113 年 國立中央大學土木工程學系碩士班丙：大地組《土壤力學與基礎工程》

核心觀念

本題考查：

• 總應力 $\sigma_v$：由上覆水層及飽和土壤自重所造成。
• 孔隙水壓 $u$：由水力坡降及測點高程決定。
• 有效應力原理：
  $\sigma'_v=\sigma_v-u$
• 砂湧臨界水力坡降：

$$i_c=\frac{\gamma'}{\gamma_w} =\frac{\gamma_{sat}-\gamma_w}{\gamma_w}$$

依圖，A 為土樣頂部、C 位於距 A 向下 $z=3$ m 處、B 為土樣底部；上方水深 $H_1=2$ m，土樣厚度 $H_2=6$ m。

水力坡降與孔隙水壓

取 A 為高程基準，令 $x$ 為自 A 向下的深度：

• A：$x=0$
• C：$x=z=3$ m
• B：$x=H_2=6$ m

向上滲流的水力坡降為

$$i=\frac{h}{H_2}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$

底部總水頭比頂部高 $h$，因此土樣內距 A 向下 $x$ m 處的總水頭為

$$\mathcal{H}(x)=H_1+\frac{h}{H_2}x$$

該處高程為 $-x$，由

$$\mathcal{H}=e+\frac{u}{\gamma_w}$$

可得

$$u(x)=\gamma_w\left[H_1+\left(1+\frac{h}{H_2}\right)x\right]$$

代入數值：

$$u(x)=10\left[2+\left(1+\frac{4}{6}\right)x\right] =20+\frac{50}{3}x\ \text{kPa}$$

總應力、孔隙水壓與有效應力分布

令 $D$ 為自上方自由水面向下的深度。

1. 上方水層：$0\le D\le H_1$

$$\sigma_v=\gamma_wD=10D$$ $$u=\gamma_wD=10D$$ $$\sigma'_v=0$$

因此在水層內，總應力線與孔隙水壓線重合，有效應力為零。

2. 土樣內：$H_1\le D\le H_1+H_2$

令 $x=D-H_1$，則

$$\sigma_v=\gamma_wH_1+\gamma_{sat}x =20+20x$$ $$u=20+\frac{50}{3}x$$ $$\sigma'_v=\sigma_v-u =\frac{10}{3}x$$

所以土樣內三條線的斜率為：

• 總應力：$20\ \text{kPa/m}$
• 孔隙水壓：$\dfrac{50}{3}=16.67\ \text{kPa/m}$
• 有效應力：$\dfrac{10}{3}=3.33\ \text{kPa/m}$

本題考驗學生對滲流問題的流網分析法 (Flow Net Analysis) 的應用，以及計算滲流量和水頭的關係。

核心觀念：

1. 滲流問題： 水在多孔介質（土壤）中的流動，遵循達西定律 (Darcy's Law)。
2. 流網 (Flow Net)： 繪製等水頭線 (Equipotential Lines) 和等流線 (Flow Lines) 所構成的網格，用於求解二維穩定滲流問題。
3. 滲流量 ($Q$)： $Q = k \times H \times \frac{N_f}{N_d}$，其中 $k$ 為滲透係數， $H$ 為總水頭差，$N_f$ 為流槽數 (Number of Flow Channels)，$N_d$ 為水頭下降級數 (Number of equipotential drops)。
4. 總水頭 (Total Head)： 總水頭等於壓力水頭 (Piezometric Head) 加上位能水頭 (Elevation Head)。在滲流分析中，我們通常關注的是壓力水頭的變化，或者總水頭的變化。

