113 年 國立中央大學土木工程學系碩士班甲：結構組《結構學》

核心觀念

本題屬於「固定端梁加支承」的彎曲分析，需使用：

• 整體平衡方程式：
  $\sum F_y=0,\qquad \sum M=0$
• 支承變形相容條件；
• 剪力與彎矩關係：
  $\frac{dV}{dx}=-w,\qquad \frac{dM}{dx}=V$
• 集中力使剪力圖產生跳躍，集中力矩使彎矩圖產生跳躍。

梁上各點位置為

$A=0,\quad B=6\text{ m},\quad C=8\text{ m},\quad D=10\text{ m},\quad E=12\text{ m}.$

均布載重為 $2\text{ kN/m}$，作用於 $AB$，其合力為

$W=2(6)=12\text{ kN},$

作用位置距 $A$ 點 $3\text{ m}$。

圖面資料不足

依所附圖，$D$ 點標示「半剛接（鉸接＋旋轉彈簧）」，但未標出旋轉彈簧勁度 $k_\theta$；此外，$D$ 點「$3\text{ kN}$」斜向力的作用角度也未標示。

半剛接的力矩關係為

$M_D=k_\theta(\theta_D^+-\theta_D^-).$

因此，若缺少 $k_\theta$，便無法決定 $D$ 點的接頭彎矩，也無法唯一求得支承反力及彎矩圖。若斜向力角度為 $\theta$，其垂直分量亦應為

$P_y=3\sin\theta.$

故原圖資料不足以產生唯一的數值答案。

以下採常見簡化假設示範：

1. $D$ 點的半剛接暫視為一般梁段，不另計接頭彎矩；
2. $3\text{ kN}$ 視為垂直向下集中力；
3. $C$ 為水平導向支承，$E$ 為豎向滾支承；
4. 梁的 $EI$ 為常數。

支承反力

因所有外力均為豎向力，$C$ 點的水平反力為

$C_x=0.$

設 $E_y$ 向上，固定端反力為 $A_y$，固定端反力矩為 $M_A$。

變形相容條件

將 $E_y$ 視為固定端懸臂梁端部的冗餘力。

均布載重 $2\text{ kN/m}$ 作用於 $0\le x\le6$，在 $E$ 點造成的向下位移為

$$\delta_{w} =\frac{wa^2(6L^2-4La+a^2)}{24EI},$$

其中 $w=2$、$a=6$、$L=12$，故

$\delta_w=\frac{1836}{EI}.$

$D$ 點的 $3\text{ kN}$ 向下集中力造成的端點位移為

$$\delta_P =\frac{Pa^2(3L-a)}{6EI} =\frac{3(10)^2(3\cdot12-10)}{6EI} =\frac{1300}{EI}.$$

$E_y$ 造成的端點位移為

$$\delta_E=\frac{E_yL^3}{3EI} =\frac{576E_y}{EI}.$$

由 $E$ 點支承限制垂直位移：

$\delta_E-\delta_w-\delta_P=0,$

因此

$576E_y-1836-1300=0,$

$\boxed{E_y=5.451\text{ kN}}.$

由豎向力平衡：

$A_y+E_y-12-3=0,$

$\boxed{A_y=9.549\text{ kN}}.$

取 $A$ 點力矩平衡，並以逆時針為正；圖中 $C$ 點 $2\text{ kN}\cdot\text{m}$ 力矩若取順時針：

$M_A+12E_y-12(3)-3(10)-2=0.$

代入 $E_y=5.451\text{ kN}$：

$M_A+65.412-36-30-2=0,$

$\boxed{M_A=2.588\text{ kN}\cdot\text{m}}.$

剪力圖

各區段剪力如下。

$A$ 至 $B$

$V(x)=A_y-2x=9.549-2x,\qquad 0\le x\le6.$

因此

$V_A=9.549\text{ kN},$

$V_B=9.549-12=-2.451\text{ kN}.$

$B$ 至 $D$

核心觀念

本題考查：

1. 靜定桁架之節點法。
2. 桿件軸力造成的位移：虛功法。
3. 溫度變化造成的自由伸長：
   $\delta_T=\alpha\Delta T L$
4. 外力與溫度共同作用下的節點位移：
   $\Delta=\sum\frac{NnL}{AE}+\sum n\alpha\Delta T L$

