108 年 國立中央大學土木工程學系碩士班甲：結構組《工程力學》

核心觀念

本題是平面剛架的內力分析與組合應力計算，使用：

• 整體靜力平衡：$\sum F_x=0$、$\sum F_y=0$、$\sum M=0$
• 梁柱內力關係：軸力 $N$、剪力 $V$、彎矩 $M$
• 彎曲正應力公式：

$$\sigma=\frac{N}{A}\pm\frac{Mc}{I}$$

柱高為 $10h$，梁長為 $5h$；梁截面為 $h\times h$，柱截面為 $2h\times2h$。

---

解題方法

以整個剛架作自由體圖。外力只有梁端向下的集中力 $P$，其作用線距固定端水平距離為 $5h$。

固定端反力為：

$$H_A=0,\qquad V_A=P$$

固定端反力矩大小為：

$$M_A=P(5h)=5Ph$$

因此柱內的彎矩為常數 $5Ph$。

---

(a) 彎矩圖、剪力圖與軸力圖

梁

取梁上距自由端 $x$ 的截面，$0\leq x\leq5h$。

梁截面內力為：

$$N_b=0$$ $$V_b=P$$ $$M_b=Px$$

因此：

• 軸力圖：全梁為零。
• 剪力圖：全梁為常數 $P$。
• 彎矩圖：由自由端的 $0$ 線性增加至剛接處的 $5Ph$，為三角形。

梁端：

$$M=0$$

梁柱剛接處：

$$M=5Ph$$

柱

柱承受固定端反力與梁端傳來的作用力，因此：

$$N_c=P$$

柱為受壓，故若以拉力為正，則

$$N_c=-P$$

柱的水平剪力為：

$$V_c=0$$

柱彎矩全長不變：

$$M_c=5Ph$$

因此：

• 軸力圖：全柱為常數壓力 $P$。
• 剪力圖：全柱為零。
• 彎矩圖：全柱為常數 $5Ph$，為矩形圖。

內力圖的形狀可整理如下：

構件	軸力圖	剪力圖	彎矩圖
梁	$0$	常數 $P$	$0\to5Ph$ 的三角形
柱	常數壓力 $P$	$0$	常數 $5Ph$ 的矩形

---

(b) 柱斷面外緣應力

柱截面為邊長 $2h$ 的正方形，因此：

$$A=(2h)^2=4h^2$$

柱的慣性矩為：

$$I=\frac{(2h)^4}{12} =\frac{4}{3}h^4$$

外緣至中性軸距離：

$$c=h$$

軸力造成的平均壓應力

$$\sigma_N=\frac{P}{A} =\frac{P}{4h^2}$$

彎矩造成的外緣彎曲應力

核心觀念

本題是平面剛架的內力分析與組合應力計算，使用：

• 整體靜力平衡：$\sum F_x=0$、$\sum F_y=0$、$\sum M=0$
• 梁柱內力關係：軸力 $N$、剪力 $V$、彎矩 $M$
• 彎曲正應力公式：

