108 年 國立中央大學土木工程學系碩士班丙：大地組《土壤力學與基礎工程》

標準貫入試驗（Standard Penetration Test, SPT）是一種廣泛應用於原位測試土壤力學性質的試驗方法。

統一土壤分類系統（Unified Soil Classification System, USCS）是一種用於描述土壤質地和名稱的分類系統。

核心觀念
此題測驗的重點在於了解 過度固結黏土 (overconsolidated clay, OC) 的概念、形成原因、判定方法以及其與正常固結黏土 (normally consolidated clay, NC) 在應力‑應變行為上的差異。

1. 何謂過度固結黏土

過度固結黏土是指在地質歷史上曾經承受過 比現行有效應力 $\sigma'_0$ 更大的最大有效應力 $\sigma'_{\text{max}}$，而目前的有效應力已下降至較低值的黏土。其特性可用 過度固結比 (over‑consolidation ratio, OCR) 來量化：

若 $\text{OCR}>1$，即表明土體屬於過度固結；若 $\text{OCR}=1$，則為正常固結。

這裡的有效應力 $\sigma'$ 由總應力 $\sigma$ 減去孔隙水壓 $u$ 而得：

2. 形成原因

過度固結黏土的成因通常包括：

3. 判定方法

(a) 壓密試驗（Oedometer Test）

在實驗室中以一步步加載‑卸載的方式求得 預固結壓力 $\sigma'_{\text{pc}}$，即曲線在 $\varepsilon$‑$\log\sigma'$ 圖上由線性段轉為非線性段的拐點。常用 Casagrande 法 或 Taylor 法 估算。

• Casagrande 法：在 $\varepsilon$‑$\log\sigma'$ 曲線上
  1. 取最大曲率點；
  2. 畫過該點的切線，求切線與水平線的交點；
  3. 由此交點求得 $\sigma'_{\text{pc}}$。

核心概念
本題測驗「塑性指數（Plasticity Index, PI）」的實驗求得方法。PI 是土壤在液限（Liquid Limit, LL）與塑限（Plastic Limit, PL）之間的塑性範圍，計算式為

$\text{PI}= \text{LL}-\text{PL}$

因此，關鍵在於正確測定 液限 與 塑限 的含水量（%），再相減即可得到 PI。

解題步驟與說明

核心概念
本題測驗的是土壤力學中「孔隙比 (void ratio, $e$)」的定義。孔隙比是描述土體空隙體積相對於固體體積的指標，常用於判斷土壤的緊實程度與可壓縮性。

解題過程

1. 概念建立

   • 孔隙體積 $V_v$：土樣中所有空隙（包括水和空氣）的體積。
   • 固體體積 $V_s$：土樣中固體顆粒（礦物）所佔的體積。
   • 孔隙比 $e$：定義為「孔隙體積除以固體體積」的比值。

2. 寫出定義式
   依照上述定義，直接寫出孔隙比的公式：
   $e = \frac{V_v}{V_s}$

(N1)60 是標準貫入試驗 (Standard Penetration Test, SPT) 的一個修正值，用來標準化 N 值，考慮了能量傳遞效率和貫入深度對 N 值造成的影響。其計算方法如下：

1. (N1)60 的定義與目的：
標準貫入試驗的 N 值會受到錘擊能量傳遞效率（例如，使用不同類型的自動錘或自由落體錘）和貫入深度（因為上覆土壓力會影響結果）的影響。為了消除這些影響，進行標準化，得到 (N1)60。

• $N_60$：表示錘擊能量為標準值 60% (或稱 60% 錘擊能量修正) 的 N 值。
• $(N_1)_{60}$：表示 $N_60$ 再經過頂部土壓力修正後的值，通常指相當於 1 噸/平方英尺（約 95.8 kPa）頂部土壓力下的 $N_60$ 值。

2. 計算步驟：

首先，計算 $N_{60}$：
$N_{60} = N \times \frac{E_m}{60}$
其中：

• $N$ 是現場量測到的標準貫入試驗 N 值。
• $E_m$ 是錘擊能量傳遞效率 (hammer energy ratio)，通常以百分比表示。
  • 使用自動錘 (Automatic Trip Hammer, ATH) 時，$E_m$ 通常取 65% (0.65)。
  • 使用自由落體錘 (Donut Hammer) 時，$E_m$ 通常取 45% (0.45)。
  • 若無特別說明，一般採用標準值 60% (0.60)。

接著，計算 $(N_1)_{60}$，這是考慮了頂部土壓力修正的 $N_{60}$ 值。修正公式通常採用以下形式：
$(N_1)_{60} = C_N \times N_{60}$
其中 $C_N$ 是頂部土壓力修正係數 (correction factor for overburden pressure)。