解題步驟：

1. 理解問題與繪製流網：

• 題目描述了一個水庫滲流問題，上游水位與下游水位差為 $h = 50 \text{ m}$。
• 土壤滲透係數 $k = 1 \times 10^{-5} \text{ m/hour}$。
• 下游水位面設為基準 (datum)，即其位能水頭為 0。
• 圖 2 顯示了一個擋土牆或壩體後方的滲流情況，底部有不透水層 (Impermeable layer)，上方有滲流土層。
• 圖示中有一個 Graded filter，這通常是為了防止土壤流失。
• 我們需要根據圖示的幾何形狀，繪製流網。流網的繪製需要滿足以下條件：
  • 等流線與不透水邊界平行。
  • 等水頭線與不透水邊界垂直。
  • 等流線與等水頭線相互垂直。
  • 網格單元盡可能為方形 (即 $\Delta s \approx \Delta h_l$)。
• 題目沒有提供詳細的幾何尺寸（如牆體寬度、土壤層厚度等），因此無法精確繪製流網。
• 假設圖示代表一個典型的地下滲流情況，例如水壩或擋土牆後方的滲流。
• 通常，在這種情況下，我們需要根據圖示的比例來估計 $N_f$ 和 $N_d$。
• 由於題目未提供圖形的比例尺，並且沒有要求繪製流網，我們需要假設圖示的形狀代表了流網的結構，並從圖中讀取 $N_f$ 和 $N_d$。

2. 從圖中讀取流網參數 ($N_f$ 和 $N_d$)：

• 等流線 ($N_f$)：
  • 從圖中觀察，水從上游高水位面滲流到下游低水位面。
  • 水流路徑由幾個「流槽」組成。
  • 數一下有多少條「流線」能夠大致代表水流路徑。
  • 觀察圖 2：
    • 從上游高水位面開始，有幾條曲線描述了水流的路徑。
    • 這些曲線的終點在下游低水位面。
    • 假設圖示中的曲線已經代表了流網的等流線。
    • 數一下有多少個完整的流槽。圖中有明顯的 3 條等流線被標示出來，形成 2 個流槽。
    • 因此，假設 $N_f = 2$。
• 水頭下降級數 ($N_d$)：

本題主要考驗學生對 Rankine 主動土壓力理論在黏土邊坡上的應用，特別是考慮到黏土的不排水剪力強度和潛在的張力區 (Tension Crack)。

核心觀念：

1. Rankine 主動土壓力理論： 用於計算土壤對擋土結構的主動土壓力。對於均質土體，主動土壓力係數 $K_a = \tan^2(45^\circ - \phi/2)$。
2. 黏土的主動土壓力： 對於黏土，其不排水剪力強度 $c_u$ (或 $c$) 會影響土壓力。在不排水條件下，黏土的內摩擦角 $\phi = 0$。
3. 主動土壓力公式 (Rankine, $\phi=0$)：
   • 總應力土壓力：$p_a = K_a \gamma z - 2 c_u$
   • 其中 $K_a = \tan^2(45^\circ - 0/2) = \tan^2(45^\circ) = 1$。
   • 所以，$p_a = \gamma z - 2 c_u$。
4. 張力區 (Tension Crack)： 在主動土壓力狀態下，如果土體表面有張力區，土壓力在接近地表處可能出現負值（表示拉力）。張力區的深度 $z_t$ 是使土壓力為零的深度。
5. 開裂前的推力： 積分土壓力分佈圖計算總推力。
6. 開裂後的推力： 張力區不承受拉力，積分從張力區底部開始計算。
7. 受力重心： 作用力的合力點。

已知條件：

• 擋土牆高度 $H = 4.6 \text{ m}$。
• 背填土體：飽和黏土。
• 飽和單位重 $\gamma_{sat} = 19.2 \text{ kN/m}^3$。
• 不排水剪力強度 $c_u = 6.2 \text{ kN/m}^2$。
• 由於是不排水剪力強度，內摩擦角 $\phi = 0^\circ$。
• 單位厚度：1 m。

解題步驟：

(a) 計算並繪製 Rankine 主動土壓力分佈：

• 主動土壓力係數 $K_a$：

  • 由於 $\phi = 0^\circ$， $K_a = \tan^2(45^\circ - 0^\circ/2) = \tan^2(45^\circ) = 1$。

• 主動土壓力公式：

  • $p_a(z) = K_a \gamma_{sat} z - 2 c_u$
  • $p_a(z) = (1) \times (19.2 \text{ kN/m}^3) \times z - 2 \times (6.2 \text{ kN/m}^2)$
  • $p_a(z) = 19.2 z - 12.4 \text{ kN/m}^2$
  • 其中 $z$ 是從地表開始的深度。

