108 年 國立中央大學土木工程學系碩士班己：運輸工程組在職生《統計學》

本題主要在考察統計學中常見的抽樣方法。抽樣方法是從母體中選取一部分樣本進行觀測，以推論母體特徵的技術。主要可分為機率抽樣與非機率抽樣兩大類。

一、機率抽樣 (Probability Sampling)

機率抽樣是指母體中的每一個元素都有一個已知的、非零的機率被選入樣本。這類抽樣方法確保了樣本的代表性，並能進行統計推論。

1. 簡單隨機抽樣 (Simple Random Sampling, SRS)

   • 內容： 母體中的每一個元素都有相同的機率被選入樣本。抽取樣本時，可以想像將所有母體元素編號，然後透過亂數表或亂數產生器來隨機抽取。
   • 優點：
     • 最簡單、最基礎的機率抽樣方法。
     • 理論基礎穩固，易於進行統計推論。
     • 抽樣誤差容易估計。
   • 缺點：
     • 當母體龐大時，可能難以取得所有元素的完整名冊。
     • 可能無法保證各子群體在樣本中的比例。
     • 抽樣成本可能較高。

2. 系統抽樣 (Systematic Sampling)

   • 內容： 先將母體元素按一定順序排列，然後從第一個元素開始，以固定的間隔（抽樣間距 $k$）抽取樣本。抽樣間距 $k$ 通常等於母體大小 $N$ 除以樣本大小 $n$（$k = N/n$）。
   • 優點：
     • 操作簡便，尤其適用於母體名冊不完整或難以隨機抽取時。
     • 若排序與樣本特徵無關，則與簡單隨機抽樣效果類似。
     • 樣本在母體中分布較為均勻。
   • 缺點：
     • 若排序與某種週期性特徵相關，可能導致樣本偏差。
     • 一旦起始點選定，後續樣本就固定了，缺乏隨機性。

3. 分層抽樣 (Stratified Sampling)

   • 內容： 先將母體依據某種特徵（如年齡、性別、地區）劃分為若干互斥的子群體（層），然後在每一層內進行簡單隨機抽樣或系統抽樣。
   • 優點：
     • 能確保各重要子群體在樣本中都得到適當的代表。
     • 若層內變異小於層間變異，則抽樣誤差較小，估計更精確。
     • 可以對每一層分別進行分析。
   • 缺點：
     • 需要事先了解母體的結構，並對母體進行分層。
     • 分層的劃分需要專業知識。
     • 操作相對複雜。

本題考驗的是點估計與區間估計的概念，特別是當母體標準差未知時，如何利用樣本資料建構信賴區間。

核心觀念：
當母體標準差 $\sigma$ 未知，且樣本數 $n$ 較小時，我們使用樣本標準差 $s$ 來估計母體標準差，此時應使用 $t$ 分配建構信賴區間。然而，題目中給定的樣本數 $n=81$ 相當大，根據中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT)，樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分配近似於常態分配，且當樣本數足夠大（通常 $n \ge 30$）時，即使母體分配未知，我們也可以近似地使用 $z$ 分配來建構信賴區間，或者直接使用 $t$ 分配，此時 $t$ 分配的自由度很高，其值會非常接近 $z$ 值。在此，我們採用較為嚴謹的 $t$ 分配來計算。

已知資訊：

• 樣本大小 $n = 81$
• 樣本平均數 $\bar{x} = 80$
• 樣本標準差 $s = 18$
• 信賴水準 = 95%

步驟：

1. 計算標準誤 (Standard Error, SE)：
   標準誤是樣本平均數抽樣分配的標準差，用來衡量樣本平均數的變異程度。
   $SE = \frac{s}{\sqrt{n}}$
   代入數值：
   $SE = \frac{18}{\sqrt{81}} = \frac{18}{9} = 2$

2. 確定 $t$ 值：
   由於母體標準差未知，我們使用 $t$ 分配。信賴水準為 95% 表示 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。對於雙尾檢定，我們需要找到 $t$ 分配上，使得兩尾機率各為 $\alpha/2 = 0.025$ 的 $t$ 值。
   自由度 (degrees of freedom, df) 為 $n-1 = 81-1 = 80$。
   查 $t$ 分配表或使用統計軟體，尋找自由度為 80，右尾機率為 0.025 的 $t$ 值。

核心觀念

本題考查：

• 單一母體平均數的假設檢定
• 母體服從常態分配
• 母體變異數未知，使用單一樣本 $t$ 檢定
• 右尾檢定
• 假設檢定中「不拒絕虛無假設」不等於證明虛無假設為真

業者宣稱平均重量不超過 $78$ 公克，即

$$\mu \leq 78$$

其中 $\mu$ 表示此款玩具的母體平均重量。

由於樣本數 $n=10$ 且母體標準差未知，應使用統計量

$$t=\frac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt n}$$

其自由度為

$$df=n-1=9$$

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解題方法

1. 建立假設

本題要檢定業者的宣傳是否有被樣本資料推翻。

虛無假設代表業者宣稱成立：

$$H_0:\mu\leq 78$$

對立假設代表平均重量超過 $78$ 公克，因此宣傳不成立：

$$H_1:\mu>78$$

這是右尾檢定。計算檢定統計量時，使用虛無假設的邊界值 $\mu_0=78$。

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2. 計算檢定統計量

已知

$$\bar X=80,\qquad S=4,\qquad n=10$$

因此

$$t=\frac{80-78}{4/\sqrt{10}}$$

整理得

$$t=\frac{2\sqrt{10}}{4} =\frac{\sqrt{10}}{2} \approx 1.581$$

其自由度為 $9$。

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3. 決定拒絕域

顯著水準為

$$\alpha=0.05$$

右尾檢定、自由度 $9$ 時，臨界值為

$$t_{0.05,9}=1.833$$

因此拒絕域為

$$t>1.833$$

本題檢定統計量為

$$1.581<1.833$$

核心觀念

本題考一元線性迴歸模型：

$$Y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\varepsilon_i,\qquad i=1,\ldots,n$$

