

• 步驟內容： 此步驟根據預測的出行需求，決定每個 O-D 組合的出行者會選擇哪種交通方式（Mode）出行。