• 繪製土壓力分佈圖：

  • 張力區深度 $z_t$： 令 $p_a(z) = 0$。
    • $19.2 z_t - 12.4 = 0$
    • $z_t = \frac{12.4}{19.2} \approx 0.646 \text{ m}$。
  • 土壓力分佈：
    • 在 $z < z_t$ (即 $z < 0.646 \text{ m}$) 處，理論上土壓力為負值（張力），但在實際工程中，我們認為張力區不承受拉力，所以土壓力為 0。
    • 在 $z = z_t = 0.646 \text{ m}$ 處，土壓力 $p_a = 0$。
    • 在 $z = H = 4.6 \text{ m}$ 處，土壓力 $p_a(4.6) = 19.2 \times 4.6 - 12.4 = 88.32 - 12.4 = 75.92 \text{ kN/m}^2$。
  • 土壓力圖形：
    • 從 $z=0$ 到 $z \approx 0.646 \text{ m}$，土壓力為 0。
    • 從 $z \approx 0.646 \text{ m}$ 開始，土壓力隨深度線性增加。
    • 在 $z = 4.6 \text{ m}$ 處，土壓力為 $75.92 \text{ kN/m}^2$。
    • 該圖形是一個三角形，頂點位於 $z \approx 0.646 \text{ m}$，底邊在 $z = 4.6 \text{ m}$，壓力為 $75.92 \text{ kN/m}^2$。

(b) 求張力區發生之深度：

• 如 (a) 所計算，張力區深度 $z_t$ 是使土壓力為零的深度。
• $z_t = \frac{2 c_u}{K_a \gamma_{sat}} = \frac{2 \times 6.2}{1 \times 19.2} = \frac{12.4}{19.2} \approx 0.646 \text{ m}$。

(c) 計算黏土發生開裂前每單位厚度之擋土牆所受之推力：

• 「開裂前」意味著我們計算整個深度範圍內的土壓力，包括理論上的負值部分。

• 總推力 $P_a = \int_0^H p_a(z) dz = \int_0^H (K_a \gamma_{sat} z - 2 c_u) dz$。

• $P_a = \left[ \frac{1}{2} K_a \gamma_{sat} z^2 - 2 c_u z \right]_0^H$

• $P_a = \frac{1}{2} K_a \gamma_{sat} H^2 - 2 c_u H$

• $P_a = \frac{1}{2} (1) (19.2) (4.6)^2 - 2 (6.2) (4.6)$

• $P_a = 0.5 \times 19.2 \times 21.16 - 12.4 \times 4.6$

• $P_a = 9.6 \times 21.16 - 57.04$

• $P_a = 203.136 - 57.04 = 146.096 \text{ kN/m}$ (每單位厚度)。

• 另一種解釋： 「開裂前」可能指我們將圖形視為一個整體，包括負壓力部分。

• 圖形是從 $z=0$ 到 $z=H$ 的土壓力。

• 土壓力圖形可以看作一個三角形（從 $z_t$ 到 $H$）加上一個矩形（從 $z=0$ 到 $z_t$，理論負壓力）。

• 矩形面積（張力部分）= $z_t \times (-2 c_u) = 0.646 \times (-12.4) = -8.01 \text{ kN/m}$。

• 三角形面積（壓力部分）= $\frac{1}{2} \times (H - z_t) \times p_a(H) = \frac{1}{2} \times (4.6 - 0.646) \times 75.92$

  • $= \frac{1}{2} \times 3.954 \times 75.92 \approx 150.11 \text{ kN/m}$。

• 總推力 = 矩形面積 + 三角形面積 = $-8.01 + 150.11 = 142.1 \text{ kN/m}$。

• 兩種計算結果略有差異，可能是由於四捨五入。

• 使用積分公式結果：$P_a = 146.096 \text{ kN/m}$。

• 這個結果包含了理論上的拉力。

(d) 計算黏土發生開裂後每單位厚度之擋土牆所受之推力。並求出擋土牆受力之重心：

核心觀念

本題採飽和黏土的不排水總應力分析，因此：

$\phi_u=0,\qquad c_u=30\ \text{kN/m}^2$

廣義一般承載力公式為：

$$q_u = c_uN_cF_{cs}F_{cd}F_{ci} + qN_qF_{qs}F_{qd}F_{qi} + \frac{1}{2}\gamma B N_\gamma F_{\gamma s}F_{\gamma d}F_{\gamma i}$$

