114 年 國立中央大學土木工程學系碩士班甲：結構組《工程力學》

核心觀念

本題分成兩部分：

1. 以梁的靜力平衡求兩柱的軸力，再用歐拉挫屈公式求控制柱的臨界荷重。
2. 以梁的最大剪力計算 T 型斷面翼板與腹板交界處的剪流，再由單支剪力釘的承載力求最大間距。

以下將圖中的 $W$ 視為三角形分佈載重在右端的最大強度，單位為 $\text{kN/m}$；梁跨距為 $6\ \text{m}$，柱長為 $8\ \text{m}$。

解題方法

(a) 挫屈控制的最大載重

三角形載重的合力大小與作用位置為

$$P=\frac{1}{2}(6)W=3W, \qquad \bar{x}=\frac{2}{3}(6)=4\ \text{m}$$

其中 $\bar{x}$ 自左端 $B$ 起算。對梁取平衡：

$$R_D(6)=3W(4) \quad\Rightarrow\quad R_D=2W$$ $$R_B=3W-R_D=W$$

因此左柱 $AB$ 的軸壓力為 $W$，右柱 $CD$ 的軸壓力為 $2W$。

柱的截面為 $0.1\ \text{m}\times0.1\ \text{m}$ 方形，繞截面形心軸的慣性矩為

$$I=\frac{0.1(0.1)^3}{12} =8.333\times10^{-6}\ \text{m}^4$$

歐拉臨界荷重為

$$P_{\mathrm{cr}}=\frac{\pi^2EI}{(KL)^2}$$

左柱兩端鉸接，$K=1$：

$$P_{\mathrm{cr},AB} =\frac{\pi^2(5\times10^9)(8.333\times10^{-6})}{8^2} =6.43\ \text{kN}$$

所以左柱要求 $W\leq 6.43\ \text{kN}$。

右柱底端固定、頂端鉸接，取固定—鉸接柱有效長度係數 $K=0.699$：

$$P_{\mathrm{cr},CD} =\frac{\pi^2(5\times10^9)(8.333\times10^{-6})}{(0.699\times8)^2} =13.15\ \text{kN}$$

右柱承受 $2W$，因此要求

$$2W\leq13.15 \quad\Rightarrow\quad W\leq6.58\ \text{kN/m}$$

核心觀念

本題考查剛體平面靜力平衡，以及繩索突然切斷後的瞬時剛體動力學。

• 靜平衡時，合力與合力矩皆為零：
  $\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M_G=0$
• 繩索只能沿繩方向施加拉力。
• 繩索切斷瞬間，板的速度仍為零；每條仍繃緊的繩索，其連接點加速度在繩索方向的分量為零。
• 板重為 $W=mg=5(9.81)=49.05\text{ N}$，作用於板的質心 $G$。

依圖取 $G$ 為原點，板寬 $300\text{ mm}$、高 $240\text{ mm}$，故 $A=(-0.15,0.12)\text{ m}$、$B=(0.15,0.12)\text{ m}$。$C$ 位於右側邊中央，CF 為水平繩索。兩條斜繩的拉力方向均為左上方，與鉛直線夾角 $30^\circ$。

解題方法

令 $T_A,T_B,T_{CF}$ 分別為 A、B、CF 三條繩的張力。斜繩的單位方向向量為
$\mathbf e=\left(-\sin30^\circ,\cos30^\circ\right)=(-0.5,0.866)$

(1) 靜平衡時三條繩的張力

先用鉛直方向平衡：

$0.866(T_A+T_B)-49.05=0$

因此
$T_A+T_B=56.64\text{ N}$

再以質心 $G$ 取矩，逆時針為正。CF 通過 $G$ 的水平線，對 $G$ 的力矩為零。A、B 兩點的斜繩力矩臂係數分別為
$M_A=(-0.15)(0.866T_A)-(0.12)(-0.5T_A)=-0.0699T_A$

