111 年 國立中央大學土木工程學系碩士班戊：水資源組《流體力學》

本題考查穩態、完全發展之圓管層流流況下的流速分佈、平均流速、流量、壓降與雷諾數之間的關係。

核心觀念：

1. 流速分佈與平均流速：給定拋物線型的層流流速分佈，需積分求出平均流速。
2. 流量與壓降關係 (Hagen-Poiseuille 方程式)：由平均流速或直接由流速分佈積分求流量，再連結到壓降。
3. 雷諾數定義：計算平均流速、直徑、密度與黏滯係數，定義雷諾數。
4. 壓降與雷諾數的關係：將上述結果結合，得到 $\Delta P$ 與 $Re$ 的關係式。

解題步驟：

1. 求平均流速 $U_{avg}$

給定的流速分佈為：
$U(r) = \frac{1}{16\mu} \frac{dP}{dx} (D^2 - 4r^2)$
其中，$r$ 是離管中心的徑向距離，$D$ 是管徑。

首先，將管徑 $D$ 改寫為半徑 $R$ ($D=2R$)：
$U(r) = \frac{1}{16\mu} \frac{dP}{dx} ((2R)^2 - 4r^2) = \frac{1}{16\mu} \frac{dP}{dx} (4R^2 - 4r^2) = \frac{4}{16\mu} \frac{dP}{dx} (R^2 - r^2) = \frac{1}{4\mu} \frac{dP}{dx} (R^2 - r^2)$

平均流速 $U_{avg}$ 可以通過對整個圓管斷面上的流速進行積分求得：
$U_{avg} = \frac{1}{A} \int_A U(r) dA$
其中 $A = \pi R^2$ 是圓管的斷面積。
微小面積 $dA$ 可以表示為 $2\pi r dr$。

$U_{avg} = \frac{1}{\pi R^2} \int_0^R U(r) (2\pi r dr)$
$U_{avg} = \frac{2\pi}{\pi R^2} \int_0^R \left( \frac{1}{4\mu} \frac{dP}{dx} (R^2 - r^2) \right) r dr$
$U_{avg} = \frac{2}{R^2} \frac{1}{4\mu} \frac{dP}{dx} \int_0^R (R^2 r - r^3) dr$
$U_{avg} = \frac{1}{2\mu R^2} \frac{dP}{dx} \left[ \frac{R^2 r^2}{2} - \frac{r^4}{4} \right]_0^R$
$U_{avg} = \frac{1}{2\mu R^2} \frac{dP}{dx} \left( \frac{R^4}{2} - \frac{R^4}{4} \right)$
$U_{avg} = \frac{1}{2\mu R^2} \frac{dP}{dx} \left( \frac{R^4}{4} \right)$
$U_{avg} = \frac{1}{8\mu} \frac{dP}{dx} R^2$

將 $R = D/2$ 代入：
$U_{avg} = \frac{1}{8\mu} \frac{dP}{dx} \left(\frac{D}{2}\right)^2 = \frac{1}{32\mu} \frac{dP}{dx} D^2$

2. 求流量 $Q$

流量 $Q$ 等於平均流速乘以斷面積 $A$：
$Q = U_{avg} A = U_{avg} (\pi R^2)$
$Q = \left( \frac{1}{8\mu} \frac{dP}{dx} R^2 \right) (\pi R^2) = \frac{\pi}{8\mu} \frac{dP}{dx} R^4$

將 $R = D/2$ 代入：
$Q = \frac{\pi}{8\mu} \frac{dP}{dx} \left(\frac{D}{2}\right)^4 = \frac{\pi}{8\mu} \frac{dP}{dx} \frac{D^4}{16} = \frac{\pi}{128\mu} \frac{dP}{dx} D^4$

這個結果是著名的 Hagen-Poiseuille 方程式。

3. 建立壓降 $\Delta P$ 與流量 $Q$ 的關係

題目要求的是長度為 $L$ 的水平圓管兩端的壓降 $\Delta P$。對於水平管，壓降 $\Delta P$ 等於壓力梯度乘以長度 $L$：
$\Delta P = -\frac{dP}{dx} L$
注意，壓力梯度 $\frac{dP}{dx}$ 在流動方向上是負的，因為壓力隨流動方向降低。