其中基礎位於地表，故埋置深度 $D_f=0$，上覆載重：

$q=\gamma D_f=0$

對於 $\phi_u=0$：

$N_c=5.14,\qquad N_q=1,\qquad N_\gamma=0$

垂直載重無傾斜，因此各傾斜影響因子皆為 $1$。又因為 $L\gg B$，可視為條形基礎，形狀影響因子：

$F_{cs}=1+0.2\frac{B}{L}\approx1$

---

解題方法與計算

(a) 載重無偏心

無偏心時，基礎有效寬度就是：

$B'=B=2\ \text{m}$

由於 $D_f=0$、$q=0$、$N_\gamma=0$，超載項與土重項均為零，因此：

$$q_u=c_uN_c$$ $$q_u=30(5.14)=154.2\ \text{kN/m}^2$$

若換算成單位長度的極限荷重：

$$\frac{Q_u}{L}=q_uB =154.2(2) =308.4\ \text{kN/m}$$

---

(b) 載重單向偏心，$e=0.2$ m

單向偏心時，採有效寬度法：

$$B'=B-2e$$ $$B'=2-2(0.2)=1.6\ \text{m}$$

因為仍為條形基礎，$L\gg B'$，所以：

$$$$

核心觀念

本題綜合考查：

• 現地試驗：CPT、SPT 的設備與比較。
• 邊坡穩定：滑動基本條件、無限邊坡與有限邊坡之安全係數。
• 樁基礎：樁側摩阻力、設計承載力與樁基礎分類。

---

(a) CPT device

解題方法

CPT（Cone Penetration Test，圓錐貫入試驗）以液壓設備將圓錐探頭等速壓入地層，連續量測貫入阻抗與側摩阻力；若配置孔隙水壓濾器，也可量測孔隙水壓。

示意圖

              反力架／液壓貫入裝置
                    │
                    │  推進桿
                    │
                    │
              ┌─────┴─────┐
              │  摩擦套筒 │  ← 側摩阻力 fs
              ├───────────┤
              │ 孔隙水壓濾器│ ← 孔隙水壓 u
              ├───────────┤
              │  圓錐探頭 │  ← 圓錐尖端阻力 qc
              └─────▼─────┘
                 地層表面
────────────────────────────────
                 土層

CPT 探頭的主要量測項目為：

• 圓錐尖端阻力 $q_c$
• 摩擦套筒側摩阻力 $f_s$
• 孔隙水壓 $u$（CPTu）

解題技巧

CPT 的關鍵字是「連續貫入、連續量測、無取樣」。圖中必須畫出圓錐尖端、摩擦套筒、推進桿及貫入設備。

【答案】CPT 由液壓貫入裝置、推進桿、圓錐尖端、摩擦套筒及孔隙水壓濾器組成，量測 $q_c$、$f_s$ 及 $u$。

---

(b) SPT device

解題方法

SPT（Standard Penetration Test，標準貫入試驗）在鑽孔內使用標準分離式取土器，以標準重量與落距的落錘反覆打擊，使取土器貫入土中，記錄標準貫入值 $N$。

標準條件通常為：

• 落錘重量：$63.5\ \text{kg}$，約 $140\ \text{lb}$
• 落距：$760\ \text{mm}$，約 $30\ \text{in}$
• 標準貫入長度：$300\ \text{mm}$

示意圖

                 落錘
              ┌────────┐
              │ 63.5 kg│
              └────┬───┘
                   │  落距 760 mm
                   ▼
              ┌────────┐
              │ 砧座   │
              └────┬───┘
                   │
                 鑽桿
                   │
                   │
              ┌────┴────┐
              │ 分離式  │
              │ 取土器  │ ← Split-spoon sampler
              └────┬────┘
                   ▼
────────────────────────────────
                 鑽孔底部

SPT 的 $N$ 值是取土器貫入最後 $300\ \text{mm}$ 所需的有效擊數：

$$N=N_{30\text{ mm to }45\text{ mm}}+N_{45\text{ mm to }75\text{ mm}}$$

實務上常以最後 $300\ \text{mm}$ 的擊數作為標準貫入值，前 $150\ \text{mm}$ 通常作為座入段，不列入正式 $N$ 值。

【答案】SPT device 包含落錘、砧座、鑽桿及標準分離式取土器；以標準落錘打擊取土器，量測標準貫入值 $N$。

---

(c) What is the most distinctive advantage of SPT compared to CPT?