三軸試驗 (Triaxial Test) 是測量土壤強度參數（如內摩擦角 $\phi'$ 和黏聚力 $c'$ 或 $c$）最常用的試驗之一。根據試驗過程中是否控制水的排出以及加載與排水的時機，三軸試驗可分為幾種不同類型。

要同時獲得土壤的總應力強度參數 (Total Stress Parameters, $c$ 和 $\phi$) 和有效應力強度參數 (Effective Stress Parameters, $c'$ 和 $\phi'$)，最適合的試驗類型是 固結不排水試驗 (Consolidated Drained Test, CD Test)。

不同三軸試驗類型與其參數獲取：

1. 快剪試驗 (Quick Test, UU Test - Unconsolidated Undrained Test):

   • 試驗過程中不排水，且不經過固結。
   • 測量的是總應力參數 ($c$ 和 $\phi$)。
   • 適用於快速加載的情況，如地震或瞬間載重。

2. 固結不排水試驗 (Consolidated Undrained Test, CU Test):

   • 試驗前讓試樣進行固結（排水），但在加壓過程中不排水。
   • 可以同時測量總應力參數 ($c$ 和 $\phi$)（使用 $\tau$ - $\sigma$ 圖）和有效應力參數 ($c'$ 和 $\phi'$)（使用 $\tau'$ - $\sigma'$ 圖，其中 $\sigma' = \sigma - u$）。
   • 這是最常見且實用的三軸試驗類型，能模擬大多數工程情況。

核心觀念

Standard Proctor test（標準夯實試驗）是用來研究土壤在固定夯實能量下，含水量對夯實效果的影響。

試驗中改變土樣含水量，並以標準夯實能量夯實後，計算各含水量下的乾單位重 $\gamma_d$，繪製「含水量—乾單位重曲線」。曲線通常呈拋物線形，其最高點對應兩項重要土壤性質：

1. 最佳含水量（Optimum Moisture Content, OMC）：$w_{\mathrm{opt}}$
2. 最大乾單位重（Maximum Dry Unit Weight）：$\gamma_{d,\max}$

若以乾密度表示，第二項也可寫成最大乾密度 $\rho_{d,\max}$。

解題方法

標準夯實試驗會對同一土樣添加不同水量，分別夯實並量測其濕單位重。由含水量 $w$ 可換算乾單位重：

其中：

• $\gamma_d$：乾單位重
• $\gamma$：夯實後濕單位重
• $w$：土壤含水量，以小數表示

將各組試驗結果繪製成 $\gamma_d-w$ 曲線：

核心觀念

圖中 $\sigma_1$ 為最大主應力，方向為鉛直；因此其主平面為水平面。土體依 Mohr–Coulomb 破壞準則破壞時，破壞面與最大主平面的夾角為

其中 $\phi$ 為土壤摩擦角。

解題方法

依圖令破壞面與水平線的夾角為 $\theta$。取破壞面上的正應力與剪應力，可表示為

核心觀念

本題考查一維固結理論中的時間因素：

其中：

• $T_v$：時間因子，與固結度 $U$ 有關
• $c_v$：固結係數
• $t$：達到某一固結度所需時間
• $H_{dr}$：最大排水距離

兩種情況為同一種土壤、相同壓力增量，且都要求達到 $50\%$ 固結，因此：

• $T_v$ 相同
• $c_v$ 相同

所以時間與最大排水距離平方成正比：

解題方法

1. 實驗室試體的排水距離

實驗室黏土厚度為 $25\text{ mm}$，上下兩面皆可排水，因此最大排水距離為厚度的一半：

換算為公尺：

實驗室達到 $50\%$ 固結所需時間為：

2. 現地土層的排水距離

現地黏土層厚度為 $3\text{ m}$，只有頂部排水，底部不排水，因此最大排水距離等於整個土層厚度：

3. 利用時間比例計算

此題為擋土牆的主動土壓力計算與破壞分析。

核心觀念：

• Rankine 主動土壓力理論： 適用於牆背光滑且垂直的均勻土壤。假定土壤發生破壞時，牆體向外移動，使背填土達到主動極限平衡狀態。
• 主動土壓力係數 ($K_a$)： Rankine 理論中，水平主動土壓力與垂直正向應力的比值。
• 破壞面傾角： 在 Rankine 理論中，主動破壞面與水平面的夾角為 $45^\circ + \phi'/2$。
• 牆體移動方向： 主動破壞發生時，牆體會向外（遠離土體）移動。
• 破壞機制： 擋土牆可能發生的破壞模式，包括滑動、傾覆、基底承載力破壞、整體穩定性破壞等。