其中：

• $\beta_0$：截距
• $\beta_1$：迴歸斜率
• $\varepsilon_i$：隨機誤差
• $n=10$

以最小平方法估計迴歸係數：

$$\hat{\beta}_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}, \qquad \hat{\beta}_0=\bar y-\hat{\beta}_1\bar x$$

變異分解為：

$$SST=SSR+SSE$$

其中：

• $SST$：總平方和
• $SSR$：迴歸平方和
• $SSE$：誤差平方和

迴歸平方和與誤差平方和的平均平方分別為：

$$MSR=\frac{SSR}{1},\qquad MSE=\frac{SSE}{n-2}$$

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解題方法

令行駛速度為 $x$，煞車後滑行距離為 $y$，建立模型：

$$\hat y=\hat\beta_0+\hat\beta_1x$$

先計算必要統計量：

$$\sum x_i=590,\qquad \sum y_i=40.3$$ $$\bar x=\frac{590}{10}=59,\qquad \bar y=\frac{40.3}{10}=4.03$$

另外：

$$\sum x_i^2=38500,\qquad \sum x_iy_i=2649,\qquad \sum y_i^2=183.61$$

（1）估計線性迴歸方程式

計算 $S_{xx}$：

$$S_{xx}=\sum x_i^2-\frac{(\sum x_i)^2}{n}$$ $$S_{xx}=38500-\frac{590^2}{10} =38500-34810=3690$$

計算 $S_{xy}$：

$$S_{xy}=\sum x_iy_i-\frac{(\sum x_i)(\sum y_i)}{n}$$ $$S_{xy}=2649-\frac{590(40.3)}{10} =2649-2377.7=271.3$$

因此斜率估計值為：

$$\hat\beta_1=\frac{271.3}{3690} =0.073523$$

截距估計值為：

$$\hat\beta_0=\bar y-\hat\beta_1\bar x$$ $$\hat\beta_0 =4.03-(0.073523)(59) =-0.3079$$

所以估計迴歸方程式為：

$$\boxed{\hat y=-0.3079+0.07352x}$$

本題考查統計學在現今大數據分析領域的應用。大數據分析依賴於強大的統計學理論和方法來處理、分析和解釋海量、多樣化的數據。

核心觀念：
大數據分析涉及從龐大且複雜的數據集中提取有價值資訊的過程。統計技術是其基石，提供了從數據中學習、建模、預測和決策的工具。

與大數據分析相關的統計技術：

1. 機器學習 (Machine Learning, ML)

   • 內容： 機器學習是人工智能的一個分支，它使計算機系統能夠從數據中「學習」並改進其性能，而無需進行顯式編程。它包含監督式學習（如迴歸、分類）、非監督式學習（如聚類、降維）和強化學習。
   • 統計基礎： 許多機器學習演算法都基於統計模型，例如線性迴歸、邏輯迴歸、樸素貝葉斯、支持向量機 (SVM)、決策樹、隨機森林、梯度提升等。這些方法利用概率論、數理統計來構建模型、評估模型性能和進行預測。
   • 應用範圍：
     • 預測分析： 股票市場預測、銷售預測、客戶流失預測。
     • 分類： 垃圾郵件過濾、圖像識別、醫療診斷（例如，判斷腫瘤良惡性）。
     • 推薦系統： 電商平台（Netflix, Amazon）的商品推薦、社交媒體的內容推薦。
     • 異常檢測： 詐欺偵測、網路安全入侵檢測。
     • 自然語言處理 (NLP)： 文本情感分析、機器翻譯、聊天機器人。

2. 數據挖掘 (Data Mining)

   • 內容： 數據挖掘是從大量數據中發現模式、關聯、趨勢和異常的過程。它通常與機器學習和統計學緊密結合。
   • 統計基礎： 關聯規則挖掘（如 Apriori 演算法）、聚類分析（如 K-Means）、分類（如決策樹）等都屬於統計學的範疇。統計檢驗用於評估發現的模式的顯著性。
   • 應用範圍：
     • 市場籃子分析： 發現顧客購買行為中的關聯性（例如，「購買麵包的顧客也常購買牛奶」）。
     • 客戶細分： 將顧客分為不同的群體，以便進行精準行銷。
     • 異常檢測： 識別數據中的異常點。

3. 假設檢定與推論統計 (Hypothesis Testing and Inferential Statistics)

   • 內容： 儘管大數據的規模巨大，但從樣本推論母體的統計原理仍然重要。在進行 A/B 測試、效果評估時，統計檢定（如 $t$-檢定、卡方檢定、ANOVA）用於判斷觀察到的差異是否顯著，還是僅由隨機性造成。
   • 應用範圍：