$$\sigma=\frac{N}{A}\pm\frac{Mc}{I}$$

柱高為 $10h$，梁長為 $5h$；梁截面為 $h\times h$，柱截面為 $2h\times2h$。

---

解題方法

以整個剛架作自由體圖。外力只有梁端向下的集中力 $P$，其作用線距固定端水平距離為 $5h$。

固定端反力為：

$$H_A=0,\qquad V_A=P$$

固定端反力矩大小為：

$$M_A=P(5h)=5Ph$$

因此柱內的彎矩為常數 $5Ph$。

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(a) 彎矩圖、剪力圖與軸力圖

梁

取梁上距自由端 $x$ 的截面，$0\leq x\leq5h$。

梁截面內力為：

$$N_b=0$$ $$V_b=P$$ $$M_b=Px$$

因此：

• 軸力圖：全梁為零。
• 剪力圖：全梁為常數 $P$。
• 彎矩圖：由自由端的 $0$ 線性增加至剛接處的 $5Ph$，為三角形。

梁端：

$$M=0$$

梁柱剛接處：

$$M=5Ph$$

柱

柱承受固定端反力與梁端傳來的作用力，因此：

$$N_c=P$$

柱為受壓，故若以拉力為正，則

$$N_c=-P$$

柱的水平剪力為：

$$V_c=0$$

柱彎矩全長不變：

$$M_c=5Ph$$

因此：

• 軸力圖：全柱為常數壓力 $P$。
• 剪力圖：全柱為零。
• 彎矩圖：全柱為常數 $5Ph$，為矩形圖。

內力圖的形狀可整理如下：

構件	軸力圖	剪力圖	彎矩圖
梁	$0$	常數 $P$	$0\to5Ph$ 的三角形
柱	常數壓力 $P$	$0$	常數 $5Ph$ 的矩形

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(b) 柱斷面外緣應力

柱截面為邊長 $2h$ 的正方形，因此：

$$A=(2h)^2=4h^2$$

柱的慣性矩為：

$$I=\frac{(2h)^4}{12} =\frac{4}{3}h^4$$

外緣至中性軸距離：

$$c=h$$

軸力造成的平均壓應力

$$\sigma_N=\frac{P}{A} =\frac{P}{4h^2}$$

彎矩造成的外緣彎曲應力

讀圖與基本假設

原圖斷面中的 $r$ 是由圓心指向內壁，因此依圖採

$r=160\ \text{mm}$

為內半徑。材料降伏準則採延性材料常用的 von Mises 準則；薄壁圓管扭轉採

$T=2\pi r^2t\tau$

計算。

核心觀念

圓柱形薄壁壓力容器的膜應力為

$$\sigma_\theta=\frac{pr}{t},\qquad \sigma_z=\frac{pr}{2t}$$

其中 $\sigma_\theta$ 為環向應力，$\sigma_z$ 為軸向應力。

扭力造成的薄壁剪應力為

$\tau=\frac{T}{2\pi r^2t}$

平面應力狀態下，von Mises 等效應力為

$$\sigma_{\mathrm{vm}} = \sqrt{\sigma_z^2+\sigma_\theta^2-\sigma_z\sigma_\theta+3\tau^2}$$

---

（1）最大可承載扭力

1. 壓力造成的膜應力

$$\sigma_\theta = \frac{(6)(160)}{8} = 120\ \text{MPa}$$ $$\sigma_z = \frac{(6)(160)}{2(8)} = 60\ \text{MPa}$$

安全係數為 $1.25$，故允許等效應力為

$$\sigma_{\mathrm{allow}} = \frac{\sigma_{\mathrm{yield}}}{1.25} = \frac{250}{1.25} = 200\ \text{MPa}$$

2. 求允許扭轉剪應力

$$200^2 = 60^2+120^2-(60)(120)+3\tau^2$$

$40000=10800+3\tau^2$

$$\tau = \sqrt{\frac{40000-10800}{3}} = 98.66\ \text{MPa}$$

3. 求最大扭力

$$T_{\max} = 2\pi(160)^2(8)(98.66)$$ $$T_{\max} = 1.2695\times10^8\ \text{N}\cdot\text{mm}$$

因此

$\boxed{T_{\max}\approx126.95\ \text{kN}\cdot\text{m}}$

---

（2）由 $60^\circ$ 應變計讀值求扭力

1. 材料剪切模數

$$G=\frac{E}{2(1+\nu)} = \frac{200000}{2(1+0.32)} = 75757.6\ \text{MPa}$$

2. 壓力造成的軸向與環向應變

平面應力下：

讀圖與基本假設

原圖斷面中的 $r$ 是由圓心指向內壁，因此依圖採

$r=160\ \text{mm}$

為內半徑。材料降伏準則採延性材料常用的 von Mises 準則；薄壁圓管扭轉採

$T=2\pi r^2t\tau$

計算。

核心觀念

圓柱形薄壁壓力容器的膜應力為

$$\sigma_\theta=\frac{pr}{t},\qquad \sigma_z=\frac{pr}{2t}$$

其中 $\sigma_\theta$ 為環向應力，$\sigma_z$ 為軸向應力。

扭力造成的薄壁剪應力為

$\tau=\frac{T}{2\pi r^2t}$

平面應力狀態下，von Mises 等效應力為

$$\sigma_{\mathrm{vm}} = \sqrt{\sigma_z^2+\sigma_\theta^2-\sigma_z\sigma_\theta+3\tau^2}$$

---

（1）最大可承載扭力

1. 壓力造成的膜應力

$$\sigma_\theta = \frac{(6)(160)}{8} = 120\ \text{MPa}$$ $$\sigma_z = \frac{(6)(160)}{2(8)} = 60\ \text{MPa}$$

安全係數為 $1.25$，故允許等效應力為

$$\sigma_{\mathrm{allow}} = \frac{\sigma_{\mathrm{yield}}}{1.25} = \frac{250}{1.25} = 200\ \text{MPa}$$

2. 求允許扭轉剪應力

$$200^2 = 60^2+120^2-(60)(120)+3\tau^2$$

$40000=10800+3\tau^2$

$$\tau = \sqrt{\frac{40000-10800}{3}} = 98.66\ \text{MPa}$$

3. 求最大扭力

$$T_{\max} = 2\pi(160)^2(8)(98.66)$$ $$T_{\max} = 1.2695\times10^8\ \text{N}\cdot\text{mm}$$

