114 年 國立中央大學土木工程學系碩士班甲：結構組《結構學》

核心觀念

本題使用「單位荷載法」求 $A$ 點旋轉角：

$$\theta_A=\int \frac{Mm}{EI}\,ds+\sum R_i^{*}\Delta_i$$

其中：

• $M$：實際荷載 $P$ 所造成的彎矩圖。
• $m$：在 $A$ 點施加單位逆時針力矩所造成的虛擬彎矩圖。
• $\Delta_i$：支承位移。
• $R_i^{*}$：虛擬系統中對應支承的反力。

題目給定 $EI$ 為常數，且只考慮彎曲變形。

解題方法

取逆時針為正，在 $A$ 點施加單位逆時針力矩 $1$。

1. 實際荷載下的彎矩

由靜力平衡可得：

• $AB$ 桿上的彎矩為三角形分布，$A$ 端為 $0$，$B$ 端為 $PL$：

$$M_{AB}(y)=Py$$

• $BC$ 桿上的彎矩亦為三角形分布，$B$ 端為 $PL$，$C$ 端為 $0$：

$$M_{BC}(x)=P(L-x)$$

其中 $0\le y\le L$，$0\le x\le L$。

2. 單位力矩下的虛擬彎矩

在 $A$ 點施加單位力矩後：

• $AB$ 桿內虛擬彎矩為常數：

$$m_{AB}=1$$

• $BC$ 桿內虛擬彎矩為：

$$m_{BC}(x)=\frac{L-x}{L}$$

因此，荷載造成的旋轉角為：

核心觀念

本題利用傾角變位法分析三支承連續梁。關鍵條件為：

• $A$ 為固定端：$\theta_A=0$。
• $B、C$ 為滾支承，且支承沉陷為零。
• $C$ 端無外加集中彎矩，因此 $M_{CB}=0$。
• $B$ 點為連續節點，故兩側端彎矩必須滿足節點力矩平衡：
  $M_{BA}+M_{BC}=0$

由於題目文字未完整呈現附圖，以下依圖中文字採用下列合理假設：

• $AB=8\ \text{m}$，$BC=4\ \text{m}$。
• $AB$ 跨承受均佈載重 $w=60\ \text{kN/m}$。
• $BC$ 跨中央承受集中載重 $P=44\ \text{kN}$，位置距離 $B、C$ 各 $2\ \text{m}$。
• $EI_{AB}=2EI$，$EI_{BC}=EI$。

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一、固定端彎矩

對 $AB$ 跨均佈載重：

$$M_{AB}^{F}=-\frac{wL_{AB}^{2}}{12} =-\frac{60(8)^2}{12} =-320\ \text{kN}\cdot\text{m}$$ $$M_{BA}^{F}=+320\ \text{kN}\cdot\text{m}$$

對 $BC$ 跨中央集中載重：

$$M_{BC}^{F}=-\frac{PL_{BC}}{8} =-\frac{44(4)}{8} =-22\ \text{kN}\cdot\text{m}$$ $$M_{CB}^{F}=+22\ \text{kN}\cdot\text{m}$$

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二、建立傾角變位方程式

傾角變位公式為

$$M_{ij}=M_{ij}^{F}+\frac{2EI}{L}(2\theta_i+\theta_j)$$

因為 $\theta_A=0$，故：

對 $AB$ 跨：

$$M_{BA}=320+\frac{2(2EI)}{8}(2\theta_B)$$ $$M_{BA}=320+EI\theta_B$$

對 $BC$ 跨：

$$M_{BC}=-22+\frac{2EI}{4}(2\theta_B+\theta_C)$$ $$M_{BC}=-22+EI\theta_B+\frac{EI}{2}\theta_C$$ $$M_{CB}=22+\frac{2EI}{4}(2\theta_C+\theta_B)$$ $$M_{CB}=22+EI\theta_C+\frac{EI}{2}\theta_B$$

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三、求 $B、C$ 點轉角

在 $C$ 點：

$$M_{CB}=0$$

因此

$$EI\theta_C+\frac{EI}{2}\theta_B=-22 \tag{1}$$

在 $B$ 點：

$$M_{BA}+M_{BC}=0$$ $$320+EI\theta_B-22+EI\theta_B+\frac{EI}{2}\theta_C=0$$ $$2EI\theta_B+\frac{EI}{2}\theta_C=-298 \tag{2}$$

聯立式 $(1)、(2)$：

$$EI\theta_B=-164\ \text{kN}\cdot\text{m}^2$$ $$EI\theta_C=60\ \text{kN}\cdot\text{m}^2$$

所以

$$\boxed{\theta_B=-\frac{164}{EI}}$$ $$\boxed{\theta_C=\frac{60}{EI}}$$

負號表示 $B$ 點轉角方向與所設定的正方向相反。

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四、各端彎矩

$$M_{AB}=-320+\frac{2(2EI)}{8}\theta_B$$ $$M_{AB}=-320+\frac{EI}{2}\left(-\frac{164}{EI}\right) =-402\ \text{kN}\cdot\text{m}$$ $$M_{BA}=320+EI\theta_B =320-164 =156\ \text{kN}\cdot\text{m}$$ $$M_{BC}=-22+EI\theta_B+\frac{EI}{2}\theta_C$$