題目數據：

• 牆高 $H = 6 \, \text{m}$
• 背填土：均勻乾燥砂性土壤
• 乾單位重 $\gamma_d = 18 \, \text{kN/m}^3$
• 內摩擦角 $\phi' = 35^\circ$
• 假設牆背光滑且垂直。

(1) 計算主動土壓力之合力與其作用點位置

步驟 1：計算主動土壓力係數 ($K_a$)
Rankine 主動土壓力係數公式為：
$K_a = \tan^2(45^\circ - \frac{\phi'}{2})$
$K_a = \tan^2(45^\circ - \frac{35^\circ}{2})$
$K_a = \tan^2(45^\circ - 17.5^\circ)$
$K_a = \tan^2(27.5^\circ)$
$K_a \approx (0.5206)^2 \approx 0.271$

步驟 2：計算牆頂至牆底的垂直土壓力 ($\sigma_{v0}$)
在牆頂處（深度 z=0），垂直土壓力為 0。
在牆底處（深度 z=H=6m），垂直土壓力為：
$\sigma_{v0} = \gamma_d \times H = 18 \, \text{kN/m}^3 \times 6 \, \text{m} = 108 \, \text{kN/m}^2$

步驟 3：計算牆面上的水平主動土壓力 ($p_a$)
水平主動土壓力隨深度 $z$ 呈線性分布，其公式為：
$p_a(z) = K_a \times \sigma_{v0}(z)$
其中 $\sigma_{v0}(z) = \gamma_d \times z$。
所以，$p_a(z) = K_a \times \gamma_d \times z$
在牆底 ($z=H=6$m) 時，最大水平主動土壓力為：
$p_{a,max} = K_a \times \gamma_d \times H = 0.271 \times 18 \, \text{kN/m}^3 \times 6 \, \text{m} \approx 29.27 \, \text{kN/m}^2$

步驟 4：計算主動土壓力之合力 ($P_a$)
主動土壓力在牆面上形成一個三角形的壓力分布圖。合力為該三角形面積的一半，乘以壓力寬度（若為單位長度，則為 1m）。
合力 $P_a = \frac{1}{2} \times p_{a,max} \times H$
$P_a = \frac{1}{2} \times 29.27 \, \text{kN/m}^2 \times 6 \, \text{m}$
$P_a \approx 87.81 \, \text{kN/m}$ (以每公尺牆長計算)

步驟 5：計算合力 ($P_a$) 的作用點位置
三角形壓力分布的合力作用在壓力圖形的形心處。對於三角形，形心位於底邊 (牆底) 的 $\frac{1}{3}$ 高度處，或頂部 (牆頂) 的 $\frac{2}{3}$ 高度處。
作用點高度 $z_a = \frac{1}{3} H$

此題為邊坡穩定分析，涉及穩定數的定義及安全係數的計算。

核心觀念：

• 邊坡穩定分析： 評估邊坡抵抗滑動破壞的能力。

• 圓弧滑動法 (Circular Slip Surface Analysis)： 一種常用的邊坡穩定分析方法，假設破壞面為圓弧形。

• 穩定數 (Stability Number, $S_n$ 或 $N_s$)： 一個無因次參數，用來簡化邊坡穩定分析。對於均質土坡，在不考慮滲流和地震力時，穩定數可以表示為：
  $S_n = \frac{c}{\gamma H}$ (當 $\phi=0$ 時，即純黏土情況)
  或者更通用的形式，考慮摩擦角 $\phi'$：
  $S_n = \frac{c'}{\gamma H} + \frac{H \gamma \tan \phi'}{\gamma H} \times (\text{某係數})$
  但最常見且簡化的定義，特別是對於純黏土（不排水條件，$\phi=0$），是將安全係數的公式改寫成穩定數的形式。

• 安全係數 (Factor of Safety, F.S.)：
  $F.S. = \frac{\text{抵抗滑動的力 (或力矩)}}{\text{引起滑動的力 (或力矩)}}$
  對於圓弧滑動，常用公式為：
  $F.S. = \frac{\sum (\text{抵抗力矩})}{\sum (\text{滑動力矩})}$
  對於純黏土（不排水條件，$\phi=0$），簡化的安全係數公式為：
  $F.S. = \frac{c_u \times L}{\text{滑動力}}$，其中 $L$ 是圓弧滑動面的長度。
  或者，對於圓弧滑動面，安全係數可以寫成：
  $F.S. = \frac{c_u \times R \theta}{W \sin \alpha}$ (當 $\phi=0$)
  其中 $R$ 是圓弧半徑，$\theta$ 是圓弧對應的圓心角，$W$ 是滑動土塊的重量，$\alpha$ 是圓弧滑動面與水平方向的夾角。

  更常用的公式是將安全係數表示為：
  $F.S. = \frac{c_u}{\gamma H} \times m$ (其中 m 為一個與坡角 $\beta$ 和圓弧形狀有關的係數)
  或者，直接利用穩定數的定義：
  $F.S. = \frac{c_u}{S_n \gamma H}$

(1) 穩定數 (stability number) 之定義為何?

