108 年 國立中央大學土木工程學系碩士班丙：大地組《材料力學》

本題考查材料力學的基本名詞定義與概念，需對材料行為有基礎的理解。

(a) Fatigue and creep

• 中文名稱：疲勞與潛變
• 疲勞 (Fatigue)：材料在承受重複性或週期性的應力（低於其靜態降伏強度）作用下，最終發生破壞的現象。這種破壞通常是漸進式的，從微小的裂紋開始，在應力循環中逐漸擴展，直到材料失效。
  • 定義：材料在週期性應力作用下，即使應力水準遠低於其靜態極限強度，也可能導致其壽命終止或失效的現象。
  • 繪圖說明：可以繪製 S-N 曲線（應力 S vs. 循環次數 N），顯示應力降低時，材料可承受的循環次數增加。
• 潛變 (Creep)：材料在承受恆定應力（通常低於降伏強度）作用下，隨時間的推移而發生的緩慢、永久性變形。潛變現象在高温下尤其顯著。
  • 定義：材料在承受持續應力作用下，隨時間的推移而發生的緩慢、永久性應變。
  • 繪圖說明：可以繪製應變 $\epsilon$ vs. 時間 t 的潛變曲線，通常分為初級潛變（應變率遞減）、次級潛變（應變率恆定）和三級潛變（應變率遞增至斷裂）。

(b) Ductile and brittle materials

• 中文名稱：延性材料與脆性材料
• 延性材料 (Ductile materials)：指材料在斷裂前能產生顯著的塑性變形（拉長、變形）的材料。延性材料的斷裂通常發生在較大的應變下，且斷口多呈現纖維狀或剪切斷口。
  • 定義：在斷裂前能承受較大塑性應變的材料。
  • 繪圖說明：應力-應變曲線會顯示明顯的降伏點和延伸段，斷裂前的應變很大。
• 脆性材料 (Brittle materials)：指材料在斷裂前幾乎不產生塑性變形，斷裂發生在較小的應變下，且斷口多呈現平坦、晶粒狀或解理斷口的材料。
  • 定義：在斷裂前僅產生很小塑性應變，或幾乎無塑性應變的材料。
  • 繪圖說明：應力-應變曲線在達到極限強度後迅速斷裂，塑性變形段非常短或不明顯。

核心觀念

本題考查「複合材料梁的彎曲應力」。鋼材與塑膠的彈性模數不同，必須先以「換算截面法」將塑膠換算成等效鋼材，再使用彎曲公式：

$$\sigma_s=\frac{M(y-\bar y)}{I_{\mathrm{eq}}}$$

塑膠與鋼材具有相同曲率，因此：

$$\sigma_p=\frac{E_p}{E_s}\sigma_s$$

取鋼材為基準材料，彈性模數比為

$$n=\frac{E_p}{E_s} =\frac{20}{200}=0.1$$

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解題方法

座標原點取在外部左下角，$y$ 軸向上。彎矩使截面產生繞水平軸的彎曲，故應力大小由 $y$ 座標決定。

1. 換算截面面積與中性軸

鋼材 L 形截面可分為：

• 上方水平鋼板：$200\times20$
• 左側垂直鋼板：$320\times20$
• 左上角重複部分：$20\times20$，需扣除

鋼材面積：

$$A_s=200(20)+320(20)-20(20)=10000\ \text{mm}^2$$

鋼材形心：

$$\bar y_s = \frac{4000(310)+6400(160)-400(310)}{10000} =214\ \text{mm}$$

塑膠矩形面積及形心：

$$A_p=180(300)=54000\ \text{mm}^2$$ $$y_p=150\ \text{mm}$$

換算成等效鋼材後：

$$A_p'=nA_p=0.1(54000)=5400\ \text{mm}^2$$

複合截面的中性軸位置為：

$$\bar y = \frac{A_s\bar y_s+A_p'y_p}{A_s+A_p'}$$ $$\bar y = \frac{10000(214)+5400(150)}{10000+5400} =191.5\ \text{mm}$$

因此，中性軸距離底部為

$$\boxed{\bar y=191.5\ \text{mm}}$$

2. 計算等效鋼材截面慣性矩

依平行軸定理：

$$I_{\mathrm{eq}} = \sum\left(I_c+Ad^2\right)$$

各部分對中性軸的慣性矩如下：

上方鋼板：

$$I_{s1} = \frac{200(20)^3}{12} +4000(310-191.5)^2 =56.27\times10^6\ \text{mm}^4$$

左側鋼板：

$$I_{s2} = \frac{20(320)^3}{12} +6400(160-191.5)^2 =60.96\times10^6\ \text{mm}^4$$

扣除左上角重複部分：

$$I_{s3} = \frac{20(20)^3}{12} +400(310-191.5)^2 =5.63\times10^6\ \text{mm}^4$$

塑膠換算截面：

$$I_p' = n\left[ \frac{180(300)^3}{12} +54000(150-191.5)^2 \right] =421.64\times10^6\ \text{mm}^4$$

所以：

核心觀念

本題使用：

• 靜力平衡求支承反力；
• $dM/dx=V$，由剪力圖得到彎矩圖；
• 彎曲正應力公式
  $\sigma=\frac{My}{I}$
• 梁的彎曲剛度關係
  $M=EI\kappa$
  並由載重—撓度曲線求得 $EI$，再除以截面慣性矩 $I$ 得到材料彈性模數 $E$。

