111 年 國立中央大學土木工程學系碩士班己：運輸工程組一般生《經濟學》

核心觀念

本題評量消費者理論中的效用函數分析，涵蓋三個微積分核心概念：

1. 邊際效用（Marginal Utility, $MU$）與邊際替代率（Marginal Rate of Substitution, $MRS$）：
   • 財貨 $X$ 與 $Y$ 的邊際效用定義為效用函數分別對 $X$ 與 $Y$ 的一階偏微分： $$MU_X = \frac{\partial U}{\partial X}, \quad MU_Y = \frac{\partial U}{\partial Y}$$
   • 邊際替代率（$MRS_{XY}$）定義為維持同一效用水平下，消費者為多獲得一單位財貨 $X$ 所願意放棄的財貨 $Y$ 數量，其值等於兩者邊際效用之比： $$MRS_{XY} = -\left.\frac{dY}{dX}\right|_{U=\bar{U}} = \frac{MU_X}{MU_Y}$$
2. 邊際效用遞減法則（Law of Diminishing Marginal Utility）：
   • 當某財貨的消費量增加，其所帶來的邊際效用呈現下降趨勢。
   • 數學條件為邊際效用對自身變數的偏導數（即效用函數的自身二階偏微分）為負： $$\frac{\partial MU_X}{\partial X} = \frac{\partial^2 U}{\partial X^2} < 0, \quad \frac{\partial MU_Y}{\partial Y} = \frac{\partial^2 U}{\partial Y^2} < 0$$
3. 無異曲線凸向原點（Convexity to the origin）：
   • 無異曲線凸向原點等價於「邊際替代率遞減（Diminishing $MRS_{XY}$）」，即沿著同一條無異曲線增加 $X$ 的消費（同時減少 $Y$）時，$MRS_{XY}$ 隨 $X$ 的增加而減少： $$\left.\frac{d MRS_{XY}}{dX}\right|_{U=\bar{U}} < 0$$

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解題方法與詳細推導

(1) 求邊際替代率 $MRS_{XY}$

已知效用函數為：

$$U(X, Y) = \frac{1}{4}X^2 Y^2 \quad (X > 0, Y > 0)$$

1. 計算財貨 $X$ 與財貨 $Y$ 的邊際效用：

   • 對 $X$ 微分： $$MU_X = \frac{\partial U}{\partial X} = \frac{1}{4} \cdot (2X) \cdot Y^2 = \frac{1}{2}X Y^2$$
   • 對 $Y$ 微分： $$MU_Y = \frac{\partial U}{\partial Y} = \frac{1}{4} X^2 \cdot (2Y) = \frac{1}{2}X^2 Y$$

2. 計算邊際替代率 $MRS_{XY}$：

   $$MRS_{XY} = \frac{MU_X}{MU_Y} = \frac{\frac{1}{2}X Y^2}{\frac{1}{2}X^2 Y} = \frac{Y}{X}$$

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(2) 檢驗是否符合邊際效用遞減原則

分別檢驗 $MU_X$ 與 $MU_Y$ 對自身消費量的變化率（二階偏微分）：

1. 檢驗財貨 $X$：

   $$\frac{\partial MU_X}{\partial X} = \frac{\partial^2 U}{\partial X^2} = \frac{\partial}{\partial X}\left(\frac{1}{2}XY^2\right) = \frac{1}{2}Y^2$$

   因為已知 $Y > 0$，所以：

   $$\frac{1}{2}Y^2 > 0$$

   此結果表示 $MU_X$ 隨 $X$ 增加而遞增（邊際效用遞增）。

2. 檢驗財貨 $Y$：

此題主要在測試交叉彈性 (Cross-price Elasticity) 的概念及其應用。

核心觀念：

1. 交叉彈性 (Cross-price Elasticity of Demand, $E_{XY}$)：衡量一種財貨（例如 $Y$）的需求量對另一種相關財貨（例如 $X$）的價格變動的敏感度。
   $E_{XY} = \frac{\% \Delta Q_Y}{\% \Delta P_X}$
   其中 $\% \Delta Q_Y$ 是財貨 $Y$ 的需求量變動百分比， $\% \Delta P_X$ 是財貨 $X$ 的價格變動百分比。
   • 若 $E_{XY} > 0$，表示 $X$ 和 $Y$ 是替代品 (substitutes)。$X$ 漲價， $Y$ 的需求量增加。
   • 若 $E_{XY} < 0$，表示 $X$ 和 $Y$ 是互補品 (complements)。$X$ 漲價， $Y$ 的需求量減少。
   • 若 $E_{XY} = 0$，表示 $X$ 和 $Y$ 是無關品 (unrelated goods)。

