111 年 國立中央大學土木工程學系碩士班己：運輸工程組一般生《統計學》

本題主要在探討兩種不同的偏好調查方法：敘述性偏好調查 (Stated Preference, SP) 和顯示性偏好調查 (Revealed Preference, RP)。

1. 敘述性偏好調查 (Stated Preference, SP)

• 內容: SP 調查透過設計情境，請受訪者表達在假設情況下的選擇或偏好。常見的方法包括：
  • 選擇實驗 (Choice Experiments): 呈現不同的屬性組合，請受訪者選擇最偏好的選項。
  • 排序 (Ranking): 請受訪者將不同的選項依偏好程度排序。
  • 評分 (Rating): 請受訪者為不同的選項評分。
  • 屬性評估 (Contingent Valuation Method, CVM): 直接詢問受訪者願意支付多少錢來獲得某項產品或服務，或願意接受多少補償來放棄某項產品或服務。
• 優點:
  • 能夠研究市場上尚未出現的產品或服務。
  • 可以系統性地探討各個屬性對決策的影響，並估計其價值。
  • 可以收集到關於「不存在」的產品或服務的偏好資訊。
  • 能直接詢問對非市場財貨（如空氣品質、噪音）的價值評估。
• 缺點:
  • 受訪者可能基於社會期望或策略性回答，導致結果不準確（例如：意願支付的偏高，意願接受的偏低）。
  • 受訪者可能無法準確理解或評估情境，特別是當情境複雜或涉及時間價值時。
  • 設計問卷的難度較高，需要專業知識。
• 使用時機:
  • 當需要評估新產品、新政策或市場上不存在的財貨時。
  • 當需要了解消費者對特定屬性（如價格、品質、品牌）的權衡時。
  • 當需要量化非市場財貨的價值時（如環境保護、公共衛生）。

2. 顯示性偏好調查 (Revealed Preference, RP)

• 內容: RP 調查是透過觀察受訪者在真實市場中的消費行為來推斷其偏好。例如，觀察受訪者在購買商品時的選擇、花費的時間、地點等。
• 優點:
  • 基於真實的消費行為，較不容易受到策略性回答的影響，結果通常被認為更可靠。
  • 數據通常是現成的，不需要額外設計問卷（但需要收集和處理數據）。
  • 能夠反映實際的權衡和約束。
• 缺點:
  • 只能研究市場上已經存在的產品或服務。
  • 難以隔離單一屬性的影響，因為實際消費行為通常是多重因素交互作用的結果。
  • 對於非市場財貨（如空氣品質）較難直接觀察和量化其價值。
  • 數據收集可能面臨困難，例如需要大量交易數據。
• 使用時機:
  • 當研究對象是市場上已存在的產品或服務時。
  • 當需要驗證 SP 調查的結果時。
  • 當有足夠的真實消費行為數據可供分析時。

3. 整合 (Merge) SP 與 RP 調查資料的方法

整合 SP 和 RP 資料的目的是利用兩者各自的優勢，克服單獨使用時的限制，以獲得更全面、更穩健的分析結果。常見的整合做法包括：

核心觀念

柴比雪夫定理指出，對具有有限平均數與標準差的資料，任意 $k>1$，至少有

$$1-\frac{1}{k^2}$$

的觀測值落在平均數左右各 $k$ 個標準差的範圍內。本題取 $k=3$，因此至少有

$$1-\frac{1}{3^2}=\frac{8}{9}$$

的觀測值落在 $\bar{x}\pm3\sigma$ 之內。

解題方法

將題目列出的 12 筆資料視為這組觀測值本身，計算其平均數與標準差。資料總和為

$$15+19+20+20+20+20+21+21+21+21+22+26=246$$

因此平均數為

$$\bar{x}=\frac{246}{12}=20.5$$

各觀測值與平均數之差的平方和為

$$\sum_{i=1}^{12}(x_i-\bar{x})^2=67$$

以這組資料的標準差計算，標準差為

$$\sigma=\sqrt{\frac{67}{12}}\approx2.363$$

所以三個標準差的區間為

本題考驗的是普瓦生分配 (Poisson distribution) 的機率計算。

核心觀念:
普瓦生分配用於描述在一個固定的時間或空間單位內，某事件獨立發生的次數。其機率質量函數 (PMF) 為：
$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$
其中：

• $X$ 是事件發生的次數。
• $\lambda$ 是單位時間或空間內的平均發生次數 (期望值)。
• $e$ 是自然對數的底數 (約 2.71828)。
• $k$ 是我們感興趣的事件發生次數 ($k = 0, 1, 2, ...$)。

題目資訊:

• 研究單位：每公頃麥田。
• 平均地鼠數量 ($\lambda$)：每公頃平均有 10 隻地鼠。
• 問題：計算「每公頃麥田」平均地鼠數量「超過 15 隻」的機率。

解題步驟:

1. 確定參數:

   • 我們關注的是「每公頃」的範圍，題目已給出平均值即為每公頃的平均數。
   • 因此，$\lambda = 10$ (每公頃的平均地鼠數)。
   • 我們要求的是地鼠數量 $X$ 的機率，其中 $X$ 服從 Poisson($\lambda=10$) 分配。

2. 定義事件:

