111 年 國立中央大學土木工程學系碩士班甲：結構組《結構學》

核心觀念

本題為平面桁架之「外力與溫度共同作用」分析，需同時使用：

• 節點平衡方程式；
• 桁架桿件軸向變形關係；
• 力法或矩陣位移法；
• 溫度伸長量

$$\Delta L_T=\alpha\Delta T\,L$$

以及桿件總伸長量

$$\Delta L=\frac{NL}{AE}+\alpha\Delta T\,L.$$

所有桿件皆給定 $L/A$，故桿件軸向剛度可寫成

$$\frac{AE}{L}=\frac{E}{L/A}.$$

將 $L/A=1\ \text{m}/\text{cm}^2$ 換算後：

$$\frac{AE}{L} =200\times10^6\times10^{-4} =2.0\times10^4\ \text{kN/m}.$$

受熱桿件 $ce$、$ef$、$fh$ 的自由熱應變為

$$\varepsilon_T=\alpha\Delta T =(1.8\times10^{-6})(40) =72\times10^{-6}.$$

其等效溫度軸力尺度為

$$EA\varepsilon_T =\left(\frac{AE}{L}\right)L\varepsilon_T.$$

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解題方法

取座標如下：

$$\begin{aligned} &a(0,0),\quad b(0,4),\quad c(0,8),\\ &d(3,4),\quad e(3,8),\quad f(6,8),\\ &g(9,4),\quad h(9,8),\\ &j(12,0),\quad l(12,4),\quad m(12,8). \end{aligned}$$

桿件方向餘弦如下：

• 水平桿：$(1,0)$；
• 垂直桿：$(0,1)$；
• $3$–$4$–$5$ 斜桿：$(\pm 3/5,\pm 4/5)$。

對每一根桿件建立桁架剛度矩陣

$$\mathbf{k}^{(e)} =\frac{AE}{L} \begin{bmatrix} c^2&cs&-c^2&-cs\\ cs&s^2&-cs&-s^2\\ -c^2&-cs&c^2&cs\\ -cs&-s^2&cs&s^2 \end{bmatrix}.$$

組合所有桿件後，考慮 $a$、$j$ 支承條件，並將溫度效應加入右端項：

$$\mathbf K\mathbf u = \mathbf P+\mathbf P_T.$$

其中外力向量為

$$\mathbf P: \quad P_c=P_h=P_e=P_m=8\ \text{kN}, \qquad P_f=24\ \text{kN},$$

方向均向下。

桿件軸力由

核心觀念

本題考查剛架的斜率－撓度法，並同時考慮：

1. 構件 $AB$ 上的均佈水平載重 $\omega$。
2. 支承位移：

$\Delta_A=-\frac{L}{200},\qquad \Delta_C=\frac{L}{100}$

3. A、C 兩端為鉸支承，因此

$M_A=M_C=0$

4. B 為剛接點，故 B 點兩構件端彎矩代數和為零。

假設構件軸向變形忽略，且 $AB$、$BC$ 長度皆為 $L$，彎曲剛度皆為 $EI$。取逆時針旋轉為正。

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解題方法

令三個節點轉角分別為 $\theta_A,\theta_B,\theta_C$。

由圖形幾何，支承位移造成的弦線轉角為

$$\frac{\delta_{AB}}{L}=\frac{1}{100}, \qquad \frac{\delta_{BC}}{L}=\frac{1}{200}.$$

對構件 $AB$ 寫端彎矩方程。考慮均佈載重 $\omega$ 後，A 端鉸支承條件為

$$-4\theta_A-2\theta_B -\frac{6}{100} -\frac{\omega L^3}{12EI}=0.$$

因此

$$\theta_A =-\frac{1}{2}\theta_B-\frac{3}{100} -\frac{\omega L^3}{48EI}. \tag{1}$$

對構件 $BC$，C 端為鉸支承，故

$6\left(\frac{1}{200}\right)-2\theta_B-4\theta_C=0,$

得到

$$\theta_C=\frac{3}{400}-\frac{1}{2}\theta_B. \tag{2}$$

再利用 B 點剛接之彎矩平衡：

核心觀念

本題為平面剛架的傾角變位法分析，重點包括：

• 梁柱接頭 $c$ 為剛接，故各構件在 $c$ 點具有相同轉角。
• $a$ 為固定端，$\theta_a=0$；$b$ 為滾支承，故 $M_{bc}=0$。
• $c$ 點可產生側移 $\Delta$，但 $b$ 點為滾支承，水平方向無反力。
• 構件 $cd$ 為自由端懸臂，$d$ 端彎矩與剪力皆為零，因此其對 $c$ 點只提供均佈載重造成的固定端作用。