解題過程：

已知資訊：

• 公車 (X) 與私家汽車 (Y) 的交叉彈性 $E_{XY} = 0.2$。
• 這表示公車 (X) 和私家汽車 (Y) 是替代品。
• 公車票價目前價格 $P_X^{current} = 15$ 元。
• 公車票價下降 $10\%$，則私家汽車使用次數減少 $2\%$。
  • $\% \Delta P_X = -10\%$
  • $\% \Delta Q_Y = -2\%$
  • 驗證交叉彈性： $E_{XY} = \frac{-2\%}{-10\%} = 0.2$。這與題目給定的值一致。

(1)(10分) 若公車票價改成 5 元時，則可使私家汽車的使用量減少百分之幾？

首先，計算公車票價從 15 元變為 5 元的價格變動百分比 $\% \Delta P_X$。
$\% \Delta P_X = \frac{P_X^{new} - P_X^{current}}{P_X^{current}} \times 100\%$

此題主要在測試廠商的短期成本函數的構成與邊際成本的計算。

核心觀念：

1. 短期總成本 (Short-run Total Cost, STC)：在短期內，廠商的生產過程中，有些要素是固定（如廠房、設備），有些是變動（如勞力、原料）。總成本等於固定成本 (Fixed Cost, FC) 加上變動成本 (Variable Cost, VC)。 $STC = FC + VC$。
2. 邊際成本 (Marginal Cost, MC)：生產一單位額外產量所增加的總成本。 $MC = \frac{dTC}{dQ}$。在短期內，由於固定成本不隨產量變動，邊際成本僅由變動成本的變動決定，即 $MC = \frac{dVC}{dQ}$。

解題過程：

已知資訊：

• 工廠 A 的短期總成本函數： $TC_A = 3Q_A + 4$
• 工廠 B 的短期總成本函數： $TC_B = 4Q_B + 2$

從成本函數的形式，我們可以辨識出固定成本 (FC) 和變動成本 (VC)。固定成本是與產量無關的常數項，變動成本是與產量相關的項。

對於工廠 A：

• $FC_A = 4$
• $VC_A = 3Q_A$

對於工廠 B：

• $FC_B = 2$
• $VC_B = 4Q_B$

(1)(15分) 該公司之短期總成本函數 $TC$。

假設該公司在兩個工廠 A 和 B 生產兩種產品，或者是在兩個工廠生產同一種產品並希望合併總成本。題目敘述「該公司之短期總成本函數」，暗示這是公司整體的總成本。如果公司同時在 A 和 B 兩個工廠生產，且兩個工廠生產的是同一種產品，那麼公司的總產量 $Q = Q_A + Q_B$。然而，成本函數的表達 $TC_A = 3Q_A + 4$ 和 $TC_B = 4Q_B + 2$ 顯示 $Q_A$ 和 $Q_B$ 是各自工廠的產量。題目要求的是「該公司之短期總成本函數 $TC$」，這通常意味著將兩個工廠的成本合併。

在多廠生產的假設下，公司的總固定成本是所有工廠固定成本的總和，總變動成本是所有工廠變動成本的總和。
總固定成本 $FC = FC_A + FC_B = 4 + 2 = 6$。
總變動成本 $VC = VC_A + VC_B = 3Q_A + 4Q_B$。

