114 年 國立中央大學土木工程學系碩士班己：運輸工程組一般生《經濟學》

本題考驗消費者理論中的效用最大化問題。消費者在預算限制下，追求效用最大化。

核心觀念： 效用最大化條件是邊際效用比等於價格比，即 $\frac{MU_x}{MU_y} = \frac{P_x}{P_y}$。

解題過程：

1. 計算邊際效用 (Marginal Utility, MU)：
   效用函數為 $U(X, Y) = XY$。
   對 X 的邊際效用為 $MU_x = \frac{\partial U}{\partial X} = Y$。
   對 Y 的邊際效用為 $MU_y = \frac{\partial U}{\partial Y} = X$。

2. 設定效用最大化條件：
   $\frac{MU_x}{MU_y} = \frac{P_x}{P_y}$
   $\frac{Y}{X} = \frac{3}{2}$
   $2Y = 3X$

本題主要考驗對需求彈性的理解，包括自身價格彈性、交叉彈性及所得彈性，並應用彈性概念分析總支出的變化。

核心觀念：

• 需求彈性 (Elasticity of Demand)： 衡量一種商品價格、其他商品價格、所得等因素變化時，對該商品需求量影響的程度。
• 自身價格彈性 ($e_{x,x}$)： 衡量商品本身價格變動 1% 時，對該商品需求量變動的百分比。
• 交叉彈性 ($e_{x,y}$)： 衡量一種商品價格變動 1% 時，對另一種商品需求量變動的百分比。
• 所得彈性 ($e_{x,I}$)： 衡量所得變動 1% 時，對該商品需求量變動的百分比。
• 總支出 (Total Expenditure, TE)： $TE = P_x \times X$。當價格下跌時，總支出增加、減少或不變，取決於需求彈性的大小。

解題過程：

需求函數為 $X = \frac{375I}{P_x^2}$。

(1) 需求的自身價格彈性值，$e_{x,x}$

自身價格彈性定義為：$e_{x,x} = \frac{\partial X}{\partial P_x} \times \frac{P_x}{X}$。

首先計算 $\frac{\partial X}{\partial P_x}$：
$X = 375I \times P_x^{-2}$
$\frac{\partial X}{\partial P_x} = 375I \times (-2)P_x^{-3} = -\frac{750I}{P_x^3}$

接著計算彈性值：
$e_{x,x} = (-\frac{750I}{P_x^3}) \times \frac{P_x}{X}$
將 $X = \frac{375I}{P_x^2}$ 代入：
$e_{x,x} = (-\frac{750I}{P_x^3}) \times \frac{P_x}{\frac{375I}{P_x^2}}$
$e_{x,x} = (-\frac{750I}{P_x^3}) \times \frac{P_x \cdot P_x^2}{375I}$
$e_{x,x} = (-\frac{750I}{P_x^3}) \times \frac{P_x^3}{375I}$
$e_{x,x} = -2$

【答案】$-2$

(2) 需求的交叉彈性值，$e_{x,y}$

交叉彈性定義為：$e_{x,y} = \frac{\partial X}{\partial P_y} \times \frac{P_y}{X}$。

核心觀念

本題考查多工廠廠商的成本最小化。當廠商必須生產既定總產量時，應使各工廠的邊際成本相等；但短期下每座工廠可能具有固定成本，因此「兩廠同時生產的成本最小配置」不一定等於「廠商整體的最適生產安排」。