本題考查明渠流的基本概念，包含曼寧公式計算流量、水力半徑、平均流速，以及福祿數的計算與判斷流況。

核心觀念：

1. 曼寧公式 (Manning's Formula)：用於計算均勻流的流量，需用到水力半徑、坡降、曼寧係數。
2. 幾何參數計算：針對等腰三角形斷面，需根據水深計算斷面積、濕周、水力半徑。
3. 平均流速計算：由流量與斷面積求得。
4. 福祿數 (Froude Number, Fr)：用於判斷明渠流的流況，定義為流速與水深相關的參數。
5. 流況判斷：根據福祿數與 1 的比較，判斷是亞臨界流、臨界流或超臨界流。

解題步驟：

已知條件：

• 斷面形狀：等腰三角形
• 縱向坡降 $S = 0.005$
• 側壁坡度 (水平:垂直) = $4:3$
• 曼寧係數 $n = 0.020$
• 最大排水流量 $Q = 0.06 \text{ m}^3/\text{s}$

設水深為 $h$。

1. 幾何參數計算

對於等腰三角形斷面，當水深為 $h$ 時：

• 頂部寬度 $B$：
  側壁坡度為 4:3 (水平:垂直)，表示當垂直高度為 3 時，水平寬度為 4。
  在此，垂直高度為水深 $h$，則水平寬度為 $(4/3)h$。
  三角形的頂部寬度 $B$ 是這個水平寬度的兩倍（因為是等腰三角形，從中心到底部寬度的一半是 $(4/3)h$）。
  所以，$B = 2 \times \frac{4}{3}h = \frac{8}{3}h$。

• 斷面積 $A$：
  三角形面積公式：$A = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}$。
  在這裡，底是頂部寬度 $B$，高是水深 $h$。
  $A = \frac{1}{2} \times B \times h = \frac{1}{2} \times \left(\frac{8}{3}h\right) \times h = \frac{4}{3}h^2$。

• 濕周 $P$：
  濕周是水流接觸到的渠道內壁的總長度。對於這個三角形斷面，濕周是兩側斜壁的長度。
  每側斜壁的長度可以看作是直角三角形的斜邊，其鉛直邊長為 $h$，水平邊長為 $(4/3)h$。
  斜邊長度 $L_{side} = \sqrt{h^2 + \left(\frac{4}{3}h\right)^2} = \sqrt{h^2 + \frac{16}{9}h^2} = \sqrt{\frac{9+16}{9}h^2} = \sqrt{\frac{25}{9}h^2} = \frac{5}{3}h$。
  由於有兩側，所以濕周 $P = 2 \times L_{side} = 2 \times \frac{5}{3}h = \frac{10}{3}h$。

• 水力半徑 $R_h$：
  $R_h = \frac{A}{P} = \frac{\frac{4}{3}h^2}{\frac{10}{3}h} = \frac{4h^2}{10h} = \frac{2}{5}h = 0.4h$。

2. 計算水深 $h$ (題 (1))

使用曼寧公式計算流量 $Q$：
$Q = \frac{1}{n} A R_h^{2/3} S^{1/2}$
將已知的 $Q$、$n$、$S$ 以及我們推導出的 $A$、$R_h$ 代入：

本題考查兩種類型的渦流：自由渦流和強制渦流，包括它們的速度分佈、渦度分佈以及剪應力分佈。

核心觀念：

1. 自由渦流 (Free Vortex)：流體質點繞一點旋轉，但沒有外部力矩作用於流體本身，通常是保守的旋轉流。
2. 強制渦流 (Forced Vortex)：流體質點繞一點旋轉，且整個流體以相同的角速度運動，類似於剛體旋轉。
3. 速度分佈：描述流體質點的速度如何隨徑向距離變化。
4. 渦度 (Vorticity)：描述流體微團的旋轉程度，定義為速度場的旋度 ($\nabla \times \mathbf{V}$)。
5. 剪應力 (Shear Stress)：在牛頓流體中，剪應力與速度梯度成正比。