核心觀念

SPT 最具代表性的優勢，是在貫入過程中可以取得土樣；CPT 則主要提供連續性的貫入阻力資料，通常不取得傳統意義上的土樣。

SPT 取得的土樣可用於：

• 判斷土壤種類與顏色。
• 觀察顆粒組成與夾層。
• 進行含水量、粒徑分析等室內試驗。
• 協助確認地層判釋結果。

解題技巧

CPT 的優勢是連續、快速、高解析度；SPT 最明顯的優勢則是「可取樣」。題目問的是 distinctive advantage，答案應直接鎖定取樣能力。

【答案】SPT 相較於 CPT 最具特色的優勢是能在試驗過程中取得土樣，供地層辨識與室內試驗使用。

---

(d) What is the most fundamental reason for landslide occurrence?

核心觀念

邊坡發生滑動的根本原因，是滑動面上的剪應力超過土體可提供的抗剪強度：

$$\tau_{\text{mobilized}}>\tau_f$$

有效應力抗剪強度可表示為：

$$\tau_f=c'+\sigma_n'\tan\phi'$$

其中：

• $c'$：有效凝聚力
• $\sigma_n'$：有效正應力
• $\phi'$：有效摩擦角

以安全係數表示：

$$FS=\frac{\text{抗滑力}}{\text{下滑力}}$$

當

$$FS<1.0$$

即表示在該分析條件下邊坡達到破壞狀態。

降雨、地下水位上升、地震、坡腳開挖及坡頂堆載，都是造成抗剪強度降低或下滑力增加的外在因素，但不是滑動的最基本力學判準。

【答案】滑動面上的剪應力超過土體抗剪強度，即 $\tau_{\text{mobilized}}>\tau_f$，或等價地說 $FS<1$。

---

(e) What kind of equilibrium are we using for deriving the factor of safety for finite slopes with a circular slope surface?

核心觀念

本題考驗學生對滲流問題的流網分析法 (Flow Net Analysis) 的應用，以及計算滲流量和水頭的關係。

核心觀念：

1. 滲流問題： 水在多孔介質（土壤）中的流動，遵循達西定律 (Darcy's Law)。
2. 流網 (Flow Net)： 繪製等水頭線 (Equipotential Lines) 和等流線 (Flow Lines) 所構成的網格，用於求解二維穩定滲流問題。
3. 滲流量 ($Q$)： $Q = k \times H \times \frac{N_f}{N_d}$，其中 $k$ 為滲透係數， $H$ 為總水頭差，$N_f$ 為流槽數 (Number of Flow Channels)，$N_d$ 為水頭下降級數 (Number of equipotential drops)。
4. 總水頭 (Total Head)： 總水頭等於壓力水頭 (Piezometric Head) 加上位能水頭 (Elevation Head)。在滲流分析中，我們通常關注的是壓力水頭的變化，或者總水頭的變化。