其中：

• $N$：實際荷載作用下的桿件軸力。
• $n$：在欲求位移方向施加單位力後的桿件軸力。
• 拉力取正，壓力取負。

依圖取 $c$ 為鉸支承、$e$ 為滾輪支承，且 $c$、$e$ 均位於右側牆面。

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一、幾何資料

桿件長度為：

$L_{ab}=L_{bc}=4\text{ m}$

$L_{bd}=3\text{ m}$

$L_{ad}=L_{dc}=L_{de}=5\text{ m}$

斜桿的方向餘弦為：

$\cos\theta=\frac{4}{5},\qquad \sin\theta=\frac{3}{5}$

溫度應變為：

$$\alpha\Delta T =12\times10^{-6}\times30 =3.6\times10^{-4}$$

因為：

$$\frac{L}{A}=1\frac{\text{m}}{\text{cm}^2} =10^4\frac{1}{\text{m}}$$

所以：

$$\frac{L}{AE} =\frac{L/A}{E} =\frac{10^4}{200\times10^6} =5\times10^{-5}\frac{\text{m}}{\text{kN}}$$

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二、實際荷載下的桿件內力

節點 $a$

由垂直平衡：

$\frac{3}{5}N_{ad}=30$

$N_{ad}=50\text{ kN}$

由水平平衡：

$N_{ab}+\frac{4}{5}(50)=0$

$N_{ab}=-40\text{ kN}$

因此 $ad$ 為拉力，$ab$ 為壓力。

節點 $b$

由垂直平衡：

$N_{bd}=30\text{ kN}$

由水平平衡：

$40+N_{bc}=0$

$N_{bc}=-40\text{ kN}$

節點 $d$

水平及垂直平衡：

$-40+\frac45N_{dc}+\frac45N_{de}=0$

$-30-30-\frac35N_{dc}+\frac35N_{de}=0$

解得：

$N_{dc}=-25\text{ kN}$

$N_{de}=75\text{ kN}$

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三、支承反力

由節點 $c$ 及 $e$ 平衡，可得：

$C_x=-60\text{ kN},\qquad C_y=15\text{ kN}$

$E_x=60\text{ kN},\qquad E_y=45\text{ kN}$

因此：

• $C_x=60\text{ kN}$，向左。
• $C_y=15\text{ kN}$，向上。
• $E_x=60\text{ kN}$，向右。
• $E_y=45\text{ kN}$，向上。

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四、內力圖資料

以拉力為正、壓力為負，各桿件內力如下：

桿件	內力	性質
$ab$	$-40\text{ kN}$	壓力
$bc$	$-40\text{ kN}$	壓力
$bd$	$+30\text{ kN}$	拉力
$ad$	$+50\text{ kN}$	拉力
$dc$	$-25\text{ kN}$	壓力
$de$	$+75\text{ kN}$	拉力

繪製內力圖時，拉力桿於節點畫向外的箭頭；壓力桿於節點畫向內的箭頭。

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五、$a$ 點垂直位移

在 $a$ 點施加向下的單位力，所得虛桿力如下：

本題考驗使用領角變位法 (Slope-Deflection Method, SDM) 分析一剛架結構。需要計算節點的水平位移和轉角，並進而求得所有支承反力。

解題步驟：

1. 識別自由度 (Degrees of Freedom, DOF)：
   該剛架結構有兩個節點（B 和 C）和兩個構件（AB 和 BC）。

   • 節點 A 是固定支承，不能移動或轉動。
   • 節點 C 是固定支承，不能移動或轉動。
   • 節點 B 是一個內節點，可以有水平位移和轉角。
   • 構件 AB 和 BC 之間是剛接。

   由於 A 和 C 是固定支承，它們的位移和轉角均為零。
   節點 B 允許水平位移，設為 $\Delta_B$。
   節點 B 允許旋轉，設為 $\theta_B$。
   因此，該結構有兩個自由度：水平位移 $\Delta_B$ 和節點 B 的轉角 $\theta_B$。

2. 建立領角變位方程式：
   領角變位法是基於構件兩端的彎矩與相對位移（包括轉角和節點位移）之間的關係。
   方程式形式為：$M_{ij} = M_{ij}^{\text{fixed}} + \frac{2EI}{L}(2\theta_i + \theta_j - 3\psi) + \frac{6EI}{L^2}\Delta x$ (對於垂直構件)
   $M_{ij} = M_{ij}^{\text{fixed}} + \frac{2EI}{L}(2\theta_i + \theta_j - 3\psi)$ (對於水平構件，若無水平位移)
   $M_{ij} = M_{ij}^{\text{fixed}} + \frac{2EI}{L}(2\theta_i + \theta_j) + \frac{6EI}{L^2}\Delta x$ (對於水平構件，若有水平位移 $\Delta x$)

   其中：

   • $M_{ij}$：構件 $ij$ 端部的彎矩。
   • $M_{ij}^{\text{fixed}}$：由於外力造成的固定端彎矩 (Fixed-end moments, FEM)。
   • $L$：構件長度。
   • $\theta_i, \theta_j$：節點 $i, j$ 的轉角。
   • $\psi$：構件 $ij$ 的相對轉角（通常為零，除非有鉸）。
   • $\Delta x$：構件兩端節點的相對水平位移。

