108 年 國立中央大學土木工程學系碩士班戊：水資源組《流體力學》

核心觀念

油罐車煞車時，液體在車箱參考系中受到向車頭方向的慣性力，因此液面向前升高。液體達到相對平衡時，可用加速容器中的壓力分布：

$$\frac{\partial p}{\partial x}=\rho a, \qquad \frac{\partial p}{\partial y}=-\rho g$$

自由液面為等壓面，因此

$$\frac{dh}{dx}=\frac{a}{g}.$$

以下取車尾至車頭為 $x$ 正方向，車箱長度 $L=8.0\ \text{m}$，寬度 $b=3.0\ \text{m}$。

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液面高度

煞車造成的液面高程差為

$$\Delta h=h_f-h_r=\frac{aL}{g} =\frac{(2.45)(8.0)}{9.8} =2.0\ \text{m}.$$

油量不變，且原本平均液深為 $h_0=1.0\ \text{m}$，所以

$$\frac{h_f+h_r}{2}=1.0 \quad\Longrightarrow\quad h_f+h_r=2.0.$$

聯立得

$$h_f=2.0\ \text{m}, \qquad h_r=0.$$

本題主要考查白努利方程式的應用，包含主要損失（摩擦損失）與次要損失，並計算水輪機的輸出功率。

核心觀念：

1. 白努利方程式 (Bernoulli's Equation)：用於描述流體在穩定流動中的壓力、速度和位能關係。
2. 水頭損失 (Head Loss)：包含主要損失（管壁摩擦）和次要損失（局部阻力，如閥門、彎頭等）。
3. 達西-白克公式 (Darcy-Weisbach Equation)：計算主要損失。
4. 水輪機功率計算：根據流量、水頭和效率計算機械功率。

解題步驟：

第一部分：計算水輪機發電功率

首先，我們寫出水庫（點 1）到淨水廠（點 2）之間的白努利方程式，考慮到水輪機的存在：
$\frac{p_1}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1 + H_{\text{pump}} = \frac{p_2}{\rho g} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2 + H_{\text{turbine}} + h_L$
其中：

• $p_1, p_2$ 為壓力。
• $v_1, v_2$ 為速度。
• $z_1, z_2$ 為高程。
• $H_{\text{pump}}$ 為加壓水頭（本題無）。
• $H_{\text{turbine}}$ 為水輪機提供的水頭（即水輪機消耗的水頭，我們將其視為發電水頭 $h_t$）。
• $h_L$ 為總水頭損失。

假設水庫和淨水廠的液面壓力均為大氣壓力，且液面速度可忽略（$v_1 \approx 0, v_2 \approx 0$）。
$0 + 0 + z_1 = 0 + 0 + z_2 + h_t + h_L$
$h_t = (z_1 - z_2) - h_L$
其中 $z_1 - z_2$ 是靜水頭差，即水輪機可利用的最大水頭。

我們需要計算總水頭損失 $h_L$。總水頭損失包括主要損失 $h_{f}$ 和次要損失 $h_{m}$。
$h_L = h_{f} + h_{m}$
主要損失可由達西-白克公式計算：
$h_{f} = f \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g}$
其中：

• $f$ 為摩擦因子。
• $L = 5.0 \, \text{km} = 5000 \, \text{m}$ 為管線長度。
• $D = 2.5 \, \text{m}$ 為管徑。
• $v$ 為平均流速。
• $g \approx 9.8 \, \text{m/s}^2$ 為重力加速度。

次要損失為：
$h_{m} = \sum K_L \frac{v^2}{2g} = K_L \frac{v^2}{2g}$
其中 $K_L = 5.0$。

首先計算平均流速 $v$：
流量 $Q = 9.0 \, \text{m}^3/\text{s}$。
管線截面積 $A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (2.5 \, \text{m})^2}{4} = \frac{6.25 \pi}{4} \approx 4.909 \, \text{m}^2$。
$v = \frac{Q}{A} = \frac{9.0 \, \text{m}^3/\text{s}}{4.909 \, \text{m}^2} \approx 1.833 \, \text{m/s}$