解題步驟：

1. 理解問題與繪製流網：

• 題目描述了一個水庫滲流問題，上游水位與下游水位差為 $h = 50 \text{ m}$。
• 土壤滲透係數 $k = 1 \times 10^{-5} \text{ m/hour}$。
• 下游水位面設為基準 (datum)，即其位能水頭為 0。
• 圖 2 顯示了一個擋土牆或壩體後方的滲流情況，底部有不透水層 (Impermeable layer)，上方有滲流土層。
• 圖示中有一個 Graded filter，這通常是為了防止土壤流失。
• 我們需要根據圖示的幾何形狀，繪製流網。流網的繪製需要滿足以下條件：
  • 等流線與不透水邊界平行。
  • 等水頭線與不透水邊界垂直。
  • 等流線與等水頭線相互垂直。
  • 網格單元盡可能為方形 (即 $\Delta s \approx \Delta h_l$)。
• 題目沒有提供詳細的幾何尺寸（如牆體寬度、土壤層厚度等），因此無法精確繪製流網。
• 假設圖示代表一個典型的地下滲流情況，例如水壩或擋土牆後方的滲流。
• 通常，在這種情況下，我們需要根據圖示的比例來估計 $N_f$ 和 $N_d$。
• 由於題目未提供圖形的比例尺，並且沒有要求繪製流網，我們需要假設圖示的形狀代表了流網的結構，並從圖中讀取 $N_f$ 和 $N_d$。

2. 從圖中讀取流網參數 ($N_f$ 和 $N_d$)：

• 等流線 ($N_f$)：
  • 從圖中觀察，水從上游高水位面滲流到下游低水位面。
  • 水流路徑由幾個「流槽」組成。
  • 數一下有多少條「流線」能夠大致代表水流路徑。
  • 觀察圖 2：
    • 從上游高水位面開始，有幾條曲線描述了水流的路徑。
    • 這些曲線的終點在下游低水位面。
    • 假設圖示中的曲線已經代表了流網的等流線。
    • 數一下有多少個完整的流槽。圖中有明顯的 3 條等流線被標示出來，形成 2 個流槽。
    • 因此，假設 $N_f = 2$。
• 水頭下降級數 ($N_d$)：

本題主要考驗學生對 Rankine 主動土壓力理論在黏土邊坡上的應用，特別是考慮到黏土的不排水剪力強度和潛在的張力區 (Tension Crack)。

核心觀念：

1. Rankine 主動土壓力理論： 用於計算土壤對擋土結構的主動土壓力。對於均質土體，主動土壓力係數 $K_a = \tan^2(45^\circ - \phi/2)$。
2. 黏土的主動土壓力： 對於黏土，其不排水剪力強度 $c_u$ (或 $c$) 會影響土壓力。在不排水條件下，黏土的內摩擦角 $\phi = 0$。
3. 主動土壓力公式 (Rankine, $\phi=0$)：
   • 總應力土壓力：$p_a = K_a \gamma z - 2 c_u$
   • 其中 $K_a = \tan^2(45^\circ - 0^\circ/2) = \tan^2(45^\circ) = 1$。
   • 所以，$p_a = \gamma z - 2 c_u$。
4. 張力區 (Tension Crack)： 在主動土壓力狀態下，如果土體表面有張力區，土壓力在接近地表處可能出現負值（表示拉力）。張力區的深度 $z_t$ 是使土壓力為零的深度。
5. 開裂前的推力： 積分土壓力分佈圖計算總推力。
6. 開裂後的推力： 張力區不承受拉力，積分從張力區底部開始計算。
7. 受力重心： 作用力的合力點。

已知條件：

• 擋土牆高度 $H = 4.6 \text{ m}$。
• 背填土體：飽和黏土。
• 飽和單位重 $\gamma_{sat} = 19.2 \text{ kN/m}^3$。
• 不排水剪力強度 $c_u = 6.2 \text{ kN/m}^2$。
• 由於是不排水剪力強度，內摩擦角 $\phi = 0^\circ$。
• 單位厚度：1 m。

解題步驟：

(a) 計算並繪製 Rankine 主動土壓力分佈：

• 主動土壓力係數 $K_a$：

  • 由於 $\phi = 0^\circ$， $K_a = \tan^2(45^\circ - 0^\circ/2) = \tan^2(45^\circ) = 1$。

• 主動土壓力公式：

  • $p_a(z) = K_a \gamma_{sat} z - 2 c_u$
  • $p_a(z) = (1) \times (19.2 \text{ kN/m}^3) \times z - 2 \times (6.2 \text{ kN/m}^2)$
  • $p_a(z) = 19.2 z - 12.4 \text{ kN/m}^2$
  • 其中 $z$ 是從地表開始的深度。