   構件 AB：

   • 長度 $L_{AB} = 8\,\text{m}$。

   • A 點：固定支承，$\theta_A = 0$, $\Delta x_{AB} = 0$。

   • B 點：節點 B，轉角 $\theta_B$，水平位移 $\Delta_B$。

   • A 點是左端，B 點是右端。

   • 構件 AB 是垂直構件。

   • 固定端彎矩 $M_{AB}^{\text{fixed}}$ 和 $M_{BA}^{\text{fixed}}$：
     構件 AB 上有 $4\,\text{kN/m}$ 的均佈載重，長度 $8\,\text{m}$。
     $M_{AB}^{\text{fixed}} = -\frac{wL^2}{12} = -\frac{4\,\text{kN/m} \times (8\,\text{m})^2}{12} = -\frac{4 \times 64}{12} = -\frac{256}{12} = -\frac{64}{3}\,\text{kN-m}$。
     $M_{BA}^{\text{fixed}} = +\frac{wL^2}{12} = +\frac{64}{3}\,\text{kN-m}$。

   • 領角變位方程式：
     $M_{AB} = M_{AB}^{\text{fixed}} + \frac{2EI}{L_{AB}}(2\theta_A + \theta_B - 3\psi) + \frac{6EI}{L_{AB}^2}\Delta x_{AB}$
     $M_{AB} = -\frac{64}{3} + \frac{2EI}{8}(2 \times 0 + \theta_B - 0) + \frac{6EI}{8^2}\Delta_B$
     $M_{AB} = -\frac{64}{3} + \frac{EI}{4}\theta_B + \frac{6EI}{64}\Delta_B = -\frac{64}{3} + \frac{EI}{4}\theta_B + \frac{3EI}{32}\Delta_B$

     $M_{BA} = M_{BA}^{\text{fixed}} + \frac{2EI}{L_{AB}}(2\theta_B + \theta_A - 3\psi) + \frac{6EI}{L_{AB}^2}(-\Delta x_{AB})$
     $M_{BA} = \frac{64}{3} + \frac{2EI}{8}(2\theta_B + 0 - 0) - \frac{6EI}{8^2}\Delta_B$
     $M_{BA} = \frac{64}{3} + \frac{EI}{2}\theta_B - \frac{3EI}{32}\Delta_B$

   構件 BC：

   • 長度 $L_{BC} = 8\,\text{m}$。

   • B 點：節點 B，轉角 $\theta_B$，水平位移 $\Delta_B$。

   • C 點：固定支承，$\theta_C = 0$, $\Delta x_{BC} = 0$。

   • B 點是左端，C 點是右端。

   • 構件 BC 是水平構件。

   • 固定端彎矩 $M_{BC}^{\text{fixed}}$ 和 $M_{CB}^{\text{fixed}}$：
     構件 BC 上沒有外力。所以 $M_{BC}^{\text{fixed}} = 0$, $M_{CB}^{\text{fixed}} = 0$。

   • 領角變位方程式：
     對於水平構件，有水平位移 $\Delta_B$。
     $M_{BC} = M_{BC}^{\text{fixed}} + \frac{2EI}{L_{BC}}(2\theta_B + \theta_C - 3\psi) + \frac{6EI}{L_{BC}^2}\Delta x_{BC}$
     $M_{BC} = 0 + \frac{2EI}{8}(2\theta_B + 0 - 0) + \frac{6EI}{8^2}\Delta_B$
     $M_{BC} = \frac{EI}{2}\theta_B + \frac{3EI}{32}\Delta_B$

     $M_{CB} = M_{CB}^{\text{fixed}} + \frac{2EI}{L_{BC}}(2\theta_C + \theta_B - 3\psi) - \frac{6EI}{L_{BC}^2}\Delta x_{BC}$
     $M_{CB} = 0 + \frac{2EI}{8}(2 \times 0 + \theta_B - 0) - \frac{6EI}{8^2}\Delta_B$
     $M_{CB} = \frac{EI}{4}\theta_B - \frac{3EI}{32}\Delta_B$

3. 建立平衡方程式：

   • 節點 B 的彎矩平衡： 節點 B 是內節點，在 B 點的彎矩必須為零 (除非有外加力偶)。
     $M_{BA} + M_{BC} = 0$
     $(\frac{64}{3} + \frac{EI}{2}\theta_B - \frac{3EI}{32}\Delta_B) + (\frac{EI}{2}\theta_B + \frac{3EI}{32}\Delta_B) = 0$
     $\frac{64}{3} + EI\theta_B = 0$
     $EI\theta_B = -\frac{64}{3}\,\text{kN-m}^2$
     $\theta_B = -\frac{64}{3EI}$