接下來計算雷諾數 (Reynolds number) $Re$ 以確定摩擦因子 $f$。
$Re = \frac{\rho v D}{\mu} = \frac{v D}{\nu}$，其中 $\nu$ 為運動黏滯係數。水的運動黏滯係數約為 $1.0 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}$ (在 $20^\circ \text{C}$ 時)。
$Re = \frac{(1.833 \, \text{m/s}) \times (2.5 \, \text{m})}{1.0 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}} \approx 4.58 \times 10^6$
由於 $Re$ 非常大，且題目說管線是光滑管，我們可以使用給定的摩擦因子公式：
$f = \frac{0.317}{\text{Re}^{1/4}}$
$f = \frac{0.317}{(4.58 \times 10^6)^{1/4}}$
計算 $(4.58 \times 10^6)^{1/4} = (4580000)^{1/4} \approx 46.33$。
$f = \frac{0.317}{46.33} \approx 0.00684$

現在計算主要損失 $h_{f}$：
$h_{f} = f \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g} = 0.00684 \times \frac{5000 \, \text{m}}{2.5 \, \text{m}} \times \frac{(1.833 \, \text{m/s})^2}{2 \times 9.8 \, \text{m/s}^2}$
$h_{f} = 0.00684 \times 2000 \times \frac{3.3598}{19.6} \approx 13.68 \times 0.1714 \approx 2.345 \, \text{m}$

計算次要損失 $h_{m}$：
$h_{m} = K_L \frac{v^2}{2g} = 5.0 \times \frac{(1.833 \, \text{m/s})^2}{2 \times 9.8 \, \text{m/s}^2}$
$h_{m} = 5.0 \times 0.1714 \approx 0.857 \, \text{m}$

總水頭損失 $h_L = h_{f} + h_{m} = 2.345 \, \text{m} + 0.857 \, \text{m} = 3.202 \, \text{m}$。

水輪機可利用的水頭差（淨水頭）為：
$h_t = (z_1 - z_2) - h_L = (164 \, \text{m} - 140 \, \text{m}) - 3.202 \, \text{m}$
$h_t = 24 \, \text{m} - 3.202 \, \text{m} = 20.798 \, \text{m}$

水輪機的發電功率（機械功率）為：
$P_{\text{turbine}} = \rho g Q h_t \times \eta_{\text{turbine}}$
題目中提到「水輪機的效率係數為 75%」，這應是指水輪機的效率 $\eta_{\text{turbine}} = 0.75$。
水的密度 $\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$。

核心觀念

本題考查一維非定常流動中的：

1. 連續方程與流速定義
   $u(x,t)=\frac{Q(t)}{A(x)}$

2. 流體質點加速度

$$a=\frac{Du}{Dt} =\frac{\partial u}{\partial t} +u\frac{\partial u}{\partial x}$$

其中：

• $\dfrac{\partial u}{\partial t}$ 為局部加速度；
• $u\dfrac{\partial u}{\partial x}$ 為對流加速度。

3. 水平一維 Euler 方程

$$\rho\left( \frac{\partial u}{\partial t} +u\frac{\partial u}{\partial x} \right) =-\frac{\partial p}{\partial x}$$

由於管道為水平管，重力位能項不影響壓力計算。

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解題方法

管內流量為

$Q(t)=1+t$

管道面積為

$A(x)=3-x$

因此流速場為

$$u(x,t)=\frac{Q(t)}{A(x)} =\frac{1+t}{3-x}$$

先求其偏微分：

$$\frac{\partial u}{\partial t} =\frac{1}{3-x}$$

又因為

$$\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{1+t}{(3-x)^2}$$

所以質點加速度為

$$a(x,t) =\frac{1}{3-x} +\frac{1+t}{3-x} \cdot\frac{1+t}{(3-x)^2}$$

即

$$a(x,t) =\frac{1}{3-x} +\frac{(1+t)^2}{(3-x)^3}$$

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a) 斷面 BB 於 $t=1$ 秒時之加速度

斷面 BB 位於 $x=1$，因此

$A(1)=3-1=2\ \text{m}^2$

$t=1$ 時的流量為

$Q(1)=1+1=2\ \text{m}^3/\text{s}$

BB 斷面的流速為

$$u_B=\frac{Q}{A} =\frac{2}{2}=1\ \text{m/s}$$

局部加速度

$$\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{x=1,t=1} =\frac{1}{3-1} =\frac12\ \text{m/s}^2$$