• 繪製土壓力分佈圖：

  • 張力區深度 $z_t$： 令 $p_a(z) = 0$。
    • $19.2 z_t - 12.4 = 0$
    • $z_t = \frac{12.4}{19.2} \approx 0.646 \text{ m}$。
  • 土壓力分佈：
    • 在 $z < z_t$ (即 $z < 0.646 \text{ m}$) 處，理論上土壓力為負值（張力），但在實際工程中，我們認為張力區不承受拉力，所以土壓力為 0。
    • 在 $z = z_t = 0.646 \text{ m}$ 處，土壓力 $p_a = 0$。
    • 在 $z = H = 4.6 \text{ m}$ 處，土壓力 $p_a(4.6) = 19.2 \times 4.6 - 12.4 = 88.32 - 12.4 = 75.92 \text{ kN/m}^2$。
  • 土壓力圖形：
    • 從 $z=0$ 到 $z \approx 0.646 \text{ m}$，土壓力為 0。
    • 從 $z \approx 0.646 \text{ m}$ 開始，土壓力隨深度線性增加。
    • 在 $z = 4.6 \text{ m}$ 處，土壓力為 $75.92 \text{ kN/m}^2$。
    • 該圖形是一個三角形，頂點位於 $z \approx 0.646 \text{ m}$，底邊在 $z = 4.6 \text{ m}$，壓力為 $75.92 \text{ kN/m}^2$。

(a) 擋土牆隨深度之 Rankine 主動土壓力分佈：

• 土壓力公式：$p_a(z) = 19.2 z - 12.4 \text{ kN/m}^2$ (其中 $z$ 為深度，單位 m)。

核心觀念

本題採飽和黏土的不排水總應力分析，因此：

$\phi_u=0,\qquad c_u=30\ \text{kN/m}^2$

廣義一般承載力公式為：

$$q_u = c_uN_cF_{cs}F_{cd}F_{ci} + qN_qF_{qs}F_{qd}F_{qi} + \frac{1}{2}\gamma B N_\gamma F_{\gamma s}F_{\gamma d}F_{\gamma i}$$

其中基礎位於地表，故埋置深度 $D_f=0$，上覆載重：

$q=\gamma D_f=0$

對於 $\phi_u=0$：

$N_c=5.14,\qquad N_q=1,\qquad N_\gamma=0$

垂直載重無傾斜，因此各傾斜影響因子皆為 $1$。又因為 $L\gg B$，可視為條形基礎，形狀影響因子：

$F_{cs}=1+0.2\frac{B}{L}\approx1$

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解題方法與計算

(a) 載重無偏心

無偏心時，基礎有效寬度就是：

$B'=B=2\ \text{m}$

由於 $D_f=0$、$q=0$、$N_\gamma=0$，超載項與土重項均為零，因此：

$$q_u=c_uN_c$$ $$q_u=30(5.14)=154.2\ \text{kN/m}^2$$

若換算成單位長度的極限荷重：

$$\frac{Q_u}{L}=q_uB =154.2(2) =308.4\ \text{kN/m}$$

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(b) 載重單向偏心，$e=0.2$ m

單向偏心時，採有效寬度法：

$$B'=B-2e$$ $$B'=2-2(0.2)=1.6\ \text{m}$$

因為仍為條形基礎，$L\gg B'$，所以：

$$$$

核心觀念

本題綜合考查：

• 現地試驗：CPT、SPT 的設備與比較。
• 邊坡穩定：滑動基本條件、無限邊坡與有限邊坡之安全係數。
• 樁基礎：樁側摩阻力、設計承載力與樁基礎分類。

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(a) CPT device

解題方法

CPT（Cone Penetration Test，圓錐貫入試驗）以液壓設備將圓錐探頭等速壓入地層，連續量測貫入阻抗與側摩阻力；若配置孔隙水壓濾器，也可量測孔隙水壓。

示意圖

              反力架／液壓貫入裝置
                    │
                    │  推進桿
                    │
                    │
              ┌─────┴─────┐
              │  摩擦套筒 │  ← 側摩阻力 fs
              ├───────────┤
              │ 孔隙水壓濾器│ ← 孔隙水壓 u
              ├───────────┤
              │  圓錐探頭 │  ← 圓錐尖端阻力 qc
              └─────▼─────┘
                 地層表面
────────────────────────────────
                 土層

