113 年 國立中央大學土木工程學系碩士班戊：水資源組《流體力學》

核心觀念

本題屬於不可壓縮牛頓流體在兩平行平板間的**層流（Laminar Flow）問題，結合了庫埃特流（Couette Flow，剪切驅動）與泊肅葉流（Poiseuille Flow，壓力梯度驅動）**的疊加流動。核心考點包含：

1. Navier-Stokes 方程式（動量方程式）簡化：在穩態（Steady）、不可壓縮（Incompressible）、全展開（Fully Developed）二維單向平行層流假設下，方程式簡化為流向壓力梯度與黏滯剪應力梯度的力平衡：
   $\frac{dp}{dx} = \mu \frac{d^2 u}{dy^2}$
2. 牛頓黏性定律（Newton's Law of Viscosity）：剪應力與速度梯度的關係式 $\tau = \mu \frac{du}{dy}$。
3. 無滑移邊界條件（No-slip Boundary Condition）：流體在固體邊界上的流速等於邊界本身的移動速度。
4. 極值求解：利用一階微分為零（$\frac{dF}{dh_1} = 0$）尋找薄板受力最小時的幾何位置 $h_1$。

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解題方法與完整推導

設水平流動方向為 $x$（即題目所述流向 $s$），垂直平板方向為 $y$。
下固定平板位於 $y = 0$；移動薄板位於 $y = h_1$；上固定平板位於 $y = H$。
給定條件：

• 壓力梯度：$\frac{dp}{dx} = -C$（其中 $C > 0$ 為常數）
• 下平板流速：$u(0) = 0$
• 薄板流速：$u(h_1) = V$（$V < 0$，向左移動）
• 上平板流速：$u(H) = 0$

將流體分為兩個流區分別求解控制方程式：
$\mu \frac{d^2 u}{dy^2} = \frac{dp}{dx} = -C \implies \frac{d^2 u}{dy^2} = -\frac{C}{\mu}$

對 $y$ 連續積分兩次，速度通式為：
$u(y) = -\frac{C}{2\mu} y^2 + c_1 y + c_2$

相應之流體剪應力分佈為：
$\tau(y) = \mu \frac{du}{dy} = -C y + \mu c_1$

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1) 求上、下平板間之速度 $u(y)$ 及剪應力 $\tau(y)$ 分佈

(A) 下方流區：$0 \le y \le h_1$

代入邊界條件：

• $y = 0 \implies u(0) = 0 \implies c_2 = 0$
• $y = h_1 \implies u(h_1) = V \implies -\frac{C}{2\mu} h_1^2 + c_1 h_1 = V \implies c_1 = \frac{V}{h_1} + \frac{C h_1}{2\mu}$

因此，在 $0 \le y \le h_1$ 範圍內：

• 速度分佈：
  $u_1(y) = \frac{V}{h_1} y + \frac{C}{2\mu} y (h_1 - y)$
• 剪應力分佈：
  $\tau_1(y) = \mu \frac{du_1}{dy} = \mu \frac{V}{h_1} + \frac{C h_1}{2} - C y$

(B) 上方流區：$h_1 \le y \le H$

設局部座標或直接以邊界條件決定通式之積分常數：

• $y = h_1 \implies u(h_1) = V$
• $y = H \implies u(H) = 0$

利用邊界條件解得速度分佈為直線 Couette 流與拋物線 Poiseuille 流之組合：
$u_2(y) = V \frac{H - y}{H - h_1} + \frac{C}{2\mu} (y - h_1)(H - y)$

對其微分求剪應力分佈：
$\tau_2(y) = \mu \frac{du_2}{dy} = -\mu \frac{V}{H - h_1} + \frac{C}{2} \left[ (H - y) - (y - h_1) \right] = -\frac{\mu V}{H - h_1} + \frac{C}{2}(H + h_1 - 2y)$

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2) 流體間之移動薄板的單位長度受力

薄板（厚度為零）同時與下層流體及上層流體接觸，因此薄板所受的黏滯剪應力為其下表面與上表面受力之合力。
取薄板向右（$+x$ 方向）為受力正向，考慮流體施加於薄板之剪應力：

1. 下表面（$y = h_1^-$）流體施加於薄板之剪應力：
   薄板下表面之外法線朝下（$-y$ 方向），故流體對下表面之表面力為 $-\tau_1(h_1)$：
   $\tau_{\text{lower}} = -\tau_1(h_1) = -\left[ \mu \frac{V}{h_1} - \frac{C h_1}{2} \right] = -\frac{\mu V}{h_1} + \frac{C h_1}{2}$