取逆時針為轉角正號，$\Delta$ 向右為正。設

• $EI$：梁 $bc$ 及 $cd$ 的撓曲剛性；
• $2EI$：柱 $ac$ 的撓曲剛性；
• $\theta$：$c$ 點轉角；
• $\phi$：$b$ 點轉角；
• $\Delta$：柱頂及剛架的側移。

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解題方法

1. 構件 $ab$ 的傾角變位式

柱 $ac$ 長度為 $8$ m，中央受向左 $24$ kN 集中力。其固定端彎矩為

$$M_{ac}^{F}=+24\ \text{kN}\cdot\text{m}, \qquad M_{ca}^{F}=-24\ \text{kN}\cdot\text{m}.$$

傾角變位式為

$$M_{ac} = 24+\frac{2(2EI)}{8} \left( \theta-\frac{3\Delta}{8} \right)$$ $$M_{ca} = -24+\frac{2(2EI)}{8} \left( 2\theta-\frac{3\Delta}{8} \right)$$

即

$$M_{ac}=24+\frac{EI}{2}\theta-\frac{3EI}{8}\Delta$$ $$M_{ca}=-24+EI\theta-\frac{3EI}{16}\Delta$$

由於 $b$ 為滾支承，梁不提供水平方向反力，故柱頂水平剪力為零。對柱取力矩平衡，可得

$$M_{ac}+M_{ca}=24(4)=96$$

因此

$$\frac{3}{2}EI\theta-\frac{9}{16}EI\Delta=48 \tag{1}$$

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2. 構件 $bc$ 的傾角變位式

梁 $bc$ 長度為 $6$ m，承受 $12$ kN/m 均佈載重。因 $b,c$ 兩點垂直位移均為零：

$$M_{bc} = \frac{2EI}{6}(2\phi+\theta) +\frac{12(6)^2}{12}$$ $$M_{cb} = \frac{2EI}{6}(\phi+2\theta) -\frac{12(6)^2}{12}$$

由 $b$ 為鉸支承：

$$M_{bc}=0$$

所以

$$\frac{EI}{3}(2\phi+\theta)+36=0$$

即

$$2EI\phi+EI\theta=-108 \tag{2}$$

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3. 構件 $cd$ 的端矩

構件 $cd$ 為長度 $2$ m 的自由端懸臂，均佈載重為 $12$ kN/m。

自由端 $d$ 的剪力與彎矩皆為零，因此 $c$ 點端矩為

$$M_{cd}=\frac{wL^2}{2} =\frac{12(2)^2}{2} =24\ \text{kN}\cdot\text{m}$$

且

$$M_{dc}=0$$

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4. $c$ 點彎矩平衡

在剛接點 $c$：

$$M_{ca}+M_{cb}+M_{cd}=0$$

代入各端矩：

$$\left( -24+EI\theta-\frac{3EI}{16}\Delta \right) + \left( \frac{EI}{3}(\phi+2\theta)-36 \right) +24=0$$

整理得

$$\frac{EI}{3}\phi +\frac{5EI}{3}\theta -\frac{3EI}{16}\Delta =36 \tag{3}$$

令

$$p=EI\theta,\qquad q=EI\phi,\qquad r=EI\Delta$$

由式 $(1)$～$(3)$：

$$\frac{3}{2}p-\frac{9}{16}r=48$$ $$2q+p=-108$$ $$\frac{q}{3}+\frac{5p}{3}-\frac{3r}{16}=36$$

解得

$$p=38,\qquad q=-73,\qquad r=16$$

所以

$$\boxed{\theta=\frac{38}{EI}}$$ $$\boxed{\phi=-\frac{73}{EI}}$$ $$\boxed{\Delta=\frac{16}{EI}\ \text{m}}$$

其中 $\theta$ 為逆時針，$\phi$ 為順時針，剛架側移向右。

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各構件端彎矩

柱 $ac$

$$M_{ac} = 24+\frac{38}{2}-\frac{3(16)}{8} =37\ \text{kN}\cdot\text{m}$$ $$M_{ca} = -24+38-\frac{3(16)}{16} =11\ \text{kN}\cdot\text{m}$$

梁 $bc$

$$M_{bc}=0$$ $$M_{cb} = \frac{-73+2(38)}{3}-36 =-35\ \text{kN}\cdot\text{m}$$

梁 $cd$

$$M_{cd}=24\ \text{kN}\cdot\text{m}, \qquad M_{dc}=0$$

因此 $c$ 點確實滿足

$$M_{ca}+M_{cb}+M_{cd} = 11-35+24=0$$