CPT 探頭的主要量測項目為：

• 圓錐尖端阻力 $q_c$
• 摩擦套筒側摩阻力 $f_s$
• 孔隙水壓 $u$（CPTu）

解題技巧

CPT 的關鍵字是「連續貫入、連續量測、無取樣」。圖中必須畫出圓錐尖端、摩擦套筒、推進桿及貫入設備。

【答案】CPT 由液壓貫入裝置、推進桿、圓錐尖端、摩擦套筒及孔隙水壓濾器組成，量測 $q_c$、$f_s$ 及 $u$。

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(b) SPT device

解題方法

SPT（Standard Penetration Test，標準貫入試驗）在鑽孔內使用標準分離式取土器，以標準重量與落距的落錘反覆打擊，使取土器貫入土中，記錄標準貫入值 $N$。

標準條件通常為：

• 落錘重量：$63.5\ \text{kg}$，約 $140\ \text{lb}$
• 落距：$760\ \text{mm}$，約 $30\ \text{in}$
• 標準貫入長度：$300\ \text{mm}$

示意圖

                 落錘
              ┌────────┐
              │ 63.5 kg│
              └────┬───┘
                   │  落距 760 mm
                   ▼
              ┌────────┐
              │ 砧座   │
              └────┬───┘
                   │
                 鑽桿
                   │
                   │
              ┌────┴────┐
              │ 分離式  │
              │ 取土器  │ ← Split-spoon sampler
              └────┬────┘
                   ▼
────────────────────────────────
                 鑽孔底部

SPT 的 $N$ 值是取土器貫入最後 $300\ \text{mm}$ 所需的有效擊數：

$$N=N_{30\text{ mm to }45\text{ mm}}+N_{45\text{ mm to }75\text{ mm}}$$

實務上常以最後 $300\ \text{mm}$ 的擊數作為標準貫入值，前 $150\ \text{mm}$ 通常作為座入段，不列入正式 $N$ 值。

【答案】SPT device 包含落錘、砧座、鑽桿及標準分離式取土器；以標準落錘打擊取土器，量測標準貫入值 $N$。

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(c) What is the most distinctive advantage of SPT compared to CPT?

核心觀念

SPT 最具代表性的優勢，是在貫入過程中可以取得土樣；CPT 則主要提供連續性的貫入阻力資料，通常不取得傳統意義上的土樣。

SPT 取得的土樣可用於：

• 判斷土壤種類與顏色。
• 觀察顆粒組成與夾層。
• 進行含水量、粒徑分析等室內試驗。
• 協助確認地層判釋結果。

解題技巧

CPT 的優勢是連續、快速、高解析度；SPT 最明顯的優勢則是「可取樣」。題目問的是 distinctive advantage，答案應直接鎖定取樣能力。

【答案】SPT 相較於 CPT 最具特色的優勢是能在試驗過程中取得土樣，供地層辨識與室內試驗使用。

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(d) What is the most fundamental reason for landslide occurrence?

核心觀念

邊坡發生滑動的根本原因，是滑動面上的剪應力超過土體可提供的抗剪強度：

$$\tau_{\text{mobilized}}>\tau_f$$

有效應力抗剪強度可表示為：

$$\tau_f=c'+\sigma_n'\tan\phi'$$

其中：

• $c'$：有效凝聚力
• $\sigma_n'$：有效正應力
• $\phi'$：有效摩擦角

以安全係數表示：

$$FS=\frac{\text{抗滑力}}{\text{下滑力}}$$

當

$$FS<1.0$$

即表示在該分析條件下邊坡達到破壞狀態。

降雨、地下水位上升、地震、坡腳開挖及坡頂堆載，都是造成抗剪強度降低或下滑力增加的外在因素，但不是滑動的最基本力學判準。

【答案】滑動面上的剪應力超過土體抗剪強度，即 $\tau_{\text{mobilized}}>\tau_f$，或等價地說 $FS<1$。

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(e) What kind of equilibrium are we using for deriving the factor of safety for finite slopes with a circular slope surface?

核心觀念