解題步驟：

a. 速度與渦度分佈

自由渦流 (Free Vortex)

• 速度分佈：
  自由渦流的特點是角動量守恆。在二維情況下，切向速度 $V_\theta$ 與徑向距離 $r$ 的乘積為常數。
  $r V_\theta = C$
  其中 $C$ 是常數。
  所以，切向速度為：
  $V_\theta(r) = \frac{C}{r}$
  徑向速度 $V_r = 0$。

• 渦度分佈：
  渦度 $\vec{\omega} = \nabla \times \mathbf{V}$。對於二維柱座標下的軸對稱流，只有 $\omega_z$ 分量不為零。
  $\omega_z = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r V_\theta) - \frac{1}{r} \frac{\partial V_r}{\partial \theta}$
  由於 $V_r = 0$ 且 $V_\theta = C/r$，我們有：
  $\omega_z = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(r \frac{C}{r}\right) - 0$
  $\omega_z = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (C) = \frac{1}{r} \times 0 = 0$
  因此，自由渦流是無旋流 (irrotational flow)，其渦度為零。

強制渦流 (Forced Vortex)

• 速度分佈：
  強制渦流的特點是整個流體以一個固定的角速度 $\omega$ 運動，就像剛體在旋轉一樣。
  切向速度 $V_\theta$ 與徑向距離 $r$ 成正比：
  $V_\theta(r) = \omega r$
  其中 $\omega$ 是角速度。
  徑向速度 $V_r = 0$。

• 渦度分佈：
  使用與自由渦流相同的渦度公式：
  $\omega_z = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r V_\theta) - \frac{1}{r} \frac{\partial V_r}{\partial \theta}$
  代入 $V_\theta = \omega r$ 和 $V_r = 0$：
  $\omega_z = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r (\omega r)) - 0$
  $\omega_z = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (\omega r^2)$
  $\omega_z = \frac{1}{r} (\omega \times 2r) = 2\omega$
  因此，強制渦流是一個具有常數渦度的旋轉流。

b. 剪應力分佈

假設流體是牛頓流體，且我們考慮的是二維平面流。剪應力 $\tau$ 與速度梯度成正比，比例係數為動力黏滯係數 $\mu$。
對於柱座標下的軸對稱流，與速度梯度相關的剪應力分量主要是 $\tau_{r\theta}$。
牛頓流體的剪應力張量為：
$\tau_{ij} = \mu \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)$
在柱座標 $(r, \theta, z)$ 下，對於軸對稱流 ($V_r=0, V_\theta(r), V_z=0$)，主要的剪應力分量是 $\tau_{r\theta}$：
$\tau_{r\theta} = \mu \left( r \frac{\partial}{\partial r} \left(\frac{V_\theta}{r}\right) \right)$
或者，另一種常見形式是：
$\tau_{r\theta} = \mu \left( \frac{\partial V_\theta}{\partial r} - \frac{V_\theta}{r} \right)$
讓我們驗證一下這兩種形式是否一致。

核心觀念

裂縫可視為寬度約為鋼柱周長、間隙為 $d$、流動長度為樓地板厚度 $t$ 的平行平板狹縫。題目已給定 $d\ll D$，因此可用平板間層流的 Poiseuille 流公式。

流動方向向下，除了油槽油深 $H$ 所造成的壓力差，油在裂縫中下降 $t$ 也受到重力作用。因此計算驅動力時，須同時考慮壓力差與重力。

解題方法

令 $x$ 為沿裂縫向下的座標，$y$ 為垂直於兩壁的座標，$0\leq y\leq d$。鋼柱周圍可供流動的寬度近似為其周長：

$$b\simeq \pi D$$

裂縫上端位於油面下方 $H$，故上端表壓為 $\rho gH$；裂縫下端通往大氣，表壓為 $0$。若裂縫內為充分發展層流，沿長度 $t$ 的壓力梯度為

$$\frac{dp}{dx}=\frac{0-\rho gH}{t}=-\frac{\rho gH}{t}$$

向下的重力與壓力梯度共同驅動流動。平行平板間的動量方程為

$$\mu\frac{d^2u}{dy^2}=\frac{dp}{dx}-\rho g$$