因此，該公司的短期總成本函數 $TC$ 是總固定成本與總變動成本之和：
$TC = FC + VC = 6 + 3Q_A + 4Q_B$。

但如果題目假設 A 和 B 生產的是同一種產品，且總產量 $Q$ 由這兩個工廠分攤，則成本函數的表達方式會更複雜，需要考慮如何分配產量以最小化總成本。
然而，題目直接給出 $TC_A$ 和 $TC_B$ 的形式，並且要求「該公司之短期總成本函數 $TC$」，最直接的解釋是將兩個工廠的總成本函數相加，這相當於假設公司將兩個工廠視為兩個獨立的生產單元，其總成本就是兩個單元成本的總和。
$TC = TC_A + TC_B = (3Q_A + 4) + (4Q_B + 2) = 3Q_A + 4Q_B + 6$。
這個解釋與上述 FC 和 VC 的合併結果一致。

【答案】 $TC = 3Q_A + 4Q_B + 6$。

(2)(5分) 該公司之短期邊際成本函數 $MC$。

邊際成本是總成本對產量的微分。由於總成本函數 $TC$ 包含兩個產量變數 $Q_A$ 和 $Q_B$，我們需要分別計算每個工廠的邊際成本，或者如果題目假設 A 和 B 生產同一產品，則需要知道如何將 $Q_A$ 和 $Q_B$ 關聯起來。

此題是一個較為複雜的市場結構分析，結合了壟斷競爭 (Monopolistic Competition) 或寡占 (Oligopoly) 中的領導者-追隨者模型 (Leader-Follower Model)，以及個別廠商的供給函數和市場均衡的計算。X 公司是價格制定者 (price setter)，而其他四家小廠是價格接受者 (price taker)。

核心觀念：

1. 個別廠商供給函數：在完全競爭市場或價格接受者模型中，廠商的供給函數由其邊際成本 (MC) 曲線（高於平均變動成本的部分）決定。
2. 市場供給函數：在價格接受者模型中，市場供給函數是所有個別廠商供給函數的水平加總。
3. 領導者-追隨者模型 (Stackelberg Model)：在此模型中，有一個廠商（領導者，X公司）首先決定其產量或價格，然後其他廠商（追隨者，小廠）在知道領導者的決策後，再決定自己的產量。
4. 總市場需求與領導者面臨的需求：領導者（X公司）面臨的需求曲線是總市場需求減去追隨者（小廠）的總供給。
5. 利潤最大化條件：
   • 價格接受者（小廠）： $P = MC_i$。
   • 價格制定者（X公司）： $MR_A = MC_A$，其中 $MR_A$ 是 X 公司面臨的需求曲線所對應的邊際收益。

解題過程：

已知資訊：

• 總市場需求： $Q = 200 - P$
• 小廠 i 的邊際成本： $MC_i = q_i$，對應於 $i=1, 2, 3, 4$。
• X 公司（領導者）的邊際成本： $MC_A = 2$。
• 小廠總產量： $q_B = \sum_{i=1}^4 q_i$。

(1)(5分) 若令 $\sum_{i=1}^4 q_i = q_B$, 試求出不同市場價格下 4 家小廠商之供給函數。

在完全競爭的假設下，每個小廠會在其邊際成本等於市場價格時決定其產量。
對於每一個小廠 $i$ (其中 $i = 1, 2, 3, 4$)，其邊際成本函數為 $MC_i = q_i$。
若市場價格為 $P$，則小廠 $i$ 的利潤最大化條件是 $P = MC_i$。
所以，$P = q_i$。
這就是小廠 $i$ 的供給函數： $q_i = P$。

由於這四家小廠的邊際成本函數形式相同 ($MC_i = q_i$)，它們的供給函數也相同。
因此，四家小廠商的供給函數分別為：
$q_1 = P$
$q_2 = P$
$q_3 = P$
$q_4 = P$

題目要求的是「不同市場價格下 4 家小廠商之供給函數」。這意味著我們需要表達 $q_i$ 作為 $P$ 的函數。

【答案】 $q_i = P$, 對於 $i = 1, 2, 3, 4$。

(2)(5分) 根據定義, 市場總需求為 $Q = q_A + q_B$, 試求 X 公司所面對之市場需求 $q_A = q_A(P)$?

