108 年 國立中央大學土木工程學系碩士班甲：結構組《結構學》

核心觀念

本題為平面桁架分析，使用：

1. 整體平衡方程式
   $\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M=0$
2. 節點法：每一節點最多列兩個獨立平衡式。
3. 桿件內力以拉力為正、壓力為負。
4. 斜桿長度為
   $\sqrt{3^2+4^2}=5\text{ m}$
   因此斜桿方向餘弦為
   $\cos\theta=\frac35,\qquad \sin\theta=\frac45.$

---

解題方法

依圖中桁架幾何與支承配置，先由左側節點逐步使用節點法，再於 $D$、$c$、$d$、$F$ 等節點銜接右側桁架。

各節點的外力均須滿足水平、垂直方向平衡。對斜桿而言，水平分力為 $\frac35N$，垂直分力為 $\frac45N$。

由節點 $D$ 可得

$$-\;N_{CD}-\frac35N_{bD}=0$$

因此

$$N_{CD}=-\frac35N_{bD}.$$

再由節點 $D$ 的垂直平衡：

$$\frac45N_{bD}+N_{cD}-20=0.$$

配合左、右兩側節點平衡式，得到

$$N_{bD}=-18.75\text{ kN},$$

故

$$N_{CD}=11.25\text{ kN}.$$

其中 $bD$ 為負值，表示受壓；$CD$ 為正值，表示受拉。

---

支承反力

由整體桁架平衡及各節點平衡，支承反力為：

• $A$ 點水平反力：
  $A_x=11.25\text{ kN}$
  方向向右。

• $A$ 點垂直反力：
  $A_y=25.00\text{ kN}$
  方向向上。

• $E$ 點垂直反力：
  $E_y=20.00\text{ kN}$
  方向向上。

• $G$ 點水平反力：
  $G_x=-11.25\text{ kN}$
  即方向向左。

• $G$ 點垂直反力：
  $G_y=35.00\text{ kN}$
  方向向上。

核心觀念

本題使用：

1. 內鉸接點 $c$ 無法傳遞彎矩，因此
   $M_c=0.$
2. 梁的垂直位移在鉸接點連續，但轉角可以不連續：
   $v_{c^-}=v_{c^+},\qquad \theta_{c^-}\ne\theta_{c^+}.$
3. 彎矩與曲率關係為
   $EI\,v''(x)=M(x).$

取向右為 $x$ 軸、向上位移為正，令集中荷載 $P=20\ \text{kN}$。各長度以公尺代入，左段 $abc$ 的撓曲剛性為 $2EI$。

1. 求支承反力

由整體平衡及鉸接點 $c$ 的彎矩為零：

$R_a+R_b+R_d=P,$

$4R_b+8R_d=6P,$

$6R_a+2R_b=0.$

解得

$R_a=-\frac{P}{2}=-10\ \text{kN},$

$R_b=\frac{3P}{2}=30\ \text{kN},$

$R_d=0.$

因此右側 $cde$ 段沒有彎矩，為一直線變形。

2. 左段 $abc$ 的變形

$a$ 至 $b$ 段

對 $0\le x\le4$：

$M(x)=R_a x=-\frac{P}{2}x.$

因為撓曲剛性為 $2EI$，

$2EI\,v''=-\frac{P}{2}x,$

$v'=-\frac{Px^2}{8EI}+C_1,$

$v=-\frac{Px^3}{24EI}+C_1x+C_2.$

由 $v_a=0$ 得 $C_2=0$；由 $v_b=0$ 得

$0=-\frac{P(4)^3}{24EI}+4C_1,$

$C_1=\frac{2P}{3EI}.$

所以支承 $a$ 的轉角為

$\theta_a=v'(0)=\frac{2P}{3EI}=\frac{40}{3EI}\ \text{rad}.$

在 $b$ 點的轉角為

$\theta_b=v'(4)=-\frac{4P}{3EI}.$

$b$ 至 $c$ 段

令 $s=x-4$，則 $0\le s\le2$，彎矩為

$M=P(s-2).$

因此

$v''=\frac{P(s-2)}{2EI}.$

核心觀念

梁上下表面溫度不同時，會產生非均勻熱應變，使梁產生自由曲率。矩形斷面之熱曲率為

$$\kappa_T=\frac{\alpha(T_1-T_2)}{h}$$

其中 $h=40\text{ cm}$ 為梁深度。由於左端 $A$ 固定、右端 $B$ 為滾支承，梁端點的相對轉角與垂直位移受到約束，因此會產生彎矩。

右端為滾支承，故

$$M_B=0$$

解題方法

梁長 $L=3\text{ m}$，斷面寬度 $b=20\text{ cm}=0.2\text{ m}$，深度 $h=40\text{ cm}=0.4\text{ m}$。

