108 年 國立中央大學土木工程學系碩士班戊：水資源組《水文學》

此題為基本名詞解釋題，旨在考察學生對水文學與地下水學基礎概念的熟悉度。

(1) Hydraulic Conductivity (導水係數)：
導水係數是衡量多孔介質（如土壤或岩石）傳導地下水能力的物理參數。它定義為在單位水力坡降下，單位時間內通過單位面積的水量。其單位通常為長度/時間（例如 m/s 或 ft/day）。它與介質的孔隙度、孔隙大小、連通性以及水的性質（如黏滯係數和密度）有關。

(2) Darcy's Law (達西定律)：
達西定律是描述飽和多孔介質中流體滲流的基本定律。它指出，在均質、等向性介質中，通過某一斷面的流量 $Q$ 與該斷面面積 $A$、水力坡降 $dh/dl$ 成正比，與介質的導水係數 $K$ 成正比。數學表達式為：
$Q = -KA \frac{dh}{dl}$
其中 $dh/dl$ 是水力坡降，負號表示水流方向沿水力坡度減小。

(3) Low Impact Development (LID, 低衝擊開發)：
低衝擊開發是一種都市規劃和開發的設計策略，旨在模仿自然的排水模式，盡量減少開發活動對水文循環的影響。其核心理念是就地、小規模地處理和利用雨水，例如透過透水鋪面、雨水花園、綠屋頂、植草溝等設施，以減少逕流量、延緩尖峰流量、增加雨水滲透、涵養地下水，並改善水質。

(4) Field Capacity (田間持水量)：
田間持水量是指土壤在自由排水一段時間（通常為 2-3 天）後，能夠被植物根系吸收利用且不再因重力作用而流失的水分含量。它是土壤水分含量的一個重要指標，代表土壤能夠儲存的最大可用水分量。

(5) Percolation (滲漏)：
滲漏通常指水分通過土壤或岩石層向下移動的過程。在水文學中，它常指降雨後，土壤表層水分因重力作用向下滲入土壤深層或補充地下水。這個過程與入滲（infiltration）有所區別，入滲是指水分從地表進入土壤的過程，而滲漏是水分在土壤內部向下的移動。

此題考查徐昇氏多邊形法（Thiessen polygons method）的原理、應用與計算步驟。徐昇氏多邊形法是一種將地面觀測站的降雨量資料，透過幾何方法分配給其代表的區域，進而計算集水區平均降雨量的技術。

基本假設：

1. 雨量站代表性： 每個雨量站的降雨量都代表其周圍一個特定區域的平均降雨量。
2. 區域均勻性： 在每個徐昇氏多邊形區域內，降雨強度和空間分佈被認為是均勻的。
3. 站點代表範圍： 每個雨量站的降雨量值，適用於以該站點為中心，以其與鄰近站點連線的中垂線所圍成的多邊形區域。

計算方法與過程：

1. 繪製雨量站點圖： 在集水區地圖上標示出所有雨量站點的位置。
2. 連接相鄰雨量站點： 連接集水區內所有相鄰的雨量站點，形成一系列三角形。
3. 繪製中垂線： 對於連接任兩相鄰雨量站點的直線，繪製其垂直平分線。
4. 確定多邊形邊界： 這些中垂線的交匯點或線段，將集水區劃分為一系列多邊形區域，每一個多邊形只包含一個雨量站點。這些多邊形稱為徐昇氏多邊形。
5. 計算各多邊形面積： 測量或計算出每個徐昇氏多邊形區域的面積 $A_i$。
6. 計算集水區平均降雨量：
   集水區的平均降雨量 $\bar{P}$，是將每個雨量站點的降雨量 $P_i$ 乘以其對應的徐昇氏多邊形面積 $A_i$ 的加權平均值。

核心觀念

Horton 入滲能力公式為

$$f(t)=f_c+(f_0-f_c)e^{-kt}$$

其中 $f(t)$ 是時間 $t$ 的入滲能力。本題 $f_0=65$、$f_c=15$、$k=0.2$，因此

$$f(t)=15+50e^{-0.2t}\quad \text{mm/hr}$$

實際入滲率不能超過降雨強度，也不能超過入滲能力，故為兩者的較小值。把表中降雨量視為各連續一小時時段的降雨深度，則各時段的降雨強度依序為 $70、60、50、40、30、20$ mm/hr。

$\Phi$-index 是一個等效的固定降雨損失率；選定此率後，各時段的降雨超額總量應等於實際逕流總量。

解題方法

先找出各時段降雨強度與 Horton 入滲能力的大小關係，再分段積分求實際入滲量。當降雨強度低於入滲能力時，實際入滲率等於降雨強度；當降雨強度高於入滲能力時，實際入滲率等於入滲能力。

Horton 累積入滲量為

$$F(t)=\int_0^t f(\tau)\,d\tau =15t+250(1-e^{-0.2t})$$

在 $t=3$ 時，$f(3)=42.44$ mm/hr；在 $t=4$ 時，$f(4)=37.47$ mm/hr。因此，$3$ 至 $4$ 小時的降雨強度 $40$ mm/hr 會與入滲能力相交。令交點為 $t_c$：

$$40=15+50e^{-0.2t_c}$$ $$t_c=\frac{\ln 2}{0.2}=3.466\text{ hr}$$

所以 $0$ 至 $3$ 小時、以及 $t_c$ 至 $4$ 小時，實際入滲率採 Horton 公式；$3$ 至 $t_c$ 小時採降雨強度 $40$ mm/hr。$4$ 至 $6$ 小時的降雨強度低於入滲能力，實際入滲量就是降雨量。

(1) 總入滲量

分段計算：

核心觀念

本題考查年最大日降水量的頻率分析，步驟為：

1. 將資料由大到小排序。
2. 以 Weibull 定位法計算各資料的超越機率：
   $p=\frac{m}{n+1}$
3. 使用 Gumbel 極端值分布，將樣本平均值與標準差轉換為指定重現期的降雨量：
   $X_T=\bar X+K_TS$

其中：

• $X_T$：重現期 $T$ 年的日最大降雨量
• $\bar X$：樣本平均降雨量
• $S$：樣本標準差
• $K_T$：Gumbel 頻率因子

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解題方法

資料已由小到大排列，先改為由大到小：

$650,\ 600,\ 550,\ 500,\ 450,\ 400,\ 350,\ 300,\ 250,\ 200$

資料總數為：

$n=10$

各資料的 Weibull 超越機率為：

$p=\frac{m}{11}$

例如最大降雨量 $650$ mm/day 的排序為 $m=1$，因此：

$p=\frac{1}{11}=0.0909$

最小降雨量 $200$ mm/day 的排序為 $m=10$，因此：

$p=\frac{10}{11}=0.9091$

本題的重點是利用這些排序資料進行 Gumbel 頻率分析。首先計算樣本平均值：

$$\bar X =\frac{200+250+\cdots+650}{10} =425\ \text{mm/day}$$

計算樣本標準差。各資料與平均值的差平方和為：

$$\sum (X_i-\bar X)^2 =206250$$

因此樣本標準差為：

$$S=\sqrt{\frac{206250}{10-1}} =\sqrt{22916.67} \approx151.38\ \text{mm/day}$$

對於重現期 $T=30$ 年，Gumbel 的重現期變量為：