核心觀念

閘門兩側皆受大氣壓力，因此計算淨水壓時採用表壓：

$$p=\rho g h$$

垂直平面閘門上的水壓合力為

$$R=\rho g\bar{h}A$$

其作用位置為壓力中心：

$$h_{CP}=\bar{h}+\frac{I_G}{\bar{h}A}$$

其中 $A$ 為閘門面積，$\bar h$ 為閘門形心距自由液面的深度，$I_G$ 為閘門對水平形心軸的面積慣性矩。

幾何尺寸與形心深度

由圖 b，橢圓閘門的水平、垂直直徑分別為 $3\ \text{m}$、$2\ \text{m}$，鉸支位於閘門頂端，且鉸支位於自由液面下 $9\ \text{m}$。

橢圓半軸為

$$a=\frac{3}{2}=1.5\ \text{m},\qquad b=\frac{2}{2}=1\ \text{m}$$

閘門面積：

$$A=\pi ab=\pi(1.5)(1)=1.5\pi\ \text{m}^2$$

閘門形心位於鉸支下方 $1\ \text{m}$，所以

$$\bar h=9+1=10\ \text{m}$$

橢圓對水平形心軸的面積慣性矩為

$$I_G=\frac{\pi ab^3}{4} =\frac{\pi(1.5)(1)^3}{4} =\frac{3\pi}{8}\ \text{m}^4$$

水壓合力與壓力中心

水壓合力：

核心觀念

本題考查白金漢 $\Pi$ 定理。若問題包含 $n$ 個物理量，且這些物理量的基本量綱獨立數為 $r$，則獨立無因次參數數目為

$$N_{\Pi}=n-r$$

題目列出的物理量為

$$\rho_1,\ \rho_2,\ \rho_{\mathrm{water}},\ \mu_{\mathrm{water}},\ R,\ d,\ V$$

其量綱如下：

物理量	量綱
$\rho_1,\rho_2,\rho_{\mathrm{water}}$	$M L^{-3}$
$\mu_{\mathrm{water}}$	$M L^{-1}T^{-1}$
$R,d$	$L$
$V$	$L T^{-1}$

共有 $n=7$ 個物理量，基本量綱為質量 $M$、長度 $L$、時間 $T$，故 $r=3$。

解題方法

選取 $\rho_{\mathrm{water}}$、$V$、$R$ 為重複變數。它們涵蓋 $M$、$L$、$T$ 三個基本量綱。

對任一非重複變數 $X$，設無因次組合為

$$\Pi=X\rho_{\mathrm{water}}^aV^bR^c$$

逐一求得：

1. 取 $X=\rho_1$：

$$\Pi_1=\frac{\rho_1}{\rho_{\mathrm{water}}}$$

2. 取 $X=\rho_2$：

$$\Pi_2=\frac{\rho_2}{\rho_{\mathrm{water}}}$$

3. 取 $X=\mu_{\mathrm{water}}$：

$$\Pi_3= \frac{\mu_{\mathrm{water}}} {\rho_{\mathrm{water}}VR}$$

通常將其倒數表示為相對運動的雷諾數：

核心觀念

本題考查泵浦能量方程、管路沿程損失、局部損失，以及儲水塔水位上升時的非定常流量。

泵浦提供的水頭必須克服：

1. 高程差：$16+h$
2. 管路摩擦損失
3. 入口、出口、彎頭及閥門等局部損失

管路內流速為 $V$，流量為

$$Q=A_pV$$

其中管徑面積

$$A_p=\frac{\pi D^2}{4} =\frac{\pi(0.2)^2}{4} =0.03142\ \text{m}^2$$

儲水塔水位上升速度則為

$$Q=A_t\frac{dh}{dt}$$

且 $A_t=4\ \text{m}^2$。

解題方法

取下方蓄水池自由液面與上方儲水塔自由液面套用能量方程。儲水塔截面積遠大於管路截面積，因此塔內水面流速可忽略。

管路總損失係數為

$$K_{\text{total}} =f\frac{L}{D} +K_{\text{inlet}} +K_{\text{outlet}} +2K_{\text{elbow}} +K_{\text{valve}}$$

代入數值：

$$K_{\text{total}} =0.02\frac{22}{0.2} +0.5+1.0+2(1.1)+0.3$$ $$K_{\text{total}} =2.2+0.5+1.0+2.2+0.3 =6.2$$

當水位為 $h$ 時，泵浦能量方程為

$$33=(16+h)+K_{\text{total}}\frac{V^2}{2g}$$

因此

$$V=\sqrt{\frac{2g(33-16-h)}{K_{\text{total}}}}$$

即

$$V=\sqrt{\frac{2(9.81)(17-h)}{6.2}}$$

由連續方程：

$$A_t\frac{dh}{dt}=A_pV$$

所以