矩形斷面慣性矩為

$$I=\frac{bh^3}{12} =\frac{(0.2)(0.4)^3}{12} =1.0667\times10^{-3}\text{ m}^4$$

溫度差為

$$\Delta T=T_1-T_2=55-25=30^\circ\text{C}$$

因此自由熱曲率大小為

$$\kappa_T =\frac{\alpha\Delta T}{h} =\frac{(12\times10^{-6})(30)}{0.4} =9.0\times10^{-4}\text{ m}^{-1}$$

彎曲剛度為

$$EI=(200\times10^9)(1.0667\times10^{-3}) =2.1333\times10^8\text{ N}\cdot\text{m}^2$$

設固定端 $A$ 的內力矩大小為 $M_A$。由於無外加橫向分布載重，彎矩圖為由 $M_A$ 線性變化至 $B$ 端的零彎矩：

$$M(x)=M_A\left(1-\frac{x}{L}\right)$$

核心觀念

本題以傾角變位法求剛架各桿端彎矩，再由構件平衡求反力與剪力圖、彎矩圖。採用順時針桿端彎矩為正，梁的彎矩圖以正值表示下凹（撓曲拉力在下緣）。

圖示幾何為：$AB=BC=12\text{ m}$、$BD=CE=12\text{ m}$；$A$ 為鉸支承，$D、E$ 為固定端。梁 $AB$ 的剛性為 $2EI$，梁 $BC$ 與兩柱的剛性均為 $EI$。全梁承受 $30\text{ kN/m}$ 均佈載重。忽略軸向變形時，支承 $A$ 使梁的水平位移為零，故本架無側移；未知轉角只有 $\theta_B、\theta_C$。

均佈載重的固定端彎矩為

$$M_{AB}^{F}=-\frac{wL^2}{12}=-360\text{ kN·m}, \qquad M_{BA}^{F}=+360\text{ kN·m}$$

梁 $BC$ 的固定端彎矩亦為 $M_{BC}^{F}=-360$、$M_{CB}^{F}=+360\text{ kN·m}$。

解題方法與計算

無側移構件的傾角變位式為

$$M_{ij}=M_{ij}^{F}+\frac{2EI_m}{L}(2\theta_i+\theta_j), \qquad M_{ji}=M_{ji}^{F}+\frac{2EI_m}{L}(2\theta_j+\theta_i)$$

其中 $EI_m$ 是該構件的撓曲剛性。$A$ 為鉸支承，故 $M_{AB}=0$。代入梁 $AB$ 的剛性 $2EI$ 與長度 $12\text{ m}$：

$$-360+\frac{EI}{3}(2\theta_A+\theta_B)=0$$

消去自由轉角 $\theta_A$ 後，$AB$ 在 $B$ 端的彎矩可寫為

$$M_{BA}=540+\frac{EI}{2}\theta_B$$

其餘桿端彎矩為

$$M_{BC}=-360+\frac{EI}{6}(2\theta_B+\theta_C), \qquad M_{CB}=360+\frac{EI}{6}(2\theta_C+\theta_B)$$

兩柱底端固定，故

$$M_{BD}=\frac{EI}{3}\theta_B, \qquad M_{CE}=\frac{EI}{3}\theta_C$$

在 $B、C$ 節點分別使用彎矩平衡：

$$M_{BA}+M_{BC}+M_{BD}=0, \qquad M_{CB}+M_{CE}=0$$

令 $x=EI\theta_B$、$y=EI\theta_C$，得到

$$7x+y=-1080, \qquad x+4y=-2160$$

解得 $x=-80$、$y=-520$，因此桿端彎矩為

$$\begin{aligned} M_{AB}&=0, & M_{BA}&=500,\\ M_{BC}&=-473.33, & M_{CB}&=173.33,\\ M_{BD}&=-26.67, & M_{DB}&=-13.33,\\ M_{CE}&=-173.33, & M_{EC}&=-86.67 \end{aligned} \qquad(\text{kN·m})$$