在邊坡穩定分析中，穩定數 ($S_n$) 是一個無因次參數，它將邊坡的幾何形狀 (高度 $H$)、土體參數 (單位重 $\gamma$、黏聚力 $c_u$、摩擦角 $\phi'$) 和邊坡角 ($\beta$) 聯繫起來，用以簡化安全係數的計算。

對於均質土坡，在不考慮滲流和地震力時，穩定數的定義通常與安全係數的公式有關。
當土體為純黏土（不排水條件，$\phi=0$），且破壞面為圓弧形時，安全係數的計算可以整理成：
$F.S. = \frac{c_u}{\gamma H} \times (\text{某係數})$
其中，穩定數 $S_n$ 通常定義為：
$S_n = \frac{c_u}{\gamma H \times F.S.}$
或者，也可以定義為：
$S_n = \frac{c_u}{\gamma H} \quad \text{(有時這樣定義，但需注意其涵義)}$
在許多工程場合，穩定數 $S_n$ 被定義為當安全係數 F.S. = 1 (即極限平衡狀態) 時，$\frac{c_u}{\gamma H}$ 的值。
$S_n = \frac{c_u}{\gamma H} \quad (\text{當 } \phi'=0 \text{ 時})$

此題為基腳的極限承載力計算，使用 Terzaghi 的承載力公式。

核心觀念：

• Terzaghi 承載力公式： 描述條形基腳 (strip footing) 在均質地盤上承受垂直載重時的極限承載力。

• 承載力公式：
  對於條形基腳，Terzaghi 公式為：
  $q_{ult} = c' N_c + q N_q + 0.5 \gamma' B N_\gamma$
  其中：

  • $q_{ult}$：基腳的極限承載力 (單位面積上的最大壓力)。
  • $c'$：地盤的有效黏聚力 (effective cohesion)。
  • $N_c, N_q, N_\gamma$：承載力因子，是內摩擦角 $\phi'$ 的函數。
  • $q$：基腳上方單位面積的上覆土壓力 (surcharge pressure)。$q = \gamma_{d} D_f$，其中 $\gamma_d$ 是基腳上方土層的單位重。
  • $\gamma'$：基腳底面以下地盤的有效單位重 (effective unit weight)。
  • $B$：基腳的寬度 (width of the footing)。

• 圖中參數分析：

  • 基腳類型：條形基腳 (strip footing)。
  • 基腳寬度 $B = 1.5 \, \text{m}$。
  • 基腳埋深 $D_f = 1 \, \text{m}$。
  • 基腳上方土層：單位重 $\gamma_d = 17 \, \text{kN/m}^3$。
  • 基腳底面以下土層：飽和單位重 $\gamma_{sat} = 19 \, \text{kN/m}^3$。
  • 基腳底面以下土層：內摩擦角 $\phi' = 35^\circ$。
  • 圖中顯示了 $N_c, N_q, N_\gamma$ 與 $\phi'$ 的關係圖，可供查詢。
  • 題目要求計算極限承載力 ($q_{ult}$)，通常是指基腳底面處的壓力。

解題步驟：

步驟 1：確定土體參數

• 由於題目未提及黏聚力 ($c'$), 且圖中僅顯示了砂土的內摩擦角，我們假設地盤為純砂土，因此黏聚力 $c' = 0$。
• 內摩擦角 $\phi' = 35^\circ$。
• 基腳上方土層的單位重 $\gamma_d = 17 \, \text{kN/m}^3$。
• 基腳底面以下土層的有效單位重 $\gamma' = \gamma_{sat} = 19 \, \text{kN/m}^3$ (因為是飽和土，且未提及地下水位位置，通常假設地下水位在基底以下，或者題目已給定飽和單位重，則直接使用)。

步驟 2：計算上覆土壓力 ($q$)
$q = \gamma_d \times D_f$
$q = 17 \, \text{kN/m}^3 \times 1 \, \text{m} = 17 \, \text{kN/m}^2$

步驟 3：從圖表中讀取承載力因子 ($N_c, N_q, N_\gamma$)
根據圖中的曲線，當 $\phi' = 35^\circ$ 時：

• 從圖中查詢 $N_c$ (綠色曲線)：$\phi' = 35^\circ$ 對應 $N_c \approx 55$ (圖示綠色曲線，約在 30-40 範圍的 $N_q$ 之後，再上去一點)。