(a) 支承反力、剪力圖與彎矩圖

取 $x=0$ 於 A 點，則各點位置為：

$$A=0,\quad B=1,\quad C=2,\quad D=9,\quad E=10,\quad F=11\ \mathrm{m}$$

支承間距為 $BE=9\ \mathrm{m}$，且兩個集中力各為 $50\ \mathrm{kN}$。

由垂直力平衡：

$$R_B+R_E-50-50=0$$

以 B 點取矩：

$$9R_E-50(1)-50(8)=0$$

因此：

$$R_B=R_E=50\ \mathrm{kN}$$

取向上剪力為正，彎矩以正彎矩（下緣受拉）為正。

剪力分佈為：

$$V(x)= \begin{cases} 0, & A\text{--}B\\ +50, & B\text{--}C\\ 0, & C\text{--}D\\ -50, & D\text{--}E\\ 0, & E\text{--}F \end{cases} \ \mathrm{kN}$$

因此各集中力或支承位置的剪力跳躍為：

• B 點：$0\to +50\ \mathrm{kN}$
• C 點：$+50\to 0\ \mathrm{kN}$
• D 點：$0\to -50\ \mathrm{kN}$
• E 點：$-50\to 0\ \mathrm{kN}$

彎矩由 $dM/dx=V$ 積分得到：

$$M(x)= \begin{cases} 0, & 0\le x\le1\\ 50(x-1), & 1\le x\le2\\ 50, & 2\le x\le9\\ 50(10-x), & 9\le x\le10\\ 0, & 10\le x\le11 \end{cases} \ \mathrm{kN\cdot m}$$

各點彎矩值為：

$$M_A=M_B=0$$ $$M_C=M_D=50\ \mathrm{kN\cdot m}$$ $$M_E=M_F=0$$

所以：

• A–B：剪力為 0，彎矩為 0；
• B–C：剪力為 $+50\ \mathrm{kN}$，彎矩線性增加至 $50\ \mathrm{kN\cdot m}$；
• C–D：剪力為 0，彎矩維持 $50\ \mathrm{kN\cdot m}$；
• D–E：剪力為 $-50\ \mathrm{kN}$，彎矩線性下降至 0；
• E–F：剪力與彎矩皆為 0。

(b) 最大正向應力

最大彎矩為：

$$M_{\max}=50\ \mathrm{kN\cdot m}$$

矩形截面的慣性矩：

$$I=\frac{bh^3}{12} =\frac{(0.35)(0.65)^3}{12} =8.0099\times10^{-3}\ \mathrm{m^4}$$

截面最外緣到中性軸的距離：

$$c=\frac{h}{2}=\frac{0.65}{2}=0.325\ \mathrm{m}$$

截面模數：

$$S=\frac{I}{c} =\frac{bh^2}{6} =2.4646\times10^{-2}\ \mathrm{m^3}$$

最大彎曲正向應力：

核心觀念

本題考查平面應力轉換、主應力、主平面與最大剪應力。由圖三可讀得：

• $x$ 方向正應力：$\sigma_x=50\ \text{MPa}$
• $y$ 方向正應力：$\sigma_y=30\ \text{MPa}$
• 剪應力方向為順時針，因此依材料力學正負號約定：
  $\tau_{xy}=-24\ \text{MPa}$

平面應力轉換公式為

$$\sigma_{x'}= \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} +\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos 2\theta +\tau_{xy}\sin 2\theta$$ $$\sigma_{y'}= \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} -\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos 2\theta -\tau_{xy}\sin 2\theta$$ $$\tau_{x'y'}= -\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin 2\theta +\tau_{xy}\cos 2\theta$$

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(a) 主平面及主應力

平均正應力：

$$\sigma_{\text{avg}} =\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} =\frac{50+30}{2} =40\ \text{MPa}$$

莫耳圓半徑：

$$R= \sqrt{ \left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2 }$$ $$R= \sqrt{10^2+(-24)^2} =\sqrt{676} =26\ \text{MPa}$$

因此主應力為

$$\sigma_1=\sigma_{\text{avg}}+R =40+26 =66\ \text{MPa}$$ $$\sigma_2=\sigma_{\text{avg}}-R =40-26 =14\ \text{MPa}$$

主平面角度由

$$\tan 2\theta_p = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y} = \frac{-48}{20} =-2.4$$

得

$$2\theta_p=-67.38^\circ$$

故

$$\theta_p=-33.69^\circ$$

此時 $x'$ 面上的正應力為最大主應力 $\sigma_1$。另一主平面與其相差 $90^\circ$：

$$\theta_{p2}=56.31^\circ$$

所以：

• $\theta=-33.69^\circ$，即順時針 $33.69^\circ$，對應 $\sigma_1=66\ \text{MPa}$
• $\theta=56.31^\circ$，即逆時針 $56.31^\circ$，對應 $\sigma_2=14\ \text{MPa}$

主平面上剪應力皆為零。

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(b) 最大剪應力及其對應正向應力

最大剪應力為莫耳圓半徑：

$$\tau_{\max}=R=26\ \text{MPa}$$

最大剪應力面與主平面相差 $45^\circ$，因此

$$\theta_s=\theta_p+45^\circ =-33.69^\circ+45^\circ =11.31^\circ$$

故元素逆時針旋轉約 $11.31^\circ$ 時，作用於該面上的剪應力達最大值。依上述正負號約定：

$$\tau_{x'y'}=-26\ \text{MPa}$$

其對應的正向應力為平均正應力：