$M_B=(0.15)(0.866T_B)-(0.12)(-0.5T_B)=0.1899T_B$

故
$-0.0699T_A+0.1899T_B=0$

解得 $T_B=0.3681T_A$。與 $T_A+T_B=56.64\text{ N}$ 聯立：

$T_A=41.4\text{ N},\qquad T_B=15.2\text{ N}$

最後由水平方向平衡：
$T_{CF}-0.5(T_A+T_B)=0$

所以
$T_{CF}=28.3\text{ N}$

(2) CF 切斷瞬間 A、B 的反力

CF 切斷後，板只受 A、B 兩條斜繩與重力作用。令板質心加速度為 $\mathbf a_G=(a_x,a_y)$，角加速度為 $\alpha$。

核心觀念

本題考查懸臂梁的剪力與彎矩、鋼筋混凝土複合斷面的等效斷面法，以及由彎矩曲率關係求彈性曲線。

將鋼筋換算為混凝土等效面積，模數比為

$$n=\frac{E_s}{E_c}=\frac{200}{25}=8$$

斷面上下對稱，因此中性軸位於斷面中央。以混凝土為基準換算，鋼筋的額外等效面積為 $(n-1)A_s$。

解題方法

令 $x$ 自固定端 $A$ 向右量，$0\le x\le 3$ m。向下分佈載重大小為

$$w(x)=10\left(1-\frac{x}{3}\right)\ \text{kN/m}$$

在距固定端 $x$ 處切開，取右側梁段平衡。該段三角形載重的長度為 $3-x$，其合力作用點距切面 $(3-x)/3$，故剪力與彎矩為

$$V(x)=-\left[20+\frac{5}{3}(3-x)^2\right]\ \text{kN}$$ $$M(x)=-20(3-x)-\frac{5}{9}(3-x)^3\ \text{kN}\cdot\text{m}$$

負號表示剪力與彎矩圖位於負側。關鍵值為

$$V(0)=-35\ \text{kN},\qquad V(3^-)=-20\ \text{kN}$$ $$M(0)=-75\ \text{kN}\cdot\text{m},\qquad M(3)=0$$

因此剪力圖由固定端 $-35$ kN 隨 $x$ 增加至自由端左側 $-20$ kN，呈二次曲線；彎矩圖由固定端 $-75$ kN·m 增至自由端的 $0$，呈三次曲線。自由端的 20 kN 集中力使剪力在端點跳回零。

斷面高度為 400 mm，寬度為 300 mm。每根鋼筋面積 $506.7\ \text{mm}^2$，共四根，鋼筋中心距中性軸 150 mm。換算斷面慣性矩為

$$I_{\text{tr}} =\frac{300(400)^3}{12} +(8-1)\left[4(506.7)(150)^2\right] =1.9192\times 10^9\ \text{mm}^4$$

固定端彎矩絕對值最大，為 $75\ \text{kN}\cdot\text{m}=75\times10^6\ \text{N}\cdot\text{mm}$。

核心觀念

質量慣性矩描述物體質量相對於指定軸的分布。對任一軸，定義為

$$I=\int r_\perp^2\,dm$$

其中 $r_\perp$ 是質量微元 $dm$ 到該軸的垂直距離。本題為均勻實心圓柱，軸線沿 $x$ 軸，長度為 $L$、半徑為 $a$，座標原點在圓柱中心；設密度為 $\rho$，總質量為 $m=\rho\pi a^2L$。

解題方法

以圓柱座標表示體積微元：

$$y=r\cos\theta,\qquad z=r\sin\theta,\qquad dV=r\,dr\,d\theta\,dx,\qquad dm=\rho\,dV$$

積分範圍為 $-L/2\le x\le L/2$、$0\le r\le a$、$0\le\theta\le2\pi$。

繞圓柱軸 $x$ 的慣性矩中，微元到軸的距離平方為 $y^2+z^2=r^2$，因此

$$\begin{aligned} I_{xx} &=\int (y^2+z^2)\,dm\\ &=\rho\int_{-L/2}^{L/2}\int_0^{2\pi}\int_0^a r^2(r\,dr\,d\theta\,dx)\\ &=\frac{1}{2}\rho\pi a^4L =\frac{1}{2}ma^2 \end{aligned}$$

繞 $y$ 軸時，微元到軸的距離平方為 $x^2+z^2$。圓柱對稱性使 $y$、$z$ 方向的截面二次矩相同，故