對流加速度

$$\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=1,t=1} =\frac{1+1}{(3-1)^2} =\frac{2}{4} =\frac12\ \text{s}^{-1}$$

因此

$$\left.u\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=1,t=1} =1\cdot\frac12 =\frac12\ \text{m/s}^2$$

總加速度

本題考查穩態、均勻、層流流動的流體力學問題，屬於典型的「薄膜流」(thin film flow) 或「斜坡上的流動」問題，需要應用納維爾-史托克斯方程式 (Navier-Stokes equations) 或其簡化形式。

核心觀念：

1. 穩態流 (Steady Flow)：流場的物理量不隨時間變化，$\frac{\partial}{\partial t} = 0$。
2. 均勻流 (Uniform Flow)：流場的物理量不隨空間位置變化，$\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial z} = 0$。然而，題目中要求推導 $u(y)$ 和 $p(y)$，這表示速度和壓力可能隨垂直於坡面的方向 $y$ 而變化。我們需要仔細理解「均勻流」在此情境下的含義。通常，在這種斜坡流動問題中，「均勻流」指的是速度和壓力沿著流動方向（坡面方向 $X$）不變。
3. 層流 (Laminar Flow)：流動是平滑的，沒有渦流。
4. 牛頓流體 (Newtonian Fluid)：剪應力與應變率成正比。
5. 納維爾-史托克斯方程式 (Navier-Stokes Equations)：描述黏性流體的運動。
6. 坐標系選擇：選擇合適的坐標系對於簡化方程式至關重要。

坐標系選擇：
我們建立一個坐標系，使得：

• $X$ 軸沿著斜坡方向向下。
• $Y$ 軸垂直於斜坡向上。
• $Z$ 軸垂直於 $X-Y$ 平面，與坡面垂直。

由於是均勻流，速度和壓力沿 $X$ 方向不變，沿 $Z$ 方向也不變。因此，速度向量 $\mathbf{v}$ 和壓力 $p$ 僅是 $y$ 的函數，即 $\mathbf{v} = (u(y), 0, 0)$，且 $p = p(y)$。

納維爾-史托克斯方程式在穩態、均勻流、不可壓縮牛頓流體下的張量形式為：
$\rho (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \rho \mathbf{g}$
其中 $\mu = \rho \nu$ 是動力黏滯係數。

考慮 $X$ 方向的分量：
$\rho (u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z}) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu (\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}) + (\mathbf{g}_x) \rho$
因為是均勻流，沿 $X$ 方向的速度分量 $u$ 不隨 $x$ 變化 ($\frac{\partial u}{\partial x}=0$)，且 $v=w=0$ (速度只有 $X$ 分量)。
$\rho (0 + 0 + 0) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu (0 + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 0) + (\mathbf{g}_x) \rho$
$0 = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \frac{d^2 u}{d y^2} + (\mathbf{g}_x) \rho$
由於是均勻流，$\frac{\partial p}{\partial x} = 0$。
$0 = \mu \frac{d^2 u}{d y^2} + (\mathbf{g}_x) \rho$
$\frac{d^2 u}{d y^2} = -\frac{\rho g_x}{\mu} = -\frac{g_x}{\nu}$
其中 $g_x$ 是重力在 $X$ 方向上的分量。

重力向量 $\mathbf{g}$ 垂直向下。如果斜坡傾角為 $\theta$，則：

• $g_x = g \sin \theta$ (沿 $X$ 方向的分量)
• $g_y = -g \cos \theta$ (沿 $Y$ 方向的分量，注意 $Y$ 軸是向上的)

所以，$X$ 方向的運動方程式為：
$\frac{d^2 u}{d y^2} = -\frac{g \sin \theta}{\nu}$

對上式積分兩次以求解 $u(y)$：
第一次積分：
$\frac{du}{dy} = -\frac{g \sin \theta}{\nu} y + C_1$
第二次積分：