其中 $M_{DB}$、$M_{EC}$ 為兩柱固定端的桿端彎矩。

支承反力

梁 $AB$ 以 $A$ 端彎矩為零、$B$ 端彎矩圖值為 $-500\text{ kN·m}$，由靜力平衡得

$$R_A=\frac{30(12)^2/2-500}{12}=138.33\text{ kN}$$

梁 $BC$ 的 $B、C$ 端彎矩圖值分別為 $-473.33、-173.33\text{ kN·m}$，故其兩端垂直剪力為 $205、155\text{ kN}$。各支承反力如下（水平向右、垂直向上、逆時針為正）：

核心觀念

本題考查剛架的矩陣位移法。由於忽略軸向變形：

• $b,c,d$ 三點的水平位移相同，記為 $\Delta$。
• 柱腳 $a,e$ 固定。
• 樑柱接頭為剛接，節點轉角為 $\theta_b,\theta_c,\theta_d$。
• $c$ 點仍具有鉛直位移 $v_c$。
• 每根柱長 $4\ \text{m}$，中點受水平力；上部樑各跨長 $3\ \text{m}$。
• 柱的彎曲剛度為 $2EI$，樑的彎曲剛度為 $EI$。

取自由度

$$\mathbf q= \begin{bmatrix} \Delta&\theta_b&\theta_c&\theta_d&v_c \end{bmatrix}^{T}$$

其中 $\Delta$ 向右為正、$v_c$ 向上為正、轉角逆時針為正。

---

解題方法

樑構件的局部剛度矩陣為

$$\mathbf k_b=\frac{EI}{L^3} \begin{bmatrix} 12&6L&-12&6L\\ 6L&4L^2&-6L&2L^2\\ -12&-6L&12&-6L\\ 6L&2L^2&-6L&4L^2 \end{bmatrix}$$

柱構件因座標方向為鉛直，採用相同彎曲關係並調整轉角符號。將柱中點的內部自由度消去後，組合兩根柱與兩跨樑，可得縮減剛度方程式：

$$\mathbf K\mathbf q=\mathbf P$$

其中

$$\mathbf K=EI \begin{bmatrix} \frac34&-\frac34&0&-\frac34&0\\ -\frac34&\frac{10}{3}&\frac23&0&-\frac23\\ 0&\frac23&\frac83&\frac23&0\\ -\frac34&0&\frac23&\frac{10}{3}&\frac23\\ 0&-\frac23&0&\frac23&\frac89 \end{bmatrix}$$

柱中點水平力所造成的等效節點力矩為：

• 左柱中點水平力向左：在 $b$ 點產生等效力矩 $-6\ \text{kN}\cdot\text{m}$。
• 右柱中點水平力向右：在 $d$ 點產生等效力矩 $+6\ \text{kN}\cdot\text{m}$。

因此

$$\mathbf P= \begin{bmatrix} 0\\ -6\\ 0\\ 6\\ -12 \end{bmatrix}$$

其中 $c$ 點鉛直集中力為 $12\ \text{kN}$ 向下。

解得

$$\boxed{\Delta=0}$$ $$\boxed{ \theta_b=-\frac{45}{7EI},\qquad \theta_c=0,\qquad \theta_d=\frac{45}{7EI} }$$ $$\boxed{ v_c=-\frac{162}{7EI} }$$

若 $EI$ 以 $\text{kN}\cdot\text{m}^2$ 表示，則：

$$\theta_b=-\frac{6.4286}{EI},\qquad \theta_d=\frac{6.4286}{EI}$$ $$v_c=-\frac{23.1429}{EI}\ \text{m}$$

負號表示 $c$ 點向下位移。

---

桿件端點彎矩

以下採各桿件局部端力向量