核心觀念

此桁架有 $j=6$ 個節點、$m=9$ 根桿件，支承反力共 $r=4$ 個，因此

$$m+r=13>2j=12$$

是一次靜不定桁架。只用節點平衡無法唯一求出桿力，須再加入一個變位相容條件。本題選左側支承 $F$ 的水平反力 $H$ 為冗餘力，並利用該處水平位移為零求解。

求 $B$ 點垂直變位時，使用虛功法：

$$\delta_B=\sum_i\frac{N_i n_i L_i}{EA}$$

其中 $N_i$ 是實際載重下的桿力，$n_i$ 是在 $B$ 點施加單位垂直力時的桿力。

解題方法

取拉力為正，壓力為負。令 $H$ 為 $F$ 點向右的反力，依整體平衡得

$$R_{Cx}=-H,\qquad R_{Cy}=120+\frac{2}{3}H,\qquad R_{Ay}=40-\frac{2}{3}H$$

以各節點平衡求得桿力（單位：kN）：

桿件	軸力
$AF$	$0$
$AB$	$30-\dfrac{H}{2}$
$AE$	$-50+\dfrac{5H}{6}$
$FE$	$-H$
$ED$	$-30-\dfrac{H}{2}$
$EB$	$-40-\dfrac{2H}{3}$
$BD$	$50+\dfrac{5H}{6}$
$BC$	$-H$
$CD$	$-120-\dfrac{2H}{3}$

因 $F$ 點的水平位移受限，冗餘力所對應的變位必須為零。由虛功相容式：

$$\sum_i N_i\frac{\partial N_i}{\partial H}L_i=0$$

水平與垂直桿長分別為 $3$ m、$4$ m，斜桿長為 $5$ m。代入上表各桿力及桿長：

$$18H+\frac{1280}{3}=0$$

因此

$$H=-\frac{640}{27}\text{ kN}$$

代回桿力式，即得各桿件內力：

桿件	軸力（kN）
$AF$	$0$
$AB$	$\dfrac{1130}{27}=41.852$
$AE$	$-\dfrac{5650}{81}=-69.753$
$FE$	$\dfrac{640}{27}=23.704$
$ED$	$-\dfrac{490}{27}=-18.148$
$EB$	$-\dfrac{1960}{81}=-24.198$

核心觀念

本題為平面組合結構：

• $AB$ 為構架桿，節點 $B$ 具有水平位移 $u_B$、垂直位移 $v_B$ 與轉角 $\theta_B$。
• $BC$ 為桁架桿，只提供軸向勁度，不提供彎曲或轉動勁度。
• $A$ 為固定支承，$C$ 為鉸支承，因此 $$u_A=v_A=\theta_A=0,\qquad u_C=v_C=0.$$

依原圖取

$$A_f=8\times10^3\ \text{mm}^2,\qquad A_t=1\times10^3\ \text{mm}^2,\qquad I_f=200\times10^6\ \text{mm}^4.$$

取 $x$ 軸向右、$y$ 軸向上、逆時針轉角為正，所有長度換成 mm。

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直接勁度法組裝

幾何尺寸為

$$L_{AB}=8000\ \text{mm},\qquad L_{BC}=\sqrt{8000^2+6000^2}=10000\ \text{mm}.$$

對 $AB$ 構架桿：

$$\frac{EA_f}{L_{AB}}=200\ \text{kN/mm},$$ $$\frac{12EI_f}{L_{AB}^3}=0.9375\ \text{kN/mm},$$ $$\frac{6EI_f}{L_{AB}^2}=3750\ \text{kN}, \qquad \frac{4EI_f}{L_{AB}}=2.0\times10^7\ \text{kN-mm}.$$

因 $A$ 端固定，$AB$ 對 $B$ 點自由度
$\{u_B,v_B,\theta_B\}$ 的勁度矩陣為

$$\mathbf K_{AB}= \begin{bmatrix} 200&0&0\\ 0&0.9375&-3750\\ 0&-3750&2.0\times10^7 \end{bmatrix}.$$

對 $BC$ 桁架桿，取方向 $C\to B$：

$$c=\frac{8}{10}=0.8,\qquad s=-\frac{6}{10}=-0.6.$$

其軸向勁度為

$$\frac{EA_t}{L_{BC}} =\frac{200(1000)}{10000} =20\ \text{kN/mm}.$$

因此在 $B$ 點的全域勁度矩陣為

$$\mathbf K_{BC} = 20 \begin{bmatrix} c^2&cs&0\\ cs&s^2&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12.8&-9.6&0\\ -9.6&7.2&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}.$$

組合後：

$$\begin{bmatrix} 212.8&-9.6&0\\ -9.6&8.1375&-3750\\ 0&-3750&2.0\times10^7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_B\\v_B\\\theta_B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\-120\\0 \end{bmatrix}.$$

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求 $B$ 點位移與轉角

由第一、三列：

$$u_B=\frac{9.6}{212.8}v_B=0.0451128v_B,$$