首先，我們需要計算四家小廠的總供給量 $q_B$。
$q_B = \sum_{i=1}^4 q_i = q_1 + q_2 + q_3 + q_4$
由於 $q_i = P$ 對所有 $i$ 都成立，
$q_B = P + P + P + P = 4P$。
這是四家小廠在不同價格下的總供給函數。

市場總需求為 $Q = 200 - P$。
市場總產量 $Q$ 是由 X 公司（領導者）的產量 $q_A$ 和四家小廠的總產量 $q_B$ 組成。
$Q = q_A + q_B$。

X 公司作為價格制定者，會首先決定自己的產量 $q_A$。而小廠們是價格接受者，它們的產量 $q_B$ 取決於市場價格 $P$。
在 Stackelberg 模型中，領導者 (X 公司) 知道追隨者 (小廠) 的行為。領導者會預期到追隨者的反應，並利用這個預期來制定自己的決策。

此題屬於總體經濟學中的貨幣政策與物價穩定。它要求考生不僅要理解貨幣供給對物價的影響，還要能夠闡述其他影響物價穩定的重要因素。

核心觀念：

1. 貨幣學派觀點：認為物價水平主要由貨幣供給決定（$MV=PQ$）。貨幣供給的過度增長是導致通貨膨脹的主要原因。
2. 凱因斯學派觀點：認為物價水平受總需求 (Aggregate Demand, AD) 和總供給 (Aggregate Supply, AS) 共同決定。除了貨幣政策，財政政策、外部衝擊等都會影響物價。
3. 物價穩定 (Price Stability)：目標是將通貨膨脹率維持在一個低且穩定的水平，以避免經濟體系的扭曲和不確定性。

解題思路：
題目要求除了貨幣供給外，還需要注意哪些要點來穩定物價。這意味著我們要從總需求和總供給兩方面來思考影響物價的因素。

影響物價（通貨膨脹或緊縮）的因素：

一、總需求面 (Aggregate Demand, AD)
除了貨幣供給（影響消費 C 和投資 I）外，總需求的變動還受其他因素影響：

1. 財政政策 (Fiscal Policy)：

   • 政府支出 (Government Spending, G)：政府擴大支出（如基礎建設、國防、社會福利）會直接增加總需求，可能導致物價上漲。反之，緊縮性財政政策有助於穩定物價。
   • 稅收 (Taxes, T)：減稅會增加家庭可支配所得，刺激消費，從而增加總需求，可能推升物價。增稅則有抑制總需求的效果。
   • 政府債務與財政赤字：長期的巨額財政赤字可能引發對政府償債能力的擔憂，影響市場預期，甚至可能迫使中央銀行寬鬆貨幣政策以支撐政府發債，間接推升物價。

2. 消費與投資行為的預期 (Expectations)：

   • 通膨預期 (Inflationary Expectations)：如果人們預期未來物價將上漲，他們可能傾向於提前消費，減少儲蓄，這會增加當前的總需求，形成自我實現的預期。
   • 消費者信心 (Consumer Confidence)：樂觀的消費者信心會增加消費支出，悲觀則反之。
   • 企業投資信心 (Business Confidence)：樂觀的企業家會增加投資，從而增加總需求。

3. 匯率 (Exchange Rate)：

   • 本國貨幣貶值會使進口品變貴，出口品變便宜。進口品價格上漲會直接推升物價（進口性通貨膨脹）。同時，出口增加也會帶動總需求。
   • 本國貨幣升值則有抑制物價上漲的作用。

4. 國際經濟情勢 (Global Economic Conditions)：

   • 全球性商品（如石油、糧食）價格的上漲會透過進口品傳導至國內，推升物價。
   • 全球經濟景氣繁榮，可能帶動對本國出口的需求增加，進而推升總需求和物價。

二、總供給面 (Aggregate Supply, AS)
影響總供給的因素，特別是短期總供給 (Short-run Aggregate Supply, SRAS)，對物價有直接影響：

1. 生產力 (Productivity)：
   • 勞動生產力的提升意味著可以用更少的投入生產更多產出，這會降低生產成本，使總供給曲線右移，有助於穩定或降低物價。