題目成本式末項寫作 $20000Q$，依短期總成本函數與本題問法，應解讀為固定成本 $20000$，即：

$$TC_i=Q_i^2-200Q_i+20000,\qquad i=A,B$$

其中 $20000$ 為每座工廠的固定成本。

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（1）兩工廠同時生產下的成本最小配置

總產量須滿足：

$$Q_A+Q_B=100$$

兩工廠的邊際成本皆為：

$$MC_A=\frac{dTC_A}{dQ_A}=2Q_A-200$$ $$MC_B=\frac{dTC_B}{dQ_B}=2Q_B-200$$

若兩工廠同時生產，成本最小的必要條件為：

$$MC_A=MC_B$$

因此：

$$2Q_A-200=2Q_B-200$$ $$Q_A=Q_B$$

再配合總產量限制：

$$Q_A+Q_B=100$$

得到：

$$\boxed{Q_A=50,\qquad Q_B=50}$$

此配置確實是兩工廠同時生產時的成本最小配置，因為每座工廠的成本函數皆為凸函數：

$$\frac{d^2TC_i}{dQ_i^2}=2>0$$

是否為廠商整體最適解？

不是。

原因是短期固定成本具有不可避免性。一旦啟用一座工廠，就必須支付固定成本 $20000$。因此需要比較：

兩工廠同時生產

$$TC_A(50)=50^2-200(50)+20000=12500$$ $$TC_B(50)=50^2-200(50)+20000=12500$$

所以：

$$TC_{\text{兩廠}}=12500+12500=25000$$

僅使用一座工廠

令工廠 A 生產全部 $100$ 單位，工廠 B 停工：

$$TC_A(100)=100^2-200(100)+20000=10000$$

核心觀念

本題評量**多工廠獨占（Multi-plant Monopoly）**之最適產出配置與定價決策。核心經濟學原理如下：

1. 多工廠最適生產配置法則：
   廠商為使給定總產量下的總成本最小化，各工廠之邊際成本必須相等，即： $$MC_1(q_1) = MC_2(q_2) = MC_m(Q)$$ 其中 $Q = q_1 + q_2$ 為總產量，$MC_m(Q)$ 為多工廠水平加總後的多廠邊際成本。
2. 獨占市場最適決策法則：
   廠商利潤極大化條件為市場邊際收益等於多廠邊際成本： $$MR(Q) = MC_m(Q)$$
3. 訂價（定價）原則：
   求得最適總產量 $Q^*$ 後，代回市場反需求函數 $P(Q)$ 決定單一均衡價格。
4. 經濟利潤：
   總利潤定義為總收益減去所有工廠的總成本： $$\pi = TR - TC_1 - TC_2 = P \cdot Q - [TC_1(q_1) + TC_2(q_2)]$$

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解題方法

第一步：求各工廠之邊際成本與總邊際成本函數（$MC_m$）

設第一廠產量為 $q_1$，第二廠產量為 $q_2$，總產量為 $Q = q_1 + q_2$。
依題意，兩廠成本函數分別為：

• 第一廠：$TC_1 = q_1^2 + 60 \implies MC_1 = \frac{dTC_1}{dq_1} = 2q_1$
• 第二廠：$TC_2 = 2q_2^2 + 40 \implies MC_2 = \frac{dTC_2}{dq_2} = 4q_2$

兩廠邊際成本均隨產量增加而遞增，且截距皆為 $0$。因此兩廠均會投入生產，最適產量分配滿足：

$$MC_1 = MC_2 = MC_m$$

將產量反推表示為邊際成本的函數：

$$q_1 = \frac{MC_m}{2}, \quad q_2 = \frac{MC_m}{4}$$

將兩廠產量水平加總：

$$Q = q_1 + q_2 = \frac{MC_m}{2} + \frac{MC_m}{4} = \frac{3}{4}MC_m$$

解出多廠總邊際成本函數：

$$MC_m = \frac{4}{3}Q$$

第二步：求市場邊際收益（$MR$）

市場需求函數為：

$$Q = 100 - P \implies P = 100 - Q$$

廠商總收益函數為：

$$TR = P \cdot Q = (100 - Q)Q = 100Q - Q^2$$

邊際收益函數為：

$$MR = \frac{dTR}{dQ} = 100 - 2Q$$

本題考驗對通貨膨脹 (Inflation) 影響的理解，特別是它對不同群體財富和購買力的影響。

核心觀念：

• 通貨膨脹： 物價總水平持續上漲，導致貨幣購買力下降的現象。
• 實質所得 vs. 名目所得： 名目所得是實際收到的貨幣金額；實質所得是扣除物價變動後，衡量購買力的所得。
• 資產持有者 vs. 債務持有者： 通貨膨脹會影響債務和資產的實質價值。

解題思路：

通貨膨脹的主要影響是使貨幣的購買力下降。獲利或損失取決於個人的名目所得、實質所得的變化、資產的實質價值變化以及債務的實質價值變化。

會獲利的人：

1. 名目所得增長快於通貨膨脹率的人：
   如果一個人的名目所得（如薪資、租金收入等）上漲的速度超過了物價上漲的速度（通貨膨脹率），那麼他的實質所得就會增加，購買力增強，因此會獲利。例如，有能力定期調薪且調幅高於通膨的受薪階級。

2. 債務人 (Debtors)：
   通貨膨脹會降低債務的實質價值。借款人需要償還的金額是固定的名目金額，但由於通貨膨脹，這些名目金額所能購買的商品和服務變少了。因此，借款人實際上是用購買力較低的貨幣來償還債務，這相當於減輕了債務負擔，從這個角度看，債務人相對獲利。例如，房貸族在通膨時期，償還貸款的實質負擔會減輕。

3. 持有實質資產的人：
   在通貨膨脹時期，許多實質資產（如房地產、黃金、股票等）的價格往往會跟隨物價上漲，甚至漲幅可能高於一般物價。持有這些資產的人，其資產的實質價值可能得以維持甚至增加，從而相對獲利。

4. 固定利率的貸款提供者 (在某些情況下)：
   這點比較複雜。如果放款者（如銀行）能夠將其貸款利率設定得足以涵蓋預期的通貨膨脹率（即實質利率為正），那麼他們就能維持其資產的購買力。但如果貸款利率低於預期通膨，則放款者將會損失。

會蒙受損失的人：