   • 我們要求的是「平均地鼠數量超過 15 隻」的機率。
   • 這表示我們要求 $P(X > 15)$。

3. 計算機率:

   • $P(X > 15)$ 可以寫成 $P(X \ge 16)$。
   • 直接計算 $P(X > 15) = P(X=16) + P(X=17) + P(X=18) + ...$ 是無窮級數，很難直接計算。
   • 通常，我們採用補集的方法來計算：$P(X > 15) = 1 - P(X \le 15)$。
   • $P(X \le 15) = P(X=0) + P(X=1) + ... + P(X=15)$。
   • 這仍然需要計算 16 項機率並加總。

使用工具:
由於 $\lambda=10$ 較大，手動計算 $P(X=k)$ 並加總會非常耗時且容易出錯。通常會使用統計軟體、計算機的機率函數，或查閱 Poisson 分配的累積機率表 (Cumulative Distribution Function, CDF)。

核心觀念

本題考查一元線性迴歸模型。以智力測驗成績 $x$ 預測化學成績 $y$，模型為

$$y=a+bx$$

其中：

• $a$：截距，表示 $x=0$ 時的預測化學成績。
• $b$：迴歸係數，表示智力測驗成績增加 $1$ 分時，化學成績平均改變 $b$ 分。

最小平方法以最小化殘差平方和為原則：

$$\mathrm{SSE}=\sum_{i=1}^{n}(y_i-a-bx_i)^2$$

所得的參數估計值為

$$b=\frac{S_{xy}}{S_{xx}} =\frac{\sum x_i y_i-\dfrac{(\sum x_i)(\sum y_i)}{n}} {\sum x_i^2-\dfrac{(\sum x_i)^2}{n}}$$ $$a=\bar y-b\bar x$$

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解題方法

共有 $n=12$ 位學生。先計算所需總和：

$$\sum x_i=725,\qquad \sum y_i=1011$$ $$\sum x_i^2=44475,\qquad \sum x_i y_i=61685$$

因此，

$$\bar x=\frac{725}{12}=60.4167$$ $$\bar y=\frac{1011}{12}=84.25$$

1. 計算 $S_{xx}$

$$S_{xx} =\sum x_i^2-\frac{(\sum x_i)^2}{n}$$ $$S_{xx} =44475-\frac{725^2}{12} =44475-\frac{525625}{12} =\frac{8075}{12} =672.9167$$

2. 計算 $S_{xy}$

$$S_{xy} =\sum x_i y_i-\frac{(\sum x_i)(\sum y_i)}{n}$$ $$S_{xy} =61685-\frac{725(1011)}{12}$$

本題考驗的是卡方適配度檢定 (Chi-squared Goodness-of-Fit Test)。我們需要檢定觀察到的骰子投擲次數是否與理論上的均一分配 (Uniform distribution) 所期望的次數顯著不同。

核心觀念:
卡方適配度檢定用於判斷一個分類變數的觀察頻率分佈是否與某個理論上的預期頻率分佈 (如均一分配、二項分配、常態分配等) 顯著不同。
檢定的步驟如下：

1. 建立虛無假設 ($H_0$) 與對立假設 ($H_1$)。
2. 計算檢定統計量 ($\chi^2$)。
3. 決定自由度 (degrees of freedom, df)。
4. 決定臨界值或計算 p-value。
5. 根據顯著水準 ($\alpha$) 做出決策：若 $\chi^2$ 計算值大於臨界值，或 p-value 小於 $\alpha$，則拒絕 $H_0$。

題目資訊:

• 總投擲次數 $N = 120$ 次。
• 骰子有 6 個面，服從均一分配，表示每個面出現的機率應為 $p_i = 1/6$ 對於 $i=1, 2, ..., 6$。
• 顯著水準 $\alpha = 0.05$。
• 觀察次數 ($O_i$)：$O_1=20, O_2=22, O_3=17, O_4=18, O_5=19, O_6=24$。
• 期望次數 ($E_i$)：$E_i = N \times p_i = 120 \times (1/6) = 20$ 對於所有 $i$。

步驟 1: 建立假設

• $H_0$: 骰子投擲結果服從均一分配 (即觀察次數與期望次數無顯著差異)。
• $H_1$: 骰子投擲結果不服從均一分配 (即觀察次數與期望次數有顯著差異)。

步驟 2: 計算檢定統計量 $\chi^2$
卡方檢定統計量的公式為：
$\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$
其中 $k$ 是類別的數量 (在此為 6 個骰子面)。

我們計算每一項：

• 面 1: $\frac{(20 - 20)^2}{20} = \frac{0^2}{20} = 0$
• 面 2: $\frac{(22 - 20)^2}{20} = \frac{2^2}{20} = \frac{4}{20} = 0.2$
• 面 3: $\frac{(17 - 20)^2}{20} = \frac{(-3)^2}{20} = \frac{9}{20} = 0.45$
• 面 4: $\frac{(18 - 20)^2}{20} = \frac{(-2)^2}{20} = \frac{4}{20} = 0.2$
• 面 5: $\frac{(19 - 20)^2}{20} = \frac{(-1)^2}{20} = \frac{1}{20} = 0.05$
• 面 6: $\frac{(24 - 20)^2}{20} = \frac{4^2}{20} = \frac{16}{20} = 0.8$