   • 節點 B 的水平力平衡：
     在節點 B 處，作用有水平方向的外力（如果有的話），以及構件 AB 和 BC 的水平方向的力。
     構件 AB 的水平力 $H_{AB}$ (從 B 指向 A)。
     構件 BC 的水平力 $H_{BC}$ (從 B 指向 C)。
     $H_{AB} = \frac{M_{BA} + M_{AB}}{L_{AB}} = \frac{(\frac{64}{3} + \frac{EI}{2}\theta_B - \frac{3EI}{32}\Delta_B) + (-\frac{64}{3} + \frac{EI}{4}\theta_B + \frac{3EI}{32}\Delta_B)}{8}$
     $H_{AB} = \frac{\frac{3EI}{4}\theta_B}{8} = \frac{3EI}{32}\theta_B$

     $H_{BC} = \frac{M_{CB} - M_{BC}}{L_{BC}} = \frac{(\frac{EI}{4}\theta_B - \frac{3EI}{32}\Delta_B) - (\frac{EI}{2}\theta_B + \frac{3EI}{32}\Delta_B)}{8}$
     $H_{BC} = \frac{-\frac{EI}{4}\theta_B - \frac{6EI}{32}\Delta_B}{8} = -\frac{EI}{32}\theta_B - \frac{3EI}{128}\Delta_B$

     節點 B 處沒有外加水平力。所以 $H_{AB} + H_{BC} = 0$。
     $\frac{3EI}{32}\theta_B + (-\frac{EI}{32}\theta_B - \frac{3EI}{128}\Delta_B) = 0$
     $\frac{2EI}{32}\theta_B - \frac{3EI}{128}\Delta_B = 0$
     $\frac{EI}{16}\theta_B = \frac{3EI}{128}\Delta_B$
     $\theta_B = \frac{16 \times 3}{128} \Delta_B = \frac{48}{128} \Delta_B = \frac{3}{8} \Delta_B$

   • 聯立求解 $\theta_B$ 和 $\Delta_B$：
     我們有兩個方程式：

     1. $EI\theta_B = -\frac{64}{3}$

題意辨識

原卷掃描圖第 4 題實際要求的是 D 點的水平與垂直位移；題中文字寫成 A 點應為誤植。以下依原卷圖形計算。若只問 A 點，因 A 為鉸支點，故 $u_A=v_A=0$。

核心觀念

桁架構件只承受軸力。直接勁度法中，二維桁架構件對節點的勁度矩陣為

$$\mathbf{k}^{(e)} =\frac{EA}{L} \begin{bmatrix} c^2&cs&-c^2&-cs\\ cs&s^2&-cs&-s^2\\ -c^2&-cs&c^2&cs\\ -cs&-s^2&cs&s^2 \end{bmatrix},$$

其中 $c=\cos\theta$、$s=\sin\theta$。

A、B、C 均為鉸支點，因此

$$u_A=v_A=u_B=v_B=u_C=v_C=0。$$

未知量只有 D 點的兩個位移 $u_D,v_D$。

幾何與外力

依圖可得：

• $AD=8\,\text{m}=8000\,\text{mm}$
• $BD=DC=5\,\text{m}=5000\,\text{mm}$
• $EA=200\times50=10000\,\text{kN}$

外力 $50\,\text{kN}$ 為 3–4–5 方向，因此

$$P_{Dx}=50\frac{4}{5}=40\,\text{kN}, \qquad P_{Dy}=50\frac{3}{5}=30\,\text{kN}.$$

各構件方向餘弦取由支承點指向 D 點：

$$\begin{array}{c|c|c|c} \text{構件}&L&c&s\\ \hline AD&8000&1&0\\ BD&5000&\frac45&\frac35\\ CD&5000&-\frac35&\frac45 \end{array}$$

直接勁度法組裝

只取各構件對 D 點的勁度子矩陣。

構件 $AD$

$$\mathbf{k}_{AD,D} =\frac{10000}{8000} \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.25&0\\ 0&0 \end{bmatrix} \ \text{kN/mm}.$$

構件 $BD$

$$\mathbf{k}_{BD,D} =2 \begin{bmatrix} (4/5)^2&(4/5)(3/5)\\ (4/5)(3/5)&(3/5)^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.28&0.96\\ 0.96&0.72 \end{bmatrix} \ \text{kN/mm}.$$

構件 $CD$

$$\mathbf{k}_{CD,D} =2 \begin{bmatrix} (-3/5)^2&(-3/5)(4/5)\\ (-3/5)(4/5)&(4/5)^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.72&-0.96\\ -0.96&1.28 \end{bmatrix} \ \text{kN/mm}.$$

組合後：