因此

$\boxed{T_{\max}\approx126.95\ \text{kN}\cdot\text{m}}$

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（2）由 $60^\circ$ 應變計讀值求扭力

1. 材料剪切模數

$$G=\frac{E}{2(1+\nu)} = \frac{200000}{2(1+0.32)} = 75757.6\ \text{MPa}$$

2. 壓力造成的軸向與環向應變

平面應力下：

幾何與初始條件

由圖可知，桿全長為 $l$，$A$ 位於左端，$B$ 位於桿的中點，因此均質桿的質心 $G$ 恰位於 $B$ 點：

$$AG=AB=\frac{l}{2},\qquad B\equiv G$$

桿在支撐移除前為靜止狀態，因此在 $t=0$ 瞬間：

$$\omega=0$$

取鉛直向上為正方向。

核心觀念

質心的平移運動使用牛頓第二定律：

$$\sum \mathbf F=m\mathbf a_G$$

若仍有固定鉸支撐，則可對該支點取力矩：

$$\sum M_P=I_P\alpha$$

剛體上任一點的加速度為：

$$\mathbf a_G=\mathbf a_P+\boldsymbol{\alpha}\times\mathbf r_{G/P} +\boldsymbol{\omega}\times (\boldsymbol{\omega}\times\mathbf r_{G/P})$$

由於 $t=0$ 時 $\omega=0$，向心加速度項為零。

---

（1）$A$、$B$ 兩支撐同時移除

支撐全部移除後，桿所受外力只有重力 $mg$：

$$\sum F_y=-mg=ma_{G,y}$$

因此：

$$a_{G,y}=-g$$

故質心加速度為鉛直向下，大小為

$$\boxed{a_G=g\ \text{（向下）}}$$

---

（2）僅移除 $B$ 點支撐

此時 $A$ 點仍為固定鉸支點，桿繞 $A$ 點瞬間轉動。

均質桿對端點 $A$ 的轉動慣量為：

$$I_A=\frac{1}{3}ml^2$$

重力作用於質心 $G$，其對 $A$ 點的力矩大小為：

$$M_A=mg\left(\frac{l}{2}\right)$$

因此角加速度大小為：

幾何與初始條件

由圖可知，桿全長為 $l$，$A$ 位於左端，$B$ 位於桿的中點，因此均質桿的質心 $G$ 恰位於 $B$ 點：

$$AG=AB=\frac{l}{2},\qquad B\equiv G$$

桿在支撐移除前為靜止狀態，因此在 $t=0$ 瞬間：

$$\omega=0$$

取鉛直向上為正方向。

核心觀念

質心的平移運動使用牛頓第二定律：

$$\sum \mathbf F=m\mathbf a_G$$

若仍有固定鉸支撐，則可對該支點取力矩：

$$\sum M_P=I_P\alpha$$

剛體上任一點的加速度為：

$$\mathbf a_G=\mathbf a_P+\boldsymbol{\alpha}\times\mathbf r_{G/P} +\boldsymbol{\omega}\times (\boldsymbol{\omega}\times\mathbf r_{G/P})$$

由於 $t=0$ 時 $\omega=0$，向心加速度項為零。

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（1）$A$、$B$ 兩支撐同時移除

支撐全部移除後，桿所受外力只有重力 $mg$：

$$\sum F_y=-mg=ma_{G,y}$$

因此：

$$a_{G,y}=-g$$

故質心加速度為鉛直向下，大小為

$$\boxed{a_G=g\ \text{（向下）}}$$

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（2）僅移除 $B$ 點支撐

此時 $A$ 點仍為固定鉸支點，桿繞 $A$ 點瞬間轉動。

均質桿對端點 $A$ 的轉動慣量為：

$$I_A=\frac{1}{3}ml^2$$

重力作用於質心 $G$，其對 $A$ 點的力矩大小為：

$$M_A=mg\left(\frac{l}{2}\right)$$

因此角加速度大小為：

核心觀念

以兩根桿 $AB$、$BC$ 為整體，採用虛功原理：

$$\sum \delta W=0$$

依圖，$A$、$C$ 分別受垂直光滑面約束，$B$ 位於水平光滑面上。光滑接觸面的反力皆不作虛功，因此只需考慮兩根桿的重力。兩根桿質心均位於中點。

幾何關係與虛位移

令 $B$ 向右產生水平虛位移 $\delta x$。

對桿 $AB$，圖中 $AB$ 的水平、垂直分量分別為 $1$ m、$0.75$ m。因桿長固定：

$$1(\delta x)+0.75(\delta y_A)=0$$

因此

$$\delta y_A=-\frac{1}{0.75}\delta x =-\frac{4}{3}\delta x$$

由於 $B$ 在水平面上，$\delta y_B=0$。桿 $AB$ 質心 $G_{AB}$ 的垂直虛位移為

$$\delta y_{G_{AB}} =\frac{\delta y_A+\delta y_B}{2} =-\frac{2}{3}\delta x$$

對桿 $BC$，其水平、垂直分量為 $2$ m、$1.5$ m。桿長固定給出：

$$-2(\delta x)+1.5(\delta y_C)=0$$

故